Tabelul derivatelor funcțiilor uzuale: pe scurt

Fiecare rând al tabelului canonic conține trei informații: funcția, mulțimea pe care ea este derivabilă și derivata. A doua se pierde cel mai des și se punctează separat.

Puterile ocupă trei rânduri distincte, pentru că domeniile diferă: $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ pe $\mathbb{R}$ (din descompunerea lui $x^n-x_0^n$), $(x^{-n}{)}^{\prime }=-n{x}^{-n-1}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ și $(x^r{)}^{\prime }=r{x}^{r-1}$ pe $(0,+\infty )$ pentru $r$ real. Radicalii sunt cazul $r=\frac{1}{n}$: $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ și $(\sqrt[n]{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$, tot pe $(0,+\infty )$.

Logaritmul și exponențiala: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ și $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$ pe $(0,+\infty )$; $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$ pe $\mathbb{R}$, de unde $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ — singura funcție uzuală care este propria ei derivată.

Trigonometricele, toate din limita fundamentală $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin u}{u}=1$ și numai cu argumentul în radiani: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$, $(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, $(\mathrm{ctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$.

Tabelul nu se învață rând cu rând, ci pe grupe, urmărind unealta comună: puterile și radicalii se sprijină pe algebră și pe limita $\frac{(1+t{)}^r-1}{t}\to r$, logaritmul și exponențiala pe limitele cu $\ln$, iar cele patru funcții trigonometrice pe limita sinusului. În fiecare grupă e de ajuns să reții o formulă și drumul spre ea.

Cele două capcane permanente: $\sqrt{x}$ este continuă pe $[0,+\infty )$, dar derivabilă doar pe $(0,+\infty )$; iar $x^n$ și $a^x$ sunt funcții diferite — la prima variabila stă la bază, la a doua la exponent, deci $(2^x{)}^{\prime }=2^x\ln 2$, niciodată $x\cdot 2^{x-1}$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3^x$, este:

   • a) $x\cdot 3^{x-1}$
   • b) $3^x$
   • c) $3^x\ln 3$
   • d) $\frac{3^x}{\ln 3}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $3^x\ln 3$

   Se aplică rândul $a^x$ al tabelului: $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$, deci $f^{\prime }(x)=3^x\ln 3$ pe $\mathbb{R}$. Varianta $x\cdot 3^{x-1}$ vine din confuzia cu puterea $x^n$ (acolo variabila e la bază), iar $3^x$ ar fi corect numai pentru baza $e$.

2. Care afirmație despre $f(x)=\sqrt{x}$ este ADEVĂRATĂ?

   • a) $f$ este derivabilă pe $[0,+\infty )$, cu $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
   • b) $f$ nu este continuă în $0$
   • c) $f$ este derivabilă în $0$, cu $f^{\prime }(0)=0$
   • d) $f$ este continuă pe $[0,+\infty )$, dar derivabilă doar pe $(0,+\infty )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $f$ este continuă pe $[0,+\infty )$, dar derivabilă doar pe $(0,+\infty )$

   În $0$ raportul de diferențe este $\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\to +\infty$: limita există în $\overline{\mathbb{R}}$, dar nu este finită, deci funcția nu e derivabilă acolo, deși e continuă. Formula $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ este corectă, însă numai pe $(0,+\infty )$.

3. Valoarea derivatei funcției $f(x)=\mathrm{tg}x$ în punctul $x_0=\frac{\pi }{3}$ este:

   • a) $\frac{1}{2}$
   • b) $4$
   • c) $2$
   • d) $\sqrt{3}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $4$

   $(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, iar $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, deci ${\cos }^2\frac{\pi }{3}=\frac{1}{4}$ și derivata valorează $4$. Punctul aparține domeniului de derivabilitate al tangentei. Valoarea $\sqrt{3}$ este $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}$, adică funcția, nu derivata ei.