Distanța de la un punct la o dreaptă: pe scurt

De la un punct la o dreaptă se pot duce o infinitate de segmente; distanța este cel mai scurt dintre ele, iar minimul se atinge exact în piciorul perpendicularei. Demonstrația e o singură aplicare a teoremei lui Pitagora: pentru orice alt punct $Q$ al dreptei, triunghiul $M_{0}NQ$ este dreptunghic în $N$, deci $M_{0}Q>M_{0}N$. Consecința practică: distanța se măsoară pe perpendiculară, nu „pe verticală”.

Formula, pentru $h:ax+by+c=0$ și $M_0(x_0,y_0)$, este $d(M_0,h)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Numărătorul măsoară cât de mult nu verifică punctul ecuația, iar numitorul traduce această abatere în unitățile axelor. Dreapta se aduce întâi la forma generală, cu toți termenii în membrul stâng — coeficienții nu se citesc din forma explicită.

Demonstrația dă și piciorul perpendicularei: $N(x_0-ak,y_0-bk)$, unde $k=\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}$, iar distanța este $|k|\sqrt{a^2+b^2}$. Toate cazurile speciale intră în aceeași formulă: verticala $x=a$ dă $|x_0-a|$, orizontala $y=b$ dă $|y_0-b|$, originea dă $\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$, iar un punct de pe dreaptă dă $0$.

Distanța dintre două drepte paralele este distanța de la un punct oarecare al uneia la cealaltă; forma scurtă $\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ cere ca $a$ și $b$ să fie identici în ambele ecuații. Iar înălțimea din $C$ a triunghiului $ABC$ este chiar $d(C,AB)$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Distanța de la punctul $M(-2,5)$ la dreapta $h:3x-4y+1=0$ este egală cu:

   • a) $\frac{25}{7}$
   • b) $-5$
   • c) $25$
   • d) $5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $5$

   Numărătorul este $|3\cdot (-2)-4\cdot 5+1|=|-25|=25$, iar numitorul $\sqrt{9+16}=5$, deci $d=5$. Varianta $\frac{25}{7}$ apare dacă la numitor se scrie $|a|+|b|$ în loc de $\sqrt{a^2+b^2}$, iar $-5$ dacă se uită modulul — o distanță nu poate fi negativă.

2. Distanța de la punctul $P(1,3)$ la dreapta $y=2x+4$ este egală cu:

   • a) $\frac{3\sqrt{5}}{5}$
   • b) $3$
   • c) $\frac{3}{5}$
   • d) $\frac{9\sqrt{5}}{5}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{3\sqrt{5}}{5}$

   Aducem dreapta la forma generală: $2x-y+4=0$. Atunci $d=\frac{|2-3+4|}{\sqrt{4+1}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$. Varianta $\frac{9\sqrt{5}}{5}$ apare dacă se iau coeficienții direct din forma explicită, iar $3$ este distanța măsurată pe verticală — mai mare decât cea reală.

3. Piciorul perpendicularei duse din $M(3,5)$ pe dreapta $h:x-2y+4=0$ are coordonatele:

   • a) $\left(\frac{12}{5},\frac{31}{5}\right)$
   • b) $\left(\frac{18}{5},\frac{19}{5}\right)$
   • c) $\left(3,\frac{7}{2}\right)$
   • d) $\left(\frac{21}{5},\frac{13}{5}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\left(\frac{18}{5},\frac{19}{5}\right)$

   Cu $k=\frac{3-10+4}{1+4}=-\frac{3}{5}$, piciorul este $N(x_0-ak,y_0-bk)=\left(3+\frac{3}{5},5-\frac{6}{5}\right)=\left(\frac{18}{5},\frac{19}{5}\right)$. Verificare: $\frac{18}{5}-\frac{38}{5}+4=0$ ✓. Varianta a treia se obține coborând vertical din $M$ pe dreaptă, iar ultima este simetricul lui $M$ față de $h$.