Determinarea conicelor din condiții: pe scurt

A determina o conică din condiții date înseamnă a afla necunoscutele ecuației ei, iar primul pas este numărarea lor: cercul are trei ($m$, $n$, $p$ în ecuația generală $x^2+y^2+2mx+2ny+p=0$), elipsa și hiperbola câte două (semiaxele $a$ și $b$), iar parabola $y^2=2px$ și hiperbola echilateră $xy=k$ câte una singură. Problema este bine pusă când numărul condițiilor independente este egal cu numărul necunoscutelor.

La cerc, condițiile uzuale devin ecuații liniare în $m$, $n$, $p$ — apartenența unui punct sau poziția centrului pe o dreaptă — iar sistemul $3\times 3$ se rezolvă cu formulele lui Cramer; tangența la o dreaptă se scrie $d(C,d)=r$. La elipsă, apartenența a două puncte devine sistem liniar $2\times 2$ după linearizarea $u=\frac{1}{a^2}$, $v=\frac{1}{b^2}$. Asimptotele hiperbolei aduc o singură condiție, $\frac{b}{a}=k$, deci trebuie completate cu un vârf, un focar sau un punct al curbei. La parabolă, focarul stă la $\frac{p}{2}$ de vârf, iar directoarea la aceeași distanță de partea cealaltă.

Ultimul pas nu este opțional: substitui fiecare dată din enunț în ecuația obținută și controlezi condițiile de existență — $m^2+n^2-p>0$ la cerc, $a>b>0$ la elipsă, $p>0$ la parabolă.

Exerciții din această mini-lecție

1. Asimptotele unei hiperbole sunt dreptele $y=\pm \frac{5}{2}x$. Ce se poate afirma despre hiperbolă?

   • a) este unic determinată: $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{25}=1$
   • b) există o infinitate de hiperbole cu aceste asimptote
   • c) există exact două astfel de hiperbole
   • d) nu există nicio hiperbolă cu aceste asimptote
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) există o infinitate de hiperbole cu aceste asimptote

   Asimptotele fixează numai raportul $\frac{b}{a}=\frac{5}{2}$, adică o singură condiție, în timp ce hiperbola are două necunoscute. Toate perechile $(a,b)=(2t,5t)$ cu $t>0$ dau aceleași asimptote, deci soluțiile sunt o infinitate; varianta $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{25}=1$ este doar una dintre ele, cea cu $t=1$.

2. Parabola cu vârful în origine, cu axa $Ox$ și cu focarul $F(17,0)$ are ecuația:

   • a) $y^2=34x$
   • b) $y^2=17x$
   • c) $x^2=68y$
   • d) $y^2=68x$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $y^2=68x$

   Focarul parabolei $y^2=2px$ este $F\left(\frac{p}{2},0\right)$, deci $\frac{p}{2}=17$ și $p=34$, adică $y^2=68x$. Varianta $y^2=34x$ vine din greșeala clasică „focarul stă la distanța $p$ de vârf”, iar $x^2=68y$ ar avea axa $Oy$, nu $Ox$.

3. Cercul cu centrul $C(1,1)$, tangent dreptei $3x+4y+13=0$, are raza:

   • a) $4$
   • b) $20$
   • c) $16$
   • d) $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $4$

   Condiția de tangență este $d(C,d)=r$, iar $d(C,d)=\frac{|3\cdot 1+4\cdot 1+13|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{20}{5}=4$. Valoarea $20$ apare când se uită împărțirea la $\sqrt{a^2+b^2}$, iar $16$ este $r^2$, nu raza.