Diviziuni, normă, puncte intermediare: pe scurt

O diviziune a intervalului $[a,b]$ este un sistem finit de puncte $\Delta =(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ cu $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$. Ea are $n+1$ puncte și $n$ intervale parțiale, iar suma lungimilor acestora este $b-a$. Diviziunea echidistantă cu $n$ intervale are punctele $x_i=a+i\frac{b-a}{n}$ și pasul $\frac{b-a}{n}$.

Norma diviziunii este cea mai mare dintre lungimile intervalelor parțiale, $\Vert \Delta \Vert =\underset{1\le i\le n}{\max }(x_i-x_{i-1})$; ea măsoară finețea tăieturii printr-un singur număr. Nu este nici suma lungimilor (aceea este mereu $b-a$), nici media lor (aceea ascunde tocmai bucata problematică).

Are loc întotdeauna $\Vert \Delta \Vert \ge \frac{b-a}{n}$, cu egalitate numai la diviziunea echidistantă. De aici morala: o normă mică cere multe bucăți, dar multe bucăți nu garantează o normă mică — se poate lăsa o bucată lungă nedivizată. O diviziune ${\Delta }^{\prime }$ este rafinare a lui $\Delta$ dacă îi conține toate punctele; o normă mai mică nu înseamnă rafinare.

Un sistem de puncte intermediare asociat lui $\Delta$ este $\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ cu ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$ pentru fiecare $i$; capetele sunt permise, iar alegerile standard sunt la stânga, la dreapta și la mijloc.

Exerciții din această mini-lecție

1. Norma diviziunii $\Delta =\left(0,\frac{1}{2},2,\frac{7}{2},5\right)$ a intervalului $[0,5]$ este:

   • a) $\frac{1}{2}$
   • b) $\frac{5}{4}$
   • c) $5$
   • d) $\frac{3}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\frac{3}{2}$

   Lungimile intervalelor parțiale sunt $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{3}{2}$ și $\frac{3}{2}$, iar norma este cea mai mare dintre ele, adică $\frac{3}{2}$. Varianta $\frac{5}{4}$ este media lungimilor, varianta $5$ este suma lor, iar $\frac{1}{2}$ este cea mai mică lungime — niciuna nu este norma.

2. În diviziunea echidistantă cu $8$ intervale a intervalului $[2,7]$, punctul $x_3$ este:

   • a) $\frac{31}{8}$
   • b) $\frac{15}{8}$
   • c) $\frac{9}{2}$
   • d) $\frac{37}{8}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{31}{8}$

   Formula este $x_i=a+i\frac{b-a}{n}$, deci $x_3=2+3\cdot \frac{5}{8}=\frac{31}{8}$. Varianta $\frac{15}{8}$ uită capătul $a$, varianta $\frac{9}{2}=x_4$ vine din numărarea punctelor de la $1$, iar $\frac{37}{8}$ folosește $\frac{b}{n}$ în loc de $\frac{b-a}{n}$.

3. Care dintre următoarele este o rafinare a diviziunii $\Delta =(0,2,5)$ a intervalului $[0,5]$?

   • a) $\left(0,\frac{5}{2},5\right)$
   • b) $(0,1,3,4,5)$
   • c) $(0,1,2,3,5)$
   • d) $(0,1,2,3,4)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(0,1,2,3,5)$

   Rafinarea cere includerea tuturor punctelor vechi, iar $(0,1,2,3,5)$ le conține pe $0$, $2$ și $5$. Varianta b) are norma mai mică, dar pierde punctul $2$, deci nu este rafinare; varianta a) nu conține $2$; varianta d) nici măcar nu este diviziune a lui $[0,5]$, fiindcă nu se termină în $5$.