Determinarea conicelor din condiții date

Q: Cum aflu ecuația unei elipse dacă știu două puncte ale ei?

Notezi u = 1/a² și v = 1/b²; condiția ca punctul (x₀, y₀) să fie pe elipsă devine x₀² u + y₀² v = 1, adică o ecuație liniară. Două puncte dau un sistem 2 × 2, pe care îl rezolvi ușor, iar la final revii prin a² = 1/u și b² = 1/v. Verifici apoi că a > b > 0.

Q: Cum determin o hiperbolă când se dau asimptotele?

Asimptotele y = ± k x dau numai raportul b/a = k, deci o singură condiție. Îți mai trebuie una: un vârf (care dă direct a), un focar (din care a² = c²/(1 + k²)) sau un punct al curbei, pe care îl înlocuiești în ecuația canonică scrisă cu b = ka, obținând o ecuație cu necunoscuta a².

Un arhitect are de proiectat o boltă eliptică pentru care beneficiarul a fixat doar două lucruri: deschiderea la sol și înălțimea la mijloc. Un inginer de emisie știe unde vrea să monteze receptorul unei antene și trebuie să afle ce formă are oglinda. Un topograf are trei borne pe conturul unui bazin circular și vrea cercul care le conține. În toate cele trei cazuri, întrebarea este aceeași: din câteva condiții geometrice, care este ecuația curbei? Aceasta e problema pe care o rezolvă lecția de față, ultima lecție de tehnică din unitatea de conice a clasei a 12-a.

Până acum am mers într-un singur sens: aveam ecuația și scoteam din ea elementele. Acum facem drumul invers, iar el are o trăsătură care îl deosebește de toate celelalte: înainte de orice calcul, trebuie numărate condițiile. O conică are un număr precis de coeficienți necunoscuți, iar enunțul trebuie să dea exact atâtea informații independente. Mai puține — o infinitate de soluții; mai multe — riscul de a nu avea niciuna.

Ce vei învăța

Vei ști să numeri necunoscutele fiecărei conice și să verifici dacă o problemă de determinare este bine pusă.
Vei ști să determini cercul care trece prin trei puncte, cercul tangent unei drepte și cercul cu centrul pe o dreaptă dată.
Vei ști să afli ecuația unei elipse din două puncte ale ei sau din focare împreună cu excentricitatea.
Vei ști să afli ecuația unei hiperbole din asimptote plus o a doua condiție.
Vei ști să afli ecuația unei parabole din focar, din directoare sau dintr-un punct al ei.
Vei ști să determini hiperbola echilateră $x y = k$ printr-un punct dat și să verifici, la final, fiecare condiție din enunț.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să determini o conică din condiții date?

Determinarea unei conice din condiții date înseamnă aflarea coeficienților necunoscuți ai ecuației ei — canonică la elipsă, hiperbolă și parabolă, generală la cerc — pornind de la informații geometrice: puncte prin care trece curba, focare, excentricitate, asimptote, directoare sau drepte tangente. Fiecare informație se traduce într-o ecuație, iar ecuațiile obținute formează un sistem.

Metoda are trei etape, aceleași la toate cele patru conice.

Etapa 1. Alegi forma ecuației, după tipul conicei și după poziția ei față de axe, cu tabelul-sinteză din lecția despre recunoașterea conicelor din ecuație sau din grafic; tot aici se decide câte necunoscute vei avea. Etapa 2. Traduci fiecare condiție într-o ecuație cu acele necunoscute și rezolvi sistemul. Etapa 3. Verifici: substitui în ecuația găsită toate punctele din enunț, recalculezi elementele și controlezi condițiile de existență ( $r > 0$ la cerc, $a > b > 0$ la elipsă, $p > 0$ la parabolă).

O precizare de litere, obligatorie într-o lecție în care apar toate conicele deodată. La cerc, $a$ și $b$ sunt coordonatele centrului $C (a, b)$ , iar $p$ este termenul liber al ecuației generale; la elipsă și la hiperbolă, $a$ și $b$ sunt semiaxele, iar la parabolă $p$ este parametrul. Ca să nu existe confuzii, în paragrafele despre cerc dreptele se scriu întotdeauna cu coeficienți numerici, de pildă $3 x - 4 y - 5 = 0$ , și niciodată cu litere.

2. Câte condiții determină o conică?

Regula de aur a fost enunțată la lecția despre ecuația generală a cercului, în forma trei necunoscute înseamnă trei condiții, și se reia aici cuvânt cu cuvânt, pentru că e punctul de plecare al oricărei probleme: un cerc are trei necunoscute, deci enunțul trebuie să dea exact trei condiții scalare independente. Lista de acolo, pe care o citim identic:

„trece prin trei puncte" $\to$ $3$ condiții;
„are centrul în $C (a, b)$ " $\to$ $2$ condiții;
„are raza $r$ " $\to$ $1$ condiție;
„trece prin punctul $A$ " $\to$ $1$ condiție;
„are centrul pe dreapta $d$ " $\to$ $1$ condiție;
„este tangent dreptei $d$ " $\to$ $1$ condiție.

Celelalte trei conice se lucrează în formă canonică, deci cu centrul (respectiv vârful) în origine și cu axele de simetrie pe axele reperului. Asta le scade drastic numărul de necunoscute, iar numărătoarea devine următoarea:

Conica	Forma folosită	Necunoscute	Câte condiții
cerc	$x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 n y + p = 0$	$m$ , $n$ , $p$	$3$
elipsă	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$a^{2}$ , $b^{2}$	$2$
hiperbolă	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$	$a^{2}$ , $b^{2}$	$2$
parabolă	$y^{2} = 2 p x$	$p$	$1$
hiperbolă echilateră	$x y = k$	$k$	$1$

Traducerea condițiilor uzuale, la conicele cu centru: „trece prin punctul $M$ ", „are focarele $(\pm c, 0)$ ", „are excentricitatea $e$ ", „are asimptotele $y = \pm k x$ " și „are semiaxa mare $a$ " aduc fiecare câte o singură condiție. Avertismentul lăsat de lecția despre elementele hiperbolei se citește acum ca o consecință directă a numărătorii: asimptotele singure nu determină hiperbola, pentru că fixează doar raportul $\frac{b}{a}$ .

3. Cum determini un cerc din trei condiții?

Cercul are trei tipare, toate deschise la lecția despre ecuația generală a cercului; le reluăm aici pe date noi, ca să le vezi lucrând una lângă alta.

Tiparul întâi: prin trei puncte. Condiția ca $M (x_{0}, y_{0})$ să fie pe cerc, scrisă în necunoscutele $m$ , $n$ , $p$ , este liniară: $2 x_{0} \cdot m + 2 y_{0} \cdot n + 1 \cdot p = - (x_{0}^{2} + y_{0}^{2}) .$ Trei puncte dau un sistem liniar $3 \times 3$ , rezolvat cu formulele lui Cramer, ca la sistemele de tip Cramer din clasa a XI-a. Determinantul sistemului este de patru ori determinantul de coliniaritate al celor trei puncte, deci se anulează exact când punctele sunt coliniare — caz în care niciun cerc nu trece prin ele.

Tiparul al doilea: tangent unei drepte. Tangența se traduce prin egalitatea $d (C, d) = r,$ adică distanța de la centru la dreaptă este egală cu raza, calculată cu formula din lecția despre distanța de la un punct la o dreaptă. Dacă centrul e dat, tangența e a treia condiție și raza iese dintr-un singur calcul.

Tiparul al treilea: cu centrul pe o dreaptă. Condiția „centrul $(- m, - n)$ se află pe dreapta $α x + β y + γ = 0$ " devine $- α m - β n + γ = 0$ , tot liniară; combinată cu două apartenențe, sistemul rămâne $3 \times 3$ .

Cele trei tipare se pot amesteca, cu o singură grijă: suma condițiilor să fie exact $3$ .

4. Cum determini o elipsă din condiții?

Elipsa în formă canonică are două necunoscute, $a^{2}$ și $b^{2}$ , deci îi trebuie două condiții. Sunt două situații care acoperă aproape tot ce se cere.

Situația întâi: două puncte ale curbei. Reluăm aici artificiul folosit deja în Exemplul 5 de la elipsa: definiția și ecuația canonică. Ecuația $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ nu este liniară în $a^{2}$ și $b^{2}$ , dar devine liniară dacă notezi $u = \frac{1}{a ^{2}}$ și $v = \frac{1}{b ^{2}}$ : condiția ca punctul $(x_{0}, y_{0})$ să fie pe elipsă se scrie $x_{0}^{2} u + y_{0}^{2} v = 1$ . Două puncte dau un sistem liniar $2 \times 2$ în $u$ și $v$ , iar la final revii prin $a^{2} = \frac{1}{u}$ și $b^{2} = \frac{1}{v}$ . Este exact ideea care a făcut ca ecuația generală a cercului să fie utilă: schimbi necunoscutele ca să obții un sistem liniar.

Situația a doua: focarele și excentricitatea. Focarele dau $c$ , excentricitatea dă raportul $e = \frac{c}{a}$ , deci $a = \frac{c}{e}, b^{2} = a^{2} - c^{2} .$ Aceleași două numere se pot ascunde sub alte nume: „axa mare are lungimea $2 a$ ", „distanța focală este $2 c$ ", „vârful de pe axa mică este $(0, b)$ ". Recunoaște-le și numără-le drept ceea ce sunt: câte o condiție fiecare.

⚠️ Verificarea finală nu e opțională: după ce ai găsit $a^{2}$ și $b^{2}$ , controlează că $a > b > 0$ . Dacă îți iese $b > a$ , curba este tot o elipsă, dar cu axa mare pe $O y$ , și atunci focarele urcă pe verticală — situația descrisă la lecția despre recunoașterea conicelor din ecuație sau din grafic.

5. Cum determini o hiperbolă din asimptote și încă o condiție?

Hiperbola are, ca și elipsa, două necunoscute. Asimptotele $y = \pm k x$ dau o singură condiție, $\frac{b}{a} = k$ , adică $b = k a$ ; a doua condiție poate fi un vârf, un focar sau un punct al curbei. Rețeta, pe cazul cel mai des întâlnit — asimptotele și un punct $M (x_{0}, y_{0})$ :

Etapa 1. Din asimptote, $b = k a$ , deci $b^{2} = k^{2} a^{2}$ .

Etapa 2. Înlocuiești în ecuația canonică și obții $\frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} - \frac{y _{0}^{2}}{k ^{2} a ^{2}} = 1,$ o ecuație cu o singură necunoscută, $a^{2}$ . O rezolvi și afli apoi $b^{2} = k^{2} a^{2}$ .

Etapa 3. Verifici: substitui punctul, recalculezi $c = a^{2} + b^{2}$ , scrii excentricitatea și controlezi că pantele asimptotelor ies chiar cele din enunț.

⚠️ În unitatea de conice există acum patru rețete cu etape numerotate, și ele nu se confundă: cele trei etape generale ale determinării (paragraful $1$ ), cele trei etape ale hiperbolei din asimptote (aici), cele trei etape ale cercului prin trei puncte, revendicate de lecția despre ecuația generală a cercului, și cele trei etape ale metodei dedublării, revendicate de lecția despre tangenta într-un punct al unei conice. Când citezi o etapă, spune întotdeauna a cărei rețete este.

Când în locul punctului se dă focarul, drumul e și mai scurt: din $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ și $b = k a$ rezultă $a^{2} (1 + k^{2}) = c^{2}$ , adică $a^{2} = \frac{c ^{2}}{1 + k ^{2}}$ .

Hiperbola echilateră raportată la asimptote are o singură necunoscută, constanta $k$ din $x y = k$ , deci îi ajunge o singură condiție. Un punct $M (x_{0}, y_{0})$ al curbei o dă imediat: $k = x_{0} y_{0}$ . Restul elementelor se citesc apoi cu formulele fixate la lecția despre hiperbola echilateră raportată la asimptote: $a = b = 2 k$ , asimptotele sunt axele, iar excentricitatea este $2$ , indiferent de $k$ .

6. Cum determini o parabolă dintr-o singură condiție?

Parabola în formă canonică are o singură necunoscută, parametrul $p$ — dar are, în schimb, patru orientări, iar alegerea orientării se face înaintea oricărui calcul. Tabelul celor patru forme este cel fixat la lecția despre elementele parabolei, iar regula de citire rămâne: pătratul spune axa, semnul spune sensul.

Ce se dă	Cum alegi orientarea	Ce ecuație obții
focarul $F (\frac{p}{2}, 0)$ , cu abscisă pozitivă	axa $O x$ , deschidere spre dreapta	$y^{2} = 2 p x$
focarul $(0, - \frac{p}{2})$	axa $O y$ , deschidere în jos	$x^{2} = - 2 p y$
directoarea $x = - \frac{p}{2}$ , la stânga vârfului	axa $O x$ , deschidere spre dreapta	$y^{2} = 2 p x$
directoarea $y = \frac{p}{2}$ , deasupra vârfului	axa $O y$ , deschidere în jos	$x^{2} = - 2 p y$
un punct $(x_{0}, y_{0})$ și axa de simetrie	semnul coordonatei de pe axă	se înlocuiește punctul

Reține legătura care scurtează toate calculele: distanța de la vârf la focar și distanța de la vârf la directoare sunt amândouă $\frac{p}{2}$ , iar distanța de la focar la directoare este $p$ . Cea mai frecventă greșeală de aici încolo este să iei focarul la distanța $p$ de vârf; atunci toate rezultatele se dublează.

Când se dă un punct al curbei, înlocuirea lui în forma aleasă dă direct $2 p$ . De pildă, pentru o parabolă cu vârful în origine și axa de simetrie $O y$ care trece prin $(10, 5)$ , din $x^{2} = 2 p y$ obținem $100 = 2 p \cdot 5$ , deci $2 p = 20$ și ecuația $x^{2} = 20 y$ , cu $p = 10$ , focarul $(0, 5)$ și directoarea $y = - 5$ . Observă un detaliu frumos: punctul dat are ordonata egală cu $\frac{p}{2}$ , deci este chiar un capăt al coardei duse prin focar, perpendicular pe axă.

7. Cum verifici că problema e bine pusă?

Numărătoarea condițiilor spune dacă problema poate avea soluție unică; ea nu garantează că are. Trei situații de care să te ferești.

Condiții dependente. „Trece prin $A$ , prin $B$ și prin mijlocul segmentului $A B$ " pare să dea trei condiții, dar cele trei puncte sunt coliniare, deci determinantul se anulează: niciun cerc.

Condiții incompatibile cu tipul. „Elipsă cu focarele $(\pm 5, 0)$ care trece prin $(3, 0)$ " nu are soluție: punctul ar fi vârf, deci $a = 3 < c = 5$ , imposibil la elipsă. Semnalul e mereu același — o cantitate care ar trebui să fie pozitivă iese negativă.

Condiții insuficiente. „Hiperbola cu asimptotele $y = \pm 2 x$ " are o infinitate de soluții; răspunsul corect e familia, nu o curbă anume.

Regula practică: numeri condițiile înainte de prima ecuație și substitui toate datele din enunț în ecuația finală.

8. Lista de control

Ce ți se cere	Ce faci
cercul prin trei puncte	sistem liniar $3 \times 3$ în $m$ , $n$ , $p$ , rezolvat cu Cramer
cercul tangent unei drepte, cu centrul dat	$r = d (C, d)$ , apoi forma canonică
cercul cu centrul pe o dreaptă	condiția devine tot liniară în $m$ și $n$
elipsa prin două puncte	notezi $u = \frac{1}{a ^{2}}$ , $v = \frac{1}{b ^{2}}$ și rezolvi liniar
elipsa din focare și excentricitate	$a = \frac{c}{e}$ , apoi $b^{2} = a^{2} - c^{2}$
hiperbola din asimptote și un punct	$b = k a$ , apoi o ecuație în $a^{2}$
hiperbola din asimptote și un focar	$a^{2} = \frac{c ^{2}}{1 + k ^{2}}$
parabola din focar sau din directoare	$\frac{p}{2}$ = distanța de la vârf, apoi orientarea
hiperbola echilateră printr-un punct	$k = x_{0} y_{0}$

Odată conica determinată, poziția ei față de o dreaptă sau față de altă curbă se studiază cu schema de la lecția despre intersecția a două conice, iar legătura dintre conice și derivate — panta tangentei citită din $f^{'} (x_{0})$ — este subiectul lecției următoare, despre conice și analiza matematică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cercul prin trei puncte

Enunț. Determinați ecuația cercului care trece prin punctele $A (6, 8)$ , $B (2, 0)$ și $D (- 2, 2)$ , precum și centrul și raza lui.

Rezolvare. Etapa 1. Numărăm: trei apartenențe, deci trei condiții — problema e bine pusă. Scriem pentru fiecare punct condiția $2 x_{0} m + 2 y_{0} n + p = - (x_{0}^{2} + y_{0}^{2})$ : $⎩ ⎨ ⎧ 12 m + 16 n + p = - 100 4 m + 0 \cdot n + p = - 4 - 4 m + 4 n + p = - 8$

Etapa 2. Din a doua ecuație, $p = - 4 - 4 m$ . Înlocuind în prima: $8 m + 16 n = - 96$ , adică $m + 2 n = - 12$ . Înlocuind în a treia: $- 8 m + 4 n = - 4$ , adică $n = 2 m - 1$ . Rezultă $m + 4 m - 2 = - 12$ , deci $m = - 2$ , apoi $n = - 5$ și $p = 4$ .

Etapa 3. Ecuația este $x^{2} + y^{2} - 4 x - 10 y + 4 = 0$ . Condiția de existență: $m^{2} + n^{2} - p = 4 + 25 - 4 = 25 > 0$ ✓, deci avem un cerc de centru $C (2, 5)$ și rază $r = 5$ .

Verificare pe toate trei punctele: $A$ dă $36 + 64 - 24 - 80 + 4 = 0$ ✓; $B$ dă $4 + 0 - 8 - 0 + 4 = 0$ ✓; $D$ dă $4 + 4 + 8 - 20 + 4 = 0$ ✓. A doua cale, independentă: distanțele de la $C (2, 5)$ la cele trei puncte sunt $16 + 9 = 5$ , $0 + 25 = 5$ și $16 + 9 = 5$ — toate egale cu raza ✓.

Exemplul 2 — Cerc tangent unei drepte și cerc cu centrul pe o dreaptă

Enunț. a) Scrieți ecuația cercului cu centrul $C (1, - 3)$ , tangent dreptei $3 x - 4 y + 10 = 0$ , și determinați punctul de tangență. b) Determinați ecuația cercului care trece prin $A (7, 4)$ și $B (- 1, - 2)$ și are centrul pe dreapta $2 x - y - 5 = 0$ .

Rezolvare. a) Numărăm: centrul aduce două condiții, tangența pe a treia. Raza este distanța de la centru la dreaptă: $r = \frac{∣ 3 \cdot 1 - 4 \cdot ( - 3 ) + 10 ∣}{9 + 16} = \frac{∣ 3 + 12 + 10 ∣}{5} = \frac{25}{5} = 5.$ Ecuația canonică este $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ , iar forma generală $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y - 15 = 0$ . Control: $m^{2} + n^{2} - p = 1 + 9 + 15 = 25 = r^{2}$ ✓.

Punctul de tangență este piciorul perpendicularei din $C$ pe dreaptă. Îl căutăm de forma $(1 + 3 t, - 3 - 4 t)$ , cu $t$ real, și impunem ecuația dreptei: $3 (1 + 3 t) - 4 (- 3 - 4 t) + 10 = 25 t + 25 = 0$ , deci $t = - 1$ și punctul este $T (- 2, 1)$ . Control dublu: $T$ verifică ecuația dreptei, $- 6 - 4 + 10 = 0$ ✓, și pe cea a cercului, $4 + 1 + 4 + 6 - 15 = 0$ ✓.

b) Numărăm: două apartenențe și o condiție asupra centrului — tot trei. Traducem:

$A (7, 4)$ : $14 m + 8 n + p = - 65$ ;
$B (- 1, - 2)$ : $- 2 m - 4 n + p = - 5$ ;
centrul $(- m, - n)$ pe dreapta $2 x - y - 5 = 0$ : $- 2 m + n = 5$ .

Din ultima, $n = 5 + 2 m$ . Din a doua, $p = 10 m + 15$ . Înlocuind în prima: $14 m + 40 + 16 m + 10 m + 15 = - 65$ , deci $40 m = - 120$ și $m = - 3$ , apoi $n = - 1$ și $p = - 15$ .

Ecuația este $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y - 15 = 0$ , cu $C (3, 1)$ și $r^{2} = 9 + 1 + 15 = 25$ , adică $r = 5$ . Verificări: $A$ dă $49 + 16 - 42 - 8 - 15 = 0$ ✓; $B$ dă $1 + 4 + 6 + 4 - 15 = 0$ ✓; centrul verifică $2 \cdot 3 - 1 - 5 = 0$ ✓.

Exemplul 3 — Două elipse, două tipuri de date

Enunț. a) Determinați ecuația canonică a elipsei care trece prin punctele $M (3, 4)$ și $N (6, 2)$ . b) Determinați ecuația canonică a elipsei cu focarele $F (6, 0)$ , $F^{'} (- 6, 0)$ și excentricitatea $\frac{3}{5}$ .

Rezolvare. a) Două puncte, două necunoscute: bine pusă. Notăm $u = \frac{1}{a ^{2}}$ și $v = \frac{1}{b ^{2}}$ și scriem condițiile de apartenență: ${9 u + 16 v = 1 36 u + 4 v = 1$ Înmulțim prima ecuație cu $4$ și scădem a doua: $36 u + 64 v - 36 u - 4 v = 4 - 1$ , deci $60 v = 3$ și $v = \frac{1}{20}$ . Atunci $36 u = 1 - \frac{4}{20} = \frac{4}{5}$ , deci $u = \frac{1}{45}$ .

Prin urmare $a^{2} = 45$ și $b^{2} = 20$ , iar ecuația este $\frac{x ^{2}}{45} + \frac{y ^{2}}{20} = 1.$ Control: $a^{2} > b^{2}$ ✓, deci axa mare este pe $O x$ ; $c^{2} = 45 - 20 = 25$ , deci $c = 5$ , focarele $(\pm 5, 0)$ și $e = \frac{5}{3} \approx 0, 745$ . Verificare: $M$ dă $\frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1$ ✓, $N$ dă $\frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1$ ✓; iar razele focale ale lui $M$ , $4 + 16 = 25$ și $64 + 16 = 45$ , au suma $65 = 2 a$ ✓.

b) Focarele dau $c = 6$ , excentricitatea dă $e = \frac{3}{5}$ , deci $a = \frac{c}{e} = 10$ și $b^{2} = 100 - 36 = 64$ . Ecuația este $\frac{x ^{2}}{100} + \frac{y ^{2}}{64} = 1$ , cu $a = 10 > b = 8$ ✓. Control pe capătul coardei duse prin focar: pentru $x = 6$ obținem $y^{2} = \frac{64 \cdot 64}{100}$ , deci $y = \frac{32}{5}$ , iar coarda măsoară $\frac{64}{5} = \frac{2 b ^{2}}{a}$ ✓.

Exemplul 4 — Hiperbola din asimptote și un punct

Enunț. Determinați ecuația hiperbolei care are asimptotele $y = \pm \frac{3}{4} x$ și trece prin punctul $M (10, \frac{9}{2})$ , apoi scrieți-i vârfurile, focarele și excentricitatea.

Rezolvare. Etapa 1. Asimptotele dau o condiție: $\frac{b}{a} = \frac{3}{4}$ , deci $b = \frac{3 a}{4}$ și $b^{2} = \frac{9 a ^{2}}{16}$ . Punctul aduce a doua condiție, deci problema e bine pusă.

Etapa 2. Înlocuim în ecuația canonică: $\frac{100}{a ^{2}} - \frac{\frac{81}{4}}{\frac{9 a ^{2}}{16}} = 1 ⟺ \frac{100}{a ^{2}} - \frac{36}{a ^{2}} = 1 ⟺ \frac{64}{a ^{2}} = 1,$ deci $a^{2} = 64$ , $a = 8$ și $b^{2} = \frac{9 \cdot 64}{16} = 36$ , adică $b = 6$ .

Etapa 3. Hiperbola este $\frac{x ^{2}}{64} - \frac{y ^{2}}{36} = 1$ . Verificare: $\frac{100}{64} - \frac{81}{4 \cdot 36} = \frac{25}{16} - \frac{9}{16} = 1$ ✓; pantele asimptotelor, prin scurtătura $1 \to 0$ , ies $\pm \frac{3}{4}$ ✓.

Elementele: $c = 64 + 36 = 10$ , vârfurile $(\pm 8, 0)$ , focarele $(\pm 10, 0)$ , excentricitatea $e = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$ . Control prin definiția geometrică, pentru $M$ : $M F = 0 + \frac{81}{4} = \frac{9}{2}$ și $M F^{'} = 400 + \frac{81}{4} = \frac{1681}{4} = \frac{41}{2}$ , deci $∣ M F - M F^{'} ∣ = \frac{32}{2} = 16 = 2 a$ ✓.

Exemplul 5 — Parabole și o hiperbolă echilateră

Enunț. Determinați ecuația conicei cu vârful (respectiv centrul) în origine, în fiecare dintre cazurile: a) parabolă cu focarul $F (15, 0)$ ; b) parabolă cu directoarea $x = 3$ ; c) parabolă cu directoarea $y = 7$ ; d) hiperbolă echilateră raportată la asimptote care trece prin $M (9, 8)$ .

Rezolvare. a) Focarul este pe $O x$ , cu abscisă pozitivă, deci curba se deschide spre dreapta: $y^{2} = 2 p x$ . Din $\frac{p}{2} = 15$ rezultă $p = 30$ și $2 p = 60$ , deci $y^{2} = 60 x$ , cu directoarea $x = - 15$ . Control: capătul coardei prin focar este $(\frac{p}{2}, p) = (15, 30)$ , iar $900 = 60 \cdot 15$ ✓.

b) Directoarea este verticală, la dreapta vârfului, deci curba se deschide spre stânga: $y^{2} = - 2 p x$ . Din $\frac{p}{2} = 3$ rezultă $p = 6$ , deci $y^{2} = - 12 x$ , cu focarul $(- 3, 0)$ . Control pe punctul $(- 3, 6)$ : $36 = - 12 \cdot (- 3)$ ✓, iar raza focală, $- x + \frac{p}{2} = 3 + 3 = 6$ , coincide cu distanța la directoare, $∣ - 3 - 3 ∣ = 6$ ✓.

c) Directoarea este orizontală, deasupra vârfului, deci curba se deschide în jos: $x^{2} = - 2 p y$ . Din $\frac{p}{2} = 7$ rezultă $p = 14$ , deci $x^{2} = - 28 y$ , cu focarul $(0, - 7)$ . Control pe $(14, - 7)$ : $196 = - 28 \cdot (- 7)$ ✓.

d) O singură necunoscută, deci o singură condiție: $k = 9 \cdot 8 = 72$ , adică $x y = 72$ . Elementele: $a = b = 2 \cdot 72 = 12$ , $c = a 2 = 122$ , asimptotele sunt axele, focarele $(12, 12)$ și $(- 12, - 12)$ , vârfurile $(\pm 62, \pm 62)$ cu semne simultane, iar $e = 2$ . Control: $M F_{1} = 9 + 16 = 5$ , $M F_{2} = 441 + 400 = 29$ , deci $∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = 24 = 2 a$ ✓; iar $62 \cdot 62 = 72$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Enunț. Se consideră punctele $A (1, 7)$ , $B (3, 3)$ și $D (2, 0)$ . a) Determinați ecuația cercului care trece prin cele trei puncte și precizați centrul și raza lui. b) Arătați că dreapta $3 x - 4 y - 7 = 0$ este tangentă acestui cerc și determinați punctul de tangență. c) Determinați ecuația cercului concentric cu cel de la punctul a) și tangent dreptei $4 x + 3 y + 9 = 0$ .

Rezolvare. a) Numărăm trei condiții pentru trei necunoscute. Sistemul este $⎩ ⎨ ⎧ 2 m + 14 n + p = - 50 6 m + 6 n + p = - 18 4 m + 0 \cdot n + p = - 4$ Din a treia, $p = - 4 - 4 m$ ; în a doua rămâne $m + 3 n = - 7$ , iar în prima $- m + 7 n = - 23$ . Adunându-le, $10 n = - 30$ , deci $n = - 3$ , $m = 2$ și $p = - 12$ .

Ecuația este $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 12 = 0$ , cu $m^{2} + n^{2} - p = 4 + 9 + 12 = 25 > 0$ ✓, deci $C (- 2, 3)$ și $r = 5$ . Verificare: $A$ dă $1 + 49 + 4 - 42 - 12 = 0$ ✓; $B$ dă $9 + 9 + 12 - 18 - 12 = 0$ ✓; $D$ dă $4 + 0 + 8 - 0 - 12 = 0$ ✓.

b) Calculăm distanța de la centru la dreaptă: $d (C, d) = \frac{∣ 3 \cdot ( - 2 ) - 4 \cdot 3 - 7 ∣}{9 + 16} = \frac{∣ - 25 ∣}{5} = 5 = r,$ deci dreapta este tangentă. Punctul de tangență este piciorul perpendicularei din $C$ pe dreaptă. Îl găsim direct: căutăm punctul de forma $(- 2 + 3 t, 3 - 4 t)$ , cu $t$ real, care verifică ecuația dreptei; obținem $3 (- 2 + 3 t) - 4 (3 - 4 t) - 7 = 25 t - 25 = 0$ , deci $t = 1$ și punctul $T (1, - 1)$ . Control dublu: $T$ verifică ecuația cercului, $1 + 1 + 4 + 6 - 12 = 0$ ✓, și pe cea a dreptei, $3 + 4 - 7 = 0$ ✓.

c) „Concentric" înseamnă același centru, deci două condiții sunt deja fixate; tangența o aduce pe a treia: $r^{'} = \frac{∣ 4 \cdot ( - 2 ) + 3 \cdot 3 + 9 ∣}{16 + 9} = \frac{10}{5} = 2.$ Cercul căutat este $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ , adică $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 9 = 0$ . Control: $m^{2} + n^{2} - p = 4 + 9 - 9 = 4 = r^{'2}$ ✓.

Să exersăm

1. Determinați ecuația cercului care trece prin punctele $A (1, 7)$ , $B (3, 3)$ și $D (2, 0)$ , precum și centrul și raza lui.

2. Scrieți ecuația cercului cu centrul $C (6, - 3)$ , tangent axei $O y$ .

3. Scrieți ecuația cercului cu centrul $C (- 4, 6)$ , tangent axei $O x$ .

4. Scrieți ecuația cercului cu centrul $C (1, - 3)$ , tangent dreptei $3 x - 4 y - 5 = 0$ .

5. Determinați ecuația cercului care trece prin originea reperului și prin punctele $(0, 10)$ și $(8, 0)$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Două puncte și o rază dată determină un singur cerc."

7. Arătați, calculând determinantul de coliniaritate, că prin punctele $(1, 2)$ , $(3, 6)$ și $(5, 10)$ nu trece niciun cerc.

8. Determinați ecuația canonică a elipsei care trece prin punctele $M (3, 4)$ și $N (6, 2)$ .

9. Determinați ecuația canonică a elipsei cu semiaxa mare $20$ și excentricitatea $\frac{3}{5}$ .

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Asimptotele determină complet o hiperbolă."

11. Determinați ecuația hiperbolei cu vârful $(7, 0)$ și asimptotele $y = \pm \frac{24}{7} x$ , apoi calculați-i excentricitatea.

12. Determinați ecuația hiperbolei cu asimptotele $y = \pm \frac{3}{4} x$ care trece prin punctul $(10, \frac{9}{2})$ .

13. Determinați ecuația parabolei cu vârful în origine și focarul $F (15, 0)$ , precum și directoarea ei.

14. Determinați ecuația parabolei cu vârful în origine și directoarea $y = 7$ .

15. Determinați ecuația parabolei cu vârful în origine, axa de simetrie $O x$ , care trece prin punctul $(10, 20)$ .

16. (Problemă aplicată.) Trei stâlpi de iluminat sunt așezați în punctele $A (6, 8)$ , $B (2, 0)$ și $D (- 2, 2)$ , coordonatele fiind în zeci de metri. Determinați cercul care trece prin toți trei și precizați unde trebuie săpată fântâna aflată la distanță egală de cei trei stâlpi.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră hiperbola echilateră raportată la asimptote care trece prin punctul $M (5, 4)$ . a) Scrieți ecuația ei. b) Determinați semiaxele și excentricitatea. c) Determinați punctele curbei ale căror coordonate sunt numere naturale.

18. (Provocare.) Arătați că, pentru orice punct $M (x_{0}, y_{0})$ cu $x_{0} y_{0} \neq = 0$ , există exact una dintre curbele $x y = k$ care trece prin $M$ , dar există o infinitate de elipse $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ care trec prin $M$ ; explicați diferența prin numărul de necunoscute.

Răspunsuri și explicații

1. Sistemul este $2 m + 14 n + p = - 50$ , $6 m + 6 n + p = - 18$ , $4 m + p = - 4$ , cu soluția $m = 2$ , $n = - 3$ , $p = - 12$ . Ecuația: $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 12 = 0$ , cu $m^{2} + n^{2} - p = 25 > 0$ , deci $C (- 2, 3)$ și $r = 5$ . Verificare pe cele trei puncte: $0$ , $0$ , $0$ ✓.

2. Distanța de la $C (6, - 3)$ la axa $O y$ , adică la dreapta $x = 0$ , este $∣ 6 ∣ = 6$ , deci $r = 6$ și $(x - 6)^{2} + (y + 3)^{2} = 36$ , adică $x^{2} + y^{2} - 12 x + 6 y + 9 = 0$ . Control: $36 + 9 - 9 = 36 = r^{2}$ ✓.

3. Distanța de la $C (- 4, 6)$ la axa $O x$ este $∣ 6 ∣ = 6$ , deci $r = 6$ și $(x + 4)^{2} + (y - 6)^{2} = 36$ , adică $x^{2} + y^{2} + 8 x - 12 y + 16 = 0$ .

4. $r = \frac{∣ 3 + 12 - 5 ∣}{5} = 2$ , deci $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 4$ , adică $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + 6 = 0$ . Control: $1 + 9 - 6 = 4 = r^{2}$ ✓.

5. Trecerea prin origine dă $p = 0$ . Din $(0, 10)$ : $20 n = - 100$ , deci $n = - 5$ . Din $(8, 0)$ : $16 m = - 64$ , deci $m = - 4$ . Ecuația este $x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y = 0$ , cu $C (4, 5)$ și $r^{2} = 16 + 25 = 41$ , adică $r = 41$ .

6. Fals. Numărătoarea e corectă ( $1 + 1 + 1 = 3$ ), dar sistemul nu e liniar: centrul se află la intersecția mediatoarei segmentului cu un cerc de rază $r$ . Se obțin, în general, două cercuri, unul singur când $2 r$ este exact lungimea segmentului și niciunul când $2 r$ e mai mic decât ea.

7. Determinantul este $1352610111 = 1 (6 - 10) - 2 (3 - 5) + (30 - 30) = - 4 + 4 + 0 = 0$ , deci punctele sunt coliniare (toate pe dreapta $y = 2 x$ ) și sistemul nu are soluție unică.

8. Cu $u = \frac{1}{a ^{2}}$ și $v = \frac{1}{b ^{2}}$ : $9 u + 16 v = 1$ și $36 u + 4 v = 1$ , de unde $v = \frac{1}{20}$ și $u = \frac{1}{45}$ . Ecuația este $\frac{x ^{2}}{45} + \frac{y ^{2}}{20} = 1$ , cu $c = 5$ și $e = \frac{5}{3}$ .

9. Din $e = \frac{c}{a}$ rezultă $c = \frac{3}{5} \cdot 20 = 12$ , deci $b^{2} = 400 - 144 = 256$ și ecuația este $\frac{x ^{2}}{400} + \frac{y ^{2}}{256} = 1$ , cu $a = 20 > b = 16$ ✓.

10. Fals. Asimptotele dau o singură condiție, $\frac{b}{a} = k$ , iar hiperbola are două necunoscute. Toate curbele $\frac{x ^{2}}{t} - \frac{y ^{2}}{k ^{2} t} = 1$ , cu $t > 0$ , au aceleași asimptote. E nevoie de o a doua condiție: un vârf, un focar sau un punct.

11. Din vârf, $a = 7$ ; din asimptote, $\frac{b}{a} = \frac{24}{7}$ , deci $b = 24$ . Ecuația este $\frac{x ^{2}}{49} - \frac{y ^{2}}{576} = 1$ , cu $c = 49 + 576 = 25$ și $e = \frac{25}{7}$ .

12. $b = \frac{3 a}{4}$ ; înlocuind punctul, $\frac{100}{a ^{2}} - \frac{36}{a ^{2}} = 1$ , deci $a^{2} = 64$ și $b^{2} = 36$ : hiperbola este $\frac{x ^{2}}{64} - \frac{y ^{2}}{36} = 1$ , cu $c = 10$ și $e = \frac{5}{4}$ .

13. Focarul e pe $O x$ , cu abscisă pozitivă: $y^{2} = 2 p x$ și $\frac{p}{2} = 15$ , deci $p = 30$ și $y^{2} = 60 x$ , cu directoarea $x = - 15$ .

14. Directoarea e orizontală, deasupra vârfului, deci curba se deschide în jos: $x^{2} = - 2 p y$ cu $\frac{p}{2} = 7$ , adică $p = 14$ și $x^{2} = - 28 y$ , cu focarul $(0, - 7)$ .

15. Punctul are abscisa pozitivă, deci $y^{2} = 2 p x$ ; din $400 = 2 p \cdot 10$ rezultă $2 p = 40$ , adică $y^{2} = 40 x$ , cu $p = 20$ , focarul $(10, 0)$ și directoarea $x = - 10$ .

16. Este configurația din Exemplul $1$ : cercul este $x^{2} + y^{2} - 4 x - 10 y + 4 = 0$ , cu centrul $(2, 5)$ și raza $5$ . Fântâna se sapă în punctul de coordonate $(2, 5)$ , adică la $20$ de metri pe o direcție și $50$ pe cealaltă față de origine; ea va fi la $50$ de metri de fiecare stâlp.

17. a) $k = 5 \cdot 4 = 20$ , deci $x y = 20$ . b) $a = b = 40 = 210$ , iar $e = 2$ la orice hiperbolă echilateră; focarele sunt $(\pm 210, \pm 210)$ , cu semne luate simultan. c) Perechile de numere naturale cu produsul $20$ : $(1, 20)$ , $(2, 10)$ , $(4, 5)$ , $(5, 4)$ , $(10, 2)$ , $(20, 1)$ — șase puncte, pe ramura din primul cadran.

18. Curba $x y = k$ are o singură necunoscută, iar condiția „trece prin $M$ " o determină complet: $k = x_{0} y_{0}$ , valoare unică și nenulă. Elipsa are două necunoscute, deci o singură condiție lasă o infinitate de soluții: cu $u = \frac{1}{a ^{2}}$ , $v = \frac{1}{b ^{2}}$ , ecuația $x_{0}^{2} u + y_{0}^{2} v = 1$ descrie o dreaptă în planul $(u, v)$ , iar fiecare punct al ei cu $0 < u < v$ dă câte o elipsă cu axa mare pe $O x$ care trece prin $M$ .

De reținut

Determinarea unei conice începe cu numărarea condițiilor: cercul are trei necunoscute, elipsa și hiperbola câte două, iar parabola în formă canonică și hiperbola echilateră $x y = k$ câte una singură.
La cerc, toate condițiile uzuale — apartenența unui punct, poziția centrului pe o dreaptă — se traduc în ecuații liniare în $m$ , $n$ și $p$ , deci problema se reduce la un sistem $3 \times 3$ rezolvat cu formulele lui Cramer.
Condiția de tangență a unui cerc la o dreaptă se scrie $d (C, d) = r$ , adică distanța de la centru la dreaptă este egală cu raza.
Elipsa determinată de două puncte se află notând $u = \frac{1}{a ^{2}}$ și $v = \frac{1}{b ^{2}}$ , schimbare care transformă condițiile de apartenență într-un sistem liniar $2 \times 2$ .
Asimptotele unei hiperbole aduc o singură condiție, $\frac{b}{a} = k$ , deci trebuie completate mereu cu un vârf, un focar sau un punct al curbei.

Greșeli frecvente

Se începe calculul fără să se numere condițiile. Se scriu ecuații, se ajunge la un sistem nedeterminat și se pierde timpul. Corect: numeri întâi necunoscutele conicei și condițiile din enunț; dacă nu sunt egale, problema fie are o infinitate de soluții, fie e contradictorie, iar răspunsul trebuie să spună asta.
Se confundă rolul literelor $a$ , $b$ , $p$ între conice. La cerc, $C (a, b)$ este centrul și $p$ termenul liber; la elipsă și la hiperbolă, $a$ și $b$ sunt semiaxele; la parabolă, $p$ este parametrul. Corect: scrie de fiecare dată, înainte de calcul, ce înseamnă litera în problema ta.
Se cred asimptotele suficiente pentru a determina hiperbola. Din $y = \pm \frac{3}{4} x$ se scrie direct $\frac{x ^{2}}{64} - \frac{y ^{2}}{36} = 1$ . Corect: asimptotele fixează numai raportul $\frac{b}{a}$ ; fără o a doua condiție există o infinitate de hiperbole cu aceleași asimptote.
Se așază focarul parabolei la distanța $p$ de vârf. Din „focarul este $(15, 0)$ " se scrie $p = 15$ și $y^{2} = 30 x$ . Corect: distanța de la vârf la focar este $\frac{p}{2}$ , deci $p = 30$ și $y^{2} = 60 x$ ; numărul $p$ este distanța de la focar la directoare.
Se scrie ecuația fără verificare finală. După Cramer sau după eliminare se trece mai departe. Corect: substitui toate punctele din enunț în ecuația obținută, recalculezi elementele și controlezi condițiile de existență — $m^{2} + n^{2} - p > 0$ la cerc, $a > b > 0$ la elipsă, $p > 0$ la parabolă.

Aplică acasă

Trei borne și un bazin. Marchează pe hârtie milimetrică trei puncte cu coordonate întregi, necoliniare, și determină cercul care trece prin ele. Desenează-l cu compasul din centrul calculat. Repetă cu trei puncte aproape coliniare și observă cum crește raza.
Bolta după două măsurători. Măsoară deschiderea la sol și înălțimea la mijloc a unei arcade din cartier și scrie ecuația semi-elipsei corespunzătoare, cu originea la mijlocul deschiderii. Verifică modelul măsurând înălțimea la un metru de margine.
Antena și focarul. Alege distanța la care ai vrea să stea receptorul unei antene parabolice — de pildă $30$ de centimetri — și determină ecuația secțiunii, apoi diametrul antenei, dacă adâncimea ei este de $20$ de centimetri.

Pentru părinți și profesori

Ce verifică lecția. Problemele inverse la toate cele patru conice: numărarea condițiilor și recunoașterea problemelor bine puse; cercul prin trei puncte, tangent unei drepte sau cu centrul pe o dreaptă; elipsa din două puncte sau din focare și excentricitate; hiperbola din asimptote plus o a doua condiție; parabola din focar, din directoare sau dintr-un punct; hiperbola echilateră printr-un punct. Competența principală este XII.CS.5.3, „determinarea ecuațiilor unor conice cu diferite caracteristici particulare"; se adaugă XII.CS.4.3 și XII.CS.1.3.

Întrebări de control. „Câte necunoscute are conica din problema ta?"; „Câte condiții dă enunțul?"; „Cum se traduce tangența la o dreaptă?"; „De ce asimptotele nu sunt de ajuns la hiperbolă?"; „Ce verifici la sfârșit?".

Semne că a înțeles. Elevul numără condițiile înainte de a scrie prima ecuație; alege singur forma potrivită a ecuației, cu orientarea corectă; folosește schimbarea de necunoscute la elipsă, în loc să rezolve un sistem cu numitori; și substituie, la final, toate datele din enunț în ecuația găsită.

Unde apare la BAC M1. Vezi ultima întrebare din secțiunea „Întrebări frecvente" pentru situația reală a conicelor în examen. Tehnica sistemelor liniare rezolvate cu Cramer, folosită aici la cerc, este în schimb materie de algebră a clasei a XI-a, cerută la examen în forma ei proprie.

Întrebări frecvente

Câte condiții sunt necesare pentru a determina o conică?

Depinde de tipul ei și de forma folosită. Cercul, scris cu ecuația generală, are trei coeficienți necunoscuți, deci îi trebuie trei condiții scalare independente. Elipsa și hiperbola în formă canonică au două necunoscute, semiaxele, deci două condiții. Parabola în formă canonică și hiperbola echilateră $x y = k$ au o singură necunoscută, deci le ajunge o singură condiție.

Cum determin ecuația unui cerc care trece prin trei puncte?

Scrii pentru fiecare punct condiția de apartenență sub forma $2 x_{0} m + 2 y_{0} n + p = - (x_{0}^{2} + y_{0}^{2})$ , obții un sistem liniar de trei ecuații cu necunoscutele $m$ , $n$ , $p$ și îl rezolvi cu formulele lui Cramer. Apoi treci la forma canonică, verifici condiția $m^{2} + n^{2} - p > 0$ și substitui toate cele trei puncte în ecuația finală.

Cum aflu ecuația unei elipse dacă știu două puncte ale ei?

Notezi $u = \frac{1}{a ^{2}}$ și $v = \frac{1}{b ^{2}}$ ; condiția ca punctul $(x_{0}, y_{0})$ să fie pe elipsă devine $x_{0}^{2} u + y_{0}^{2} v = 1$ , adică o ecuație liniară. Două puncte dau un sistem $2 \times 2$ , pe care îl rezolvi ușor, iar la final revii prin $a^{2} = \frac{1}{u}$ și $b^{2} = \frac{1}{v}$ . Verifici apoi că $a > b > 0$ .

Cum determin o hiperbolă când se dau asimptotele?

Asimptotele $y = \pm k x$ dau numai raportul $\frac{b}{a} = k$ , deci o singură condiție. Îți mai trebuie una: un vârf (care dă direct $a$ ), un focar (din care $a^{2} = \frac{c ^{2}}{1 + k ^{2}}$ ) sau un punct al curbei, pe care îl înlocuiești în ecuația canonică scrisă cu $b = k a$ , obținând o ecuație cu necunoscuta $a^{2}$ .

Cum scriu ecuația parabolei când se dă focarul sau directoarea?

Alegi întâi orientarea din tabelul celor patru forme: variabila de la pătrat arată axa de simetrie, iar poziția focarului sau a directoarei față de vârf arată sensul deschiderii. Apoi folosești faptul că distanța de la vârf la focar și cea de la vârf la directoare sunt amândouă $\frac{p}{2}$ , de unde afli $p$ și scrii ecuația.

Se cer probleme de determinare a conicelor la Bacalaureat M1?

În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu programa nouă a clasei a XII-a. Formatul previzibil este cel din Exemplul $6$ — determinarea ecuației, verificarea unei tangențe, un al doilea cerc obținut din prima configurație —, iar tehnica sistemelor liniare pe care se sprijină este deja cerută la examen, în capitolul de algebră.