Ecuația dreptei determinate de două puncte. Forma cu determinant

Un topograf ridică planul unei parcele și obține coordonatele a două borne: $A(-2,5)$ și $B(3,-5)$, în zeci de metri față de un colț al terenului. Gardul dintre ele urmează exact segmentul $AB$, iar constructorul are nevoie de ecuația dreptei ca să calculeze mai departe unde se intersectează cu drumul de acces și cât de departe cade fântâna de linia gardului. Din două puncte trebuie să iasă o ecuație — asta e toată problema.

Există două rute către răspuns, și lecția ți le dă pe amândouă. Prima e cea directă: calculezi panta, apoi scrii ecuația prin punct și pantă. A doua, cerută explicit de programa de mate-info, folosește un determinant de ordinul al treilea — și e prima dată în acest capitol când algebra de la începutul anului intră în geometrie. Nu e o curiozitate: forma cu determinant nu se împiedică de dreptele verticale, dă direct coeficienții $a$, $b$, $c$ ai formei generale și este scrierea care deschide, mai departe, condiția de coliniaritate și formula ariei unui triunghi.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii ecuația dreptei prin două puncte date pe ruta în doi pași: panta din coordonate, apoi ecuația prin punct și pantă.
• Vei ști forma cu proporție $\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}$ și vei recunoaște cele două situații în care ea nu se poate folosi.
• Vei ști forma cu determinant și vei putea demonstra de ce ea descrie exact dreapta $AB$.
• Vei ști să obții din dezvoltarea determinantului coeficienții $a=y_A-y_B$, $b=x_B-x_A$, $c=x_A{y}_B-x_B{y}_A$ ai ecuației generale.
• Vei ști să tratezi fără caz special dreptele verticale și orizontale, unde forma cu proporție cedează.
• Vei ști să verifici obligatoriu rezultatul prin substituția ambelor puncte.

Hai să descoperim împreună

1. Două puncte determină o dreaptă — deci și o ecuație

Punctul de plecare este axioma cunoscută din geometrie: prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una. Tradusă analitic, ea spune că perechea $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$, cu $A\ne B$, determină complet o ecuație de dreaptă — nu una dintre mai multe, ci singura posibilă (până la înmulțirea cu un factor nenul, așa cum ai văzut la lecția Ecuația generală a dreptei).

Rămâne doar să organizăm calculul care duce de la patru numere — cele patru coordonate — la ecuația dreptei.

2. Ruta în doi pași

Pasul 1. Calculezi panta din coordonate: $$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A},x_A\ne x_B.$$

Pasul 2. Scrii ecuația prin punct și pantă, folosind oricare dintre cele două puncte: $$y-y_A=m(x-x_A).$$

Pasul 3 (nu e opțional): aduci la forma generală și verifici ambele puncte.

Aplicăm pe bornele topografului, $A(-2,5)$ și $B(3,-5)$. Panta: $$m=\frac{-5-5}{3-(-2)}=\frac{-10}{5}=-2.$$ Ecuația, cu punctul $A$: $y-5=-2(x+2)$, deci $y-5=-2x-4$, adică $y=-2x+1$. Forma generală: $2x+y-1=0$.

Verificarea, pe ambele puncte: pentru $A(-2,5)$ obținem $-4+5-1=0$ ✓; pentru $B(3,-5)$ obținem $6-5-1=0$ ✓. Dacă doar unul dintre puncte verifică ecuația, greșeala e aproape sigur la calculul pantei — verific-o întâi pe ea.

Ruta funcționează la fel dacă alegi $B$ la pasul $2$: $y+5=-2(x-3)$ dă $y=-2x+1$, aceeași dreaptă. Formula punct-pantă descrie toată dreapta, nu doar porțiunea din jurul punctului folosit.

3. Forma cu proporție și limitele ei

Cei doi pași se pot comprima într-o singură egalitate. Înlocuind panta în formula punct-pantă și separând variabilele obținem forma cu proporție: $$\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}.$$

Este comodă și se reține ușor: la numărători, diferențele față de primul punct; la numitori, diferențele dintre puncte, în aceeași ordine. Pe $A(2,3)$ și $B(5,4)$ ea dă $\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{1}$, de unde $x-2=3y-9$, adică $x-3y+7=0$. Verificare: $A$ dă $2-9+7=0$ ✓, $B$ dă $5-12+7=0$ ✓.

Are însă două puncte moarte, ambele previzibile:

• dacă $x_A=x_B$ (puncte pe aceeași verticală), numitorul din stânga este $0$;
• dacă $y_A=y_B$ (puncte pe aceeași orizontală), numitorul din dreapta este $0$.

În ambele cazuri scrierea nu are sens ca proporție și trebuie tratată separat, „din ochi": pe verticală ecuația este $x=x_A$, pe orizontală este $y=y_A$. Nu e o catastrofă, dar e un caz de discutat de fiecare dată — exact genul de lucru care se uită sub presiunea unui examen. Forma următoare îl elimină complet.

4. Forma cu determinant

Programa de mate-info cere ca ecuația dreptei prin două puncte să fie abordată și ca aplicație a determinanților. Iată enunțul.

Teoremă. Fie $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ două puncte distincte. Punctul $M(x,y)$ aparține dreptei $AB$ dacă și numai dacă $$\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ x_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\end{array}\right|=0.$$

Egalitatea aceasta este ecuația dreptei $AB$: prima linie conține coordonatele punctului curent, iar celelalte două, coordonatele punctelor date. Coloana de $1$ nu e decor — fără ea determinantul s-ar anula pentru orice dreaptă prin origine și n-ar mai distinge nimic.

5. De ce funcționează

Demonstrația are două jumătăți, și amândouă folosesc lucruri deja construite în acest an.

Prima jumătate: egalitatea este o ecuație de dreaptă. Dezvoltăm determinantul după prima linie, cum ai învățat la lecția Dezvoltarea determinantului după o linie: $$\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ x_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\end{array}\right|=x(y_A-y_B)-y(x_A-x_B)+(x_A{y}_B-x_B{y}_A).$$ Aceasta este exact o expresie de forma $ax+by+c$, cu $$a=y_A-y_B,b=x_B-x_A,c=x_A{y}_B-x_B{y}_A.$$ (Semnul minus din dezvoltare a transformat $x_A-x_B$ în $x_B-x_A$ — atenție la el.) Ca să fie chiar ecuație de dreaptă, mai trebuie $(a,b)\ne (0,0)$: dar $a=0$ și $b=0$ înseamnă $y_A=y_B$ și $x_A=x_B$, adică $A=B$ — exclus prin ipoteză. Deci pentru $A\ne B$ egalitatea din teoremă este ecuația generală a unei drepte.

A doua jumătate: dreapta aceea este chiar $AB$. Punem $M=A$, adică $x=x_A$ și $y=y_A$. Determinantul are atunci primele două linii identice, iar prin Proprietatea 6 din lecția Proprietățile determinanților (2) el este nul. La fel pentru $M=B$: liniile întâi și a treia devin identice, deci determinantul se anulează din nou.

Prin urmare, ecuația găsită este verificată de $A$ și de $B$. Cum prin două puncte distincte trece o singură dreaptă, ea nu poate fi decât dreapta $AB$. $■$

Observă cât de elegantă e a doua jumătate: nu se face niciun calcul. Anularea vine dintr-o proprietate structurală a determinanților, nu din numere.

6. Coeficienții, gata calculați

Formulele obținute merită reținute, pentru că îți dau ecuația generală fără să treci prin pantă: $$a=y_A-y_B,b=x_B-x_A,c=x_A{y}_B-x_B{y}_A.$$

Pe $A(-2,5)$, $B(3,-5)$: $a=5-(-5)=10$, $b=3-(-2)=5$, $c=(-2)(-5)-3\cdot 5=10-15=-5$. Ecuația este $10x+5y-5=0$, care simplificată prin $5$ dă $2x+y-1=0$ — exact rezultatul obținut la secțiunea $2$ pe cealaltă rută ✓.

Nu te alarma că determinantul produce un multiplu al formei „curate": ai văzut la lecția precedentă că ecuația generală nu e unică, iar tripletele proporționale descriu aceeași dreaptă. Obiceiul bun este să simplifici la final prin factorul comun al coeficienților.

Observă și legătura cu panta: când $b\ne 0$, avem $$m=-\frac{a}{b}=-\frac{y_A-y_B}{x_B-x_A}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A},$$ adică exact formula pantei din lecția Panta unei drepte. Cele două rute nu doar că dau același rezultat — sunt aceeași formulă, scrisă altfel.

7. Verticale și orizontale, fără caz special

Aici forma cu determinant își arată adevărata valoare.

Verticală. Fie $A(3,-1)$ și $B(3,6)$. Coeficienții: $a=-1-6=-7$, $b=3-3=0$, $c=3\cdot 6-3\cdot (-1)=18+3=21$. Ecuația: $-7x+21=0$, adică $x=3$. Corect, și obținut fără nicio discuție de caz — formula cu proporție ar fi avut numitorul $x_B-x_A=0$.

Orizontală. Fie $A(-2,4)$ și $B(5,4)$. Coeficienții: $a=4-4=0$, $b=5-(-2)=7$, $c=(-2)\cdot 4-5\cdot 4=-8-20=-28$. Ecuația: $7y-28=0$, adică $y=4$ ✓.

Motivul e simplu: determinantul nu împarte niciodată la nimic. Toate cele trei formule ale coeficienților sunt polinomiale în coordonate, deci nu au numitori care s-ar putea anula. De aceea forma cu determinant e cea de preferat când coordonatele conțin parametri și nu știi dinainte dacă abscisele coincid sau nu.

8. Ce formă alegi

Indiferent de rută, ultimul pas e același: substitui ambele puncte în ecuația obținută. Este verificarea care prinde aproape orice greșeală de semn, iar la Bacalaureat M1 se face în zece secunde.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aceeași dreaptă, pe ambele rute

Enunț. Scrieți ecuația generală a dreptei $AB$, cu $A(-1,-4)$ și $B(2,5)$, folosind pe rând cele două metode.

Rezolvare. Ruta în doi pași: $m=\frac{5-(-4)}{2-(-1)}=\frac{9}{3}=3$; apoi $y+4=3(x+1)$, deci $y=3x-1$, adică $3x-y-1=0$.

Ruta cu determinant: $a=y_A-y_B=-4-5=-9$; $b=x_B-x_A=2-(-1)=3$; $c=x_A{y}_B-x_B{y}_A=(-1)\cdot 5-2\cdot (-4)=-5+8=3$. Ecuația: $-9x+3y+3=0$; împărțind prin $-3$ obținem $3x-y-1=0$ ✓.

Verificare: $A$ dă $-3+4-1=0$ ✓; $B$ dă $6-5-1=0$ ✓.

Exemplul 2 — Pantă fracționară

Enunț. Scrieți ecuația dreptei prin $A(2,3)$ și $B(5,4)$ sub forma generală cu coeficienți întregi.

Rezolvare. Cu determinantul: $a=3-4=-1$, $b=5-2=3$, $c=2\cdot 4-5\cdot 3=8-15=-7$. Ecuația: $-x+3y-7=0$, adică $x-3y+7=0$.

Panta este $m=-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3}$, în acord cu calculul direct $\frac{4-3}{5-2}=\frac{1}{3}$. Verificare: $A$ dă $2-9+7=0$ ✓; $B$ dă $5-12+7=0$ ✓.

Observă avantajul: pe această rută nu am scris nicio fracție, deși panta este fracționară.

Exemplul 3 — Puncte pe o verticală

Enunț. Determinați ecuația dreptei prin $A(3,-1)$ și $B(3,6)$, folosind determinantul.

Rezolvare. Scriem determinantul și îl dezvoltăm după prima linie: $$\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ 3& -1& 1\\ 3& 6& 1\end{array}\right|=x(-1-6)-y(3-3)+(3\cdot 6-3\cdot (-1))=-7x+21.$$ Ecuația $-7x+21=0$ dă $x=3$. Ambele puncte au abscisa $3$ ✓. Dreapta este verticală, deci nu are pantă — formula $m=-\frac{a}{b}$ nu se aplică, fiindcă $b=0$.

Exemplul 4 — Puncte pe o orizontală

Enunț. Determinați ecuația dreptei prin $A(-3,2)$ și $B(6,2)$.

Rezolvare. $a=2-2=0$, $b=6-(-3)=9$, $c=(-3)\cdot 2-6\cdot 2=-6-12=-18$. Ecuația: $9y-18=0$, adică $y=2$, cu panta $m=-\frac{0}{9}=0$ ✓. Ambele puncte au ordonata $2$.

Exemplul 5 — Dreaptă prin origine

Enunț. Scrieți ecuația dreptei prin $A(1,-2)$ și $B(-3,6)$ și precizați dacă trece prin originea reperului.

Rezolvare. $a=-2-6=-8$; $b=-3-1=-4$; $c=1\cdot 6-(-3)\cdot (-2)=6-6=0$. Ecuația: $-8x-4y=0$; împărțind prin $-4$ rămâne $2x+y=0$.

Termenul liber este $c=0$, deci dreapta trece prin origine — ceea ce se vede și direct: $O(0,0)$ dă $0+0=0$ ✓. Panta este $-2$. Verificare: $A$ dă $2-2=0$ ✓; $B$ dă $-6+6=0$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Enunț. Se consideră punctele $A(2,-1)$ și $B(-2,7)$. a) Scrieți ecuația generală a dreptei $AB$. b) Determinați panta dreptei $AB$. c) Verificați dacă punctul $C(0,3)$ aparține dreptei $AB$.

Rezolvare. a) Folosim determinantul: $a=-1-7=-8$, $b=-2-2=-4$, $c=2\cdot 7-(-2)\cdot (-1)=14-2=12$. Ecuația: $-8x-4y+12=0$; împărțind prin $-4$ obținem $$AB:2x+y-3=0.$$ Verificare: $A$ dă $4-1-3=0$ ✓; $B$ dă $-4+7-3=0$ ✓.

b) Cum $b=1\ne 0$, panta este $m=-\frac{2}{1}=-2$. (Control: $\frac{7-(-1)}{-2-2}=\frac{8}{-4}=-2$ ✓.)

c) Substituim coordonatele lui $C$: $2\cdot 0+3-3=0$, deci $C\in AB$.

Să exersăm

1. Scrieți ecuația generală a dreptei prin $A(-1,-4)$ și $B(2,5)$.

2. Scrieți ecuația generală a dreptei prin $A(0,7)$ și $B(4,-1)$.

3. Determinați ecuația dreptei prin $A(-3,2)$ și $B(6,2)$ și precizați panta ei.

4. Determinați ecuația dreptei prin $A(5,-2)$ și $B(5,9)$. Are această dreaptă pantă?

5. Scrieți ecuația dreptei prin $A(1,1)$ și $B(4,7)$, pe ruta în doi pași.

6. Scrieți ecuația dreptei prin $A(-4,3)$ și $B(2,-3)$, cu ajutorul determinantului.

7. Scrieți determinantul care dă ecuația dreptei prin $A(2,-1)$ și $B(-2,7)$, apoi dezvoltați-l după prima linie.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) Forma cu proporție $\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}$ se poate folosi pentru orice două puncte distincte.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) Determinantul din teoremă se anulează atunci când punctul $M(x,y)$ se află pe dreapta $AB$.

10. Verificați prin substituție că ecuația $2x+y-7=0$ este ecuația dreptei prin $A(0,7)$ și $B(4,-1)$.

11. Arătați, folosind formulele coeficienților, că dacă $A=B$ atunci $a=b=c=0$ și explicați de ce în acest caz egalitatea nu mai este ecuație de dreaptă.

12. (Problemă aplicată.) La ora $6$ dimineața un termometru arăta $-2$ grade, iar la ora $14$ arăta $14$ grade. Presupunând că temperatura a crescut liniar, scrieți ecuația generală a dreptei cu $x$ = ora și $y$ = temperatura, apoi aflați temperatura de la ora $10$ și cu câte grade a crescut, în medie, într-o oră.

13. Determinați $t\in \mathbb{R}$ astfel încât punctul $M(t,8)$ să aparțină dreptei prin $A(-1,-4)$ și $B(2,5)$.

14. Se dau punctele $A(-1,3)$, $B(1,1)$ și $C(5,7)$. Scrieți ecuația dreptei care trece prin $A$ și prin mijlocul segmentului $BC$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A(2,-1)$ și $B(-2,7)$. a) Scrieți ecuația generală a dreptei $AB$. b) Determinați panta. c) Verificați dacă $C(0,3)$ aparține dreptei $AB$.

16. Dezvoltați determinantul din teoremă pentru puncte generale $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ și scrieți coeficienții $a$, $b$, $c$ în funcție de coordonate.

17. Arătați că, atunci când $x_A\ne x_B$ și $y_A\ne y_B$, forma cu proporție și forma cu determinant conduc la aceeași ecuație.

18. (Provocare.) Demonstrați teorema din secțiunea $4$ fără a folosi dezvoltarea determinantului: arătați direct că mulțimea punctelor care anulează determinantul conține $A$ și $B$ și că, fiind mulțimea soluțiilor unei ecuații de gradul întâi în $x$ și $y$, ea nu poate fi decât o dreaptă.

Răspunsuri și explicații

1. $a=-4-5=-9$, $b=2+1=3$, $c=(-1)\cdot 5-2\cdot (-4)=3$; deci $-9x+3y+3=0$, adică $3x-y-1=0$. Verificare: $-3+4-1=0$ ✓ și $6-5-1=0$ ✓.

2. $a=7-(-1)=8$, $b=4-0=4$, $c=0\cdot (-1)-4\cdot 7=-28$; deci $8x+4y-28=0$, adică $2x+y-7=0$. Verificare: $0+7-7=0$ ✓ și $8-1-7=0$ ✓.

3. Ordonatele sunt egale, deci dreapta este orizontală: $y=2$, adică $y-2=0$. Panta este $0$.

4. Abscisele sunt egale, deci dreapta este verticală: $x=5$, adică $x-5=0$. Nu are pantă, pentru că $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există; formal, $b=0$ și formula $m=-\frac{a}{b}$ nu se poate aplica.

5. $m=\frac{7-1}{4-1}=2$; apoi $y-1=2(x-1)$, deci $y=2x-1$, adică $2x-y-1=0$. Verificare: $2-1-1=0$ ✓ și $8-7-1=0$ ✓.

6. $a=3-(-3)=6$, $b=2-(-4)=6$, $c=(-4)(-3)-2\cdot 3=12-6=6$; deci $6x+6y+6=0$, adică $x+y+1=0$. Verificare: $-4+3+1=0$ ✓ și $2-3+1=0$ ✓.

7. Determinantul este $$\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ 2& -1& 1\\ -2& 7& 1\end{array}\right|=x(-1-7)-y(2+2)+(2\cdot 7-(-2)(-1))=-8x-4y+12,$$ deci ecuația $-8x-4y+12=0$, echivalentă cu $2x+y-3=0$.

8. Fals. Ea cere $x_A\ne x_B$ (altfel numitorul din stânga e nul) și $y_A\ne y_B$ (altfel numitorul din dreapta e nul). Pe verticale și pe orizontale trebuie tratat cazul separat sau folosită forma cu determinant.

9. Adevărat. Este chiar enunțul teoremei: anularea determinantului este echivalentă cu apartenența lui $M$ la dreapta $AB$.

10. Pentru $A(0,7)$: $0+7-7=0$ ✓. Pentru $B(4,-1)$: $8-1-7=0$ ✓. Ambele puncte verifică ecuația, deci dreapta lor este cea dată.

11. Dacă $A=B$, atunci $x_A=x_B$ și $y_A=y_B$, deci $a=y_A-y_B=0$, $b=x_B-x_A=0$ și $c=x_A{y}_B-x_B{y}_A=x_A{y}_A-x_A{y}_A=0$. Egalitatea devine $0=0$, adevărată pentru orice punct al planului — deci nu descrie o dreaptă, ci tot planul. Condiția $(a,b)\ne (0,0)$ din definiția ecuației generale este exact cea încălcată aici.

12. Cu $A(6,-2)$ și $B(14,14)$: $a=-2-14=-16$, $b=14-6=8$, $c=6\cdot 14-14\cdot (-2)=84+28=112$. Ecuația $-16x+8y+112=0$, împărțită prin $-8$, devine $2x-y-14=0$. La ora $10$: $20-y-14=0$, deci $y=6$ grade. Panta este $m=2$, deci temperatura a crescut în medie cu $2$ grade pe oră. Verificare: $12+2-14=0$ ✓ și $28-14-14=0$ ✓.

13. Dreapta $AB$ are ecuația $3x-y-1=0$ (exercițiul $1$). Punem $y=8$: $3t-8-1=0$, deci $t=3$. Verificare: $9-8-1=0$ ✓.

14. Mijlocul lui $BC$ are coordonatele $\left(\frac{1+5}{2},\frac{1+7}{2}\right)=(3,4)$. Dreapta prin $A(-1,3)$ și $(3,4)$: $a=3-4=-1$, $b=3-(-1)=4$, $c=(-1)\cdot 4-3\cdot 3=-13$; deci $-x+4y-13=0$, adică $x-4y+13=0$. Verificare: $-1-12+13=0$ ✓ și $3-16+13=0$ ✓.

15. a) $2x+y-3=0$ (vezi exercițiul $7$). b) $m=-\frac{2}{1}=-2$. c) $2\cdot 0+3-3=0$, deci da, $C$ aparține dreptei.

16. Dezvoltarea după prima linie dă $$x(y_A-y_B)-y(x_A-x_B)+(x_A{y}_B-x_B{y}_A)=0,$$ adică $a=y_A-y_B$, $b=x_B-x_A$ (minusul din dezvoltare inversează diferența) și $c=x_A{y}_B-x_B{y}_A$.

17. Forma cu proporție, scrisă fără numitori (produs încrucișat), devine $(x-x_A)(y_B-y_A)=(y-y_A)(x_B-x_A)$. Trecând totul în stânga și desfăcând parantezele obținem $x(y_A-y_B)+y(x_B-x_A)+(x_A{y}_B-x_B{y}_A)=0$ — exact ecuația din exercițiul $16$. Deci cele două forme au aceeași mulțime de soluții; forma cu produs încrucișat are, în plus, avantajul că rămâne valabilă și când unul dintre numitori se anulează.

18. Punctul $A$ anulează determinantul, pentru că îl face să aibă primele două linii identice (Proprietatea 6 din lecția despre proprietățile determinanților); analog, $B$ îl face să aibă liniile întâi și a treia identice. Pe de altă parte, determinantul este o expresie de gradul întâi în $x$ și $y$ (fiecare apare o singură dată, ca factor al unui minor care nu-i mai conține), iar coeficienții lui $x$ și $y$ nu sunt simultan nuli, deoarece asta ar însemna $A=B$. Mulțimea soluțiilor unei ecuații de gradul întâi cu coeficienți nesimultan nuli este o dreaptă; cum ea conține $A$ și $B$, iar prin două puncte distincte trece o singură dreaptă, ea este dreapta $AB$.

De reținut

• Ruta în doi pași: panta $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, apoi ecuația prin punct și pantă $y-y_A=m(x-x_A)$; la final, forma generală și verificarea.
• Forma cu proporție $\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}$ cere ambii numitori nenuli; pe verticale și pe orizontale nu se aplică.
• Forma cu determinant este ecuația dreptei $AB$ scrisă ca anularea determinantului de ordinul al treilea cu liniile $(x,y,1)$, $(x_A,y_A,1)$, $(x_B,y_B,1)$ — și funcționează fără excepții.
• Dezvoltarea după prima linie dă direct coeficienții $a=y_A-y_B$, $b=x_B-x_A$, $c=x_A{y}_B-x_B{y}_A$, iar $(a,b)=(0,0)$ se întâmplă exact când $A=B$.
• Ultimul pas, întotdeauna: substituția ambelor puncte în ecuația obținută.

Greșeli frecvente

• Semnul lui $b$, uitat la dezvoltare. Se scrie $b=x_A-x_B$. Corect: dezvoltarea după prima linie are semnul minus la al doilea termen, deci $b=x_B-x_A$. Verificarea pe cele două puncte prinde imediat greșeala.
• Forma cu proporție aplicată pe verticale. Se scrie $\frac{x-3}{0}=\frac{y+1}{7}$. Corect: când $x_A=x_B$, dreapta este $x=x_A$; sau folosești determinantul, care nu împarte la nimic.
• Panta calculată pentru o dreaptă verticală. După ce determinantul dă $-7x+21=0$, se scrie $m=-\frac{-7}{0}$. Corect: aici $b=0$, deci dreapta nu are pantă; nu se spune „pantă infinită".
• Verificarea unui singur punct. Se substituie doar $A$, se obține $0$ și se trece mai departe. Corect: o greșeală de pantă lasă adesea primul punct pe dreaptă și îl scoate pe al doilea; se verifică amândouă.
• Ordinea liniilor în determinant. Se pune $(x_A,y_A,1)$ pe prima linie și $(x,y,1)$ pe a doua, apoi se dezvoltă tot după prima linie. Corect: poți schimba ordinea liniilor, dar atunci determinantul își schimbă semnul, iar dezvoltarea trebuie făcută după linia care conține $x$ și $y$; cel mai sigur e să respecți așezarea din teoremă.

Aplică acasă

1. Două borne pe hartă. Alege pe o hartă două repere fixe de pe aceeași stradă dreaptă (două intersecții, doi stâlpi) și citește-le coordonatele aproximative față de un colț ales ca origine. Scrie ecuația dreptei prin ele pe ambele rute și verifică faptul că obții aceeași ecuație după simplificare.
2. Două facturi. Ia două facturi de utilități din luni diferite și notează perechile (consum, sumă de plată). Scrie dreapta prin cele două puncte cu ajutorul determinantului, apoi folosește-o pentru a estima suma la un consum intermediar. Panta obținută are o semnificație precisă: prețul pe unitatea de consum.
3. Umbra la două ore. Măsoară lungimea umbrei unui obiect la două momente ale zilei, la un interval de câteva ore, și notează perechile (ora, lungimea umbrei). Scrie dreapta prin cele două puncte și verifică, printr-o a treia măsurătoare, cât de bine prezice modelul liniar — vei constata că realitatea nu e liniară, ceea ce e la fel de instructiv.

Pentru părinți și profesori

Ce verifică lecția. Capacitatea de a obține ecuația unei drepte din două puncte date, pe două căi independente, și de a folosi determinantul de ordinul al treilea ca instrument geometric — cerință explicită a programei de mate-info („ecuația unei drepte care trece prin două puncte date se abordează și ca aplicație a determinanților în geometrie"). Competențele vizate: XI.CS.2.3, XI.CS.4.3 și XI.CS.3.3.

Întrebări de control. „De ce nu se poate folosi forma cu proporție pentru punctele $(3,-1)$ și $(3,6)$?"; „De ce se anulează determinantul când $M=A$?"; „Care este coeficientul lui $y$ în ecuația obținută din determinant?" (răspuns: $x_B-x_A$); „Cum verifici că ecuația găsită e corectă?".

Semne că a înțeles. Elevul verifică din reflex ambele puncte; nu se blochează la puncte cu abscise egale; recunoaște că $10x+5y-5=0$ și $2x+y-1=0$ sunt aceeași dreaptă; și poate explica anularea determinantului prin proprietatea liniilor identice, nu prin calcul numeric.

Unde apare la BAC M1. Foarte frecvent, în două forme: cerința directă „scrieți ecuația dreptei $AB$" și cerința sub formă de determinant, tipică pentru subiectele care leagă algebra de geometrie. Forma cu determinant este și baza celor două lecții imediat următoare din programă — condiția de coliniaritate și aria triunghiului — deci un elev care o stăpânește aici economisește efort de două ori mai încolo.

Întrebări frecvente

Cum scriu ecuația dreptei prin două puncte date? Ai două rute. Prima: calculezi panta $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ și scrii $y-y_A=m(x-x_A)$. A doua: folosești determinantul de ordinul al treilea cu liniile $(x,y,1)$, $(x_A,y_A,1)$, $(x_B,y_B,1)$ și îl egalezi cu zero. Ambele duc la aceeași dreaptă.

Ce este forma cu determinant a ecuației dreptei? Este egalitatea care spune că determinantul de ordinul al treilea format cu punctul curent și cu cele două puncte date este nul. Ea este cerută explicit de programa de mate-info ca aplicație a determinanților în geometrie.

De ce se anulează determinantul pentru punctele $A$ și $B$? Pentru că, înlocuind $M$ cu $A$, primele două linii ale determinantului devin identice, iar un determinant cu două linii identice este nul. Analog pentru $B$, cu liniile întâi și a treia.

Care sunt coeficienții ecuației obținute din determinant? $a=y_A-y_B$, $b=x_B-x_A$ și $c=x_A{y}_B-x_B{y}_A$. Atenție la $b$: minusul din dezvoltarea după prima linie inversează ordinea diferenței.

Ce fac dacă cele două puncte au aceeași abscisă? Dreapta este verticală, de ecuație $x=x_A$. Forma cu proporție nu se aplică, dar forma cu determinant funcționează normal și dă chiar această ecuație.

Trebuie să simplific ecuația obținută din determinant? Nu e obligatoriu matematic, pentru că ecuațiile proporționale descriu aceeași dreaptă, dar e recomandat: forma cu coeficienți întregi fără factor comun se compară mai ușor cu răspunsul din barem.

Cum verific rezultatul? Substitui coordonatele ambelor puncte în ecuația găsită. Dacă amândouă dau zero, ecuația e corectă; dacă doar unul dă zero, ai greșit aproape sigur panta sau un semn.

Ce se întâmplă dacă cele două puncte coincid? Toți trei coeficienții devin nuli, egalitatea se reduce la $0=0$ și e verificată de tot planul. De aceea teorema cere explicit ca punctele să fie distincte — două puncte confundate nu determină o dreaptă.