Ecuația dreptei determinate de punctele $$A(-5, 2)$$ și $$B(-5, 9)$$ este:

dreapta nu are ecuație, pentru că nu are pantă

Dreapta prin două puncte: pe scurt

Prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una, deci din patru coordonate trebuie să iasă o ecuație. Există două rute. Ruta în doi pași: calculezi panta $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ , apoi scrii $y - y_{A} = m (x - x_{A})$ . Forma cu proporție comprimă cei doi pași într-o egalitate, $\frac{x - x _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{y - y _{A}}{y _{B} - y _{A}}$ , dar are două puncte moarte: cere ambii numitori nenuli, deci cedează pe verticale și pe orizontale.

A doua rută, cerută explicit de programă, folosește un determinant de ordinul al treilea: punctul $M (x, y)$ aparține dreptei $A B$ dacă și numai dacă determinantul cu liniile $(x, y, 1)$ , $(x_{A}, y_{A}, 1)$ și $(x_{B}, y_{B}, 1)$ este nul. Coloana de $1$ nu este decor — fără ea, determinantul s-ar anula pentru orice dreaptă prin origine.

Dezvoltarea după prima linie dă direct coeficienții formei generale: $a = y_{A} - y_{B}$ , $b = x_{B} - x_{A}$ , $c = x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A}$ . Atenție la $b$ : minusul din dezvoltare inversează ordinea diferenței. Iar $(a, b) = (0, 0)$ se întâmplă exact când $A = B$ , caz exclus prin ipoteză.

Demonstrația că dreapta obținută este chiar $A B$ nu cere niciun calcul: pentru $M = A$ primele două linii devin identice, iar un determinant cu două linii identice este nul. Avantajul practic: formulele sunt polinomiale, fără numitori, deci verticalele și orizontalele ies fără caz special. Ultimul pas rămâne mereu același — substitui ambele puncte în ecuația obținută.

Exerciții din această mini-lecție

Ecuația generală a dreptei determinate de punctele $A (- 1, 6)$ și $B (3, - 2)$ este:
- a) $2 x - y + 8 = 0$
- b) $2 x - y - 4 = 0$
- c) $2 x + y - 4 = 0$
- d) $2 x + y + 4 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2 x + y - 4 = 0$

Cu formulele din dezvoltarea determinantului: $a = 6 - (- 2) = 8$ , $b = 3 - (- 1) = 4$ , $c = (- 1) (- 2) - 3 \cdot 6 = - 16$ , deci $8 x + 4 y - 16 = 0$ , adică $2 x + y - 4 = 0$ . Verificare pe ambele puncte: $- 2 + 6 - 4 = 0$ ✓ și $6 - 2 - 4 = 0$ ✓. Prima variantă trece prin $A$ , dar nu și prin $B$ — de aceea se verifică amândouă.
În ecuația generală obținută prin dezvoltarea determinantului dreptei $A B$ , coeficientul lui $y$ este:
- a) $x_{A} - x_{B}$
- b) $y_{A} - y_{B}$
- c) $y_{B} - y_{A}$
- d) $x_{B} - x_{A}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $x_{B} - x_{A}$

Dezvoltarea după prima linie dă $x (y_{A} - y_{B}) - y (x_{A} - x_{B}) + (x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A})$ . Minusul de la al doilea termen inversează diferența, deci $b = x_{B} - x_{A}$ . Coeficientul lui $x$ este, în schimb, $a = y_{A} - y_{B}$ — cu ordinea nerăsturnată.
Ecuația dreptei determinate de punctele $A (- 5, 2)$ și $B (- 5, 9)$ este:
- a) $x = - 5$
- b) $y = - 5$
- c) $x = 7$
- d) dreapta nu are ecuație, pentru că nu are pantă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = - 5$

Determinantul dă $a = 2 - 9 = - 7$ , $b = - 5 - (- 5) = 0$ și $c = (- 5) \cdot 9 - (- 5) \cdot 2 = - 35$ , deci $- 7 x - 35 = 0$ , adică $x = - 5$ . Lipsa pantei nu înseamnă lipsa ecuației: dreapta este verticală, iar forma cu determinant o produce fără niciun caz special.

Dreapta prin două puncte: pe scurt

Exerciții din această mini-lecție

Continuă cu