Distanța de la un punct la o dreaptă

Un inginer care proiectează racordul unei case la o conductă întinsă de-a lungul unui drum nu are nevoie de multe date: îi ajung coordonatele casei și ecuația drumului. Din ele află imediat lungimea minimă a țevii — iar minimul acesta nu se obține alegând la nimereală un punct al conductei, ci exact unul: piciorul perpendicularei coborâte din casă. Aceeași întrebare apare la traseul unui cablu, la lățimea unei benzi de siguranță în jurul unei șosele sau la înălțimea unei parcele triunghiulare.

Până acum, în această unitate, dreapta a fost descrisă prin ecuații: explicită, generală, prin două puncte. Lecția de față transformă o ecuație într-o măsurătoare. Vei obține o formulă scurtă, $d(M_0,h)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$, care spune cât de departe se află un punct de o dreaptă fără să deseneze nimic și fără să calculeze piciorul perpendicularei. O vom deduce cinstit, calculând mai întâi piciorul perpendicularei, ca să vedem de unde vine fiecare literă din ea.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești corect distanța de la un punct la o dreaptă ca lungime a perpendicularei și să justifici de ce ea este cea mai mică dintre toate distanțele posibile.
• Vei ști să determini piciorul perpendicularei coborâte dintr-un punct pe o dreaptă, rezolvând un sistem de două ecuații.
• Vei ști să demonstrezi și să aplici formula distanței, pornind de la ecuația generală $ax+by+c=0$.
• Vei ști să tratezi separat cazurile speciale: dreapta verticală, dreapta orizontală, punctul situat pe dreaptă și distanța de la origine.
• Vei ști să calculezi distanța dintre două drepte paralele și înălțimea unui triunghi dat prin coordonatele vârfurilor.
• Vei ști să rezolvi probleme inverse: să afli un parametru dintr-o condiție de forma „distanța este egală cu…".

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă, de fapt, „distanța de la un punct la o dreaptă"

Fie $h$ o dreaptă și $M_0$ un punct din plan. De la $M_0$ la dreaptă se pot duce o infinitate de segmente: câte unul pentru fiecare punct $Q\in h$. Lungimile lor sunt, în general, diferite, deci trebuie spus limpede care dintre ele se numește „distanță".

Definiție. Distanța de la punctul $M_0$ la dreapta $h$, notată $d(M_0,h)$, este cea mai mică dintre lungimile segmentelor $M_{0}Q$, cu $Q\in h$.

Vestea bună este că acest minim se atinge într-un singur punct, ușor de recunoscut.

Teoremă. Fie $N$ piciorul perpendicularei coborâte din $M_0$ pe $h$. Atunci $d(M_0,h)=M_{0}N$, iar pentru orice alt punct $Q\in h$ avem $M_{0}Q>M_{0}N$.

Demonstrație. Dacă $Q\in h$ și $Q\ne N$, triunghiul $M_{0}NQ$ este dreptunghic în $N$, pentru că $M_{0}N\perp h$, iar $NQ$ este cuprins în $h$. Teorema lui Pitagora dă

$$M_0{Q}^2=M_0{N}^2+N{Q}^2>M_0{N}^2,$$

deoarece $NQ>0$. Deci $M_{0}Q>M_{0}N$ pentru orice $Q\ne N$, adică minimul este atins exact în $N$. $■$

Reține consecința practică: distanța se măsoară pe perpendiculară, nu „pe verticală". Dacă ai un punct deasupra unei șosele oblice și cobori pe verticală până la ea, obții un număr mai mare decât distanța reală.

Două situații se rezolvă din prima privire, fără niciun calcul:

• dacă $h$ este verticala de ecuație $x=a$, atunci perpendiculara din $M_0(x_0,y_0)$ este orizontală și $d(M_0,h)=|x_0-a|$;
• dacă $h$ este orizontala de ecuație $y=b$, atunci $d(M_0,h)=|y_0-b|$.

De exemplu, distanța de la $A(-1,5)$ la dreapta $x=3$ este $|-1-3|=4$, iar distanța de la $B(1,3)$ la dreapta $y=-2$ este $|3-(-2)|=5$.

2. Drumul lung: calculăm efectiv piciorul perpendicularei

Înainte de formulă, merită parcurs o dată drumul complet, pe un exemplu numeric. Fie dreapta $h:3x-4y+5=0$ și punctul $M_0(2,1)$.

Pasul 1 — panta lui $h$. Din $3x-4y+5=0$ obținem $y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$, deci panta lui $h$ este $m_h=\frac{3}{4}$.

Pasul 2 — perpendiculara prin $M_0$. Din Condiții de paralelism și de perpendicularitate, o dreaptă $p$ perpendiculară pe $h$ are panta $m_p$ cu $m_h\cdot m_p=-1$, deci $m_p=-\frac{4}{3}$. Ecuația dreptei prin punct, cu panta dată, ne conduce la

$$y-1=-\frac{4}{3}(x-2)⟺3y-3=-4x+8⟺4x+3y-11=0.$$

Pasul 3 — intersecția. Punctul $N$ este soluția sistemului format din cele două ecuații, exact ca în Poziția relativă a două drepte în plan:

$$\{\begin{array}{l}3x-4y=-5\\ 4x+3y=11\end{array}$$

Determinantul sistemului este $\Delta =3\cdot 3-(-4)\cdot 4=25\ne 0$, deci sistemul este de tip Cramer și are soluție unică:

$$x_N=\frac{1}{25}\left|\begin{array}{cc}-5& -4\\ 11& 3\end{array}\right|=\frac{-15+44}{25}=\frac{29}{25},y_N=\frac{1}{25}\left|\begin{array}{cc}3& -5\\ 4& 11\end{array}\right|=\frac{33+20}{25}=\frac{53}{25}.$$

Pasul 4 — lungimea. Cu formula distanței dintre două puncte,

$$d(M_0,h)=M_{0}N=\sqrt{{\left(2-\frac{29}{25}\right)}^2+{\left(1-\frac{53}{25}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{21}{25}\right)}^2+{\left(\frac{28}{25}\right)}^2}=\frac{7}{25}\sqrt{9+16}=\frac{7}{5}=1,4.$$

Rezultatul e corect, dar drumul e lung: o pantă, o ecuație, un sistem, un radical. Îl vom parcurge o singură dată în general — iar de acolo va ieși o formulă care sare peste toți pașii intermediari.

3. Formula distanței și demonstrația ei

Teoremă. Fie dreapta $h:ax+by+c=0$, cu $a$ și $b$ nu simultan nule, și punctul $M_0(x_0,y_0)$. Atunci

$$d(M_0,h)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Demonstrație. Repetăm, cu litere, pașii din secțiunea anterioară, dar folosim criteriul de perpendicularitate prin coeficienți, care are avantajul că nu cere existența pantelor.

Dreapta $p$ care trece prin $M_0$ și are coeficienții $(b,-a)$, adică

$$p:b(x-x_0)-a(y-y_0)=0,$$

este perpendiculară pe $h$, deoarece $a\cdot b+b\cdot (-a)=0$. Notăm

$$k=\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}$$

și verificăm că punctul $N(x_0-ak,y_0-bk)$ este chiar intersecția celor două drepte.

Într-adevăr, $N\in h$:

$$a(x_0-ak)+b(y_0-bk)+c=(a{x}_0+b{y}_0+c)-(a^2+b^2)k=0,$$

prin chiar definiția lui $k$. Și $N\in p$, pentru că $b(x_N-x_0)-a(y_N-y_0)=b(-ak)-a(-bk)=0$. Cum $p$ este perpendiculară pe $h$, punctul $N$ este piciorul perpendicularei din $M_0$.

Mai rămâne lungimea:

$$M_{0}N=\sqrt{(-ak{)}^2+(-bk{)}^2}=|k|\sqrt{a^2+b^2}=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{a^2+b^2}\cdot \sqrt{a^2+b^2}=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.■$$

Demonstrația spune, în plus, ceva ce se folosește des: coordonatele piciorului perpendicularei sunt $N(x_0-ak,y_0-bk)$, cu $k$ de mai sus. Pe exemplul din secțiunea 2: $a=3$, $b=-4$, $c=5$, $x_0=2$, $y_0=1$, deci $k=\frac{6-4+5}{25}=\frac{7}{25}$ și

$$N\left(2-\frac{21}{25},1+\frac{28}{25}\right)=N\left(\frac{29}{25},\frac{53}{25}\right),$$

exact punctul găsit prin rezolvarea sistemului. Iar distanța este $|k|\sqrt{a^2+b^2}=\frac{7}{25}\cdot 5=\frac{7}{5}$.

Merită citită formula și „pe înțelesul ei". Numărătorul, $a{x}_0+b{y}_0+c$, măsoară cât de mult nu verifică punctul ecuația dreptei: dacă punctul e pe dreaptă, expresia e zero; cu cât punctul se depărtează, cu atât valoarea crește în valoare absolută. Numărătorul singur nu este însă o lungime, pentru că depinde de mărimea coeficienților. Numitorul $\sqrt{a^2+b^2}$ este exact factorul care aduce totul la scara reală a planului, transformând o „abatere algebrică" într-o distanță măsurată în unitățile axelor. Cele două părți ale formulei se explică, așadar, una pe cealaltă: prima spune cât de departe ești de a satisface ecuația, a doua traduce acest lucru în centimetri, metri sau kilometri.

Atenție la ordinea pașilor. Formula cere forma generală a dreptei, cea din lecția Ecuația generală a dreptei. Dacă dreapta e dată altfel, prima operație este aducerea ei la forma $ax+by+c=0$, cu toți termenii în membrul stâng. Numărătorul se obține apoi înlocuind, în membrul stâng, $x$ cu $x_0$ și $y$ cu $y_0$.

4. Cazuri particulare, toate acoperite de aceeași formulă

a) Dreapta dată explicit. Dacă $h:y=mx+n$, o rescriem $mx-y+n=0$, deci $a=m$, $b=-1$, $c=n$ și

$$d(M_0,h)=\frac{|m{x}_0-y_0+n|}{\sqrt{m^2+1}}.$$

Exemplu. Distanța de la $P(3,4)$ la dreapta $y=2x-1$: aducem la $2x-y-1=0$ și obținem

$$d=\frac{|6-4-1|}{\sqrt{4+1}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 0,45.$$

b) Dreapta verticală. Dreapta $x=a$ nu are pantă, deci nu poate fi scrisă sub forma explicită — dar are formă generală: $1\cdot x+0\cdot y-a=0$. Formula dă

$$d(M_0,h)=\frac{|x_0-a|}{\sqrt{1+0}}=|x_0-a|,$$

adică exact ce am observat geometric în secțiunea 1. Formula distanței funcționează și pentru verticale, tocmai pentru că lucrează cu coeficienți, nu cu pante. Analog, pentru $y=b$ se obține $|y_0-b|$.

c) Punctul se află pe dreaptă. Atunci $a{x}_0+b{y}_0+c=0$ și $d(M_0,h)=0$. Reciproc, dacă distanța este nulă, numărătorul este nul, deci punctul verifică ecuația. Avem astfel un criteriu scurt: $M_0\in h⟺d(M_0,h)=0$.

d) Distanța de la origine. Pentru $O(0,0)$ rămâne doar termenul liber:

$$d(O,h)=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

De pildă, pentru $3x-4y+5=0$ obținem $d(O,h)=\frac{5}{5}=1$.

e) Ecuația se poate înmulți cu un număr nenul. Dreptele $3x-4y+5=0$ și $6x-8y+10=0$ sunt aceeași dreaptă. Formula respectă acest lucru: dacă înmulțim $a$, $b$, $c$ cu $t\ne 0$, numărătorul se înmulțește cu $|t|$, numitorul la fel, iar raportul rămâne neschimbat. Distanța nu depinde de forma în care ai scris ecuația.

Merită subliniată această independență, pentru că elevii o pun adesea la îndoială. O distanță este o mărime geometrică: ea depinde doar de poziția punctului și de poziția dreptei, nu de simbolurile cu care am ales să descriem dreapta. Ecuația este doar un mod de a numi o mulțime de puncte, iar aceeași mulțime poate fi numită în infinit de multe feluri, toate proporționale între ele. Un control rapid, pe care îl poți face oricând: recalculează distanța după ce înmulțești ecuația cu $-1$ și vezi că numărul obținut e același.

5. Ce spune semnul expresiei $a{x}_0+b{y}_0+c$

Modulul din formulă ascunde o informație pe care merită să o recuperăm, pentru că se dovedește utilă în probleme. Dacă lăsăm deoparte modulul și calculăm pur și simplu numărul $a{x}_0+b{y}_0+c$, semnul lui ne spune de care parte a dreptei se află punctul.

Dreapta $h$ împarte planul în două regiuni, numite semiplane. Pentru toate punctele unei regiuni expresia este strict pozitivă, pentru toate punctele celeilalte este strict negativă, iar pe dreapta însăși este nulă. Justificarea folosește doar funcții de gradul întâi: punctele segmentului care unește $P_1(x_1,y_1)$ cu $P_2(x_2,y_2)$ se scriu $(x_1+t(x_2-x_1),y_1+t(y_2-y_1))$, cu $t\in [0,1]$, iar înlocuind în expresie obținem

$$E(t)=(1-t)E_1+t{E}_2,\text{unde }{E}_i=a{x}_i+b{y}_i+c.$$

Aceasta este o funcție de gradul întâi în $t$: dacă $E_1$ și $E_2$ au semne contrare, ea se anulează pentru exact o valoare $t\in (0,1)$, deci segmentul taie dreapta o singură dată; dacă au același semn, nu se anulează deloc, deci segmentul rămâne întreg de aceeași parte.

Exemplu. Pentru $h:3x-4y+5=0$, punctul $M_0(2,1)$ dă valoarea $7>0$, iar punctul $Q(0,4)$ dă $0-16+5=-11<0$. Cele două puncte se află, așadar, de o parte și de alta a dreptei, iar segmentul $M_{0}Q$ o intersectează. În schimb, $O(0,0)$ dă $5>0$: originea este de aceeași parte cu $M_0$.

Observația se folosește ori de câte ori trebuie să știi de care parte a unei drepte se află un punct, iar cel mai des ea servește la scoaterea modulului: dacă un punct mobil rămâne tot timpul de aceeași parte a dreptei, expresia își păstrează semnul, deci modulul se poate desface o singură dată, pentru toată problema. Exact așa vom proceda în lecția Probleme de geometrie analitică: distanțe deduse din arii și optimizare.

6. Distanța dintre două drepte paralele

Dacă $d_1\parallel d_2$, toate punctele lui $d_1$ sunt egal depărtate de $d_2$ — de aceea are sens să vorbim despre distanța dintre cele două drepte. Practic: alegi un punct oarecare de pe prima dreaptă și îi calculezi distanța până la a doua.

Exemplu. Fie $d_1:3x-4y+5=0$ și $d_2:3x-4y-15=0$. Coeficienții lui $x$ și $y$ coincid, deci dreptele sunt paralele. Punctul $A(1,2)$ aparține lui $d_1$, fiindcă $3-8+5=0$. Atunci

$$d(d_1,d_2)=d(A,d_2)=\frac{|3-8-15|}{\sqrt{9+16}}=\frac{20}{5}=4.$$

Control cu alt punct. Punctul $B(5,5)$ este tot pe $d_1$ ($15-20+5=0$), iar $d(B,d_2)=\frac{|15-20-15|}{5}=\frac{20}{5}=4$ — aceeași valoare, cum era de așteptat.

Când cele două ecuații au exact aceiași coeficienți $a$ și $b$, calculul se scurtează: $d(d_1,d_2)=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Condiția este esențială — pentru $3x-4y+5=0$ și $6x-8y-30=0$ formula scurtă ar da un rezultat fals; înmulțește întâi prima ecuație cu $2$ și abia apoi compară termenii liberi.

7. Distanța ca înălțime într-un triunghi

Într-un triunghi $ABC$, înălțimea din $C$ este chiar distanța de la $C$ la dreapta $AB$. Iată de ce lecția aceasta deschide drumul spre calculul ariilor.

Exemplu. Fie $A(1,1)$, $B(5,3)$, $C(2,6)$.

Verificăm întâi că punctele nu sunt coliniare, altfel nu avem triunghi: panta lui $AB$ este $\frac{3-1}{5-1}=\frac{1}{2}$, iar panta lui $AC$ este $\frac{6-1}{2-1}=5$; fiind diferite, cele trei puncte formează un triunghi. (Același lucru se citește dintr-un determinant, în lecția Condiția de coliniaritate a trei puncte.)

Scriem dreapta $AB$: $y-1=\frac{1}{2}(x-1)$, adică $x-2y+1=0$. Atunci

$$d(C,AB)=\frac{|2-12+1|}{\sqrt{1+4}}=\frac{9}{\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}\approx 4,02.$$

Lungimea bazei este $AB=\sqrt{(5-1{)}^2+(3-1{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$, deci aria triunghiului este

$${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d(C,AB)=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot \frac{9\sqrt{5}}{5}=9.$$

În lecția următoare, Aria unui triunghi cu ajutorul determinantului, aceeași arie va ieși dintr-un singur determinant de ordinul al treilea, iar drumul se va putea parcurge și invers: din arie vom deduce distanțe.

Observație de calcul. Rezultatele de tipul $\frac{9}{\sqrt{5}}$ se scriu cu numitorul rațional: $\frac{9}{\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$. Baremele cer forma raționalizată.

8. Probleme inverse: aflarea unui parametru

Formula se folosește la fel de des „de la dreapta la stânga": se dă distanța și se cere o necunoscută. Modulul face ca astfel de probleme să aibă, de regulă, două soluții — una de fiecare parte a dreptei.

Exemplul 1. Determinăm $m\in \mathbb{R}$ pentru care distanța de la origine la dreapta $3x-4y+m=0$ este egală cu $2$.

$$\frac{|m|}{\sqrt{9+16}}=2⟺|m|=10⟺m\in \{-10,10\}.$$

Cele două valori dau două drepte paralele, situate simetric față de origine, la distanța $2$ de ea.

Exemplul 2. Găsim punctele de pe axa $Oy$ aflate la distanța $2$ de dreapta $3x-4y+5=0$. Un punct al axei $Oy$ are forma $P(0,t)$, deci

$$\frac{|-4t+5|}{5}=2⟺|5-4t|=10⟺5-4t=10\text{ sau }5-4t=-10,$$

de unde $t=-\frac{5}{4}$ sau $t=\frac{15}{4}$. Punctele căutate sunt $P_1\left(0,-\frac{5}{4}\right)$ și $P_2\left(0,\frac{15}{4}\right)$.

Strategia este aceeași în toate problemele de acest tip și merită reținută ca o rețetă de patru pași: scrii forma generală a dreptei, scrii punctul cu necunoscuta în el, aplici formula și obții o ecuație cu modul, apoi desfaci modulul în cele două cazuri. Ultimul pas este cel pe care îl uită jumătate dintre elevi, deși el ascunde tocmai simetria figurii. Dacă enunțul adaugă o condiție suplimentară — de pildă „punctul se află deasupra dreptei" sau „ordonata este pozitivă" — atunci una dintre cele două soluții se elimină, dar eliminarea trebuie argumentată, nu presupusă. Un desen schițat repede, chiar și fără riglă, arată imediat care dintre variante corespunde enunțului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aplicarea directă a formulei

Calculați distanța de la punctul $M_0(2,1)$ la dreapta $h:3x-4y+5=0$.

Rezolvare. Dreapta e deja în formă generală, cu $a=3$, $b=-4$, $c=5$. Înlocuim coordonatele punctului în membrul stâng:

$$3\cdot 2-4\cdot 1+5=7,\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=5,$$

deci $d(M_0,h)=\frac{|7|}{5}=\frac{7}{5}=1,4$.

Control pe a doua cale: piciorul perpendicularei este $N\left(\frac{29}{25},\frac{53}{25}\right)$ (secțiunea 2), iar $M_{0}N=\frac{1}{25}\sqrt{21^2+28^2}=\frac{35}{25}=\frac{7}{5}✓$

Exemplul 2 — Dreaptă dată prin ecuația explicită

Calculați distanța de la $P(3,4)$ la dreapta $y=2x-1$.

Rezolvare. Aducem dreapta la forma generală: $2x-y-1=0$. Atunci

$$d(P,h)=\frac{|2\cdot 3-4-1|}{\sqrt{4+1}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$$

Greșeala de evitat este să folosim direct coeficienții din forma explicită („$a=2$, $b=-1$, $c=$ …") fără să trecem toți termenii în stânga.

Exemplul 3 — Drepte paralele cu axele

Calculați $d(A,d_1)$ și $d(B,d_2)$, unde $A(-1,5)$, $d_1:x=3$, $B(1,3)$, $d_2:y=-2$.

Rezolvare. Scriem formele generale: $d_1:x-3=0$ și $d_2:y+2=0$. Atunci

$$d(A,d_1)=\frac{|-1-3|}{\sqrt{1+0}}=4,d(B,d_2)=\frac{|3+2|}{\sqrt{0+1}}=5.$$

Ambele se citesc și direct de pe desen: prima este o deplasare orizontală, a doua o deplasare verticală.

Exemplul 4 — Distanța dintre două drepte paralele

Arătați că dreptele $d_1:3x-4y+5=0$ și $d_2:3x-4y-15=0$ sunt paralele și calculați distanța dintre ele.

Rezolvare. Din criteriul cu coeficienți, $a_1{b}_2-a_2{b}_1=3\cdot (-4)-3\cdot (-4)=0$, deci dreptele sunt paralele sau confundate; cum $c_1\ne c_2$, ele sunt paralele distincte (punctul $A(1,2)\in d_1$ nu verifică ecuația lui $d_2$: $3-8-15=-20\ne 0$).

Distanța dintre ele este distanța de la $A$ la $d_2$:

$$d(d_1,d_2)=\frac{|3-8-15|}{5}=\frac{20}{5}=4.$$

Exemplul 5 — Înălțimea unui triunghi

Se consideră triunghiul cu vârfurile $A(1,1)$, $B(5,3)$, $C(2,6)$. Calculați lungimea înălțimii din $C$.

Rezolvare. Pantele $m_{AB}=\frac{1}{2}$ și $m_{AC}=5$ fiind diferite, punctele nu sunt coliniare. Dreapta $AB$ are ecuația $x-2y+1=0$ (verificare: $A$ dă $1-2+1=0$, $B$ dă $5-6+1=0$). Înălțimea din $C$ este

$$h_C=d(C,AB)=\frac{|2-12+1|}{\sqrt{5}}=\frac{9}{\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}.$$

Control: $AB=2\sqrt{5}$, iar $\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot \frac{9\sqrt{5}}{5}=9$ — o valoare întreagă pentru arie, semn bun că socoteala e curată.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră punctul $M(4,1)$ și dreapta $h:2x+y-3=0$.

a) Arătați că punctul $M$ nu aparține dreptei $h$.

b) Calculați distanța de la $M$ la $h$.

c) Determinați coordonatele piciorului perpendicularei duse din $M$ pe $h$ și verificați rezultatul de la punctul b).

Rezolvare. a) Înlocuim: $2\cdot 4+1-3=6\ne 0$, deci $M\notin h$.

b) Cu $a=2$, $b=1$, $c=-3$:

$$d(M,h)=\frac{|6|}{\sqrt{4+1}}=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}.$$

c) Folosim formulele din demonstrație: $k=\frac{2\cdot 4+1-3}{4+1}=\frac{6}{5}$, deci

$$N\left(4-2\cdot \frac{6}{5},1-1\cdot \frac{6}{5}\right)=N\left(\frac{8}{5},-\frac{1}{5}\right).$$

Verificăm că $N\in h$: $2\cdot \frac{8}{5}-\frac{1}{5}-3=\frac{16-1-15}{5}=0✓$ Lungimea:

$$MN=\sqrt{{\left(4-\frac{8}{5}\right)}^2+{\left(1+\frac{1}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{144+36}{25}}=\sqrt{\frac{180}{25}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}✓$$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu scrie explicit forma generală a dreptei înainte de a aplica formula, iar rezultatele cu radical la numitor raționalizează-le.

1. Calculează distanța de la $M(2,1)$ la dreapta $3x-4y+5=0$.

2. Calculează distanța de la $R(2,3)$ la dreapta $3x+4y-1=0$.

3. Calculează distanța de la $T(7,-2)$ la dreapta $4x-3y+1=0$.

4. Calculează distanța de la $K(-3,2)$ la dreapta $5x+12y-7=0$.

5. Calculează distanța de la $M(1,2)$ la dreapta $x+y-7=0$ și scrie rezultatul cu numitor rațional.

6. Calculează distanța de la $P(3,4)$ la dreapta $y=2x-1$.

7. Calculează $d(A,d_1)$ și $d(B,d_2)$, unde $A(-1,5)$, $d_1:x=3$, $B(1,3)$, $d_2:y=-2$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Distanța de la un punct la o dreaptă este nulă dacă și numai dacă punctul aparține dreptei."

9. Calculează distanța de la originea $O$ la dreapta $3x-4y+5=0$.

10. Arată că dreptele $3x-4y+5=0$ și $3x-4y-15=0$ sunt paralele și calculează distanța dintre ele.

11. Pentru triunghiul $A(1,1)$, $B(5,3)$, $C(2,6)$, scrie ecuația dreptei $AB$ și calculează lungimea înălțimii din $C$.

12. Determină $m\in \mathbb{R}$ astfel încât distanța de la origine la dreapta $3x-4y+m=0$ să fie egală cu $2$.

13. Determină punctele de pe axa $Oy$ aflate la distanța $2$ de dreapta $3x-4y+5=0$.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă înmulțim ecuația unei drepte cu $2$, distanța de la un punct fixat la ea se dublează."

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Formula distanței nu se poate aplica dreptelor verticale, pentru că acestea nu au pantă."

16. (Problemă aplicată.) Într-un plan de situație cu unitatea de $100$ de metri, o conductă urmează dreapta $3x-4y+5=0$, iar o gospodărie se află în punctul $M(2,1)$. Câți metri de țeavă sunt necesari pentru racordul cel mai scurt? În ce punct al conductei se face racordul?

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră punctul $M(4,1)$ și dreapta $h:2x+y-3=0$. a) Arată că $M\notin h$. b) Calculează $d(M,h)$. c) Determină piciorul perpendicularei din $M$ pe $h$ și verifică rezultatul de la b).

18. (Provocare.) Arată că mulțimea punctelor egal depărtate de dreptele paralele $3x-4y+5=0$ și $3x-4y-15=0$ este o dreaptă paralelă cu ele și scrie ecuația acesteia.

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{|6-4+5|}{\sqrt{9+16}}=\frac{7}{5}=1,4$.

2. $\frac{|6+12-1|}{\sqrt{9+16}}=\frac{17}{5}=3,4$.

3. $\frac{|28+6+1|}{\sqrt{16+9}}=\frac{35}{5}=7$.

4. $\frac{|-15+24-7|}{\sqrt{25+144}}=\frac{2}{13}$.

5. $\frac{|1+2-7|}{\sqrt{1+1}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\approx 2,83$.

6. Forma generală este $2x-y-1=0$, deci $d=\frac{|6-4-1|}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

7. $d(A,d_1)=|-1-3|=4$ și $d(B,d_2)=|3+2|=5$; ambele se obțin și din formulă, cu $\sqrt{a^2+b^2}=1$.

8. Adevărat. Numitorul $\sqrt{a^2+b^2}$ este strict pozitiv, deci raportul este nul exact când $a{x}_0+b{y}_0+c=0$, adică exact când punctul verifică ecuația dreptei.

9. $\frac{|5|}{5}=1$. La origine rămâne doar termenul liber.

10. Coeficienții lui $x$ și $y$ sunt aceiași, deci $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$: dreptele sunt paralele, iar termenii liberi diferiți arată că sunt distincte. Cu $A(1,2)\in d_1$: $d=\frac{|3-8-15|}{5}=4$. Același rezultat cu $B(5,5)\in d_1$.

11. $m_{AB}=\frac{1}{2}$, deci $AB:x-2y+1=0$; înălțimea din $C$ este $\frac{|2-12+1|}{\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}\approx 4,02$.

12. $\frac{|m|}{5}=2\Rightarrow |m|=10\Rightarrow m=10$ sau $m=-10$. Se obțin două drepte paralele, simetrice față de origine.

13. Punctul are forma $P(0,t)$; din $\frac{|5-4t|}{5}=2$ rezultă $5-4t=\pm 10$, deci $t=-\frac{5}{4}$ sau $t=\frac{15}{4}$: punctele $P_1\left(0,-\frac{5}{4}\right)$ și $P_2\left(0,\frac{15}{4}\right)$.

14. Fals. Prin înmulțirea cu $2$ se obține aceeași dreaptă, iar în formulă numărătorul și numitorul se înmulțesc amândoi cu $2$: raportul nu se schimbă. Distanța este o mărime geometrică, nu depinde de scrierea ecuației.

15. Fals. Verticala $x=a$ are forma generală $x-a=0$, în care coeficientul lui $x$ este $1$, iar cel al lui $y$ este $0$; formula dă $|x_0-a|$, rezultatul corect. Tocmai pentru că lucrează cu coeficienți, formula acoperă și cazul în care panta nu există.

16. $d(M,h)=\frac{7}{5}=1,4$ unități, adică $140$ de metri. Racordul se face în piciorul perpendicularei, $N\left(\frac{29}{25},\frac{53}{25}\right)=N(1,16;2,12)$.

17. a) $2\cdot 4+1-3=6\ne 0$, deci $M\notin h$. b) $d(M,h)=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$. c) Cu $k=\frac{6}{5}$ se obține $N\left(\frac{8}{5},-\frac{1}{5}\right)$, care verifică ecuația lui $h$; $MN=\sqrt{\frac{144+36}{25}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}✓$

18. Un punct $P(x,y)$ este egal depărtat de cele două drepte dacă $\frac{|3x-4y+5|}{5}=\frac{|3x-4y-15|}{5}$. Notând $u=3x-4y$, condiția devine $|u+5|=|u-15|$. Cazul $u+5=u-15$ este imposibil, deci $u+5=-(u-15)$, adică $2u=10$ și $u=5$: mulțimea căutată este dreapta $3x-4y-5=0$, paralelă cu ambele. Distanța de la ea la fiecare este $\frac{10}{5}=2$, adică jumătate din distanța dintre drepte — este „dreapta din mijloc".

De reținut

• Definiția: $d(M_0,h)$ este lungimea segmentului $M_{0}N$, unde $N$ este piciorul perpendicularei din $M_0$ pe $h$; orice alt segment dus la dreaptă este mai lung (Pitagora).
• Formula: pentru $h:ax+by+c=0$ și $M_0(x_0,y_0)$, $d(M_0,h)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Se aplică numai după aducerea dreptei la forma generală.
• Piciorul perpendicularei are coordonatele $N(x_0-ak,y_0-bk)$, unde $k=\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}$; distanța este $|k|\sqrt{a^2+b^2}$.
• Cazurile speciale sunt incluse: verticala $x=a$ dă $|x_0-a|$, orizontala $y=b$ dă $|y_0-b|$, originea dă $\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$, iar un punct de pe dreaptă dă $0$.
• Distanța dintre două drepte paralele = distanța de la un punct oarecare al uneia la cealaltă; cu aceiași $a$ și $b$ în ambele ecuații, ea este $\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Greșeli frecvente

• Uiți modulul de la numărător. Fără el poți obține o „distanță" negativă. Semnul expresiei $a{x}_0+b{y}_0+c$ arată doar de care parte a dreptei se află punctul, nu intră în lungime.
• Aplici formula pe ecuația explicită, fără s-o rescrii. Din $y=2x-1$ nu se citesc $a=2$, $b=1$, $c=-1$, ci abia din $2x-y-1=0$ se obțin $a=2$, $b=-1$, $c=-1$. Regula: toți termenii în membrul stâng, apoi înlocuiești.
• Măsori „pe verticală" în loc de perpendiculară. Diferența $|y_0-(m{x}_0+n)|$ este distanța pe verticală de la punct la dreaptă și este mai mare decât distanța reală, cu excepția dreptelor orizontale. Împărțirea la $\sqrt{m^2+1}$ este exact corecția care lipsește.
• Crezi că formula nu merge la drepte verticale. Merge: verticala are $b=0$, iar formula dă $|x_0-a|$. Pantele lipsesc, coeficienții nu.
• Compari termenii liberi a două drepte paralele scrise cu factori diferiți. Formula scurtă $\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ cere ca $a$ și $b$ să fie identici în cele două ecuații. Altfel, amplifică întâi una dintre ecuații.

Aplică acasă

1. Perpendiculara e cea mai scurtă — cu sfoara. Trasează pe o coală o dreaptă și marchează un punct în afara ei. Fixează un capăt de sfoară în punct și plimbă celălalt capăt de-a lungul dreptei, notând de fiecare dată lungimea. Vei observa că minimul apare exact acolo unde sfoara face unghi drept cu dreapta — teorema din secțiunea 1, verificată cu mâna.

2. Harta cartierului. Alege pe o hartă un colț ca origine și o stradă dreaptă; citește coordonatele a două puncte ale străzii și scrie-i ecuația. Apoi citește coordonatele casei tale și calculează distanța până la stradă. Compară rezultatul cu distanța măsurată pe hartă cu rigla, ținând cont de scară.

3. Banda de siguranță. Pe aceeași hartă, desenează cele două drepte paralele aflate la $50$ de metri de o cale ferată dreaptă. Scrie ecuațiile lor, pornind de la ecuația căii ferate și modificând doar termenul liber, apoi verifică prin formula distanței dintre drepte paralele că banda are lățimea corectă.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce una dintre cele mai folosite formule din geometria analitică de clasa a XI-a. Programa de mate-info o cere explicit, la tema „drepte în planul cartezian", împreună cu aria unui triunghi — iar cele două lecții funcționează ca o pereche: distanța se transformă în arie și, în lecția a treia a grupului, aria se transformă înapoi în distanță.

Ce verifică lecția: aducerea corectă a unei drepte la forma generală, aplicarea formulei fără a uita modulul, tratarea cazurilor în care panta nu există, calculul piciorului perpendicularei (fie prin sistem, fie prin formulele deduse în demonstrație) și rezolvarea problemelor inverse, în care necunoscuta apare în numărător. Întrebări bune de control: „De ce distanța se măsoară pe perpendiculară?"; „Ce se schimbă în formulă dacă înmulțesc ecuația cu $-3$?"; „Cum aflu distanța dintre două drepte paralele?"; „Ce înseamnă geometric faptul că problema are două soluții?".

Un semn sigur că elevul a înțeles: înainte de a calcula, scrie forma generală a dreptei și identifică $a$, $b$, $c$ pe hârtie, în loc să înlocuiască din memorie. Un al doilea semn: la o problemă cu modul, discută ambele cazuri, fără să piardă soluția „de cealaltă parte" a dreptei.

Unde apare la BAC M1: cel mai des ca punct intermediar într-o problemă de geometrie analitică — se cere ecuația unei drepte, apoi distanța de la un vârf la ea, apoi aria triunghiului. Baremul cere numărătorul și numitorul calculate explicit; rezultatul final se dă cu numitor raționalizat.

Întrebări frecvente

Care este formula distanței de la un punct la o dreaptă? Pentru dreapta $h:ax+by+c=0$ și punctul $M_0(x_0,y_0)$, distanța este $d(M_0,h)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Se înlocuiesc coordonatele punctului în membrul stâng al ecuației, se ia modulul și se împarte la $\sqrt{a^2+b^2}$.

De ce distanța se măsoară pe perpendiculară și nu altfel? Pentru că, dintre toate segmentele duse de la punct la dreaptă, cel perpendicular este cel mai scurt: orice alt segment este ipotenuza unui triunghi dreptunghic în care perpendiculara este catetă, deci este mai lung.

Cum aflu distanța dacă dreapta e dată prin $y=mx+n$? O aduci întâi la forma generală, $mx-y+n=0$, apoi aplici formula; rezultă $d=\frac{|m{x}_0-y_0+n|}{\sqrt{m^2+1}}$. Fără această rescriere, coeficienții pe care îi folosești sunt greșiți.

Formula merge și pentru dreptele verticale? Da. Verticala $x=a$ are forma generală $x-a=0$, deci coeficienții sunt $1$ și $0$, iar formula dă $|x_0-a|$ — exact deplasarea orizontală. Faptul că verticala nu are pantă nu deranjează, pentru că formula nu folosește panta.

Cum aflu coordonatele piciorului perpendicularei? Ai două căi. Prima: scrii perpendiculara prin punct și rezolvi sistemul format cu ecuația dreptei. A doua, mai rapidă: calculezi $k=\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}$ și obții $N(x_0-ak,y_0-bk)$.

Cum calculez distanța dintre două drepte paralele? Alegi un punct oarecare de pe una dintre ele (de exemplu punând $x=0$ sau $y=0$ în ecuația ei) și calculezi distanța de la acel punct la cealaltă dreaptă. Dacă ambele ecuații au aceiași coeficienți $a$ și $b$, poți folosi direct $\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

De ce problemele cu distanță dată au două soluții? Pentru că modulul se desface în două cazuri, iar geometric asta înseamnă că există puncte (sau drepte) la aceeași distanță de fiecare parte a dreptei date. Ambele soluții trebuie scrise, dacă enunțul nu impune o restricție suplimentară.

La ce îmi folosește distanța într-un triunghi? Distanța de la un vârf la dreapta laturii opuse este chiar lungimea înălțimii din acel vârf, deci $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot \text{baza˘}\cdot \text{ıˆna˘lțime}$ devine calculabilă din coordonate. Este puntea către lecția despre aria triunghiului cu determinant.