Ecuația explicită a dreptei: pe scurt

O dreaptă neverticală se poate comprima în două numere. Desfăcând paranteza în ecuația punct-pantă și izolând $y$, rămâne ecuația explicită (numită și redusă): $y=mx+n$, unde $m$ este panta, iar $n$ este ordonata la origine — pentru $x=0$ se obține $y=n$, deci dreapta taie axa $Oy$ în punctul $(0,n)$.

Cele două numere au roluri complementare: $m$ dă direcția, $n$ dă poziția. Schimbând $m$ roteșți dreapta în jurul punctului $(0,n)$; schimbând $n$ o translatezi pe verticală, fără să-i modifici înclinarea.

O dreaptă admite ecuație explicită dacă și numai dacă nu este verticală: verticala $x=x_0$ nu are pantă, deci nu există niciun $m$ potrivit; orizontala, în schimb, se scrie fără dificultate, cu $m=0$. În plus, perechea $(m,n)$ este unic determinată de dreaptă — de aici metoda identificării coeficienților: două drepte coincid exact când au aceeași pantă și aceeași ordonată la origine, iar cu aceeași pantă și ordonate diferite sunt paralele distincte.

Intersecțiile se citesc imediat: $(0,n)$ cu $Oy$ și $\left(-\frac{n}{m},0\right)$ cu $Ox$, cu condiția $m\ne 0$. Împreună cu originea ele închid un triunghi dreptunghic de arie $\mathcal{S}=\frac{n^2}{2|m|}$, cerință frecventă la Bacalaureat M1. Trecerea în forma generală se face mutând totul într-un membru: $mx-y+n=0$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Dreapta $d:y=-\frac{3}{4}x+6$ intersectează axa $Ox$ în punctul:

   • a) $(0,6)$
   • b) $\left(-\frac{3}{4},0\right)$
   • c) $(-8,0)$
   • d) $(8,0)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $(8,0)$

   Pe axa $Ox$ ordonata este nulă, deci $-\frac{3}{4}x+6=0$, de unde $x=8$ și punctul este $(8,0)$. Punctul $(0,6)$ este intersecția cu cealaltă axă — acolo se citește ordonata la origine.

2. Aria triunghiului determinat de dreapta $y=2x-6$ împreună cu axele de coordonate este egală cu:

   • a) $18$
   • b) $9$
   • c) $\frac{9}{2}$
   • d) $3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $9$

   Intersecțiile sunt $(0,-6)$ cu $Oy$ și, din $2x-6=0$, punctul $(3,0)$ cu $Ox$. Triunghiul este dreptunghic în origine, cu catetele $3$ și $6$, deci $\mathcal{S}=\frac{3\cdot 6}{2}=9$. Formula directă dă același rezultat: $\mathcal{S}=\frac{n^2}{2|m|}=\frac{36}{4}=9$.

3. Dreapta paralelă cu $d:y=\frac{2}{3}x-5$ care trece prin punctul $A(9,-1)$ are ecuația:

   • a) $y=\frac{3}{2}x-7$
   • b) $y=\frac{2}{3}x-5$
   • c) $y=\frac{2}{3}x-7$
   • d) $y=\frac{2}{3}x+7$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $y=\frac{2}{3}x-7$

   Paralelele au aceeași pantă, deci ecuația este $y=\frac{2}{3}x+n$. Punând coordonatele lui $A$: $-1=\frac{2}{3}\cdot 9+n=6+n$, deci $n=-7$. Varianta a doua este chiar dreapta $d$ — o paralelă distinctă are ordonata la origine diferită.