Determinantul de ordinul al doilea: pe scurt

Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$, determinantul lui $A$ este numărul $\det A=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară. Este o definiție, nu o teoremă dedusă din altceva.

Trei precizări care nu se negociază: determinantul se definește numai pentru matrice pătratice; el este un număr, nu o matrice; și din valoarea lui nu poți reconstitui matricea, pentru că o infinitate de matrice au același determinant.

Notația este $\det A$ în text, în teoreme și în lanțuri de calcul. Tabloul între bare verticale duble se folosește doar când chiar afișezi numerele, la momentul calculului. Bara simplă în jurul literei se citește „modul" și nu se folosește niciodată pentru determinant — mai ales că determinantul poate fi negativ.

Numărul acesta decide singur soarta unei probleme. Un sistem de două ecuații cu două necunoscute are soluție unică exact atunci când determinantul matricei coeficienților este nenul; iar o matrice pătratică are inversă exact atunci când $\det A\ne 0$.

Trei comportări se verifică pe loc, într-un rând de calcul: transpusa are același determinant, $\det ({}^{t}A)=\det A$; schimbând între ele cele două linii, determinantul își schimbă semnul; iar dacă liniile sunt proporționale, determinantul este $0$.

Tipul de exercițiu cel mai frecvent la Bacalaureat M1 pune un parametru în matrice: calculezi determinantul, obții o ecuație obișnuită, o rezolvi și verifici soluțiile prin înlocuire.

Exerciții din această mini-lecție

1. Cât este $\left|\begin{array}{cc}-4& 3\\ 6& -5\end{array}\right|$?

   • a) $38$
   • b) $-38$
   • c) $18$
   • d) $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $2$

   $(-4)\cdot (-5)-3\cdot 6=20-18=2$. Varianta a) apare când se adună cele două produse în loc să se scadă, iar varianta c) când se înmulțește pe linii, $(-4)\cdot 3-6\cdot (-5)$, în loc de pe diagonale.

2. Pentru ce valori reale ale lui $m$ avem $\left|\begin{array}{cc}m+1& 3\\ 2& m\end{array}\right|=0$?

   • a) $m\in \{-2,3\}$
   • b) $m\in \{-3,2\}$
   • c) $m\in \{-6,1\}$
   • d) $m\in \{2,3\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $m\in \{-3,2\}$

   $\det =m(m+1)-3\cdot 2=m^2+m-6=(m+3)(m-2)$, deci $m=-3$ sau $m=2$. Verificare pentru $m=-3$: $\left|\begin{array}{cc}-2& 3\\ 2& -3\end{array}\right|=6-6=0$; pentru $m=2$: $\left|\begin{array}{cc}3& 3\\ 2& 2\end{array}\right|=6-6=0$. Varianta a) inversează semnele rădăcinilor.

3. Se știe că $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ are $\det A=7$. Fie $B$ matricea obținută din $A$ schimbând între ele cele două linii. Care afirmație este adevărată?

   • a) $\det B=-7$ și $\det ({}^{t}A)=7$
   • b) $\det B=7$ și $\det ({}^{t}A)=-7$
   • c) $\det B=-7$ și $\det ({}^{t}A)=-7$
   • d) $\det B=7$ și $\det ({}^{t}A)=7$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\det B=-7$ și $\det ({}^{t}A)=7$

   Schimbarea celor două linii face ca produsul de pe diagonala principală și cel de pe diagonala secundară să își schimbe rolurile, deci determinantul își schimbă semnul: $\det B=-\det A=-7$. Transpunerea, în schimb, lasă neschimbat produsul de pe diagonala principală și doar reordonează factorii celuilalt, deci $\det ({}^{t}A)=\det A=7$.