Ecuația dreptei: punct și pantă: pe scurt

O relație $F(x,y)=0$ este ecuația unei drepte $d$ dacă mulțimea punctelor ale căror coordonate o verifică este exact $d$: nici mai puțin (să nu piardă puncte ale dreptei), nici mai mult (să nu prindă puncte străine). De aceea demonstrațiile se fac prin dublă incluziune.

Prin punctul $M_0(x_0,y_0)$ trece o infinitate de drepte, câte una pentru fiecare unghi de înclinare; dacă fixăm și panta, rămâne una singură. Pentru un punct oarecare $P(x,y)$ al ei, panta calculată pe perechea $M_0$, $P$ trebuie să fie $m$, iar după înmulțirea cu numitorul se obține ecuația dreptei prin punct, cu panta dată: $y-y_0=m(x-x_0)$. Cele trei date din care se construiește sunt $x_0$, $y_0$ și $m$ — nimic altceva.

Formula presupune că panta există, deci nu descrie dreptele verticale. Verticala prin $M_0$ are ecuația $x=x_0$ și se scrie separat, de fiecare dată; orizontala, în schimb, se obține din formulă pentru $m=0$ și are ecuația $y=y_0$. Familia $y-y_0=m(x-x_0)$, cu $m\in \mathbb{R}$, reunită cu verticala $x=x_0$, formează fasciculul de vârf $M_0$ — iar verificarea verticalei la final este exact pasul care se sare cel mai des.

Dacă enunțul dă unghiul, se calculează întâi $m=\mathrm{tg}\alpha$. Aceeași formulă revine, mai târziu, ca ecuație a tangentei la graficul unei funcții.

Exerciții din această mini-lecție

1. Ecuația dreptei care trece prin $M_0(-2,5)$ și are panta $m=-\frac{3}{4}$ este:

   • a) $y=-\frac{3}{4}x+\frac{7}{2}$
   • b) $y=-\frac{3}{4}x+\frac{13}{2}$
   • c) $y=-\frac{4}{3}x+\frac{7}{3}$
   • d) $y=-\frac{3}{4}x-\frac{7}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $y=-\frac{3}{4}x+\frac{7}{2}$

   Scriem întâi formula cu paranteze: $y-5=-\frac{3}{4}(x-(-2))=-\frac{3}{4}(x+2)$, deci $y=-\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}+5=-\frac{3}{4}x+\frac{7}{2}$. Varianta a doua apare dacă se scrie $x-2$ în loc de $x+2$, iar a treia dacă se răstoarnă panta.

2. Dreapta care trece prin $B(-4,7)$ și are unghiul de înclinare $\alpha =90^{\circ }$ are ecuația:

   • a) $y=7$
   • b) nu se poate scrie nicio ecuație, pentru că dreapta nu are pantă
   • c) $x=-4$
   • d) $y-7=\mathrm{tg}90^{\circ }\cdot (x+4)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $x=-4$

   Unghiul de $90^{\circ }$ înseamnă dreaptă verticală: toate punctele ei au abscisa $-4$, deci ecuația este $x=-4$. Lipsa pantei nu înseamnă lipsa ecuației — înseamnă doar că formula punct-pantă nu se aplică, fiindcă $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există. Ecuația $y=7$ este a orizontalei prin $B$.

3. Dintre dreptele care trec prin $P(3,-1)$, cea care trece și prin $Q(-1,7)$ are ecuația:

   • a) $y=-2x-5$
   • b) $y=-2x+5$
   • c) $y=2x-7$
   • d) $y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $y=-2x+5$

   Panta este $m=\frac{7-(-1)}{-1-3}=\frac{8}{-4}=-2$, iar formula punct-pantă dă $y+1=-2(x-3)$, adică $y=-2x+5$. Verificare pe ambele puncte: $-2\cdot 3+5=-1$ ✓ și $-2\cdot (-1)+5=7$ ✓. Verticala $x=3$ nu trece prin $Q$, deci soluția este unică.