Diviziuni ale unui interval; norma unei diviziuni; puncte intermediare

La lecția precedentă am tăiat intervalul mereu în același fel: în bucăți de aceeași lungime. A fost o alegere de comoditate, nu o necesitate. Un topograf care măsoară suprafața unui teren nu are cum să pună jaloanele la distanțe perfect egale, iar un aparat care înregistrează viteza unui vehicul ia probe atunci când poate, nu din secundă în secundă. Teoria trebuie, prin urmare, să funcționeze și cu tăieturi neregulate — iar pentru asta îi trebuie un vocabular precis: diviziunea unui interval, norma unei diviziuni și punctele intermediare, noțiunile pe care le fixează lecția aceasta de clasa a 12-a.

Sunt trei noțiuni, fiecare cu rolul ei. Diviziunea spune unde tăiem. Norma măsoară cât de fină este tăietura, printr-un singur număr. Sistemul de puncte intermediare spune de unde luăm înălțimea dreptunghiului de pe fiecare bucată. Cele trei sunt ingredientele din care se construiește, la lecția următoare, suma Riemann; până atunci merită înțelese pe cont propriu, pentru că fiecare dintre ele ascunde câte o capcană.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști dacă o listă de numere este sau nu o diviziune a unui interval dat și să scrii intervalele ei parțiale.
• Vei ști să construiești diviziunea echidistantă cu $n$ intervale a unui interval $[a,b]$, cu formula $x_i=a+i\frac{b-a}{n}$.
• Vei ști să calculezi norma $\Vert \Delta \Vert$ a unei diviziuni și să explici de ce ea, nu numărul de intervale, măsoară finețea.
• Vei ști să arăți că $\Vert \Delta \Vert \ge \frac{b-a}{n}$ și că egalitatea are loc numai la diviziunea echidistantă.
• Vei ști să decizi dacă o diviziune este mai fină decât alta și să dai contraexemplul pentru afirmația reciprocă.
• Vei ști să scrii un sistem de puncte intermediare și cele trei alegeri standard: la stânga, la dreapta, la mijloc.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o diviziune a unui interval?

Diviziunea unui interval $[a,b]$ este un sistem finit de puncte $\Delta =(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ pentru care

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b.$$

Trei condiții, toate obligatorii: primul punct este chiar $a$, ultimul este chiar $b$, iar între ele numerele sunt scrise în ordine strict crescătoare. Diviziunea are $n+1$ puncte și taie intervalul în $n$ intervale parțiale

$$[x_0,x_1],[x_1,x_2],\dots ,[x_{n-1},x_n],$$

de lungimi $x_1-x_0$, $x_2-x_1$, …, $x_n-x_{n-1}$. Lungimile sunt toate strict pozitive, iar suma lor este $b-a$, pentru că termenii se reduc doi câte doi:

$$(x_1-x_0)+(x_2-x_1)+\cdots +(x_n-x_{n-1})=x_n-x_0=b-a.$$

⚠️ O dezambiguizare, o dată pentru toată unitatea. Litera $\Delta$ a mai apărut de două ori în liceu: ca determinant al unui sistem, în clasa a XI-a, și ca discriminant al ecuației de gradul al doilea. În toată unitatea aceasta $\Delta$ înseamnă diviziune și nimic altceva; determinanții și discriminanții nu apar aici. Când, în capitolul de recapitulare pentru examen, cele două înțelesuri se vor întâlni, se va preciza de fiecare dată despre care este vorba.

2. Cum se scrie o diviziune echidistantă?

Când toate intervalele parțiale au aceeași lungime, diviziunea se numește echidistantă. Cum suma lungimilor este $b-a$ și lungimile sunt egale, fiecare valorează $\frac{b-a}{n}$; numărul acesta se numește pasul diviziunii. Punctele sunt atunci

$$x_i=a+i\frac{b-a}{n},i=0,1,\dots ,n.$$

Formula se verifică la capete: pentru $i=0$ dă $a$, iar pentru $i=n$ dă $a+(b-a)=b$.

Trei exemple, de reținut ca modele:

• pe $[0,1]$ cu $n$ intervale: $x_i=\frac{i}{n}$, adică $0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\dots ,1$ — diviziunea folosită în toată lecția precedentă;
• pe $[1,4]$ cu $6$ intervale: pasul este $\frac{4-1}{6}=\frac{1}{2}$, iar punctele sunt $1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3,\frac{7}{2},4$;
• pe $[-1,3]$ cu $n$ intervale: pasul este $\frac{4}{n}$ și $x_i=-1+\frac{4i}{n}$.

Diviziunile echidistante sunt cele cu care se lucrează în majoritatea exercițiilor, pentru că sumele care apar din ele au forme închise calculabile. Dar teoria nu le cere: orice tăietură este bună, atât timp cât respectă definiția.

3. Ce este norma unei diviziuni?

O diviziune poate avea bucăți foarte inegale, iar o singură bucată mare strică toată aproximarea. Ne trebuie deci un număr care să spună „cea mai proastă bucată cât de proastă este". Acela este norma.

Norma diviziunii $\Delta =(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ este cea mai mare dintre lungimile intervalelor parțiale:

$$\Vert \Delta \Vert =\underset{1\le i\le n}{\max }(x_i-x_{i-1}).$$

Se notează cu bare duble, \lVert \Delta \rVert, și se citește „norma lui delta". Maximul are sens fără nicio precauție, pentru că lungimile sunt în număr finit — este cazul simplu al noțiunilor fixate la lecția despre mulțimi mărginite de numere reale, unde marginea superioară a unei mulțimi finite este chiar cel mai mare element al ei. Fiind un maxim de numere strict pozitive, norma este ea însăși strict pozitivă. Iată câteva diviziuni ale unor intervale scurte, cu normele lor:

Se observă din al doilea și al treilea rând că norma nu determină diviziunea: două diviziuni diferite pot avea aceeași normă. Norma este o măsură a finețeii, nu un nume.

Pentru o diviziune echidistantă toate lungimile sunt egale, deci maximul lor este chiar pasul:

$$\Vert \Delta \Vert =\frac{b-a}{n}.$$

4. De ce nu este destul numărul de intervale?

Ar fi tentant să spunem „cu cât $n$ este mai mare, cu atât tăietura e mai fină". Este fals, și contraexemplul e simplu.

Pe intervalul $[0,2]$ luăm diviziunea formată din punctele $0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\dots ,\frac{n}{n}=1$ și, în plus, $2$. Ea are $n+1$ intervale parțiale: primele $n$ sunt minuscule, de lungime $\frac{1}{n}$, dar ultimul este $[1,2]$, de lungime $1$. Oricât de mare ar fi $n$, norma rămâne

$$\Vert \Delta \Vert =\max \left(\frac{1}{n},1\right)=1.$$

Numărul de intervale tinde la infinit, finețea nu se îmbunătățește deloc. Prin urmare „$n\to \infty$" nu înseamnă „tăietură fină"; formularea corectă, cea folosită de acum înainte, este $\Vert \Delta \Vert \to 0$.

Implicația inversă, în schimb, este adevărată, și merită demonstrată.

Propoziție. Pentru orice diviziune cu $n$ intervale parțiale a intervalului $[a,b]$ are loc $\Vert \Delta \Vert \ge \frac{b-a}{n}$, cu egalitate dacă și numai dacă diviziunea este echidistantă.

Demonstrație. Fie $L=\Vert \Delta \Vert$. Fiecare dintre cele $n$ lungimi este cel mult $L$, deci suma lor este cel mult $nL$. Dar suma lungimilor este $b-a$, așadar $b-a\le nL$, de unde $L\ge \frac{b-a}{n}$.

Dacă are loc egalitatea $L=\frac{b-a}{n}$, atunci în inegalitatea $b-a\le nL$ am avut de fapt egalitate, deci nicio lungime nu poate fi strict mai mică decât $L$: dacă una ar fi, suma ar fi strict mai mică decât $nL=b-a$, ceea ce este imposibil. Toate lungimile sunt atunci egale cu $L$, adică diviziunea este echidistantă. Reciproc, la o diviziune echidistantă norma este exact pasul. $■$

Consecința de care avem nevoie: dacă $\Vert \Delta \Vert \to 0$, atunci $n\to \infty$, pentru că $n\ge \frac{b-a}{\Vert \Delta \Vert }$. Cu alte cuvinte, o tăietură fină are neapărat multe bucăți, dar multe bucăți nu garantează o tăietură fină. Aceasta este exact asimetria pe care o ratează majoritatea greșelilor din capitol.

5. Când este o diviziune mai fină decât alta?

Definiție. Diviziunea ${\Delta }^{\prime }$ a lui $[a,b]$ se numește mai fină decât diviziunea $\Delta$ (sau o rafinare a ei) dacă orice punct al lui $\Delta$ este și punct al lui ${\Delta }^{\prime }$. Pe scurt: ${\Delta }^{\prime }$ se obține din $\Delta$ adăugând puncte noi, fără a scoate vreunul.

De exemplu, pe $[0,1]$, diviziunea ${\Delta }^{\prime }=\left(0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4},1\right)$ este o rafinare a lui $\Delta =\left(0,\frac{1}{2},1\right)$, pentru că toate cele trei puncte ale lui $\Delta$ se regăsesc în ${\Delta }^{\prime }$.

Observație. Dacă ${\Delta }^{\prime }$ este mai fină decât $\Delta$, atunci $\Vert {\Delta }^{\prime }\Vert \le \Vert \Delta \Vert$. Motivul: fiecare interval parțial al lui $\Delta$ ori rămâne întreg în ${\Delta }^{\prime }$, ori este tăiat de punctele noi în bucăți mai scurte; în ambele cazuri, nicio bucată a lui ${\Delta }^{\prime }$ nu este mai lungă decât bucata lui $\Delta$ din care provine.

⚠️ Afirmația reciprocă este falsă. O normă mai mică nu înseamnă rafinare. Pe $[0,1]$, diviziunea ${\Delta }^{\prime \prime }=\left(0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},1\right)$ are norma $\frac{1}{3}$, mai mică decât norma $\frac{1}{2}$ a lui $\Delta =\left(0,\frac{1}{2},1\right)$, dar nu conține punctul $\frac{1}{2}$, deci nu este o rafinare a lui $\Delta$. Cele două noțiuni măsoară lucruri diferite: rafinarea compară mulțimile de puncte, norma compară finețea.

6. Ce sunt punctele intermediare?

Pe fiecare bucată vom ridica, la lecția următoare, câte un dreptunghi. Baza lui este bucata însăși, dar înălțimea trebuie aleasă: valoarea funcției în care punct al bucății? Alegerea se face o dată pentru toate bucățile și se numește sistem de puncte intermediare.

Definiție. Fie $\Delta =(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ o diviziune a lui $[a,b]$. Un sistem de puncte intermediare asociat lui $\Delta$ este un sistem de numere $\xi =({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n)$ cu proprietatea

$${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]\text{pentru orice }i=1,2,\dots ,n.$$

Litera $\xi$ este litera grecească „xi"; se scrie \xi și se citește ca atare. Numărul de puncte intermediare este $n$, adică numărul intervalelor parțiale — cu unul mai puțin decât numărul punctelor diviziunii. Fiecare ${\xi }_i$ trebuie să stea în bucata lui, capetele fiind permise; un punct care sare într-o altă bucată strică sistemul.

Câte sisteme de puncte intermediare are o diviziune dată? O infinitate: fiecare ${\xi }_i$ se poate alege oriunde într-un interval nedegenerat, iar alegerile sunt independente între ele. De aceea, în tot ce urmează, suma construită va depinde de două obiecte: de diviziune și de sistemul de puncte alese.

7. Care sunt cele trei alegeri standard?

Trei alegeri revin mereu, pentru că se descriu într-o singură formulă:

• la stânga: ${\xi }_i=x_{i-1}$, capătul din stânga al fiecărei bucăți;
• la dreapta: ${\xi }_i=x_i$, capătul din dreapta;
• la mijloc: ${\xi }_i=\frac{x_{i-1}+x_i}{2}$, mijlocul bucății.

Le urmărim pe diviziunea $\Delta =\left(1,\frac{3}{2},\frac{5}{2},3,4\right)$ a intervalului $[1,4]$, care are patru intervale parțiale:

Norma acestei diviziuni este $1$, iar suma lungimilor este $\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}+1=3=4-1$, cum trebuie.

Alegerile nu se opresc aici: $\xi =\left(\frac{5}{4},\frac{5}{2},\frac{11}{4},3\right)$ este un sistem la fel de legitim, deși amestecă mijlocul, dreapta, mijlocul și stânga. Legitimitatea cere un singur lucru: fiecare ${\xi }_i$ în bucata lui.

8. La ce folosesc aceste trei noțiuni?

Se leagă imediat, iar rostul lor se vede în lecția următoare. Diviziunea dă bazele dreptunghiurilor. Sistemul de puncte intermediare dă înălțimile: pe bucata $i$ ridicăm dreptunghiul de înălțime $f({\xi }_i)$. Suma ariilor acestor dreptunghiuri este numărul pe care îl vom studia la lecția despre sume Riemann și interpretarea lor geometrică, iar norma este mărimea pe care o vom face să tindă la zero.

Merită recitită acum lecția despre problema ariei și subgraficul unei funcții cu vocabularul de aici: acolo diviziunea era mereu echidistantă, iar punctele intermediare erau luate mereu la stânga (pentru suma dreptunghiurilor înscrise) sau mereu la dreapta (pentru cea a dreptunghiurilor circumscrise). Ce urmează generalizează exact aceste două alegeri.

Faptul că norma, nu numărul de intervale, este mărimea potrivită se va vedea în definiția pe care o dă lecția despre funcții integrabile: condiția se scrie acolo „pentru orice diviziune cu $\Vert \Delta \Vert$ destul de mic și orice sistem de puncte intermediare". Cele două cuvinte îngroșate sunt exact cele două obiecte definite în lecția de față.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ce este și ce nu este o diviziune

Care dintre următoarele sisteme de numere sunt diviziuni ale intervalului $[0,3]$?

a) $(0,1,2,3)$ — da: începe în $0$, se termină în $3$, este strict crescător; are trei intervale parțiale, toate de lungime $1$, deci este chiar diviziunea echidistantă cu $n=3$.

b) $(0,1,1,3)$ — nu: punctul $1$ apare de două ori, deci șirul nu este strict crescător; ar apărea un interval parțial de lungime $0$.

c) $(0,2,1,3)$ — nu: numerele nu sunt scrise în ordine crescătoare. Diviziunea $(0,1,2,3)$ conține aceleași puncte, dar ordinea face parte din definiție.

d) $\left(0,\frac{1}{2},3\right)$ — da: două intervale parțiale, de lungimi $\frac{1}{2}$ și $\frac{5}{2}$, cu norma $\frac{5}{2}$.

e) $(1,2,3)$ — nu: primul punct nu este $0$, deci este o diviziune a lui $[1,3]$, nu a lui $[0,3]$.

Exemplul 2 — Diviziunea echidistantă și elementele ei

Scrie diviziunea echidistantă cu $6$ intervale a intervalului $[1,4]$, precizează norma și punctele intermediare de la mijloc.

Pasul este $\frac{4-1}{6}=\frac{1}{2}$, deci $x_i=1+\frac{i}{2}$ pentru $i=0,1,\dots ,6$:

$$\Delta =\left(1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3,\frac{7}{2},4\right),\Vert \Delta \Vert =\frac{1}{2}.$$

Mijloacele celor șase bucăți sunt $\frac{5}{4},\frac{7}{4},\frac{9}{4},\frac{11}{4},\frac{13}{4},\frac{15}{4}$ — se obțin adunând jumătate de pas, adică $\frac{1}{4}$, la fiecare capăt din stânga.

Exemplul 3 — O diviziune cu multe bucăți și normă mare

Construiește o diviziune a intervalului $[0,10]$ cu $100$ de intervale parțiale și cu norma cel puțin $5$.

Împărțim $[0,5]$ în $99$ de bucăți egale, de lungime $\frac{5}{99}$, și lăsăm $[5,10]$ ca o singură bucată:

$$\Delta =\left(0,\frac{5}{99},\frac{10}{99},\dots ,\frac{495}{99}=5,10\right).$$

Are $99+1=100$ de intervale parțiale, iar norma este $\max \left(\frac{5}{99},5\right)=5$. Exemplul arată din nou că numărul de bucăți nu spune nimic despre finețe.

Exemplul 4 — Rafinare sau nu?

Pe $[0,1]$ se consideră $\Delta =\left(0,\frac{1}{2},1\right)$. Stabilește dacă ${\Delta }_1=\left(0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4},1\right)$ și ${\Delta }_2=\left(0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},1\right)$ sunt rafinări ale lui $\Delta$.

${\Delta }_1$ este o rafinare: conține toate punctele lui $\Delta$, adică $0$, $\frac{1}{2}$ și $1$, plus punctele noi $\frac{1}{4}$ și $\frac{3}{4}$. Normele confirmă observația: $\Vert {\Delta }_1\Vert =\frac{1}{4}\le \frac{1}{2}=\Vert \Delta \Vert$.

${\Delta }_2$ nu este o rafinare: îi lipsește punctul $\frac{1}{2}$. Norma lui este totuși mai mică, $\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$, ceea ce arată încă o dată că o normă mai mică nu implică rafinarea.

Exemplul 5 — Cât de fină trebuie tăiat?

Determină cel mai mic număr $n$ de intervale pentru care diviziunea echidistantă a intervalului $[1,5]$ are norma cel mult $\frac{1}{10}$.

Norma diviziunii echidistante cu $n$ intervale este $\frac{5-1}{n}=\frac{4}{n}$. Condiția devine

$$\frac{4}{n}\le \frac{1}{10}⟺n\ge 40.$$

Cel mai mic $n$ este $40$; atunci norma este exact $\frac{1}{10}$. Pentru $n=39$ norma ar fi $\frac{4}{39}>\frac{1}{10}$, deci prea mare.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră intervalul $[0,2]$ și diviziunea $\Delta =\left(0,\frac{1}{2},1,2\right)$.

a) Scrie intervalele parțiale, lungimile lor și verifică suma acestora.

Intervalele sunt $\left[0,\frac{1}{2}\right]$, $\left[\frac{1}{2},1\right]$ și $[1,2]$, cu lungimile $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$ și $1$. Suma lor este $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=2=2-0$, cum cere definiția.

b) Calculează $\Vert \Delta \Vert$ și compar-o cu norma diviziunii echidistante cu același număr de intervale.

$\Vert \Delta \Vert =\max \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right)=1$. Diviziunea echidistantă cu $3$ intervale a lui $[0,2]$ are norma $\frac{2}{3}$, mai mică. Rezultatul confirmă propoziția din secțiunea a patra: dintre toate diviziunile cu $n$ intervale, cea echidistantă are norma cea mai mică, și anume $\frac{b-a}{n}$.

c) Scrie sistemele de puncte intermediare la stânga, la mijloc și la dreapta.

La stânga: $\xi =\left(0,\frac{1}{2},1\right)$. La mijloc: $\xi =\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{2}\right)$. La dreapta: $\xi =\left(\frac{1}{2},1,2\right)$. În fiecare caz se verifică apartenența: de pildă, la mijloc, $\frac{1}{4}\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$, $\frac{3}{4}\in \left[\frac{1}{2},1\right]$ și $\frac{3}{2}\in [1,2]$.

Să exersăm

1. Care dintre următoarele sunt diviziuni ale intervalului $[0,3]$: a) $(0,1,2,3)$; b) $(0,1,1,3)$; c) $(0,2,1,3)$; d) $\left(0,\frac{1}{2},3\right)$; e) $(1,2,3)$?

2. Calculează norma diviziunii $\Delta =\left(0,\frac{1}{2},\frac{3}{2},2,3\right)$ a intervalului $[0,3]$.

3. Scrie diviziunea echidistantă cu $6$ intervale a intervalului $[2,5]$ și precizează norma ei.

4. Scrie formula punctelor diviziunii echidistante cu $n$ intervale a intervalului $[-1,3]$ și norma corespunzătoare.

5. Câte intervale parțiale are diviziunea $(1,2,4,5,9)$ și cât este norma ei?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Două diviziuni diferite ale aceluiași interval au norme diferite."

7. Arată că orice diviziune cu $n$ intervale a lui $[a,b]$ are $\Vert \Delta \Vert \ge \frac{b-a}{n}$.

8. Dă un exemplu de diviziune a intervalului $[0,10]$ cu $100$ de intervale parțiale și cu norma egală cu $5$.

9. Este ${\Delta }^{\prime }=\left(0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4},1\right)$ o rafinare a lui $\Delta =\left(0,\frac{1}{2},1\right)$? Compară normele.

10. Este ${\Delta }^{\prime \prime }=\left(0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},1\right)$ o rafinare a lui $\Delta =\left(0,\frac{1}{2},1\right)$? Compară normele.

11. Pentru diviziunea $\Delta =(0,1,3,4)$ a intervalului $[0,4]$, scrie sistemele de puncte intermediare la stânga, la mijloc și la dreapta.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$\xi =(2,2,4)$ este un sistem de puncte intermediare pentru diviziunea $(0,1,3,4)$."

13. Câte puncte are diviziunea echidistantă a intervalului $[0,1]$ a cărei normă este $\frac{1}{20}$?

14. Determină cel mai mic $n$ pentru care diviziunea echidistantă a lui $[1,5]$ are norma cel mult $\frac{1}{10}$.

15. (Problemă aplicată.) Un traseu de $12$ km este împărțit în tronsoane de $3$ km, $1$ km, $5$ km și $3$ km. Scrie diviziunea corespunzătoare a intervalului $[0,12]$ și precizează norma; ce înseamnă ea în context?

16. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă norma unei diviziuni tinde la zero, atunci numărul intervalelor ei tinde la infinit."

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră diviziunea $\Delta =\left(0,\frac{1}{2},1,2\right)$ a intervalului $[0,2]$. a) Scrie intervalele parțiale și lungimile lor. b) Calculează $\Vert \Delta \Vert$. c) Scrie sistemul de puncte intermediare de la mijloc și verifică apartenența fiecărui punct.

18. (Provocare.) Arată că $\Vert \Delta \Vert =\frac{b-a}{n}$ dacă și numai dacă diviziunea cu $n$ intervale a lui $[a,b]$ este echidistantă.

Răspunsuri și explicații

1. Sunt diviziuni doar a) și d). La b) punctul $1$ se repetă, deci șirul nu e strict crescător; la c) numerele nu sunt în ordine crescătoare; la e) primul punct nu este $0$, deci este o diviziune a lui $[1,3]$.

2. Lungimile sunt $\frac{1}{2}$, $1$, $\frac{1}{2}$, $1$, deci $\Vert \Delta \Vert =1$. Suma lor este $3$, adică $3-0$.

3. Pasul este $\frac{5-2}{6}=\frac{1}{2}$, deci $\Delta =\left(2,\frac{5}{2},3,\frac{7}{2},4,\frac{9}{2},5\right)$, cu $\Vert \Delta \Vert =\frac{1}{2}$.

4. Pasul este $\frac{3-(-1)}{n}=\frac{4}{n}$, deci $x_i=-1+\frac{4i}{n}$ pentru $i=0,\dots ,n$, iar norma este $\frac{4}{n}$.

5. Patru intervale parțiale, de lungimi $1$, $2$, $1$, $4$; norma este $4$. Suma lungimilor, $8$, este chiar $9-1$.

6. Fals. Diviziunile $\left(0,\frac{1}{3},1\right)$ și $\left(0,\frac{2}{3},1\right)$ ale lui $[0,1]$ sunt diferite, dar amândouă au norma $\frac{2}{3}$.

7. Fie $L=\Vert \Delta \Vert$. Fiecare dintre cele $n$ lungimi este cel mult $L$, deci $b-a=\sum (x_i-x_{i-1})\le nL$, de unde $L\ge \frac{b-a}{n}$.

8. Împarte $[0,5]$ în $99$ de bucăți egale, de lungime $\frac{5}{99}$, și lasă $[5,10]$ nedivizat. Diviziunea are $100$ de intervale parțiale și norma $\max \left(\frac{5}{99},5\right)=5$.

9. Da: conține toate punctele lui $\Delta$. Normele sunt $\frac{1}{4}$, respectiv $\frac{1}{2}$, deci $\Vert {\Delta }^{\prime }\Vert \le \Vert \Delta \Vert$, cum spune observația din secțiunea a cincea.

10. Nu: nu conține punctul $\frac{1}{2}$. Totuși $\Vert {\Delta }^{\prime \prime }\Vert =\frac{1}{3}<\frac{1}{2}=\Vert \Delta \Vert$ — normă mai mică fără rafinare.

11. Intervalele parțiale sunt $[0,1]$, $[1,3]$, $[3,4]$. La stânga: $\xi =(0,1,3)$; la mijloc: $\xi =\left(\frac{1}{2},2,\frac{7}{2}\right)$; la dreapta: $\xi =(1,3,4)$.

12. Fals. Primul punct trebuie să fie în $[0,1]$, iar $2\notin [0,1]$. Celelalte două ar fi în regulă: $2\in [1,3]$ și $4\in [3,4]$.

13. Norma $\frac{1}{20}$ înseamnă pasul $\frac{1}{20}$, deci $n=20$ intervale parțiale și $21$ de puncte.

14. $\frac{4}{n}\le \frac{1}{10}⟺n\ge 40$; cel mai mic este $n=40$, cu norma exact $\frac{1}{10}$.

15. $\Delta =(0,3,4,9,12)$, cu lungimile $3$, $1$, $5$, $3$ și norma $5$. În context, norma este lungimea celui mai lung tronson — cel care ar da cea mai mare eroare dacă am înlocui viteza reală de pe el cu o singură valoare.

16. Adevărat. Din propoziția demonstrată, $n\ge \frac{b-a}{\Vert \Delta \Vert }$; când numitorul tinde la zero, membrul drept tinde la $+\infty$, deci și $n$.

17. a) $\left[0,\frac{1}{2}\right]$, $\left[\frac{1}{2},1\right]$, $[1,2]$, cu lungimile $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, $1$. b) $\Vert \Delta \Vert =1$. c) $\xi =\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{2}\right)$, cu $\frac{1}{4}\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$, $\frac{3}{4}\in \left[\frac{1}{2},1\right]$ și $\frac{3}{2}\in [1,2]$.

18. Dacă diviziunea este echidistantă, toate lungimile sunt $\frac{b-a}{n}$, deci și maximul lor. Reciproc, dacă $\Vert \Delta \Vert =\frac{b-a}{n}$ și una dintre lungimi ar fi strict mai mică, atunci suma tuturor ar fi strict mai mică decât $n\cdot \frac{b-a}{n}=b-a$, ceea ce contrazice faptul că suma lungimilor este $b-a$. Deci toate lungimile sunt egale.

De reținut

• O diviziune a intervalului $[a,b]$ este un sistem finit de puncte $\Delta =(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ cu $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$; ea are $n+1$ puncte, $n$ intervale parțiale, iar suma lungimilor acestora este $b-a$.
• Diviziunea echidistantă cu $n$ intervale are punctele $x_i=a+i\frac{b-a}{n}$ și pasul $\frac{b-a}{n}$.
• Norma unei diviziuni este cea mai mare dintre lungimile intervalelor parțiale, $\Vert \Delta \Vert =\underset{1\le i\le n}{\max }(x_i-x_{i-1})$, și măsoară finețea tăieturii printr-un singur număr.
• Pentru orice diviziune cu $n$ intervale are loc $\Vert \Delta \Vert \ge \frac{b-a}{n}$, cu egalitate numai la diviziunea echidistantă; prin urmare o normă mică cere multe bucăți, dar multe bucăți nu garantează o normă mică.
• Un sistem de puncte intermediare asociat lui $\Delta$ este $\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ cu ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$ pentru fiecare $i$; alegerile standard sunt capătul din stânga, capătul din dreapta și mijlocul fiecărei bucăți.

Greșeli frecvente

• Confunzi numărul de puncte cu numărul de intervale. O diviziune scrisă cu $n+1$ puncte are $n$ intervale parțiale și tot $n$ puncte intermediare. Greșeala se vede imediat în sume, unde indicele merge de la $1$ la $n$, nu de la $0$ la $n$.
• Crezi că „$n$ mare" înseamnă „tăietură fină". Contraexemplul din lecție arată o diviziune cu oricâte bucăți și cu norma constant egală cu $1$. Condiția corectă este $\Vert \Delta \Vert \to 0$, iar ea implică $n\to \infty$, nu invers.
• Definești norma ca suma sau ca media lungimilor. Norma este un maxim. Suma lungimilor este întotdeauna $b-a$, deci nu spune nimic despre finețe, iar media este $\frac{b-a}{n}$ și ascunde tocmai bucata problematică.
• Iei un punct intermediar în afara bucății lui. Condiția ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$ se verifică pentru fiecare indice; un singur punct greșit anulează întregul sistem. Capetele sunt însă permise, deci alegerile „la stânga" și „la dreapta" sunt corecte.
• Confunzi rafinarea cu norma mai mică. Rafinarea cere includerea punctelor, nu doar o normă mai mică; $\left(0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},1\right)$ are norma mai mică decât $\left(0,\frac{1}{2},1\right)$ fără să fie rafinarea ei.

Aplică acasă

1. Rigla și creionul. Desenează un segment de $12$ cm și marchează pe el patru puncte la întâmplare. Scrie diviziunea obținută a intervalului $[0,12]$, calculează lungimile bucăților, verifică dacă suma lor dă $12$ și determină norma. Repetă de trei ori și compară normele.

2. Programul de o zi. Notează orele la care ai făcut câte o activitate diferită într-o zi, de la $8$ la $20$. Ai obținut o diviziune a intervalului $[8,20]$; norma ei este durata celei mai lungi activități. Scrie și sistemul de puncte intermediare „la mijloc" și spune ce ar însemna el.

3. Tăieturi tot mai fine. Într-o foaie de calcul, generează diviziunea echidistantă a lui $[0,1]$ pentru $n=5$, $n=20$, $n=100$ și afișează pasul. Adaugă apoi, la fiecare, punctul $0,999$ și urmărește cum se schimbă (sau nu) norma.

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează vocabularul tehnic al capitolului de integrale și corespunde primei activități de învățare din competența XII.CS.1.6 a programei de matematică-informatică: identificarea unor diviziuni și a unor sisteme de puncte intermediare pentru un interval compact. Nu conține calcule grele, dar conține definițiile pe care se sprijină tot restul unității; o lecție înțeleasă superficial aici se plătește la definiția integrabilității.

Ce verifică lecția: (1) recunoașterea unei diviziuni, cu cele trei condiții ale ei; (2) scrierea diviziunii echidistante cu formula generală; (3) calculul normei ca maxim al lungimilor; (4) demonstrația inegalității $\Vert \Delta \Vert \ge \frac{b-a}{n}$ și cazul de egalitate; (5) scrierea sistemelor de puncte intermediare, cu verificarea apartenenței.

Întrebări bune de control: „Câte intervale are o diviziune cu șapte puncte?"; „Poate o diviziune cu o mie de bucăți să aibă norma $1$?"; „Ce înseamnă că o diviziune e mai fină decât alta?"; „Dă un sistem de puncte intermediare care nu este nici la stânga, nici la dreapta, nici la mijloc.".

Semne că a înțeles: spune „norma tinde la zero", nu „$n$ tinde la infinit"; verifică apartenența fiecărui ${\xi }_i$ înainte de a declara sistemul valid; dă din memorie contraexemplul cu bucata mare rămasă nedivizată.

Dificultatea tipică: deplasarea indicilor. Elevul scrie sistemul de puncte intermediare cu $n+1$ componente, copiind numărul punctelor diviziunii. Exercițiile 11, 12 și 17 îl obligă să numere bucățile, nu punctele.

Unde apare la BAC M1: noțiunile de aici nu se cer izolat, dar apar în enunțurile care spun „se consideră diviziunea…" și sunt indispensabile la subiectul al III-lea, în problemele care cer justificarea integrabilității sau calculul unei limite de șir prin sume. Formula diviziunii echidistante a lui $[0,1]$, $x_i=\frac{i}{n}$, este cea mai des folosită dintre toate.

Întrebări frecvente

Ce este o diviziune a unui interval?

O diviziune a intervalului $[a,b]$ este un sistem finit de puncte $\Delta =(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ cu $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$. Ea taie intervalul în $n$ bucăți, numite intervale parțiale, ale căror lungimi sunt strict pozitive și au suma $b-a$. Ordinea strict crescătoare face parte din definiție.

Cum se calculează norma unei diviziuni?

Se scriu lungimile tuturor intervalelor parțiale, adică diferențele $x_i-x_{i-1}$, și se ia cea mai mare dintre ele. Aceasta este norma, notată $\Vert \Delta \Vert$. La diviziunea echidistantă toate lungimile sunt egale, deci norma este chiar pasul, adică $\frac{b-a}{n}$.

De ce se folosește norma și nu numărul de intervale?

Pentru că numărul de intervale nu spune nimic despre finețea tăieturii: se poate construi o diviziune cu oricât de multe bucăți în care una singură rămâne foarte lungă, iar aproximarea nu se îmbunătățește. Norma privește exact bucata cea mai proastă, deci condiția corectă în toată teoria este $\Vert \Delta \Vert \to 0$.

Ce este un sistem de puncte intermediare?

Este un sistem de numere $\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$, câte unul pentru fiecare interval parțial, cu condiția ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$. Punctele intermediare spun din ce loc al fiecărei bucăți se ia valoarea funcției. Sunt permise și capetele bucăților, deci alegerile „la stânga" și „la dreapta" sunt sisteme valide.

Câte sisteme de puncte intermediare are o diviziune?

O infinitate. Fiecare ${\xi }_i$ se poate lua oriunde în intervalul său, care conține o infinitate de puncte, iar alegerile de pe bucăți diferite sunt independente. De aceea suma care se construiește la lecția următoare depinde de două obiecte: de diviziunea aleasă și de sistemul de puncte intermediare.

Când este o diviziune mai fină decât alta?

Când conține toate punctele celeilalte, plus eventual altele noi; se mai spune că este o rafinare a ei. O rafinare are întotdeauna norma mai mică sau egală. Afirmația reciprocă este falsă: o diviziune poate avea norma mai mică fără să conțină punctele celeilalte, cum arată perechea $\left(0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},1\right)$ și $\left(0,\frac{1}{2},1\right)$.

Se cer diviziunile la examen?

Nu ca subiect separat, dar apar în enunțuri și în justificări la Bacalaureat M1: „se consideră diviziunea echidistantă a intervalului $[0,1]$" este formularea standard a problemelor care cer limita unui șir de sume. Fără vocabularul de aici, acele enunțuri nu se pot nici citi corect, nici redacta complet.