Ecuația dreptei prin punct și pantă, cu aplicații

Un controlor de trafic aerian primește de la o aeronavă două informații: poziția ei curentă și direcția de zbor. Din atât trebuie să decidă, în câteva secunde, dacă traiectoria trece peste o zonă interzisă, la ce distanță va trece de un alt avion și unde va intersecta granița sectorului. Niciuna dintre aceste întrebări nu se poate rezolva pe un desen — toate cer o ecuație, adică o relație între coordonate pe care o verifică exact punctele traiectoriei și niciun altul.

Exact acesta este saltul pe care îl face lecția de față. Până acum ai descris puncte prin coordonate și direcții prin pante; de aici înainte vei descrie drepte întregi prin ecuații. Prima formulă, și cea mai folosită dintre toate, pleacă de la aceleași două informații ca ale controlorului: un punct și o pantă. Ea se numește ecuația dreptei prin punct și pantă, se demonstrează în trei rânduri și se regăsește, peste cincizeci de lecții, în ecuația tangentei la graficul unei funcții.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă riguros că o relație între $x$ și $y$ este ecuația unei drepte.
• Vei ști să deduci și să aplici formula punct-pantă, $y-y_0=m(x-x_0)$, și să o demonstrezi prin dublă incluziune, arătând că nu pierzi și nu adaugi niciun punct.
• Vei ști să tratezi separat dreapta verticală, $x=x_0$, care nu se obține din formulă.
• Vei ști să descrii fasciculul tuturor dreptelor care trec printr-un punct fixat.
• Vei ști să scrii ecuația când se dă unghiul de înclinare în loc de pantă.
• Vei ști să determini parametri din condiția ca un punct să aparțină unei drepte date.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „ecuația unei drepte"

Înainte de orice formulă, fixăm sensul cuvântului.

Definiție. Spunem că relația $F(x,y)=0$ este o ecuație a dreptei $d$ dacă mulțimea punctelor planului ale căror coordonate o verifică este exact dreapta $d$:

$$d=\{P(x,y)\mid F(x,y)=0\}.$$

Cerința este dublă și ambele jumătăți contează. Dacă un punct al dreptei nu verifică relația, ecuația pierde puncte; dacă un punct din afara dreptei o verifică, ecuația adaugă puncte. O formulă corectă trebuie să nu facă niciuna dintre cele două greșeli — motiv pentru care demonstrația din paragraful 3 are două sensuri, nu unul.

Odată scrisă ecuația, întrebările geometrice devin calcule. „Punctul $Q$ e pe dreaptă?" înseamnă „coordonatele lui verifică relația?". „Unde taie dreapta axa $Ox$?" înseamnă „ce soluție are ecuația pentru $y=0$?". Aceasta e toată puterea metodei analitice.

2. Un punct și o pantă determină o singură dreaptă

Prin punctul $M_0(x_0,y_0)$ trec o infinitate de drepte, câte una pentru fiecare unghi de înclinare $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$. Dacă fixăm și panta, adică valoarea $m=\mathrm{tg}\alpha$, unghiul se determină unic în intervalul admis, deci rămâne o singură dreaptă.

Deducerea ecuației este acum imediată. Fie $P(x,y)$ un punct al dreptei, diferit de $M_0$. Panta calculată pe perechea $M_0$, $P$ trebuie să fie $m$:

$$\frac{y-y_0}{x-x_0}=m.$$

Înmulțind cu numitorul obținem forma finală, care are avantajul că nu mai are numitor și că este verificată și de $M_0$ însuși:

$$\boxed{y-y_0=m(x-x_0)}$$

Aceasta este ecuația dreptei prin punct, cu panta dată. Cele trei date din care se construiește sunt $x_0$, $y_0$ și $m$; nimic altceva nu e necesar.

3. Demonstrația: nu se pierde și nu se adaugă niciun punct

Teoremă. Fie $M_0(x_0,y_0)$ un punct și $m\in \mathbb{R}$. Dreapta $d$ care trece prin $M_0$ și are panta $m$ este mulțimea punctelor $P(x,y)$ care verifică relația $y-y_0=m(x-x_0)$.

Demonstrație. Arătăm cele două incluziuni.

„Orice punct al dreptei verifică relația." Fie $P(x,y)\in d$. Dacă $P=M_0$, relația devine $0=0$, adevărată. Dacă $P\ne M_0$, atunci $x\ne x_0$: altfel dreapta $M_{0}P$ ar fi verticală, deci $d$ ar fi verticală și nu ar avea pantă, contrar ipotezei. Cum $M_0$ și $P$ sunt două puncte distincte de pe $d$, raportul lor de diferențe este chiar panta:

$$\frac{y-y_0}{x-x_0}=m⟹y-y_0=m(x-x_0).$$

„Orice punct care verifică relația e pe dreaptă." Fie $P(x,y)$ cu $y-y_0=m(x-x_0)$. Dacă $x=x_0$, relația dă $y-y_0=0$, deci $P=M_0\in d$. Dacă $x\ne x_0$, putem împărți și obținem că dreapta $M_{0}P$ are panta $m$. Dar prin $M_0$ trece o singură dreaptă de pantă $m$, anume $d$; prin urmare $M_{0}P=d$ și $P\in d$.

Cele două incluziuni dau egalitatea de mulțimi, deci relația este într-adevăr o ecuație a dreptei $d$. $■$

Reține procedeul, pentru că se repetă la fiecare formă nouă de ecuație: se verifică întâi că punctele dreptei satisfac relația, apoi că relația nu „prinde" puncte străine. Argumentul de unicitate — printr-un punct trece o singură dreaptă de pantă dată — este piesa care închide demonstrația.

4. Dreapta verticală: cazul care nu se obține din formulă

Formula punct-pantă presupune existența pantei, deci nu descrie dreptele verticale. Ele trebuie tratate separat, de fiecare dată.

Dreapta verticală care trece prin $M_0(x_0,y_0)$ este mulțimea punctelor cu aceeași abscisă $x_0$, indiferent de ordonată. Ecuația ei este, pur și simplu,

$$x=x_0.$$

Este o ecuație perfect legitimă în sensul definiției din paragraful 1: punctele care o verifică sunt exact cele de pe verticală. Ce nu se poate este să o scrii sub forma punct-pantă — nu pentru că am uitat un caz, ci pentru că dreapta respectivă nu are pantă.

Cazul orizontal, în schimb, se obține din formulă fără nicio dificultate: pentru $m=0$ rămâne $y-y_0=0$, adică $y=y_0$.

5. Fasciculul dreptelor care trec printr-un punct

Formula punct-pantă nu descrie doar o dreaptă, ci o familie întreagă, dacă lăsăm panta să varieze. Mulțimea

$$d_m:y-y_0=m(x-x_0),m\in \mathbb{R},$$

conține câte o dreaptă pentru fiecare pantă reală. Adăugându-i verticala $x=x_0$, obținem toate dreptele planului care trec prin $M_0$ — se numește fasciculul de drepte de vârf $M_0$.

Observația e utilă practic. Când problema spune „determinați dreapta care trece prin $M_0$ și îndeplinește condiția $C$", strategia standard este: scrii dreapta generică a fasciculului, cu $m$ necunoscut, impui condiția $C$, rezolvi ecuația în $m$ — și verifici la final dacă verticala $x=x_0$ satisface și ea condiția, pentru că ea nu se obține pentru nicio valoare a lui $m$. Ultimul pas se sare des și e exact locul în care se pierd puncte la Bacalaureat M1.

6. Când se dă unghiul în loc de pantă

Uneori enunțul nu dă panta, ci unghiul de înclinare. Pasul suplimentar este o singură aplicare a definiției: $m=\mathrm{tg}\alpha$.

Astfel, dreapta care trece prin $M_0(x_0,y_0)$ și face unghiul $\alpha \ne 90^{\circ }$ cu axa $Ox$ are ecuația

$$y-y_0=\mathrm{tg}\alpha \cdot (x-x_0).$$

Pentru unghiurile remarcabile calculul e imediat: $\alpha =45^{\circ }$ dă $m=1$; $\alpha =60^{\circ }$ dă $m=\sqrt{3}$; $\alpha =135^{\circ }$ dă $m=-1$; $\alpha =120^{\circ }$ dă $m=-\sqrt{3}$. Iar dacă $\alpha =90^{\circ }$, nu se aplică formula: dreapta este verticala $x=x_0$.

7. La ce se folosește formula mai departe

Formula punct-pantă este scheletul întregii unități. Din ea se obține, prin desfacerea parantezei, ecuația explicită $y=mx+n$; mutând totul într-un membru, ecuația generală $ax+by+c=0$. Tot ea se folosește la scrierea paralelei sau a perpendicularei duse printr-un punct la o dreaptă dată, temă pe care o vei studia la condițiile de paralelism și de perpendicularitate.

Iar în a doua jumătate a anului, la funcții derivabile, ecuația tangentei la graficul lui $f$ în punctul de abscisă $x_0$ va fi exact aceeași formulă, cu panta înlocuită de valoarea derivatei:

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0).$$

Merită să reții acest lucru de pe acum: nu vei învăța o formulă nouă atunci, ci o vei recunoaște pe aceasta.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aplicare directă și trecerea la forma generală

Scrieți ecuația dreptei care trece prin $M_0(-3,4)$ și are panta $m=\frac{2}{3}$, apoi aduceți-o la forma cu coeficienți întregi.

Rezolvare. Aplicăm formula, cu atenție la dublul minus:

$$y-4=\frac{2}{3}(x-(-3))=\frac{2}{3}(x+3)⟹y-4=\frac{2}{3}x+2⟹y=\frac{2}{3}x+6.$$

Pentru forma cu coeficienți întregi, înmulțim cu $3$ și mutăm totul într-un membru:

$$3y=2x+18⟹2x-3y+18=0.$$

Verificare pe punctul dat: $2\cdot (-3)-3\cdot 4+18=-6-12+18=0$ ✓. Verificare pe un al doilea punct, $(0,6)$: $0-18+18=0$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Ecuația când se dă unghiul de înclinare

Scrieți ecuația dreptei care trece prin $A(5,-2)$ și are unghiul de înclinare $\alpha =135^{\circ }$. Determinați apoi punctul în care taie axa $Oy$.

Rezolvare. Panta este $m=\mathrm{tg}135^{\circ }=-1$. Formula dă

$$y-(-2)=-1\cdot (x-5)⟹y+2=-x+5⟹y=-x+3.$$

Intersecția cu $Oy$ se obține punând $x=0$: rezultă $y=3$, deci punctul $(0,3)$.

Verificare pe punctul din enunț: pentru $x=5$, $y=-5+3=-2$ ✓. $■$

Exemplul 3 — Cele două drepte speciale prin același punct

Scrieți ecuațiile dreptei verticale și ale dreptei orizontale care trec prin $B(-4,7)$.

Rezolvare. Verticala are toate punctele de abscisă $-4$, deci ecuația ei este $x=-4$. Ea nu are pantă, iar unghiul ei de înclinare este $90^{\circ }$; formula punct-pantă nu i se aplică.

Orizontala are panta $m=0$, deci formula funcționează: $y-7=0\cdot (x+4)$, adică $y=7$.

Observă contrastul: ambele ecuații sunt simple, dar provin din situații diferite — una din lipsa pantei, cealaltă din panta nulă. $■$

Exemplul 4 — Alegerea unei drepte din fascicul

Dintre toate dreptele care trec prin $P(2,-3)$, determinați-o pe cea care trece și prin $Q(-1,6)$.

Rezolvare. Metoda directă: calculăm panta din cele două puncte, apoi aplicăm formula.

$$m=\frac{6-(-3)}{-1-2}=\frac{9}{-3}=-3⟹y+3=-3(x-2)⟹y=-3x+3.$$

Metoda cu fasciculul, cea cerută când enunțul insistă pe familie: dreapta generică prin $P$ este $y+3=m(x-2)$. Impunem ca $Q$ să o verifice:

$$6+3=m(-1-2)⟹9=-3m⟹m=-3,$$

de unde aceeași ecuație. Verificăm și verticala $x=2$: punctul $Q$ are abscisa $-1\ne 2$, deci nu îi aparține — soluția rămâne unică.

Verificare finală: $-3\cdot 2+3=-3$ ✓ pentru $P$ și $-3\cdot (-1)+3=6$ ✓ pentru $Q$. $■$

Exemplul 5 — O aplicație: timpul de execuție al unui algoritm

Un program prelucrează o listă, iar timpul lui de execuție crește liniar cu numărul de elemente. Pentru $200$ de elemente durează $90$ de milisecunde, iar fiecare $100$ de elemente în plus adaugă $15$ milisecunde. Scrieți ecuația care dă timpul $t$ în funcție de numărul $n$ de elemente și estimați timpul pentru $1000$ de elemente.

Rezolvare. Punem $n$ pe abscisă și $t$ pe ordonată. Cunoaștem punctul $(200,90)$ și ritmul, adică panta:

$$m=\frac{15}{100}=\frac{3}{20}\text{milisecunde pe element}.$$

Formula punct-pantă dă

$$t-90=\frac{3}{20}(n-200)⟹t-90=\frac{3}{20}n-30⟹t=\frac{3}{20}n+60.$$

Termenul liber $60$ are sens concret: este timpul de pornire al programului, independent de lungimea listei. Pentru $n=1000$:

$$t=\frac{3}{20}\cdot 1000+60=150+60=210\text{milisecunde}.$$

Verificare pe datele din enunț: pentru $n=200$, $t=30+60=90$ ✓; pentru $n=500$, $t=75+60=135$, adică exact $45$ de milisecunde peste valoarea de la $200$, conform ritmului anunțat ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(-1,4)$ și dreapta $d$ care trece prin $A$ și are panta $m=-3$. a) Scrieți ecuația dreptei $d$. b) Determinați coordonatele punctului în care $d$ intersectează axa $Ox$. c) Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $B(a,a+1)$ aparține dreptei $d$.

Rezolvare. a) Aplicăm formula punct-pantă:

$$y-4=-3(x-(-1))=-3(x+1)⟹y-4=-3x-3⟹y=-3x+1.$$

Verificare: pentru $x=-1$ obținem $3+1=4$ ✓.

b) Pe axa $Ox$ ordonata este nulă, deci punem $y=0$:

$$-3x+1=0⟹x=\frac{1}{3}⟹\left(\frac{1}{3},0\right).$$

c) Punctul $B$ aparține dreptei exact când coordonatele lui verifică ecuația:

$$a+1=-3a+1⟹4a=0⟹a=0.$$

Deci $B(0,1)$. Verificare: $-3\cdot 0+1=1$ ✓, iar punctul $(0,1)$ are într-adevăr forma $(a,a+1)$ pentru $a=0$. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie mai întâi formula cu paranteze, apoi înlocuiește numerele, iar la final verifică punctul dat în ecuația obținută.

1. Scrie ecuația dreptei care trece prin $A(4,-1)$ și are panta $m=2$.

2. Scrie ecuația dreptei care trece prin $B(-2,5)$ și are panta $m=-4$.

3. Scrie ecuația dreptei care trece prin $C(6,-4)$ și are panta $m=\frac{1}{2}$, apoi adu-o la forma cu coeficienți întregi.

4. Scrie ecuația dreptei care trece prin $D(-9,2)$ și are panta $m=-\frac{2}{3}$.

5. Scrie ecuațiile dreptei orizontale și ale dreptei verticale care trec prin $E(-8,3)$.

6. Scrie ecuația dreptei care trece prin $F(0,-2)$ și are unghiul de înclinare $\alpha =60^{\circ }$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice dreaptă din plan se poate scrie sub forma $y-y_0=m(x-x_0)$."

8. Scrie ecuația dreptei determinate de punctele $A(-6,5)$ și $B(2,-7)$, folosind formula punct-pantă.

9. Stabilește care dintre punctele $(5,8)$ și $(-2,0)$ aparține dreptei de ecuație $y=3x-7$.

10. Determină numărul real $t$ pentru care punctul $C(t,2t)$ aparține dreptei de ecuație $y=\frac{1}{2}x+3$.

11. (Problemă aplicată.) Un abonament costă $12$ lei pe lună, plus $0,4$ lei pentru fiecare unitate consumată. Scrie ecuația costului în funcție de consum și calculează costul pentru $30$ și pentru $75$ de unități.

12. În triunghiul cu vârfurile $A(-6,-2)$, $B(4,6)$, $C(2,-4)$, scrie ecuația medianei din $A$.

13. Dintre dreptele care trec prin $P(-2,1)$, determin-o pe cea care trece și prin $Q(4,10)$.

14. Scrie ecuația dreptei care trece prin $G(7,-3)$ și are unghiul de înclinare $\alpha =135^{\circ }$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(3,-5)$ și dreapta $d$ care trece prin $A$ și are panta $\frac{4}{3}$. a) Scrieți ecuația dreptei $d$. b) Determinați coordonatele punctului în care $d$ intersectează axa $Ox$. c) Determinați ordonata punctului de pe $d$ având abscisa $-3$.

16. Explică de ce, în fasciculul dreptelor care trec printr-un punct, verticala trebuie adăugată separat.

17. Arată că dreptele $y=2x-1$, $y=-x+5$ și $y=\frac{1}{2}x+2$ trec toate prin același punct.

18. (Provocare.) Determină pantele dreptelor care trec prin $A(1,3)$ și taie axele în două puncte simetrice față de origine.

Răspunsuri și explicații

1. $y-(-1)=2(x-4)$, adică $y+1=2x-8$, deci $y=2x-9$. Verificare: pentru $x=4$, $y=-1$ ✓.

2. $y-5=-4(x-(-2))=-4(x+2)$, adică $y-5=-4x-8$, deci $y=-4x-3$. Verificare: pentru $x=-2$, $y=8-3=5$ ✓.

3. $y+4=\frac{1}{2}(x-6)$, adică $y+4=\frac{1}{2}x-3$, deci $y=\frac{1}{2}x-7$. Înmulțind cu $2$ și mutând într-un membru: $x-2y-14=0$. Verificare: $6-2\cdot (-4)-14=6+8-14=0$ ✓.

4. $y-2=-\frac{2}{3}(x+9)$, adică $y-2=-\frac{2}{3}x-6$, deci $y=-\frac{2}{3}x-4$. Verificare: pentru $x=-9$, $y=6-4=2$ ✓.

5. Orizontala are panta $0$: $y-3=0$, deci $y=3$. Verticala nu are pantă și se scrie direct din proprietatea care o definește: $x=-8$.

6. $m=\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$, deci $y+2=\sqrt{3}(x-0)$, adică $y=\sqrt{3}x-2$. Verificare pe un al doilea punct: pentru $x=\sqrt{3}$, $y=3-2=1$, iar panta calculată pe perechea $(0,-2)$, $(\sqrt{3},1)$ este $\frac{1+2}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ ✓.

7. Fals. Dreptele verticale nu au pantă, deci nu se pot scrie sub această formă; ele au ecuația $x=x_0$. Afirmația devine adevărată dacă se adaugă ipoteza „dreaptă neverticală".

8. Panta: $m=\frac{-7-5}{2-(-6)}=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}$. Cu punctul $A$: $y-5=-\frac{3}{2}(x+6)$, adică $y-5=-\frac{3}{2}x-9$, deci $y=-\frac{3}{2}x-4$. Verificare pe $B$: $-\frac{3}{2}\cdot 2-4=-3-4=-7$ ✓.

9. Pentru $(5,8)$: $3\cdot 5-7=8$, egal cu ordonata, deci punctul aparține. Pentru $(-2,0)$: $3\cdot (-2)-7=-13\ne 0$, deci punctul nu aparține.

10. Punem coordonatele în ecuație: $2t=\frac{1}{2}t+3$, adică $\frac{3}{2}t=3$, deci $t=2$. Punctul este $C(2,4)$. Verificare: $\frac{1}{2}\cdot 2+3=4$ ✓.

11. Cu consumul $x$ pe abscisă și costul $y$ pe ordonată, cunoaștem punctul $(0,12)$ și panta $\frac{2}{5}$: $y-12=\frac{2}{5}(x-0)$, deci $y=\frac{2}{5}x+12$. Pentru $x=30$: $12+12=24$ lei. Pentru $x=75$: $30+12=42$ lei.

12. Mijlocul lui $[BC]$ este $M\left(\frac{4+2}{2},\frac{6-4}{2}\right)=M(3,1)$. Panta medianei: $m_{AM}=\frac{1-(-2)}{3-(-6)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$. Ecuația: $y+2=\frac{1}{3}(x+6)$, adică $y=\frac{1}{3}x$. Verificare: pentru $x=3$, $y=1$ ✓, iar pentru $x=-6$, $y=-2$ ✓. (Necoliniaritatea vârfurilor se verifică în prealabil.)

13. $m=\frac{10-1}{4-(-2)}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$. Ecuația: $y-1=\frac{3}{2}(x+2)$, adică $y=\frac{3}{2}x+4$. Verificare pe $Q$: $\frac{3}{2}\cdot 4+4=10$ ✓. Verticala $x=-2$ nu trece prin $Q$, deci soluția e unică.

14. $m=\mathrm{tg}135^{\circ }=-1$, deci $y+3=-(x-7)$, adică $y=-x+4$. Verificare: pentru $x=7$, $y=-3$ ✓.

15. a) $y+5=\frac{4}{3}(x-3)$, adică $y+5=\frac{4}{3}x-4$, deci $y=\frac{4}{3}x-9$. b) Pentru $y=0$: $\frac{4}{3}x=9$, deci $x=\frac{27}{4}$ și punctul este $\left(\frac{27}{4},0\right)$. c) Pentru $x=-3$: $y=-4-9=-13$, deci punctul $(-3,-13)$.

16. Pentru că formula $y-y_0=m(x-x_0)$ presupune existența pantei, iar verticala nu are pantă: nicio valoare reală a lui $m$ nu o produce. Ea corespunde unghiului $\alpha =90^{\circ }$, singurul din $[0^{\circ },180^{\circ })$ pentru care tangenta nu e definită. De aceea fasciculul complet este familia $d_m$ reunită cu dreapta $x=x_0$.

17. Intersectăm primele două: $2x-1=-x+5$, deci $3x=6$ și $x=2$, de unde $y=3$. Punctul comun al lor este $(2,3)$. Verificăm a treia dreaptă: $\frac{1}{2}\cdot 2+2=3$ ✓. Prin urmare toate trei trec prin $(2,3)$, adică aparțin fasciculului de vârf $(2,3)$.

18. Dreapta din fascicul are ecuația $y-3=m(x-1)$, cu $m\ne 0$ (altfel e orizontală și nu taie axa $Ox$). Tăieturile: pe $Ox$, din $-3=m(x-1)$ rezultă $x=1-\frac{3}{m}$; pe $Oy$, din $y-3=-m$ rezultă $y=3-m$. Simetria față de origine cere $1-\frac{3}{m}=-(3-m)$, adică $m-3=m^2-3m$, deci $m^2-4m+3=0$, cu soluțiile $m=1$ și $m=3$. Verificare: pentru $m=1$ tăieturile sunt $(-2,0)$ și $(0,2)$ ✓; pentru $m=3$ sunt $(0,0)$ și $(0,0)$ — dreapta trece prin origine, caz în care cele două tăieturi coincid cu $O$ și condiția e satisfăcută degenerat. Soluția de interes este $m=1$.

De reținut

• O relație este ecuația unei drepte dacă mulțimea punctelor care o verifică este exact dreapta: nici mai puțin, nici mai mult. De aceea demonstrațiile se fac prin dublă incluziune.
• Ecuația dreptei prin punct, cu panta dată: $y-y_0=m(x-x_0)$, unde $M_0(x_0,y_0)$ este punctul, iar $m$ panta.
• Formula nu acoperă verticalele. Dreapta verticală prin $M_0$ are ecuația $x=x_0$ și nu are pantă; orizontala prin $M_0$ se obține din formulă, pentru $m=0$, și are ecuația $y=y_0$.
• Fasciculul de vârf $M_0$ este familia $y-y_0=m(x-x_0)$, cu $m\in \mathbb{R}$, reunită cu verticala $x=x_0$. Când rezolvi o problemă cu fascicul, verifică la final și verticala.
• Dacă se dă unghiul de înclinare, se calculează întâi $m=\mathrm{tg}\alpha$ și abia apoi se aplică formula. Pentru $\alpha =90^{\circ }$ nu se aplică deloc.

Greșeli frecvente

• Se uită parantezele la coordonate negative. Din $x_0=-3$ se scrie $x-3$ în loc de $x+3$. Scrie întâi formula cu paranteze, $y-y_0=m(x-(-3))$, și abia apoi simplifică.
• Se schimbă rolurile lui $x_0$ și $y_0$. Ordonata punctului trebuie să fie în membrul stâng, alături de $y$, iar abscisa în paranteza din dreapta. Controlul imediat: înlocuiește $x=x_0$ și verifică dacă iese $y=y_0$.
• Se încearcă scrierea unei verticale sub forma punct-pantă. Nu există pantă pentru $\alpha =90^{\circ }$, deci nu există nici formulă. Verticala se scrie direct: $x=x_0$.
• Se omite verticala din fascicul. La probleme de tipul „determinați toate dreptele prin $M_0$ cu proprietatea…", soluția din $m$ e incompletă până nu se verifică separat și dreapta $x=x_0$.
• Nu se verifică rezultatul. Orice ecuație obținută se testează instantaneu, punând coordonatele punctului dat. Un minut de verificare elimină majoritatea greșelilor de semn.

Aplică acasă

1. Traseul dronei. Desenează pe hârtie milimetrică un „plan de zbor": alege un punct de start și un unghi de înclinare, scrie ecuația traiectoriei și verifică, prin calcul, dacă trece peste un dreptunghi pe care l-ai desenat ca „zonă interzisă". Compară concluzia calculului cu ce se vede pe desen.

2. Ecuația unei facturi. Ia două facturi consecutive la aceeași utilitate și notează perechile (consum, sumă de plată). Calculează panta, scrie ecuația cu formula punct-pantă și interpretează termenul liber: el este partea fixă a facturii, independentă de consum. Estimează apoi factura pentru un consum dublu.

3. Fasciculul din cameră. Alege un colț al mesei drept punct fix și așază pe masă cinci creioane care trec toate prin el, sub unghiuri diferite. Estimează unghiul fiecăruia cu raportorul, calculează panta corespunzătoare și scrie cele cinci ecuații. Care dintre creioane s-ar apropia cel mai mult de „dreapta fără pantă"?

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima formă a ecuației unei drepte și, odată cu ea, ideea de ecuație a unei mulțimi de puncte. Competențele vizate din programa de matematică-informatică sunt XI.CS.4.3 (utilizarea formulei de determinare a ecuației unei drepte a cărei pantă se cunoaște și care trece printr-un punct dat), XI.CS.2.3 (obținerea ecuației unei drepte din date numerice și geometrice) și XI.CS.1.3 (identificarea elementelor caracteristice dreptelor). Elementul care ridică lecția peste simpla aplicare de formulă este demonstrația prin dublă incluziune: ea îl obișnuiește pe elev să se întrebe, la fiecare formulă nouă, dacă mulțimea descrisă este exact cea dorită.

Al doilea element de insistat este fasciculul de drepte cu vârful într-un punct fixat, împreună cu observația că verticala nu se obține pentru nicio valoare a parametrului $m$. Este o sursă constantă de puncte pierdute în examen și, în același timp, o primă întâlnire cu ideea de familie de obiecte descrisă printr-un parametru — idee care revine la sisteme cu parametru și la studiul funcțiilor.

Întrebări bune de control: „Ce înseamnă că o relație este ecuația unei drepte?"; „De ce demonstrația are două sensuri?"; „Cum scrii ecuația dreptei prin $(2,-5)$ cu panta $\frac{3}{4}$?"; „Ce dreaptă din fasciculul de vârf $M_0$ nu se obține din formulă?"; „Cum verifici, în două secunde, că ecuația scrisă e corectă?" (înlocuiești punctul dat). La BAC M1, formula apare aproape în fiecare problemă de geometrie analitică — direct, ca cerință de scriere a unei ecuații, sau indirect, la paralela și perpendiculara duse printr-un punct, la ecuația medianei și, în partea de analiză, la ecuația tangentei la graficul unei funcții. Semne că elevul a înțeles: pune parantezele corect la coordonate negative, tratează verticala separat fără să i se ceară și verifică din reflex rezultatul.

Întrebări frecvente

Care este formula ecuației dreptei prin punct și pantă? $y-y_0=m(x-x_0)$, unde $M_0(x_0,y_0)$ este un punct al dreptei, iar $m$ este panta ei. Este singura formulă de care ai nevoie când cunoști un punct și o direcție.

De ce formula nu funcționează pentru drepte verticale? Pentru că dreptele verticale nu au pantă: unghiul lor de înclinare este $90^{\circ }$, iar $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu este definită. Ecuația unei verticale se scrie direct, $x=x_0$.

Cum verific rapid dacă am scris corect ecuația? Înlocuiești coordonatele punctului dat în ecuația obținută. Dacă egalitatea se verifică, punctul este pe dreaptă; dacă în plus panta coincide cu cea cerută, ecuația este corectă.

Ce este fasciculul de drepte care trec printr-un punct? Este mulțimea tuturor dreptelor prin acel punct: familia $y-y_0=m(x-x_0)$, cu $m$ parcurgând numerele reale, la care se adaugă verticala $x=x_0$. Este unealta standard pentru problemele de tipul „determinați dreapta prin $M_0$ care îndeplinește o condiție".

Cum scriu ecuația dacă mi se dă unghiul, nu panta? Calculezi întâi $m=\mathrm{tg}\alpha$ și apoi aplici formula obișnuită. Pentru unghiurile remarcabile, valoarea tangentei se recunoaște direct: $45^{\circ }$ dă $1$, $60^{\circ }$ dă $\sqrt{3}$, $135^{\circ }$ dă $-1$.

Cum aflu unde taie dreapta axele? Pentru axa $Ox$ pui $y=0$ și rezolvi în $x$; pentru axa $Oy$ pui $x=0$ și calculezi $y$. Sunt cele mai frecvente două cerințe secundare din problemele de Bacalaureat M1 pe geometrie analitică.

Cum determin un parametru din condiția ca un punct să fie pe dreaptă? Înlocuiești coordonatele punctului, care conțin parametrul, în ecuația dreptei, și rezolvi ecuația obținută. Soluția trebuie apoi verificată prin înlocuire în ecuația inițială.

Ce legătură are formula aceasta cu derivatele? Ecuația tangentei la graficul unei funcții $f$ în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ — exact formula de aici, în care panta este valoarea derivatei. O vei regăsi la capitolul de funcții derivabile.