Determinantul de ordinul al doilea

Un atelier vinde două tipuri de piese. Din prima zi știm că $3$ piese de primul tip și $5$ de al doilea au adus $11$ unități de venit, iar din a doua zi, că $2$ piese de primul tip și $4$ de al doilea au adus $8$. Cât costă fiecare piesă? Rezolvi sistemul prin reducere și, oricât ai încerca să scapi de el, în calcule apare mereu același număr: $3\cdot 4-5\cdot 2=2$. Dacă numărul acela ar fi ieșit $0$, metoda s-ar fi blocat — și nu din vina ta, ci pentru că problema ar fi avut fie o infinitate de răspunsuri, fie niciunul.

Numărul acesta se calculează direct din tabloul coeficienților, fără să rezolvi nimic, și se numește determinantul matricei. Lecția de față îl definește la ordinul $2$, îi fixează notațiile pe care le vei folosi patru ani de acum înainte și arată primele situații în care valoarea lui decide singură soarta unei probleme. Ordinul $3$ vine imediat, la Determinantul de ordinul al treilea, iar definiția generală, cu permutări, la Determinantul de ordin n.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești determinantul unei matrice pătratice de ordin $2$ și să explici de ce se definește numai pentru matrice pătratice.
• Vei ști să folosești corect notațiile $\det A$ și $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$ și să nu le confunzi cu modulul.
• Vei ști să calculezi determinanți de ordin $2$ cu numere întregi, raționale și complexe.
• Vei ști ce se poate citi imediat dintr-un determinant nul și ce anume decide el într-un sistem cu două ecuații.
• Vei ști să rezolvi ecuații cu determinanți, în care necunoscuta apare printre elementele matricei.
• Vei ști să verifici singur, la ordinul $2$, câteva comportări care vor fi demonstrate în general mai târziu.

Hai să descoperim împreună

1. De unde apare numărul $ad-bc$

Luăm un sistem oarecare de două ecuații cu două necunoscute, cu coeficienți numere reale:

$$\{\begin{array}{l}ax+by=e\\ cx+dy=f\end{array}$$

Îl rezolvăm prin reducere, ca la gimnaziu, dar fără să înlocuim literele cu numere. Ca să eliminăm $y$, înmulțim prima ecuație cu $d$, a doua cu $b$ și scădem:

$$(ad-bc)x=ed-bf.$$

Ca să eliminăm $x$, înmulțim a doua ecuație cu $a$, prima cu $c$ și scădem:

$$(ad-bc)y=af-ec.$$

Ambele necunoscute se izolează, dar numai dacă $ad-bc\ne 0$; altfel împărțirea nu se poate face, iar sistemul nu mai are soluție unică. Numărul $ad-bc$ apare deci de două ori, în același rol: el este cel care decide dacă problema are un răspuns unic.

Pentru atelierul din deschidere, $a=3$, $b=5$, $c=2$, $d=4$, $e=11$, $f=8$, deci $ad-bc=12-10=2\ne 0$, iar $2x=11\cdot 4-5\cdot 8=4$ și $2y=3\cdot 8-11\cdot 2=2$. De aici $x=2$ și $y=1$, valori care verifică ambele ecuații: $3\cdot 2+5\cdot 1=11$ și $2\cdot 2+4\cdot 1=8$.

Formulele generale de rezolvare, cu numele lor și cu discuția completă a cazurilor, se studiază la Sisteme de tip Cramer; aici ne interesează doar numărul care le stă la bază.

2. Definiția

Definiție. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$. Se numește determinantul matricei $A$ numărul complex

$$\det A=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}.$$

Trei precizări care nu se negociază:

• determinantul se definește numai pentru matrice pătratice; o matrice cu două linii și trei coloane nu are determinant, iar cerința „calculați determinantul lui $A\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$" este, pur și simplu, fără sens;
• determinantul este un număr, nu o matrice. Se scriu propoziții de forma „$\det A=-7$", niciodată „$\det A=\left(\begin{array}{c}\cdots \end{array}\right)$";
• determinantul se atașează matricei, nu invers: din $A$ afli $\det A$, dar din valoarea $\det A=5$ nu poți reconstitui $A$ — există o infinitate de matrice cu același determinant.

Notațiile. În text, în enunțuri de teoreme și în lanțuri de calcul cu matrice numite se scrie întotdeauna $\det A$. Bara verticală dublă, $\left|\begin{array}{c}\cdot \end{array}\right|$, se folosește doar atunci când chiar afișezi tabloul de numere, la momentul calculului:

$$\det A=\left|\begin{array}{cc}3& 5\\ 2& 4\end{array}\right|=3\cdot 4-5\cdot 2=2.$$

Nu scrie niciodată determinantul cu bare simple în jurul literei matricei: notația aceea se citește „modul" și duce la confuzii, mai ales pentru că un determinant poate fi negativ, iar un modul nu.

3. Regula de calcul, în cuvinte

Formula se reține geometric, după cele două diagonale ale tabloului:

Produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.

Diagonala principală merge din colțul stânga-sus în colțul dreapta-jos ($a_{11}$ și $a_{22}$), iar cea secundară din colțul dreapta-sus în colțul stânga-jos ($a_{12}$ și $a_{21}$).

Două valori se rețin ca atare, pentru că apar des:

$$\det I_2=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1\cdot 1-0\cdot 0=1,\det O_2=\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right|=0.$$

Și încă una, utilă în verificări: determinantul unei matrice triunghiulare de ordin $2$, adică al uneia care are un $0$ pe diagonala secundară, este produsul elementelor de pe diagonala principală. De exemplu $\left|\begin{array}{cc}5& 7\\ 0& 3\end{array}\right|=15-0=15$.

4. Calcule: întregi, fracții, numere complexe

Programa lucrează cu matrice peste $\mathbb{C}$, deci elementele pot fi orice numere complexe. Regula rămâne aceeași; se schimbă doar aritmetica.

Cu numere întregi. Atenție la semne, care sunt sursa a nouă greșeli din zece:

$$\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& 3\end{array}\right|=2\cdot 3-(-1)\cdot 4=6+4=10,\left|\begin{array}{cc}-2& 6\\ 1& -3\end{array}\right|=(-2)(-3)-6\cdot 1=6-6=0.$$

Al doilea exemplu merită reținut: linia a doua este linia întâi înmulțită cu $-\frac{1}{2}$, iar determinantul a ieșit $0$.

Cu fracții. Se calculează cele două produse și abia apoi se scade, cu numitor comun:

$$\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 3\\ \frac{1}{3}& 4\end{array}\right|=\frac{1}{2}\cdot 4-3\cdot \frac{1}{3}=2-1=1.$$

Cu numere complexe. Nimic special, doar $i^2=-1$ la momentul potrivit:

$$\left|\begin{array}{cc}1+i& 2\\ 3& 1-i\end{array}\right|=(1+i)(1-i)-2\cdot 3=(1-i^2)-6=2-6=-4.$$

$$\left|\begin{array}{cc}2& i\\ i& 2\end{array}\right|=2\cdot 2-i\cdot i=4-i^2=4+1=5.$$

Observă că determinantul unei matrice cu elemente complexe poate ieși număr real — și chiar iese des, când matricea are o simetrie.

5. Ce se poate verifica pe loc, la ordinul 2

Determinantul are un întreg set de proprietăți, care se enunță și se demonstrează în general la Proprietățile determinanților (I) și în lecția următoare ei. La ordinul $2$ însă, unele dintre ele se pot verifica direct, într-un rând de calcul, iar exercițiul acesta îți face intuiția înainte de teorie.

Luăm $A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 2& 4\end{array}\right)$, cu $\det A=2$.

Transpusa. ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 5& 4\end{array}\right)$, deci $\det ({}^{t}A)=12-10=2$. Aceeași valoare: la ordinul $2$ se vede imediat de ce, pentru că produsul de pe diagonala principală nu se schimbă, iar cel de pe secundară doar își schimbă ordinea factorilor.

Schimbarea celor două linii. $\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 5\end{array}\right)$ are determinantul $10-12=-2$: aceeași valoare, cu semn schimbat. Aici recunoști regula din lecția Inversiuni și semnul unei permutări — o schimbare între două elemente răstoarnă semnul.

Linii proporționale. Dacă a doua linie este prima înmulțită cu $k$, adică $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ ka& kb\end{array}\right)$, atunci

$$\det A=a\cdot kb-b\cdot ka=kab-kab=0.$$

Deci linii proporționale $\Rightarrow$ determinant nul. Cazul particular $k=1$ (linii identice) și cazul $k=0$ (a doua linie nulă) intră tot aici.

Aceste observații sunt, deocamdată, verificări pe cazuri particulare de ordin $2$. Enunțurile generale, valabile la orice ordin, și demonstrațiile lor vin la lecțiile de proprietăți.

6. Ce decide un determinant nul

Din punctul $1$ știm că sistemul are soluție unică atunci când $ad-bc\ne 0$. Cu limbajul de acum: sistemul de două ecuații cu două necunoscute are soluție unică exact atunci când determinantul matricei coeficienților este nenul.

Ce se întâmplă când determinantul este $0$? Atunci liniile matricei coeficienților sunt proporționale, deci cele două ecuații „spun același lucru" în privința necunoscutelor, și rămân doar două posibilități, decise de termenii liberi:

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=5\\ 4x+6y=7\end{array}\text{și}\{\begin{array}{l}2x+3y=5\\ 4x+6y=10\end{array}$$

Ambele au $\det A=2\cdot 6-3\cdot 4=0$. La primul, a doua ecuație cere $4x+6y=7$, în timp ce dublul primei cere $4x+6y=10$: cerințele se contrazic, deci sistemul nu are soluții. La al doilea, a doua ecuație este exact dublul primei, deci nu aduce nicio informație nouă: orice pereche care verifică $2x+3y=5$ este soluție, deci sistemul are o infinitate de soluții. Clasificarea completă, cu termenii ei tehnici, se face în unitatea de sisteme.

Determinantul nul mai decide ceva, la fel de important: o matrice pătratică are inversă exact atunci când determinantul ei este nenul. Este criteriul central al capitolului și se studiază la Matrice inversabilă: criteriul determinantului; îl anunțăm aici doar ca să știi încotro se merge.

7. Ecuații cu determinanți

Un tip de exercițiu care apare constant în subiectele de Bacalaureat M1: matricea conține un parametru sau o necunoscută, iar cerința e o condiție asupra determinantului. Rețeta e mereu aceeași — calculezi determinantul, obții o ecuație obișnuită, o rezolvi.

Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $\left|\begin{array}{cc}x& 2\\ 3& x-1\end{array}\right|=0$.

Calculăm determinantul: $x(x-1)-2\cdot 3=x^2-x-6$. Ecuația $x^2-x-6=0$ are discriminantul $1+24=25$, deci rădăcinile $x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}$, adică $x_1=3$ și $x_2=-2$.

Verificare, obligatorie: pentru $x=3$, determinantul este $3\cdot 2-6=0$ ✓; pentru $x=-2$, este $(-2)(-3)-6=0$ ✓.

8. Mai departe

Definiția de aici nu este o teoremă demonstrată din altceva: la ordinul $2$, $\det A=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$ este definiția. Ea se va dovedi, la lecția Determinantul de ordin n, cazul particular $n=2$ al unei definiții generale — o sumă de $n!$ produse cu semnele date de signaturi. Cei doi termeni de aici sunt exact cele $2!=2$ permutări din $S_2$: cea identică, pară, dă $+a_{11}{a}_{22}$, iar cealaltă, impară, dă $-a_{12}{a}_{21}$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcule directe, cu grijă la semne

Calculați determinanții matricelor $A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ -3& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ -5& 2\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}8& 3\\ 5& 2\end{array}\right)$.

Rezolvare.

$$\det A=5\cdot 1-2\cdot (-3)=5+6=11,\det B=0\cdot 2-4\cdot (-5)=0+20=20,\det C=8\cdot 2-3\cdot 5=16-15=1.$$

Observă la $B$ că prezența unui $0$ nu anulează determinantul: se anulează doar produsul în care apare, nu tot rezultatul.

Exemplul 2 — Fracții și numere complexe

Calculați $\left|\begin{array}{cc}\frac{3}{4}& 2\\ \frac{1}{2}& 5\end{array}\right|$ și $\left|\begin{array}{cc}2i& 3\\ 1& -i\end{array}\right|$.

Rezolvare. Pentru primul:

$$\frac{3}{4}\cdot 5-2\cdot \frac{1}{2}=\frac{15}{4}-1=\frac{15-4}{4}=\frac{11}{4}.$$

Pentru al doilea:

$$2i\cdot (-i)-3\cdot 1=-2i^2-3=2-3=-1.$$

Exemplul 3 — Determinant nul și linii proporționale

Arătați că $\det A=0$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}10& -4\\ 5& -2\end{array}\right)$ și explicați rezultatul.

Rezolvare. $\det A=10\cdot (-2)-(-4)\cdot 5=-20+20=0$.

Explicația se vede în tablou: prima linie este a doua înmulțită cu $2$, adică liniile sunt proporționale. Conform observației de la punctul $5$, determinantul unei matrice de ordin $2$ cu linii proporționale este $0$, indiferent de valorile concrete.

Exemplul 4 — Ecuație cu parametru

Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $A=\left(\begin{array}{cc}m& 4\\ 2& m-2\end{array}\right)$ are determinantul nul.

Rezolvare. Calculăm:

$$\det A=m(m-2)-4\cdot 2=m^2-2m-8.$$

Ecuația $m^2-2m-8=0$ are discriminantul $4+32=36$, deci $m_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2}$, adică $m_1=4$ și $m_2=-2$.

Verificare: pentru $m=4$, $\det A=4\cdot 2-8=0$ ✓; pentru $m=-2$, $\det A=(-2)(-4)-8=0$ ✓.

Exemplul 5 — Determinantul decide numărul de soluții

Fără a rezolva sistemul, stabiliți dacă are soluție unică: $$\{\begin{array}{l}5x-2y=4\\ 3x+4y=18\end{array}$$ Apoi determinați soluția.

Rezolvare. Matricea coeficienților este $\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ 3& 4\end{array}\right)$, cu

$$\det A=5\cdot 4-(-2)\cdot 3=20+6=26\ne 0,$$

deci sistemul are soluție unică. Aplicăm relațiile de la punctul $1$: $26x=4\cdot 4-(-2)\cdot 18=16+36=52$, deci $x=2$; $26y=5\cdot 18-4\cdot 3=90-12=78$, deci $y=3$.

Verificare în ambele ecuații: $5\cdot 2-2\cdot 3=4$ ✓ și $3\cdot 2+4\cdot 3=18$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& 3\end{array}\right)$. a) Calculați $\det A$. b) Calculați $\det ({}^{t}A)$ și determinantul matricei obținute din $A$ schimbând între ele cele două linii. c) Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ a& 3\end{array}\right)$ are $\det B=0$.

Rezolvare. a) $\det A=2\cdot 3-(-1)\cdot 4=6+4=10$.

b) ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -1& 3\end{array}\right)$, deci $\det ({}^{t}A)=2\cdot 3-4\cdot (-1)=6+4=10$ — aceeași valoare ca $\det A$. Matricea cu liniile schimbate este $\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& -1\end{array}\right)$, cu determinantul $4\cdot (-1)-3\cdot 2=-4-6=-10$, adică valoarea opusă.

c) $\det B=2\cdot 3-(-1)\cdot a=6+a$, iar condiția $6+a=0$ dă $a=-6$. Verificare: $\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -6& 3\end{array}\right|=6-6=0$ ✓. Observă că, pentru $a=-6$, a doua linie este prima înmulțită cu $-3$ — încă un caz de linii proporționale.

Să exersăm

La fiecare determinant, scrie explicit cele două produse înainte de a scădea. Verifică semnele de două ori: la înmulțirea a două numere negative și la scăderea unui produs negativ.

1. Calculează $\left|\begin{array}{cc}4& 7\\ 2& 5\end{array}\right|$.

2. Calculează $\left|\begin{array}{cc}-3& 2\\ 5& -4\end{array}\right|$.

3. Calculează $\left|\begin{array}{cc}9& 6\\ 3& 2\end{array}\right|$ și explică rezultatul privind liniile matricei.

4. Calculează $\left|\begin{array}{cc}0& -2\\ 7& 0\end{array}\right|$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o matrice de ordin $2$ are un element egal cu $0$, atunci determinantul ei este $0$."

6. Calculează $\left|\begin{array}{cc}12& -5\\ 4& -2\end{array}\right|$.

7. Calculează $\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{5}\end{array}\right|$.

8. Calculează $\left|\begin{array}{cc}i& 1\\ 1& i\end{array}\right|$.

9. Determină $m\in \mathbb{R}$ pentru care $\left|\begin{array}{cc}m& 4\\ 1& m\end{array}\right|=0$.

10. Determină $m\in \mathbb{R}$ pentru care $\left|\begin{array}{cc}m-1& 2\\ 3& m\end{array}\right|=0$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două matrice de ordin $2$ au același determinant, atunci ele sunt egale."

12. (Problemă aplicată.) Doi furnizori livrează același material, în două sortimente. Primul aduce $4$ tone din sortimentul $\text{I}$ și $3$ tone din sortimentul $\text{II}$, în valoare de $41$ de unități; al doilea aduce $2$ tone din sortimentul $\text{I}$ și $5$ tone din sortimentul $\text{II}$, în valoare de $45$ de unități. Scrie matricea coeficienților, calculează-i determinantul și spune dacă prețurile pe tonă pot fi determinate în mod unic; apoi află-le.

13. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$. Calculează $\det A$, $\det ({}^{t}A)$ și determinantul matricei obținute din $A$ schimbând între ele cele două linii. Compară cele trei valori.

14. Determină $x\in \mathbb{R}$ pentru care $\left|\begin{array}{cc}x& 3\\ 3& x\end{array}\right|=0$, apoi pentru care același determinant este egal cu $7$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ -1& 3\end{array}\right)$. a) Calculați $\det A$. b) Calculați determinantul matricei obținute din $A$ schimbând între ele cele două linii. c) Determinați $b\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ b& 3\end{array}\right)$ are determinantul nul.

16. Arată că, pentru orice $a,b\in \mathbb{R}$, matricea $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 2a& 2b\end{array}\right)$ are determinantul $0$.

17. Fără a rezolva sistemul, stabilește câte soluții are: $\{\begin{array}{l}3x-y=7\\ -6x+2y=5\end{array}$ Justifică folosind determinantul matricei coeficienților și comparând ecuațiile.

18. (Provocare.) Găsește toate matricele de ordin $2$ cu elemente din mulțimea $\{0,1\}$ care au determinantul egal cu $1$. Câte sunt? Dar cele cu determinantul $-1$?

Răspunsuri și explicații

1. $4\cdot 5-7\cdot 2=20-14=6$.

2. $(-3)(-4)-2\cdot 5=12-10=2$. Atenție la primul produs: două numere negative dau un produs pozitiv.

3. $9\cdot 2-6\cdot 3=18-18=0$. Rezultatul se explică prin proporționalitatea liniilor: a doua linie este prima înmulțită cu $\frac{1}{3}$.

4. $0\cdot 0-(-2)\cdot 7=0+14=14$. Deși matricea are două zerouri, determinantul este nenul.

5. Fals. Contraexemplul de la exercițiul $4$: matricea are două elemente nule, dar determinantul $14$. Determinantul se anulează când se anulează diferența celor două produse, nu când apare un $0$ oarecare.

6. $12\cdot (-2)-(-5)\cdot 4=-24+20=-4$.

7. $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}-\frac{1}{12}=\frac{6-5}{60}=\frac{1}{60}$.

8. $i\cdot i-1\cdot 1=i^2-1=-1-1=-2$.

9. $\det =m^2-4$, iar $m^2-4=0$ dă $m=2$ sau $m=-2$. Verificare pentru $m=2$: $2\cdot 2-4\cdot 1=0$ ✓.

10. $\det =m(m-1)-6=m^2-m-6$; discriminantul este $25$, deci $m=3$ sau $m=-2$. Verificare pentru $m=3$: $2\cdot 3-2\cdot 3=0$ ✓; pentru $m=-2$: $(-3)(-2)-6=0$ ✓.

11. Fals. Determinantul este un singur număr obținut din patru elemente, deci pierde informație: o infinitate de matrice au același determinant. Contraexemplu: $\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1$ și $\left|\begin{array}{cc}8& 3\\ 5& 2\end{array}\right|=1$, iar cele două matrice sunt evident diferite.

12. Sistemul este $4x+3y=41$ și $2x+5y=45$, cu matricea coeficienților $\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 5\end{array}\right)$ și $\det A=20-6=14\ne 0$, deci prețurile se determină în mod unic. Din relațiile de la punctul $1$: $14x=41\cdot 5-3\cdot 45=205-135=70$, deci $x=5$; $14y=4\cdot 45-41\cdot 2=180-82=98$, deci $y=7$. Verificare: $4\cdot 5+3\cdot 7=41$ ✓ și $2\cdot 5+5\cdot 7=45$ ✓.

13. $\det A=1\cdot 4-2\cdot 3=-2$; ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$, cu $\det ({}^{t}A)=4-6=-2$ — aceeași valoare. Matricea cu liniile schimbate este $\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right)$, cu determinantul $6-4=2$ — valoarea opusă.

14. $\det =x^2-9$. Condiția $x^2-9=0$ dă $x=3$ sau $x=-3$. Condiția $x^2-9=7$ dă $x^2=16$, deci $x=4$ sau $x=-4$; verificare pentru $x=4$: $16-9=7$ ✓.

15. a) $\det A=2\cdot 3-5\cdot (-1)=6+5=11$. b) Matricea cu liniile schimbate este $\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& 5\end{array}\right)$, cu determinantul $(-1)\cdot 5-3\cdot 2=-5-6=-11$, adică $-\det A$ ✓. c) $\det =6-5b$, iar $6-5b=0$ dă $b=\frac{6}{5}$. Verificare: $2\cdot 3-5\cdot \frac{6}{5}=6-6=0$ ✓.

16. $\det =a\cdot 2b-b\cdot 2a=2ab-2ab=0$, pentru orice $a$ și $b$. Este cazul general al liniilor proporționale, cu factorul de proporționalitate $2$.

17. Matricea coeficienților este $\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -6& 2\end{array}\right)$, cu $\det =6-6=0$, deci sistemul nu are soluție unică. Comparăm ecuațiile: înmulțind prima cu $-2$ obținem $-6x+2y=-14$, în timp ce a doua cere $-6x+2y=5$. Cerințele se contrazic, deci sistemul nu are soluții.

18. Determinantul este $ad-bc$, cu $a,b,c,d\in \{0,1\}$, deci fiecare produs este $0$ sau $1$. Valoarea $1$ se obține exact când $ad=1$ și $bc=0$, adică $a=d=1$ și cel puțin unul dintre $b$, $c$ egal cu $0$: trei matrice ($b=c=0$; $b=1$, $c=0$; $b=0$, $c=1$). Simetric, valoarea $-1$ se obține când $bc=1$ și $ad=0$, tot în trei moduri. Deci câte trei matrice în fiecare caz.

De reținut

• Definiția: pentru $A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$, $\det A=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$ — produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare.
• Determinantul se definește numai pentru matrice pătratice și este un număr, nu o matrice.
• Notația: $\det A$ în text și în teoreme; tabloul între bare verticale doar când chiar afișezi numerele. Bara simplă în jurul literei se citește „modul" și nu se folosește pentru determinant.
• $\det A=0$ decide: sistemul de două ecuații cu două necunoscute nu are soluție unică, iar matricea nu are inversă (criteriul complet, la lecția despre matrice inversabile).
• Trei comportări verificabile pe loc la ordinul $2$: transpunerea nu schimbă determinantul; schimbarea celor două linii îi schimbă semnul; liniile proporționale îl anulează.

Greșeli frecvente

• Adunarea în loc de scădere. $\det A$ nu este suma produselor de pe diagonale, ci diferența, în ordinea „principală minus secundară". Inversarea ordinii dă rezultatul cu semn schimbat.
• Semnul pierdut la elemente negative. În $2\cdot 3-(-1)\cdot 4$, al doilea produs este $-4$, iar scăderea lui înseamnă adunarea lui $4$. Scrie produsul între paranteze înainte de a scădea.
• Înmulțirea pe linii, nu pe diagonale. Produsele care intră în determinant sunt $a_{11}{a}_{22}$ și $a_{12}{a}_{21}$, luate pe diagonale. Expresia $a_{11}{a}_{12}-a_{21}{a}_{22}$, obținută înmulțind pe linii, nu are nicio legătură cu determinantul.
• Determinantul unei matrice nepătratice. O matrice cu $2$ linii și $3$ coloane nu are determinant. Dacă un enunț pare să-l ceară, ai citit greșit dimensiunile.
• Confuzia cu modulul. Determinantul poate fi negativ; scris cu bare simple, ajunge să fie citit ca modul și „corectat" abuziv la o valoare pozitivă.

Aplică acasă

1. Zece determinanți în cinci minute. Scrie zece matrice de ordin $2$ cu numere între $-5$ și $5$ și calculează-le determinanții, cronometrându-te. Reia a doua zi: viteza pe acest calcul se folosește apoi la fiecare exercițiu din capitol.

2. Vânătoarea de zerouri. Construiește cinci matrice de ordin $2$ cu determinantul $0$, fără să repeți structura (linii identice, linii proporționale cu factor negativ, o linie nulă, o coloană nulă, elemente fracționare). Notează, lângă fiecare, motivul pentru care determinantul se anulează.

3. Sistemul de acasă. Ia o situație din viața ta cu două necunoscute (două tipuri de abonamente, două prețuri, două viteze), scrie sistemul, calculează determinantul matricei coeficienților și abia apoi rezolvă. Dacă determinantul iese $0$, rescrie datele astfel încât să nu mai iasă.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima noțiune de calcul din unitate. Este scurtă ca teorie și lungă ca antrenament: calculul unui determinant de ordin $2$ trebuie să devină automat, pentru că el apare apoi în fiecare determinant de ordin $3$ sau $4$, în inversa unei matrice și în toate sistemele din unitatea următoare. Formula $\det A=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$ este o definiție, nu o teoremă dedusă din altceva; justificarea ei structurală apare la lecția despre definiția generală, cu permutări.

De verificat în caiet: (1) cele două produse sunt scrise separat înainte de scădere; (2) semnele elementelor negative sunt puse între paranteze; (3) la ecuațiile cu parametru, soluțiile sunt verificate prin înlocuire; (4) nu se scrie determinantul cu bară simplă în jurul literei. Întrebări de control: „Ce matrice au determinant?"; „Ce înseamnă $\det A=0$ pentru un sistem?"; „Ce se întâmplă cu determinantul dacă schimbi între ele cele două linii?"; „De ce nu e determinantul un fel de modul?".

La BAC M1 determinanții de ordin $2$ apar în aproape fiecare variantă, cel mai des în forma „calculați $\det A$" urmată de „determinați $m$ astfel încât $\det A=0$" sau de o întrebare despre inversabilitate. Semn că elevul a înțeles: calculează corect determinantul unei matrice cu elemente negative din prima și știe să spună, fără să rezolve, câte soluții are un sistem de două ecuații.

Întrebări frecvente

Cum se calculează determinantul unei matrice de ordin 2? Înmulțești elementele de pe diagonala principală, înmulțești elementele de pe diagonala secundară și scazi al doilea produs din primul: $\det A=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$.

Ce matrice au determinant? Numai cele pătratice. Pentru o matrice cu număr diferit de linii și de coloane, determinantul nu este definit.

Ce înseamnă că determinantul este zero? Că liniile matricei sunt proporționale, că sistemul de ecuații asociat nu are soluție unică și că matricea nu are inversă. La ordinul $2$ toate trei se văd direct din formulă.

Determinantul poate fi negativ? Da. Determinantul este un număr oarecare, spre deosebire de modul. De exemplu, $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|=-2$.

Ce se întâmplă cu determinantul dacă schimb între ele cele două linii? Își schimbă semnul: din $\det A$ devine $-\det A$. Se verifică într-un rând, pentru că schimbarea liniilor face ca produsul de pe diagonala principală și cel de pe diagonala secundară să își schimbe rolurile.

Cum rezolv o ecuație în care necunoscuta e în matrice? Calculezi determinantul ca de obicei, tratând necunoscuta ca pe un număr; obții o ecuație obișnuită (de regulă de gradul al doilea), o rezolvi și verifici soluțiile înlocuindu-le în determinantul inițial.

De ce se scrie $\det A$, și nu bara verticală în jurul literei? Pentru că bara verticală se citește „modul" și produce confuzii — mai ales că determinantul poate fi negativ. Bara dublă se folosește doar când afișezi efectiv tabloul de numere.

Ce legătură are determinantul de ordin 2 cu permutările? Cei doi termeni ai lui corespund celor $2!=2$ permutări de grad $2$: permutarea pară dă produsul cu semnul plus, iar cea impară produsul cu semnul minus. Legătura se face riguros la lecția despre determinantul de ordin $n$.