Determinantul produsului a două matrice: pe scurt

Înmulțirea matricelor este capricioasă, dar determinantul se poartă perfect față de ea.

Teoremă. Pentru orice $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, $\det (A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Enunțul nu cere nicio condiție și e valabil la orice ordin. Demonstrația folosește notația $\det (B_1,\dots ,B_n)$ pentru determinantul matricei cu liniile $B_1,\dots ,B_n$: liniile produsului sunt combinații ale liniilor lui $B$, liniaritatea (Proprietatea 4 din lecția de proprietăți (I)) desface suma, termenii cu linii repetate se anulează, iar schimbările de linii aduc exact semnele $\epsilon (\sigma )$.

Consecințele sunt cele care se cer la Bacalaureat M1:

• $\det \left(A^k\right)=(\det A{)}^k$ — afli determinantul unei puteri fără a ridica matricea la putere;
• $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$, unde $n$ este ordinul matricei, pentru că scalarul se scoate din fiecare dintre cele $n$ linii; în particular $\det (-A)=(-1{)}^n\det A$;
• $\det (AB)=\det (BA)$, chiar dacă $AB\ne BA$;
• $\det (A\cdot {}^{t}A)=(\det A{)}^2$, deci pentru matrice reale acest determinant nu poate fi negativ;
• dacă $AB=O_n$, atunci $\det A\cdot \det B=0$ — dar nu rezultă că vreuna dintre matrice ar fi nulă.

Două capcane, ambele frecvente. Prima: $\det (A+B)$ nu are nicio formulă în funcție de $\det A$ și $\det B$ ($A=B=I_2$ dau $4$ față de $2$). A doua: în $\det \left(\alpha A^k\right)={\alpha }^n(\det A{)}^k$, exponentul lui $\alpha$ este ordinul, iar exponentul lui $\det A$ este puterea — două numere diferite.

Exerciții din această mini-lecție

1. Fie $A,B\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu $\det A=-2$ și $\det B=5$. Cât este $\det \left(2A^{2}B\right)$?

   • a) $160$
   • b) $-160$
   • c) $40$
   • d) $-40$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $160$

   Descompunem pas cu pas: $\det \left(2A^{2}B\right)=2^3\cdot (\det A{)}^2\cdot \det B=8\cdot 4\cdot 5=160$. Exponentul lui $2$ este ordinul matricei, adică $3$; exponentul lui $\det A$ este puterea, adică $2$. Varianta c) apare când scalarul este scos o singură dată, adică din confuzia $\det (\alpha A)=\alpha \det A$.

2. Care dintre afirmațiile următoare este falsă?

   • a) $\det (AB)=\det (BA)$, chiar dacă $AB\ne BA$
   • b) $\det (A\cdot {}^{t}A)=(\det A{)}^2$
   • c) dacă $AB=O_n$, atunci $A=O_n$ sau $B=O_n$
   • d) $\det \left(A^k\right)=(\det A{)}^k$, pentru orice $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) dacă $AB=O_n$, atunci $A=O_n$ sau $B=O_n$

   Din $AB=O_n$ rezultă doar $\det A\cdot \det B=0$, adică cel puțin unul dintre determinanți este nul. Contraexemplu: $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ au produsul $O_2$, deși niciuna nu este matricea nulă. Celelalte trei afirmații sunt adevărate.

3. Fie $A\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ cu $\det A=-3$. Cât este $\det (-2A)$?

   • a) $48$
   • b) $-48$
   • c) $6$
   • d) $-6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-48$

   Ordinul fiind $4$, scalarul $-2$ se scoate din fiecare dintre cele patru linii: $\det (-2A)=(-2{)}^4\det A=16\cdot (-3)=-48$. Variantele c) și d) provin din scoaterea scalarului o singură dată. Reține și cazul particular: $\det (-A)=(-1{)}^n\det A$, deci la ordin par semnul nu se schimbă.