Derivatele funcțiilor uzuale

Până acum, fiecare derivată a costat un calcul de limită întreg: scriai raportul de diferențe, îl prelucrai algebric până dispărea nedeterminarea $\frac{0}{0}$ și abia apoi treceai la limită. Procedeul e corect și rămâne definiția, dar nimeni nu îl repetă de o mie de ori pentru aceleași zece funcții. Așa cum tabla înmulțirii a înlocuit adunările repetate, un tabel al derivatelor înlocuiește calculele de limită pentru funcțiile care apar peste tot.

Lecția aceasta construiește acel tabel, formulă cu formulă, fiecare dedusă din definiția de la Problema tangentei și definiția derivatei într-un punct și din cele cinci limite fundamentale ale capitolului de limite. Nu vei găsi aici nicio regulă de calcul cu mai multe funcții — suma, produsul și câtul vin la lecția următoare, iar compunerea imediat după. Astăzi se lucrează cu o singură funcție deodată, dar cu toate funcțiile pe care programa le numește „uzuale": puterea, radicalul, logaritmul, exponențiala și cele patru trigonometrice.

Ce vei învăța

• Vei ști tabelul canonic al derivatelor funcțiilor uzuale, cu domeniul de derivabilitate al fiecăreia — nu doar formula.
• Vei ști să deduci din definiție formulele-cheie: $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$, $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, $(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.
• Vei ști de ce rândurile $x^n$, $x^{-n}$ și $x^r$ nu se contopesc, deși formula arată la fel.
• Vei ști să folosești tabelul în probleme de tangentă și de ritm de variație, respectând domeniul.
• Vei ști care sunt derivatele funcțiilor trigonometrice inverse și de ce ele rămân în afara cerințelor de Bacalaureat M1.

Hai să descoperim împreună

1. La ce folosește un tabel de derivate

Un tabel de derivate nu e o listă de reținut pe de rost, ci un contract: fiecare rând spune trei lucruri — care e funcția, pe ce mulțime este ea derivabilă și care e derivata acolo. Al doilea element se pierde cel mai des, și tot el se punctează separat în barem.

Motivul e ușor de văzut. Funcția $\sqrt{x}$ este definită și continuă pe $[0,+\infty )$, dar derivabilă doar pe $(0,+\infty )$: în $0$ raportul de diferențe tinde la $+\infty$, așa cum ai văzut la Puncte unghiulare și puncte de întoarcere. Un elev care scrie „$(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pe $[0,+\infty )$" a scris o afirmație falsă, chiar dacă formula e corectă.

Toate deducerile de mai jos folosesc numai definiția

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

și rezultatele deja demonstrate despre limite. Regulile generale de derivare vin abia la lecția 100, deci nicio formulă de aici nu se sprijină pe ele — altfel raționamentul ar fi circular.

Merită văzută dinainte arhitectura acestei lecții, pentru că ea explică de ce ordinea capitolelor a fost cea pe care ai parcurs-o. Fiecare familie de funcții își cere propria unealtă: puterile cu exponent natural se descurcă doar cu algebră, radicalii și puterile reale au nevoie de a cincea limită fundamentală, logaritmul și exponențiala de a treia și a patra, iar cele patru funcții trigonometrice de prima. Cu alte cuvinte, cele cinci limite fundamentale nu au fost o colecție de curiozități: ele sunt exact cele cinci chei care deschid cele cinci uși ale acestui tabel. Dacă vreuna dintre ele ți se pare acum nesigură, e momentul să te întorci la lecția respectivă, pentru că fiecare formulă de mai jos se sprijină pe una dintre ele.

O ultimă precizare de metodă, valabilă peste tot în lecție: în toate calculele fixăm un punct $x_0$ din domeniu, calculăm $f^{\prime }(x_0)$ și abia la final rescriem rezultatul cu litera $x$. Trecerea aceasta este exact construcția funcției derivate și a mulțimii de derivabilitate, definite la Derivate laterale. Funcții derivabile într-un punct; ceea ce adăugăm acum este calculul ei efectiv, pentru fiecare funcție uzuală în parte. Coloana din mijloc a tabelului nu e altceva decât mulțimea de derivabilitate, scrisă explicit.

2. Constanta, funcția identică și puterea cu exponent natural

Funcția constantă $f(x)=c$. Raportul de diferențe este $\frac{c-c}{x-x_0}=0$ pentru orice $x\ne x_0$, deci limita e $0$. Așadar $c^{\prime }=0$ pe $\mathbb{R}$: o funcție constantă nu variază, iar tangenta la graficul ei este graficul însuși.

Funcția $f(x)=x$. Raportul este $\frac{x-x_0}{x-x_0}=1$, deci $x^{\prime }=1$ pe $\mathbb{R}$. Graficul e prima bisectoare, de pantă $1$ peste tot.

Puterea $f(x)=x^n$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Folosim descompunerea învățată la clasa a IX-a:

$$x^n-x_0^n=(x-x_0)\left(x^{n-1}+x^{n-2}{x}_0+\cdots +x{x}_0^{n-2}+x_0^{n-1}\right).$$

Simplificăm cu $x-x_0\ne 0$ și rămâne o sumă de $n$ termeni, fiecare tinzând la $x_0^{n-1}$ când $x\to x_0$:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\left(x^{n-1}+x^{n-2}{x}_0+\cdots +x_0^{n-1}\right)=\underset{n\text{ termeni}}{\underbrace{x_0^{n-1}+\cdots +x_0^{n-1}}}=n{x}_0^{n-1}.$$

Deci $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ pe $\mathbb{R}$. Verificare rapidă pe cazuri cunoscute: pentru $n=1$ dă $1$, pentru $n=2$ dă $2x$, pentru $n=3$ dă $3x^2$ — exact valorile calculate în lecțiile anterioare.

Două lucruri merită reținute din această demonstrație. Primul: ea funcționează pentru orice $x_0$ real, inclusiv negativ sau nul, pentru că descompunerea folosită e o identitate algebrică, valabilă fără restricții. De aceea rândul $x^n$ are drept domeniu tot $\mathbb{R}$, spre deosebire de rândurile care vor urma. Al doilea: nicăieri nu am „ghicit" rezultatul și nu l-am verificat apoi — l-am obținut, ceea ce e altceva. La Bacalaureat M1 se cere uneori chiar acest calcul, pentru un $n$ concret, iar simpla scriere a formulei nu primește punctaj dacă enunțul spune „folosind definiția".

3. Puterea cu exponent întreg negativ și cu exponent real

Exponent întreg negativ, $f(x)=x^{-n}$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Aducem la același numitor:

$$\frac{x^{-n}-x_0^{-n}}{x-x_0}=\frac{x_0^n-x^n}{x^n{x}_0^n(x-x_0)}=-\frac{1}{x^n{x}_0^n}\cdot \frac{x^n-x_0^n}{x-x_0}.$$

Primul factor tinde la $-\frac{1}{x_0^{2n}}$, al doilea la $n{x}_0^{n-1}$ (punctul 2), deci limita este $-n{x}_0^{n-1-2n}=-n{x}_0^{-n-1}$. Așadar $(x^{-n}{)}^{\prime }=-n{x}^{-n-1}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Cazul cel mai folosit, $n=1$: ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$.

Exponent real, $f(x)=x^r$, $r\in \mathbb{R}$, pe $(0,+\infty )$. Aici formula arată la fel, dar drumul e altul, pentru că nu mai avem nicio descompunere algebrică. Fixăm $x_0>0$ și notăm $t=\frac{x-x_0}{x_0}$, deci $x=x_0(1+t)$ și $t\to 0$ când $x\to x_0$, cu $t\ne 0$. Atunci

$$\frac{x^r-x_0^r}{x-x_0}=\frac{x_0^r\left[(1+t{)}^r-1\right]}{x_{0}t}=x_0^{r-1}\cdot \frac{(1+t{)}^r-1}{t}.$$

Al doilea factor tinde la $r$ — este exact a cincea limită fundamentală, demonstrată la lecția Limitele fundamentale cu numărul $e$ și cu puteri. Prin urmare $(x^r{)}^{\prime }=r{x}^{r-1}$ pe $(0,+\infty )$.

⚠️ Cele trei rânduri nu se contopesc. Formula e aceeași, domeniile nu: $x^n$ e derivabilă pe tot $\mathbb{R}$, $x^{-n}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, iar $x^r$ cu $r$ neîntreg numai pe $(0,+\infty )$, pentru că acolo e definită puterea cu exponent real. A scrie „$(x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$ pentru orice $x$ real" e o eroare de domeniu, nu de calcul.

Diferența nu e o subtilitate de manual, ci vine din chiar definiția puterii. La funcția putere cu exponent real, în clasa a X-a, ai văzut că $x^r$ pentru $r$ neîntreg se definește prin $x^r=e^{r\ln x}$, ceea ce cere $x>0$; pentru exponenți întregi, în schimb, puterea e o simplă înmulțire repetată (sau un raport), deci se poate defini și pentru $x$ negativ. Trei definiții diferite ale aceluiași simbol dau trei domenii diferite — și, prin urmare, trei rânduri în tabel. Când vezi într-un enunț expresia $x^{\frac{2}{3}}$, primul reflex nu trebuie să fie formula, ci întrebarea „pe ce mulțime lucrăm?".

Un test rapid pe care îl poți face oricând: exponentul e număr întreg? Dacă da, domeniul e $\mathbb{R}$ (exponent pozitiv) sau ${\mathbb{R}}^{\ast }$ (exponent negativ). Dacă nu, domeniul e $(0,+\infty )$, indiferent cât de simplu ar arăta exponentul.

4. Radicalii

Radicalul de ordinul al doilea. Amplificăm cu conjugata, tehnică folosită la nedeterminările cu radicali:

$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{x_0}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{x_0}\right)}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}⟶\frac{1}{2\sqrt{x_0}}.$$

Deci $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pe $(0,+\infty )$. În $x_0=0$ limita ar fi $+\infty$, deci funcția nu e derivabilă acolo, deși e continuă — precizarea se repetă de fiecare dată când $\sqrt{x}$ apare într-un studiu de variație.

Radicalul de ordin $n\ge 2$. Este cazul $r=\frac{1}{n}$ al puterii cu exponent real, deci pe $(0,+\infty )$:

$${\left(\sqrt[n]{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{n}{x}^{\frac{1}{n}-1}=\frac{1}{n}{x}^{-\frac{n-1}{n}}=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}.$$

Pentru $n=2$ regăsim $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, iar pentru $n=3$ obținem $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ — expresia întâlnită la punctul de tangentă verticală al funcției $\sqrt[3]{x}$.

Forma finală a formulei merită citită cu atenție, pentru că ea explică singură comportamentul din origine: numitorul $n\sqrt[n]{x^{n-1}}$ tinde la zero când $x$ tinde la zero, deci derivata tinde la $+\infty$. Cu cât ordinul radicalului e mai mare, cu atât graficul se lipește mai repede de verticală lângă origine — motiv pentru care radicalii sunt sursa clasică de tangente verticale, de puncte de întoarcere și, în general, de exerciții în care „formula există, dar nu se poate aplica în punctul cerut". Regula practică: înainte de a înlocui o valoare într-o derivată de radical, verifică dacă valoarea aparține domeniului de derivabilitate, nu doar domeniului funcției.

5. Logaritmul și exponențiala

Logaritmul natural, $f(x)=\ln x$ pe $(0,+\infty )$. Cu aceeași substituție $t=\frac{x-x_0}{x_0}\to 0$ ca la puterea reală:

$$\frac{\ln x-\ln x_0}{x-x_0}=\frac{\ln \frac{x}{x_0}}{x_{0}t}=\frac{1}{x_0}\cdot \frac{\ln (1+t)}{t}⟶\frac{1}{x_0}\cdot 1=\frac{1}{x_0},$$

unde am folosit limita fundamentală $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+t)}{t}=1$ de la limitele fundamentale cu exponențială și logaritm. Deci $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ pe $(0,+\infty )$.

Logaritmul în bază oarecare, $f(x)={\log }_{a}x$, $a>0$, $a\ne 1$. Schimbarea de bază se aplică înăuntrul raportului, înainte de trecerea la limită:

$$\frac{{\log }_{a}x-{\log }_a{x}_0}{x-x_0}=\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{\ln x-\ln x_0}{x-x_0}⟶\frac{1}{x_0\ln a}.$$

Deci $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$ pe $(0,+\infty )$. Pentru $a=e$ se regăsește rândul precedent, fiindcă $\ln e=1$.

Exponențiala, $f(x)=a^x$, $a>0$, $a\ne 1$, pe $\mathbb{R}$. Notăm $h=x-x_0\to 0$ și dăm factor comun:

$$\frac{a^x-a^{x_0}}{x-x_0}=\frac{a^{x_0}\left(a^h-1\right)}{h}=a^{x_0}\cdot \frac{a^h-1}{h}⟶a^{x_0}\ln a,$$

folosind a treia limită fundamentală, $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^h-1}{h}=\ln a$. Deci $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$ pe $\mathbb{R}$, iar pentru $a=e$, cum $\ln e=1$, obținem faimosul $(e^x{)}^{\prime }=e^x$: singura funcție uzuală care este propria ei derivată. Aici se vede de ce baza $e$ nu e o convenție arbitrară — este exact baza care face constanta $\ln a$ să dispară.

Formula spune ceva ușor de reținut și de verificat pe grafic: derivata exponențialei este proporțională cu valoarea ei, iar coeficientul de proporționalitate este $\ln a$. Cu cât baza e mai mare, cu atât coeficientul e mai mare, deci creșterea e mai violentă. Pentru $0<a<1$ avem $\ln a<0$, deci derivata e negativă peste tot — exact ce trebuie pentru o funcție descrescătoare. Nu e nevoie să memorezi separat cazul subunitar: semnul iese singur din formulă.

Tot de aici vine și modelul matematic al oricărui proces cu creștere proporțională cu ce există deja — populații, dobândă compusă, dezintegrare radioactivă. Programa cere explicit modelarea unor astfel de fenomene, iar derivata este mărimea care traduce „ritmul de creștere" din enunț în calcul. Vei folosi această citire în exemplul 5 și în exercițiul 17.

6. Funcțiile trigonometrice

Toate patru se deduc din prima limită fundamentală, $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin u}{u}=1$, demonstrată geometric la limita fundamentală $\frac{\sin x}{x}$, plus formulele de transformare a diferențelor în produs din clasa a IX-a.

Sinusul. Din $\sin x-\sin x_0=2\sin \frac{x-x_0}{2}\cos \frac{x+x_0}{2}$ obținem

$$\frac{\sin x-\sin x_0}{x-x_0}=\frac{\sin \frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}}\cdot \cos \frac{x+x_0}{2}⟶1\cdot \cos x_0=\cos x_0,$$

unde substituția $u=\frac{x-x_0}{2}\to 0$ e legitimă (se anulează doar în $x_0$), iar al doilea factor tinde la $\cos x_0$ prin continuitatea cosinusului. Deci $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ pe $\mathbb{R}$.

Cosinusul. Din $\cos x-\cos x_0=-2\sin \frac{x-x_0}{2}\sin \frac{x+x_0}{2}$, exact același drum dă $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ pe $\mathbb{R}$. Semnul minus vine din formula de transformare, nu din altceva.

Tangenta. Aducem diferența la același numitor și recunoaștem sinusul diferenței:

$$\mathrm{tg}x-\mathrm{tg}{x}_0=\frac{\sin x\cos x_0-\cos x\sin x_0}{\cos x\cos x_0}=\frac{\sin (x-x_0)}{\cos x\cos x_0}.$$

Împărțind la $x-x_0$ obținem $\frac{\sin (x-x_0)}{x-x_0}\cdot \frac{1}{\cos x\cos x_0}⟶1\cdot \frac{1}{{\cos }^2{x}_0}$. Deci

$$(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\text{pe}\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Cotangenta. Analog, $\mathrm{ctg}x-\mathrm{ctg}{x}_0=\frac{\cos x\sin x_0-\sin x\cos x_0}{\sin x\sin x_0}=-\frac{\sin (x-x_0)}{\sin x\sin x_0}$, de unde $(\mathrm{ctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ pe $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.

Observă simetria care ajută la memorare: derivatele „cu co-" poartă semnul minus, iar domeniile exclud exact punctele în care funcția nu e definită.

⚠️ Toate cele patru formule sunt valabile numai dacă argumentul se măsoară în radiani. Condiția nu e decorativă: ea vine din limita fundamentală $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin u}{u}=1$, care se demonstrează comparând aria unui sector de cerc cu ariile a două triunghiuri — iar formula ariei sectorului folosește măsura în radiani. Dacă argumentul ar fi în grade, aceeași limită ar da $\frac{\pi }{180}$, iar derivata sinusului ar deveni $\frac{\pi }{180}\cos x$. Din acest motiv, în tot capitolul de analiză unghiurile se scriu în radiani, iar valorile remarcabile se citesc ca $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$, nu ca $30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$.

O verificare de bun-simț pe care o poți face fără calcule: derivata sinusului trebuie să fie pozitivă acolo unde sinusul crește, adică pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ — și într-adevăr, cosinusul e pozitiv exact acolo. La fel, derivata tangentei este $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, adică strict pozitivă pe tot domeniul ei, ceea ce se potrivește cu faptul că tangenta crește pe fiecare interval al domeniului. Astfel de controale prind rapid o formulă memorată greșit.

7. Tabelul canonic

Acesta este tabelul de referință al întregii clase a XI-a. Se folosește exact în această formă, cu domenii cu tot, în lecții, în teste și pe carduri.

Trei observații obligatorii la tabel:

• rândurile $x^n$, $x^{-n}$ și $x^r$ nu se contopesc, pentru că domeniile diferă; pentru $r$ neîntreg se lucrează pe $(0,+\infty )$;
• $\sqrt{x}$ este continuă pe $[0,+\infty )$, dar derivabilă doar pe $(0,+\infty )$; precizarea se face de fiecare dată când funcția apare într-un studiu de variație;
• rândul ${\log }_{a}x$ îl conține pe $\ln x$ ca și caz particular ($a=e$), iar rândul $a^x$ îl conține pe $e^x$; le păstrăm separate pentru că exact în forma aceasta apar în subiectele de Bacalaureat M1.

Cum se învață tabelul. Nu pe verticală, rând cu rând, ci pe grupe, urmărind unealta comună: puterile și radicalii formează o grupă (algebră plus a cincea limită fundamentală), logaritmul și exponențiala a doua (a treia și a patra limită), trigonometricele a treia (prima limită). În fiecare grupă e suficient să reții o formulă și drumul; celelalte se obțin din ea în două rânduri. De pildă, dacă știi $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, atunci $({\log }_{a}x{)}^{\prime }$ se obține imediat din schimbarea de bază, fără memorare separată.

O ultimă remarcă asupra tabelului, care va conta la lecțiile următoare: derivata fiecărei funcții uzuale este, la rândul ei, o expresie construită din funcții uzuale. Nu ieșim niciodată din familie, oricât am deriva. Aceasta e proprietatea care face ca întreg calculul diferențial de la clasa a XI-a să fie realizabil cu creionul, și tot ea explică de ce merită investit efort în memorarea corectă a celor cincisprezece rânduri: ele sunt, literalmente, tot vocabularul de care ai nevoie.

8. O observație în afara cerințelor de Bacalaureat M1

Funcțiile trigonometrice inverse au fost studiate pe traseul tău, în clasa a IX-a, la lecția Funcțiile arctangentă și arccotangentă, iar derivatele lor există și au formule scurte:

$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{pe }(-1,1);$$

$$(\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2},(\mathrm{arcctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}\text{pe }\mathbb{R}.$$

Ele sunt scrise aici o singură dată, ca informație de cultură matematică. Nu intră în tabelul canonic, nu apar în niciun exercițiu, în niciun test și pe niciun card: programa clasei a XI-a nu le cere, iar la Bacalaureat M1 nu se dau. Dacă le întâlnești într-o culegere, tratează-le ca pe o lectură suplimentară.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Puteri, cu atenție la domeniu

Calculați derivatele funcțiilor $f(x)=x^6$, $g(x)=x^{-3}$ și $h(x)=x^{\frac{3}{2}}$, precizând domeniul de derivabilitate.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=6x^5$ pe $\mathbb{R}$ (rândul $x^n$). $g^{\prime }(x)=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ (rândul $x^{-n}$). Pentru $h$, exponentul $\frac{3}{2}$ nu e întreg, deci se aplică rândul $x^r$: $h^{\prime }(x)=\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$, pe $(0,+\infty )$.

Valori de control: $f^{\prime }(2)=6\cdot 32=192$; $g^{\prime }(1)=-3$; $h^{\prime }(4)=\frac{3}{2}\cdot 2=3$.

Exemplul 2 — Radicali

Calculați $f^{\prime }(9)$ pentru $f(x)=\sqrt{x}$ și $g^{\prime }(8)$ pentru $g(x)=\sqrt[3]{x}$.

Rezolvare. Din tabel, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pe $(0,+\infty )$, deci $f^{\prime }(9)=\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{6}$.

Pentru radicalul de ordinul al treilea, $g^{\prime }(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ pe $(0,+\infty )$, deci $g^{\prime }(8)=\frac{1}{3\sqrt[3]{64}}=\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{1}{12}$.

Exemplul 3 — Logaritm și exponențială

Calculați $f^{\prime }(4)$ pentru $f(x)=\ln x$, $g^{\prime }(8)$ pentru $g(x)={\log }_{2}x$ și $h^{\prime }(3)$ pentru $h(x)=2^x$.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, deci $f^{\prime }(4)=\frac{1}{4}$.

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln 2}$, deci $g^{\prime }(8)=\frac{1}{8\ln 2}$. Răspunsul se lasă în această formă exactă; aproximarea $\frac{1}{8\cdot 0,693}\approx 0,18$ se dă doar dacă se cere.

$h^{\prime }(x)=2^x\ln 2$, deci $h^{\prime }(3)=8\ln 2$. Observă că factorul $\ln 2$ nu se poate „uita": el este chiar viteza de pornire a exponențialei în baza $2$.

Exemplul 4 — Funcții trigonometrice în puncte remarcabile

Calculați ${\left(\sin \right)}^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)$, ${\left(\cos \right)}^{\prime }\left(\frac{\pi }{6}\right)$ și ${\left(\mathrm{tg}\right)}^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)$.

Rezolvare. $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, deci valoarea este $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$.

$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$, deci valoarea este $-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}$.

$(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, iar $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci ${\cos }^2\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}$ și valoarea este $2$. Punctul $\frac{\pi }{4}$ aparține domeniului de derivabilitate al tangentei, deci calculul e legitim.

Exemplul 5 — Derivata ca ritm de variație

Populația unei colonii de bacterii, în milioane, este $N(t)=2^t$, unde $t$ e timpul în ore. Cu ce viteză crește populația la momentul $t=3$?

Rezolvare. Viteza de creștere la momentul $t$ este derivata, $N^{\prime }(t)=2^t\ln 2$. La $t=3$:

$$N^{\prime }(3)=8\ln 2\approx 8\cdot 0,6931=5,545.$$

Populația crește, în acel moment, cu aproximativ $5,5$ milioane de bacterii pe oră. Interpretarea geometrică, din lecția Interpretarea geometrică a derivatei: panta tangentei la graficul lui $N$ în punctul de abscisă $3$ este $8\ln 2$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in (0,+\infty )$. b) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$. c) Determinați abscisa punctului în care tangenta la grafic are panta $\frac{1}{3}$.

Rezolvare.

a) Din tabel, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

b) $f(1)=\ln 1=0$ și $f^{\prime }(1)=1$. Ecuația tangentei: $y-0=1\cdot (x-1)$, adică $y=x-1$. Control: pentru $x=1$ dreapta dă $y=0=f(1)$. ✓

c) Condiția este $f^{\prime }(x_0)=\frac{1}{3}$, adică $\frac{1}{x_0}=\frac{1}{3}$, deci $x_0=3$. Punctul de tangență este $(3,\ln 3)$, iar tangenta acolo are ecuația $y-\ln 3=\frac{1}{3}(x-3)$.

Să exersăm

1. Calculați derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^7$, și valoarea $f^{\prime }(2)$.

2. Calculați derivata funcției $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^{-4}$, precizați domeniul de derivabilitate și calculați $f^{\prime }(1)$.

3. Calculați $f^{\prime }(9)$ pentru $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$.

4. Calculați $f^{\prime }(8)$ pentru $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x}$.

5. Calculați $f^{\prime }(4)$ pentru $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$.

6. Calculați $f^{\prime }(8)$ pentru $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{2}x$, lăsând răspunsul în formă exactă.

7. Calculați $f^{\prime }(\ln 3)$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Calculați $f^{\prime }(3)$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2^x$.

9. Calculați $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)$ pentru $f(x)=\sin x$.

10. Calculați $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{6}\right)$ pentru $f(x)=\cos x$.

11. Calculați $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)$ pentru $f(x)=\mathrm{tg}x$ și precizați domeniul de derivabilitate al funcției.

12. Calculați $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)$ pentru $f(x)=\mathrm{ctg}x$ și precizați domeniul de derivabilitate al funcției.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) Funcția $f(x)=\sqrt{x}$ este derivabilă pe $[0,+\infty )$.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) Formula $(x^r{)}^{\prime }=r{x}^{r-1}$ este valabilă pentru orice $r\in \mathbb{R}$ și orice $x\in \mathbb{R}$.

15. Calculați $f^{\prime }(4)$ pentru $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^{-\frac{1}{2}}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$, în punctul de abscisă $x_0=1$.

17. (Problemă aplicată.) Valoarea unei investiții, în mii de lei, este $V(t)=3^t$, unde $t$ e timpul în ani. Calculați ritmul de creștere la momentul $t=2$ și interpretați rezultatul.

18. (Provocare.) Demonstrați, pornind de la definiția derivatei, că $(\mathrm{ctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ pe domeniul de derivabilitate.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=7x^6$ pe $\mathbb{R}$, deci $f^{\prime }(2)=7\cdot 64=448$.

2. $f^{\prime }(x)=-4x^{-5}=-\frac{4}{x^5}$, derivabilă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ (în $0$ funcția nici nu e definită). $f^{\prime }(1)=-4$.

3. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, deci $f^{\prime }(9)=\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{6}$.

4. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$, deci $f^{\prime }(8)=\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{1}{12}$.

5. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, deci $f^{\prime }(4)=\frac{1}{4}$.

6. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln 2}$, deci $f^{\prime }(8)=\frac{1}{8\ln 2}$.

7. $f^{\prime }(x)=e^x$, deci $f^{\prime }(\ln 3)=e^{\ln 3}=3$.

8. $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2$, deci $f^{\prime }(3)=8\ln 2$. Factorul $\ln 2$ face parte din răspuns; $8$ singur ar fi greșit.

9. $f^{\prime }(x)=\cos x$, deci $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$.

10. $f^{\prime }(x)=-\sin x$, deci $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{6}\right)=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}$.

11. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ pe $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Cum ${\cos }^2\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}$, obținem $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=2$.

12. $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ pe $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$. Cum ${\sin }^2\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}$, obținem $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=-2$.

13. Fals. Funcția e continuă pe $[0,+\infty )$, dar derivabilă doar pe $(0,+\infty )$: în $0$ raportul de diferențe este $\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\to +\infty$, deci derivata nu e finită.

14. Fals. Pentru $r$ neîntreg, puterea $x^r$ este definită doar pe $(0,+\infty )$, iar formula se aplică acolo. Pentru $r=n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ formula e valabilă pe $\mathbb{R}$, iar pentru $r=-n$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ — de aceea tabelul are trei rânduri, nu unul.

15. Exponentul $-\frac{1}{2}$ nu e întreg, deci se aplică rândul $x^r$ pe $(0,+\infty )$: $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}$. Cum $4^{\frac{3}{2}}=8$, rezultă $f^{\prime }(4)=-\frac{1}{16}$.

16. $f(1)=0$ și $f^{\prime }(1)=\frac{1}{1}=1$. Ecuația tangentei: $y-0=1\cdot (x-1)$, adică $y=x-1$.

17. $V^{\prime }(t)=3^t\ln 3$, deci $V^{\prime }(2)=9\ln 3\approx 9\cdot 1,0986=9,887$. La momentul $t=2$ investiția crește cu aproximativ $9,9$ mii de lei pe an. Observă că ritmul de creștere e proporțional cu valoarea de atunci — semnătura oricărui proces exponențial.

18. Fie $x_0$ un punct în care $\sin x_0\ne 0$. Atunci

$$\mathrm{ctg}x-\mathrm{ctg}{x}_0=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\cos x_0}{\sin x_0}=\frac{\cos x\sin x_0-\sin x\cos x_0}{\sin x\sin x_0}=\frac{-\sin (x-x_0)}{\sin x\sin x_0}.$$

Împărțind la $x-x_0$ obținem $-\frac{\sin (x-x_0)}{x-x_0}\cdot \frac{1}{\sin x\sin x_0}$. Primul factor tinde la $-1$ (limita fundamentală, cu substituția $u=x-x_0\to 0$, justificată pentru că $u$ se anulează doar în $x_0$), iar al doilea la $\frac{1}{{\sin }^2{x}_0}$ prin continuitatea sinusului și $\sin x_0\ne 0$. Rezultă ${\mathrm{ctg}}^{\prime }(x_0)=-\frac{1}{{\sin }^2{x}_0}$.

De reținut

• Fiecare rând al tabelului conține trei informații: funcția, domeniul de derivabilitate și derivata. Domeniul se scrie în răspuns, nu se subînțelege.
• Puterile au trei rânduri distincte: $x^n$ pe $\mathbb{R}$, $x^{-n}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, $x^r$ pe $(0,+\infty )$ — formula e aceeași, domeniile nu.
• Exponențiala și logaritmul: $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$ și $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$; pentru $a=e$ constanta $\ln a$ devine $1$, de unde $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ și $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$.
• Trigonometrice: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$, $(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, $(\mathrm{ctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$; toate se deduc din $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin u}{u}=1$.
• $\sqrt{x}$ este continuă pe $[0,+\infty )$, dar derivabilă doar pe $(0,+\infty )$ — cea mai frecventă capcană de domeniu din tot capitolul.

Greșeli frecvente

• Scrii $(a^x{)}^{\prime }=a^x$ fără $\ln a$. Formula fără logaritm e adevărată numai pentru $a=e$. Pentru $a=2$, derivata este $2^x\ln 2$, iar lipsa factorului schimbă complet rezultatul numeric.
• Confunzi $(x^n{)}^{\prime }$ cu $(a^x{)}^{\prime }$. La puterea $x^n$ variabila e la bază și exponentul e fix, deci se aplică $n{x}^{n-1}$; la exponențiala $a^x$ variabila e la exponent, deci se aplică $a^x\ln a$. Formula $(2^x{)}^{\prime }=x\cdot 2^{x-1}$ este una dintre cele mai costisitoare erori din barem.
• Uiți domeniul de derivabilitate. Răspunsul „$(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pe $[0,+\infty )$" este fals; corect este pe $(0,+\infty )$. La fel, $(x^r{)}^{\prime }$ cu $r$ neîntreg se scrie doar pe $(0,+\infty )$.
• Pierzi semnul minus la $\cos$ și la $\mathrm{ctg}$. Cele două derivate „cu co-" au semnul minus; el vine din formulele de transformare a diferenței în produs și nu e o convenție arbitrară.
• Aplici tabelul unei funcții compuse. Rândul $\sin x$ se referă la funcția sinus, nu la $\sin (3x)$ sau la $\sin (x^2)$. Derivarea funcțiilor compuse se face cu regula de la lecția 101; până acolo, tabelul se folosește numai pe funcțiile din stânga, luate ca atare.

Aplică acasă

1. Scrie tabelul canonic pe o foaie A4, din memorie, cu toate trei coloanele. Compară apoi cu lecția și marchează cu roșu domeniile pe care le-ai omis sau le-ai scris greșit — vei constata că formulele se rețin mai ușor decât domeniile, deși baremul le cere pe amândouă.
2. Alege trei funcții din tabel și, pentru fiecare, calculează derivata în două puncte, apoi verifică-ți rezultatul aproximând raportul $\frac{f(x_0+0,001)-f(x_0-0,001)}{0,002}$ cu un calculator de buzunar. Diferența trebuie să apară abia la a patra zecimală.
3. Deschide o aplicație de grafice și trasează în același reper $f(x)=e^x$ și $g(x)=2^x$, împreună cu tangentele lor în punctul de abscisă $0$. Măsoară pantele: prima este $1$, a doua este $\ln 2\approx 0,693$. Ai în față, desenat, motivul pentru care baza $e$ este preferată în analiză.

Pentru părinți și profesori

Ce verifică lecția: (1) că elevul reține tabelul cu domenii, nu doar formulele; (2) că poate deduce din definiție cel puțin formulele-cheie ($x^n$, $\ln x$, $a^x$, $\sin x$), folosind limitele fundamentale; (3) că deosebește puterea de exponențială; (4) că aplică tabelul corect în probleme de tangentă și de ritm de variație.

Întrebări de control: Care e derivata lui $3^x$? — $3^x\ln 3$, nu $3^x$. Pe ce mulțime este derivabilă funcția radical? — pe $(0,+\infty )$, deși e continuă pe $[0,+\infty )$. De ce sunt trei rânduri pentru puteri și nu unul? — pentru că domeniile diferă.

Semne că a înțeles: scrie domeniul odată cu formula, fără să i se ceară; nu confundă $x^n$ cu $a^x$; poate reface măcar una dintre deduceri pe hârtie, pornind de la raportul de diferențe.

Unde apare la BAC M1: în absolut fiecare subiect care conține derivate. Cerințele de tipul „calculați $f^{\prime }(x)$" pornesc întotdeauna de la acest tabel, iar subpunctele următoare (tangentă, monotonie, extreme) se sprijină pe rezultatul lui. Este materialul cu cel mai bun raport dintre efortul de memorare și punctajul obținut.

Întrebări frecvente

Care este tabelul derivatelor funcțiilor uzuale? Este lista din secțiunea 7: constanta, $x$, $x^n$, $x^{-n}$, $x^r$, $\sqrt{x}$, $\sqrt[n]{x}$, $\ln x$, ${\log }_{a}x$, $e^x$, $a^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\mathrm{tg}x$ și $\mathrm{ctg}x$, fiecare cu domeniul ei de derivabilitate și cu derivata corespunzătoare.

Cât este derivata lui $x$ la puterea $n$? $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, valabilă pe $\mathbb{R}$ pentru $n$ număr natural nenul. Formula se obține din definiție, descompunând $x^n-x_0^n$ după factorul $x-x_0$.

Cât este derivata funcției exponențiale? $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$ pe $\mathbb{R}$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. În cazul particular $a=e$ obținem $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, singura funcție uzuală care coincide cu propria derivată.

De ce $\sqrt{x}$ nu e derivabilă în zero? Pentru că raportul de diferențe $\frac{\sqrt{x}-0}{x-0}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ tinde la $+\infty$ când $x\to 0$, $x>0$. Limita există în dreapta reală încheiată, dar nu e finită, deci funcția are acolo doar o semitangentă verticală.

Care e diferența dintre $(x^2{)}^{\prime }$ și $(2^x{)}^{\prime }$? La $x^2$ variabila stă la bază: derivata e $2x$. La $2^x$ variabila stă la exponent: derivata e $2^x\ln 2$. Sunt funcții complet diferite, iar confundarea lor este greșeala clasică a capitolului.

Cum se demonstrează că derivata sinusului este cosinusul? Se scrie $\sin x-\sin x_0$ ca produs, cu formula $2\sin \frac{x-x_0}{2}\cos \frac{x+x_0}{2}$, se împarte la $x-x_0$ și se recunoaște limita fundamentală $\frac{\sin u}{u}\to 1$ cu $u=\frac{x-x_0}{2}$. Rămâne $\cos x_0$.

Trebuie să știu derivatele funcțiilor arcsinus și arctangentă? Nu. Ele sunt scrise o singură dată, în observația din secțiunea 8, ca informație de cultură matematică, și rămân în afara cerințelor de Bacalaureat M1. Nu apar în exerciții, în teste sau pe carduri.

Pot folosi tabelul pentru $\sin (2x)$ sau pentru $\ln (x^2+1)$? Nu direct. Tabelul se aplică funcțiilor din prima coloană, luate ca atare. Pentru expresii de acest tip ai nevoie de regula de derivare a funcțiilor compuse, care se studiază la lecția 101.