Determinantul produsului a două matrice

Înmulțirea matricelor este o operație capricioasă: nu este comutativă, produsul a două matrice nenule poate fi matricea nulă, iar dintr-un produs nu poți, în general, „citi" nimic despre factori. Cu atât mai surprinzător este rezultatul acestei lecții: determinantul se comportă perfect față de înmulțire. Determinantul produsului este produsul determinanților, fără nicio condiție și la orice ordin.

Formula are o consecință practică imediată. De obicei, ca să afli $\det (AB)$ trebuie mai întâi să calculezi produsul $AB$ — la ordinul $3$, adică $27$ de înmulțiri — și abia apoi determinantul. Cu formula, calculezi doi determinanți mici și îi înmulțești. Iar când $A$ și $B$ nu sunt date prin numere, ci prin proprietăți („se știe că $\det A=2$"), formula este singura cale.

Ce vei învăța

• Vei ști că determinantul sumei nu este suma determinanților și vei avea un contraexemplu la îndemână.
• Vei ști să enunți și să demonstrezi formula $\det (AB)=\det A\cdot \det B$.
• Vei ști să calculezi $\det (A^n)$ din $\det A$, oricât de mare ar fi $n$.
• Vei ști de ce $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$ și de unde vine exponentul $n$.
• Vei ști să folosești $\det (AB)=\det (BA)$, deși în general $AB\ne BA$.
• Vei ști să demonstrezi că anumite matrice nu pot exista, folosind semnul determinantului.

Hai să descoperim împreună

1. Întrebarea corectă: suma sau produsul?

Prima întrebare firească este dacă determinantul „respectă" adunarea. Nu o respectă, iar contraexemplul este cât se poate de simplu: pentru $A=B=I_2$ avem $\det A+\det B=1+1=2$, dar

$$\det (A+B)=\det (2I_2)=\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right|=4.$$

Nici măcar aproape. Iată încă unul, cu numere mai puțin speciale: pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 5\end{array}\right)$ avem $\det A=11$, $\det B=5$, iar $A+B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 3& 9\end{array}\right)$ are determinantul $27-3=24\ne 16$.

Reține formularea corectă: $\det (A+B)$ nu are nicio formulă în funcție de $\det A$ și $\det B$. Este una dintre cele mai frecvente greșeli de la Bacalaureat M1.

Cu produsul, în schimb, lucrurile stau altfel. Pe aceleași matrice:

$$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 26\end{array}\right),\det (AB)=52+3=55=11\cdot 5.$$

Nu e o coincidență, și nici o particularitate a ordinului $2$: încearcă cu $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 3\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 3& 2\end{array}\right)$, unde $\det A=13$, $\det B=7$, iar produsul $AB=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 1\\ 1& 10& 6\\ 4& 3& 4\end{array}\right)$ are determinantul $91=13\cdot 7$.

2. Teorema

Teoremă. Pentru orice $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$,

$$\det (A\cdot B)=\det A\cdot \det B.$$

Enunțul nu cere nimic: nicio condiție asupra lui $A$, nicio condiție asupra lui $B$, orice ordin $n$.

Înainte de demonstrație, o notație comodă. Dacă $B_1,B_2,\dots ,B_n$ sunt liniile unei matrice, notăm cu $\det (B_1,B_2,\dots ,B_n)$ determinantul matricei care le are drept linii. În limbajul acesta, două proprietăți deja demonstrate sună astfel:

• liniaritatea pe o linie (Proprietatea 4 din lecția de proprietăți (I)): dacă o linie este o sumă $\alpha X+\beta Y$, determinantul se desface în suma corespunzătoare, cu $\alpha$ și $\beta$ scoși în față;
• liniile egale dau zero (Proprietatea 6 din lecția de proprietăți (II)), iar schimbarea a două linii schimbă semnul (Proprietatea 5 din aceeași lecție).

3. Demonstrația la ordinul al doilea

Fie $A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$ și $B$ cu liniile $B_1$, $B_2$. Din regula de înmulțire, liniile produsului sunt combinații ale liniilor lui $B$:

$$(AB{)}_1=a_{11}{B}_1+a_{12}{B}_2,(AB{)}_2=a_{21}{B}_1+a_{22}{B}_2.$$

Aplicăm liniaritatea pe prima linie, apoi pe a doua:

$$\det (AB)=a_{11}\det (B_1,(AB{)}_2)+a_{12}\det (B_2,(AB{)}_2),$$

$$\det (AB)=a_{11}{a}_{21}\det (B_1,B_1)+a_{11}{a}_{22}\det (B_1,B_2)+a_{12}{a}_{21}\det (B_2,B_1)+a_{12}{a}_{22}\det (B_2,B_2).$$

Primul și ultimul termen au două linii identice, deci sunt nuli. În al treilea, schimbarea celor două linii dă $\det (B_2,B_1)=-\det (B_1,B_2)$. Rămâne

$$\det (AB)=(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})\det (B_1,B_2)=\det A\cdot \det B.■$$

Observă unde a intervenit fiecare ingredient: liniaritatea a produs cei patru termeni, liniile egale au șters doi dintre ei, iar schimbarea liniilor a adus semnul minus care transformă restul exact în $\det A$.

4. De ce merge la orice ordin

Demonstrația generală urmează exact aceiași trei pași, doar cu mai multă scriere. Liniile produsului sunt

$$(AB{)}_i=a_{i1}{B}_1+a_{i2}{B}_2+\cdots +a_{in}{B}_n,i=1,2,\dots ,n.$$

Desfăcând prin liniaritate pe fiecare dintre cele $n$ linii, obținem o sumă de $n^n$ termeni, fiecare de forma

$$a_{1k_1}{a}_{2k_2}\cdots a_{n{k}_n}\det (B_{k_1},B_{k_2},\dots ,B_{k_n}).$$

Dacă doi dintre indicii $k_1,\dots ,k_n$ coincid, determinantul are două linii identice și termenul dispare. Supraviețuiesc doar termenii în care $(k_1,k_2,\dots ,k_n)$ sunt, în vreo ordine, chiar $1,2,\dots ,n$ — adică termenii pentru care funcția $\sigma$ dată de $\sigma (i)=k_i$ este o permutare. Pentru fiecare astfel de termen, rearanjând liniile în ordinea $B_1,\dots ,B_n$ prin schimbări succesive, fiecare schimbare aduce un factor $-1$, iar bilanțul lor este exact semnul $\epsilon (\sigma )$ studiat la lecția despre inversiuni:

$$\det (B_{\sigma (1)},\dots ,B_{\sigma (n)})=\epsilon (\sigma )\det B.$$

Prin urmare

$$\det (AB)=\left(\sum _{\sigma \in S_n}\epsilon (\sigma )a_{1\sigma (1)}{a}_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}\right)\det B=\det A\cdot \det B,$$

pentru că paranteza este chiar definiția determinantului lui $A$. $■$

5. Consecința 1: determinantul unei puteri

Propoziție. Pentru orice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ și orice $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $\det \left(A^k\right)=(\det A{)}^k$.

Demonstrație (prin inducție după $k$). Pentru $k=1$ egalitatea e evidentă. Presupunem $\det (A^k)=(\det A{)}^k$; atunci, aplicând teorema produsului matricelor $A^k$ și $A$,

$$\det \left(A^{k+1}\right)=\det (A^k\cdot A)=\det \left(A^k\right)\cdot \det A=(\det A{)}^k\cdot \det A=(\det A{)}^{k+1}.■$$

Iată forța rezultatului: pentru $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$, cu $\det C=11$, avem $\det (C^3)=11^3=1331$ fără să calculăm $C^3$, și $\det (C^{20})=11^{20}$ — un număr pe care nicio metodă directă nu l-ar scoate.

Un caz special de reținut: dacă $\det A=1$, atunci toate puterile lui $A$ au determinantul $1$. Așa se întâmplă cu matricea $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 5& 2\end{array}\right)$: puterile ei cresc repede ($A^3=\left(\begin{array}{cc}67& 24\\ 120& 43\end{array}\right)$), dar determinantul rămâne $1$.

6. Consecința 2: determinantul unei matrice înmulțite cu un scalar

Aici se ascunde a doua greșeală clasică a capitolului. Când înmulțești o matrice cu un număr, fiecare element se înmulțește cu acel număr, deci fiecare linie aduce câte un factor.

Propoziție. Pentru $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ și $\alpha \in \mathbb{C}$, $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$.

Demonstrație. Matricea $\alpha A$ are toate cele $n$ linii înmulțite cu $\alpha$. Scoțând factorul comun din prima linie (Proprietatea 3 din lecția de proprietăți (I)), apoi din a doua și așa mai departe, până la ultima, obținem de $n$ ori factorul $\alpha$, adică ${\alpha }^n\det A$. $■$

Pe matricea $C$ de mai sus, cu $\det C=11$ și $n=3$: $\det (2C)=2^3\cdot 11=88$ (nu $22$!), $\det (-C)=(-1{)}^3\cdot 11=-11$.

Consecința cu semnul merită reținută separat: $\det (-A)=(-1{)}^n\det A$, deci $\det (-A)=\det A$ la ordin par și $\det (-A)=-\det A$ la ordin impar. În particular $\det (-I_2)=1$, dar $\det (-I_3)=-1$.

Cele două formule se combină: $\det \left(\alpha A^k\right)={\alpha }^n(\det A{)}^k$. De exemplu, $\det (3C^2)=3^3\cdot 11^2=27\cdot 121=3267$.

7. Consecințe care rezolvă probleme

(a) $\det (AB)=\det (BA)$, deși $AB\ne BA$. Ambele sunt egale cu $\det A\cdot \det B$, iar înmulțirea numerelor este comutativă. Pe exemplul de la punctul 1: $AB=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 26\end{array}\right)$ și $BA=\left(\begin{array}{cc}8& 7\\ 15& 20\end{array}\right)$ sunt matrice diferite, dar amândouă au determinantul $55$.

(b) $\det (A\cdot {}^{t}A)=(\det A{)}^2$. Într-adevăr, $\det ({}^{t}A)=\det A$, deci produsul celor doi determinanți este un pătrat. Consecință utilă: dacă $A$ are elemente reale, $\det (A\cdot {}^{t}A)\ge 0$ — un produs de forma aceasta nu poate avea determinantul negativ.

(c) Dacă $A\cdot B=O_n$, atunci $\det A\cdot \det B=0$, adică cel puțin unul dintre cei doi determinanți este nul. Atenție la ce nu spune: nu spune că $A=O_n$ sau $B=O_n$. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ avem $AB=O_2$ cu ambele matrice nenule — dar, conform formulei, ambii determinanți sunt $0$.

(d) Argumente de tip „nu există". Formula permite să demonstrezi că anumite matrice nu pot exista, comparând semne. Vei vedea un asemenea raționament în Exemplul 5.

Valorile care anulează determinantul vor căpăta un nume și o semnificație la lecția despre matrice inversabile — teorema de azi este ingredientul principal al demonstrației de acolo.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea formulei pe ordinul 2

Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 5\end{array}\right)$. Calculați $\det (AB)$ pe două căi.

Rezolvare. Calea 1: $\det A=4-6=-2$ și $\det B=10-0=10$, deci $\det (AB)=-2\cdot 10=-20$.

Calea 2: $AB=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 2+3\cdot 1& 0+15\\ 2\cdot 2+4\cdot 1& 0+20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 15\\ 8& 20\end{array}\right)$, cu $\det (AB)=100-120=-20$ ✓.

Prima cale a cerut două determinante de ordin $2$; a doua, un produs de matrice și un determinant.

Exemplul 2 — Calcul cu date abstracte

Fie $A,B\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu $\det A=2$ și $\det B=-3$. Calculați $\det (AB)$, $\det (A^{2}B)$, $\det (2A)$, $\det (-B)$ și $\det (B\cdot {}^{t}B)$.

Rezolvare. Matricele nu sunt date prin numere, deci singura cale este formula.

$$\det (AB)=2\cdot (-3)=-6;\det \left(A^{2}B\right)=(\det A{)}^2\det B=4\cdot (-3)=-12;$$

$$\det (2A)=2^3\cdot 2=16;\det (-B)=(-1{)}^3(-3)=3;\det (B\cdot {}^{t}B)=(-3{)}^2=9.$$

Exemplul 3 — Determinantul unei puteri mari

Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 3\end{array}\right)$. Calculați $\det (A^3)$, $\det (3A)$ și $\det (A\cdot {}^{t}A)$.

Rezolvare. $\det A=3+2=5$. Atunci $\det (A^3)=5^3=125$; $\det (3A)=3^2\cdot 5=45$ (ordinul este $2$, deci exponentul este $2$); $\det (A\cdot {}^{t}A)=5\cdot 5=25$.

Control: $A^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 8\\ -4& 7\end{array}\right)$, cu determinantul $-7+32=25=5^2$ ✓.

Exemplul 4 — Produs nul cu factori nenuli

Arătați că există matricele nenule $A,B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu $AB=O_2$ și verificați pe ele concluzia formulei produsului.

Rezolvare. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$. Atunci

$$AB=\left(\begin{array}{cc}1-1& 1-1\\ 1-1& 1-1\end{array}\right)=O_2.$$

Formula dă $\det A\cdot \det B=\det (O_2)=0$, iar într-adevăr $\det A=-1+1=0$ și $\det B=1-1=0$: aici amândoi determinanții se anulează. Exemplul arată totodată că din $AB=O_2$ nu rezultă $A=O_2$ sau $B=O_2$.

Exemplul 5 — O matrice care nu poate exista

Arătați că nu există nicio matrice $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu proprietatea $A^2=-I_3$.

Rezolvare. Presupunem că o astfel de matrice ar exista. Aplicăm determinantul în ambii membri:

$$\det \left(A^2\right)=\det (-I_3)⟹(\det A{)}^2=(-1{)}^3\det I_3=-1.$$

Cum $A$ are elemente reale, $\det A$ este un număr real, iar pătratul unui număr real nu poate fi negativ. Contradicție, deci o astfel de matrice nu există. $■$

Observă că argumentul se sprijină pe ordinul impar: la ordinul $2$ concluzia ar fi $(\det A{)}^2=1$, care nu are nimic imposibil — și, într-adevăr, $A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ verifică $A^2=-I_2$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu $\det A=3$. a) Calculați $\det \left(A^3\right)$. b) Calculați $\det (2A^3\cdot {}^{t}A)$. c) Calculați $\det (-A^2)$.

Rezolvare. a) $\det (A^3)=3^3=27$.

b) Descompunem pas cu pas: $\det (2A^3\cdot {}^{t}A)=2^3\cdot \det \left(A^3\right)\cdot \det \left({}^{t}A\right)=8\cdot 27\cdot 3=648$.

c) Ordinul fiind $3$, scalarul $-1$ apare la puterea a treia: $\det (-A^2)=(-1{)}^3(\det A{)}^2=-9$.

Control numeric: pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 6\end{array}\right)$ avem $\det A=3$, iar calculul direct confirmă $\det (A^3)=27$ și $\det (2A^3\cdot {}^{t}A)=648$.

Să exersăm

1. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 5\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 2\end{array}\right)$. Calculează $\det (AB)$ folosind formula produsului, apoi verifică efectuând înmulțirea.

2. Pentru matricele de la exercițiul 1, calculează $\det (BA)$ și compară cu $\det (AB)$. Sunt matricele $AB$ și $BA$ egale?

3. Fie $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu $\det A=-3$. Calculează $\det (A^5)$.

4. Fie $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu $\det A=5$. Calculează $\det (2A)$, $\det (-A)$ și $\det (A\cdot {}^{t}A)$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice matrice pătratice $A$ și $B$ de același ordin, $\det (A+B)=\det A+\det B$."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $A\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$, atunci $\det (3A)=3\det A$."

7. Fie $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu $A^2=O_2$. Arată că $\det A=0$.

8. Fie $A,B\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ cu $\det A=3$ și $\det B=-2$. Calculează $\det (AB)$, $\det (A^{2}B)$, $\det (2A)$ și $\det (-B)$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $A,B\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ și $AB=O_4$, atunci $A=O_4$ sau $B=O_4$."

10. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$. Calculează $\det A$ și $\det (A^7)$, fără să calculezi $A^7$.

11. Fie $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu $\det A=-2$. Calculează $\det (3A^2)$.

12. (Problemă aplicată.) Un program de grafică aplică unei imagini, pe rând, trei transformări date de matricele $T_1=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$, $T_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $T_3=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$. Transformarea compusă este dată de produsul $T_1{T}_2{T}_3$. Calculează determinantul compunerii fără să efectuezi produsele și spune ce s-ar întâmpla dacă una dintre cele trei matrice ar avea determinantul $0$.

13. Fie $A,B\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu $\det A=2$ și $\det B=4$. Calculează $\det ((AB{)}^3)$.

14. Arată că, pentru orice $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, numărul $\det (A\cdot {}^{t}A)$ este pozitiv sau nul.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu $\det A=4$ și $B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu $\det B=-1$. a) Calculați $\det (AB)$. b) Calculați $\det \left(A^2{B}^3\right)$. c) Calculați $\det (3AB)$.

16. Demonstrează, prin inducție după $k$, că $\det (A^k)=(\det A{)}^k$ pentru orice $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

17. O matrice $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ se numește antisimetrică dacă ${}^{t}A=-A$. Arată că orice matrice antisimetrică de ordin $3$ are determinantul nul și verifică pe $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -3\\ -2& 0& 5\\ 3& -5& 0\end{array}\right)$.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice $A,B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, are loc egalitatea $\det (A+B)+\det (A-B)=2\det A+2\det B$, și arată printr-un exemplu că la ordinul $3$ ea nu mai este adevărată.

Răspunsuri și explicații

1. $\det A=10-3=7$, $\det B=2-0=2$, deci $\det (AB)=14$. Verificare: $AB=\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ 23& 10\end{array}\right)$, cu determinantul $60-46=14$ ✓.

2. $\det (BA)=\det B\cdot \det A=2\cdot 7=14$, aceeași valoare. Matricele nu sunt însă egale: $BA=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 14& 14\end{array}\right)$, cu determinantul $28-14=14$ ✓. Determinanții coincid întotdeauna, matricele aproape niciodată.

3. $\det (A^5)=(-3{)}^5=-243$.

4. $\det (2A)=2^3\cdot 5=40$; $\det (-A)=(-1{)}^3\cdot 5=-5$; $\det (A\cdot {}^{t}A)=5\cdot 5=25$.

5. Fals. Contraexemplu: $A=B=I_2$ dau $\det A+\det B=2$, dar $\det (A+B)=\det (2I_2)=4$. Determinantul nu are nicio formulă pentru sumă.

6. Fals. La ordinul $4$, $\det (3A)=3^4\det A=81\det A$. Fiecare dintre cele patru linii aduce câte un factor $3$.

7. Aplicăm determinantul: $\det (A^2)=\det (O_2)=0$, iar $\det (A^2)=(\det A{)}^2$, deci $(\det A{)}^2=0$ și $\det A=0$. (Matricea $A$ însăși nu trebuie să fie nulă: $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ verifică $A^2=O_2$.)

8. $\det (AB)=3\cdot (-2)=-6$; $\det (A^{2}B)=9\cdot (-2)=-18$; $\det (2A)=2^4\cdot 3=48$; $\det (-B)=(-1{)}^4(-2)=-2$.

9. Fals. Formula produsului dă doar $\det A\cdot \det B=0$, adică cel puțin un determinant este nul. Contraexemplu: matricea $A$ având $1$ pe primele două poziții ale diagonalei și $0$ în rest, iar $B$ având $1$ pe ultimele două poziții ale diagonalei și $0$ în rest; produsul este $O_4$, deși niciuna nu este matricea nulă.

10. $\det A=0\cdot 0-1\cdot 1=-1$, deci $\det (A^7)=(-1{)}^7=-1$.

11. $\det (3A^2)=3^3(\det A{)}^2=27\cdot 4=108$.

12. $\det (T_1{T}_2{T}_3)=\det T_1\cdot \det T_2\cdot \det T_3=6\cdot 1\cdot 1=6$. Dacă una dintre matrice ar avea determinantul $0$, determinantul compunerii ar fi $0$, indiferent de celelalte două — semn că transformarea „turtește" imaginea și că informația pierdută nu mai poate fi recuperată prin altă transformare.

13. $\det (AB)=2\cdot 4=8$, deci $\det ((AB{)}^3)=8^3=512$.

14. $\det (A\cdot {}^{t}A)=\det A\cdot \det ({}^{t}A)=\det A\cdot \det A=(\det A{)}^2$, iar pătratul unui număr real este pozitiv sau nul.

15. a) $\det (AB)=4\cdot (-1)=-4$. b) $\det \left(A^2{B}^3\right)=4^2\cdot (-1{)}^3=-16$. c) Ordinul este $2$, deci $\det (3AB)=3^2\det (AB)=9\cdot (-4)=-36$.

16. Pasul de verificare: pentru $k=1$, egalitatea este $\det A=\det A$. Pasul de inducție: presupunem $\det (A^k)=(\det A{)}^k$. Atunci $\det (A^{k+1})=\det (A^k\cdot A)=\det (A^k)\det A=(\det A{)}^k\det A=(\det A{)}^{k+1}$, unde am folosit teorema produsului. Conform principiului inducției, egalitatea este adevărată pentru orice $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

17. Din ${}^{t}A=-A$ obținem, luând determinantul, $\det ({}^{t}A)=\det (-A)$. Membrul stâng este $\det A$, iar cel drept este $(-1{)}^3\det A=-\det A$. Deci $\det A=-\det A$, adică $2\det A=0$ și $\det A=0$. Pe matricea dată, regula lui Sarrus confirmă: produsele descendente dau $0+30-30=0$, iar cele ascendente $0+0+0=0$.

18. Notăm cu $A_1,A_2$ liniile lui $A$ și cu $B_1,B_2$ liniile lui $B$. Prin liniaritate pe fiecare linie, $\det (A+B)=\det (A_1,A_2)+\det (A_1,B_2)+\det (B_1,A_2)+\det (B_1,B_2)$, iar $\det (A-B)=\det (A_1,A_2)-\det (A_1,B_2)-\det (B_1,A_2)+\det (B_1,B_2)$. Adunând, termenii mixți se anulează și rămâne $2\det A+2\det B$. La ordinul $3$ egalitatea cade: pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 3\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 3& 2\end{array}\right)$ membrul stâng este $-6$, iar cel drept $2\cdot 13+2\cdot 7=40$.

De reținut

• $\det (AB)=\det A\cdot \det B$, fără nicio condiție și la orice ordin.
• $\det (A+B)$ nu are nicio formulă în funcție de $\det A$ și $\det B$.
• $\det (A^k)=(\det A{)}^k$ — determinantul unei puteri se calculează fără a ridica matricea la putere.
• $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$, unde $n$ este ordinul matricei; în particular $\det (-A)=(-1{)}^n\det A$.
• $\det (AB)=\det (BA)$, chiar dacă $AB\ne BA$; iar din $AB=O_n$ rezultă doar că $\det A\cdot \det B=0$.

Greșeli frecvente

• „Determinantul sumei este suma determinanților." Fals la orice ordin. Ține minte contraexemplul $I_2+I_2$: $2$ față de $4$.
• $\det (\alpha A)=\alpha \det A$. Exponentul lipsă este greșeala numărul unu de la această temă: scalarul se scoate din fiecare linie, deci apare la puterea $n$.
• Confuzia dintre exponentul puterii și ordinul matricei. În $\det (\alpha A^k)={\alpha }^n(\det A{)}^k$, exponentul lui $\alpha$ este ordinul $n$, iar exponentul lui $\det A$ este puterea $k$. Sunt două numere diferite.
• „Din $AB=O_n$ rezultă $A=O_n$ sau $B=O_n$." Fals; rezultă doar că cel puțin unul dintre determinanți este nul.
• Uitarea semnului la ordin impar. $\det (-A)=-\det A$ doar când $n$ este impar; la ordin par, $\det (-A)=\det A$.

Aplică acasă

1. Trei perechi, două căi. Alege trei perechi de matrice de ordin $2$ cu numere între $-4$ și $4$ și verifică pe fiecare formula produsului: o dată calculând $AB$ și determinantul lui, o dată înmulțind determinanții. Apoi verifică, pe aceleași perechi, că $\det (A+B)\ne \det A+\det B$.

2. Scara puterilor. Ia $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, calculează $A^2$, $A^3$, $A^4$ și determinanții lor. Compară-i cu $(\det A{)}^k$ și observă că numerele din matrice explodează, în timp ce determinantul rămâne cuminte.

3. Vânătoarea de exponenți. Într-o listă de subiecte de Bacalaureat M1, caută cerințe de tipul „calculați $\det (2A)$" sau „calculați $\det (A^n)$" și notează, pentru fiecare, care este ordinul matricei. Vei vedea că enunțul dă întotdeauna ordinul — pentru că fără el exponentul nu se poate scrie.

Pentru părinți și profesori

Lecția are o parte teoretică scurtă și consecințe multe. Miza nu este demonstrația, ci utilizarea corectă a formulelor, în special distincția dintre exponentul dat de ordinul matricei și cel dat de puterea la care este ridicată. Elevii care nu fac această distincție greșesc sistematic la $\det (\alpha A)$.

De verificat în caiet: (1) la $\det (\alpha A)$ apare ordinul matricei ca exponent, iar ordinul este citit din enunț; (2) nu se scrie nicăieri vreo formulă pentru determinantul unei sume; (3) la problemele de tip „arătați că nu există", concluzia este obținută dintr-o contradicție de semn, nu dintr-un calcul; (4) rezultatele abstracte sunt verificate, ocazional, pe o matrice concretă.

Întrebări de control: „Cât este $\det (2A)$ dacă $A$ are ordinul $3$?"; „Care este diferența dintre $\det (A^2)$ și $\det (2A)$?"; „Ce poți spune despre $\det (A+B)$?"; „Din $AB=O_n$ ce rezultă?"; „De ce nu există $A$ reală de ordin $3$ cu $A^2=-I_3$?".

La BAC M1, tema apare aproape exclusiv sub formă de calcul cu date abstracte („se știe că $\det A=2$; calculați…") și în probleme de tip existență. Semn că elevul a înțeles: descompune expresia pas cu pas, scriind separat factorul dat de scalar și pe cel dat de putere.

Întrebări frecvente

Cât este determinantul produsului a două matrice? Este produsul determinanților: $\det (AB)=\det A\cdot \det B$. Formula este valabilă pentru orice matrice pătratice de același ordin, fără nicio condiție suplimentară.

Determinantul sumei este suma determinanților? Nu, iar contraexemplul este imediat: pentru $A=B=I_2$, suma determinanților este $2$, în timp ce $\det (A+B)=\det (2I_2)=4$. Nu există nicio formulă generală pentru determinantul unei sume.

Cum calculez determinantul unei puteri a unei matrice? Cu formula $\det (A^k)=(\det A{)}^k$: calculezi o singură dată $\det A$ și ridici numărul obținut la puterea $k$. Nu este nevoie să calculezi matricea $A^k$, oricât de mare ar fi $k$.

De ce $\det (2A)$ nu este $2\det A$? Pentru că înmulțirea cu $2$ afectează toate liniile, iar fiecare linie scoate câte un factor $2$. La ordinul $n$ se obține $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$; de exemplu, la ordinul $3$, $\det (2A)=8\det A$.

Poate fi $\det (AB)=\det (BA)$ dacă $AB\ne BA$? Da, și se întâmplă întotdeauna: ambii determinanți sunt egali cu $\det A\cdot \det B$, iar înmulțirea numerelor este comutativă. Matricele $AB$ și $BA$ pot fi complet diferite, dar determinanții lor coincid.

Ce rezultă dacă produsul a două matrice este matricea nulă? Doar că $\det A\cdot \det B=0$, adică cel puțin unul dintre determinanți este nul. Nu rezultă că vreuna dintre matrice ar fi nulă — există perechi de matrice nenule al căror produs este $O_n$.

Cum arăt că o anumită matrice nu există? Aplici determinantul în relația dată și cauți o contradicție numerică. De exemplu, din $A^2=-I_3$ ar rezulta $(\det A{)}^2=-1$, imposibil pentru o matrice cu elemente reale — deci o astfel de matrice nu există.