Ecuația explicită a dreptei

Un program de grafică nu memorează o dreaptă ca pe o mulțime de puncte — ar fi o infinitate. Memorează două numere. Din ele reconstruiește, la cerere, orice punct al dreptei, o desenează la orice scară și verifică instantaneu dacă un clic al utilizatorului a nimerit-o sau nu. Două numere reale în locul unei infinități de puncte: aceasta este cea mai eficientă compresie din toată geometria plană.

Cele două numere sunt panta și ordonata la origine, iar forma în care se scriu împreună se numește ecuația explicită a dreptei. O cunoști deja, sub alt nume și în alt context: în clasa a IX-a ai studiat funcția afină, $f(x)=ax+b$, și ai văzut că graficul ei este o dreaptă. Lecția de față face pasul invers și complet: pornește de la dreaptă, arată care drepte se pot scrie astfel și de ce perechea de coeficienți este unică, apoi transformă ecuația într-un instrument de lucru.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști ecuația explicită $y=mx+n$ și să citești din ea panta și ordonata la origine.
• Vei ști să demonstrezi că o dreaptă are ecuație explicită dacă și numai dacă nu este verticală și că perechea $(m,n)$ este unic determinată de dreaptă.
• Vei ști să determini $m$ și $n$ din două puncte date sau dintr-un punct și o pantă.
• Vei ști să afli intersecțiile cu axele și să trasezi rapid dreapta pornind de la cei doi coeficienți.
• Vei ști să recunoști familiile de drepte cu $m$ fixat (paralele) sau cu $n$ fixat.
• Vei ști să treci între forma explicită și celelalte forme ale ecuației dreptei.

Hai să descoperim împreună

1. Forma explicită și cei doi coeficienți

Pornim de la ecuația dreptei prin punct și pantă. Dacă dreapta $d$ are panta $m$ și trece prin punctul $M_0(x_0,y_0)$, ecuația ei este $y-y_0=m(x-x_0)$. Desfacem paranteza și izolăm $y$:

$$y=mx+\underset{\text{un numa˘r fix}}{\underbrace{(y_0-m{x}_0)}}.$$

Numărul din paranteză nu depinde de $x$ și de $y$, ci doar de datele dreptei. Îl notăm $n$ și obținem forma anunțată.

Definiție. Ecuația explicită (numită și ecuația redusă) a unei drepte neverticale este

$$y=mx+n,$$

unde $m$ este panta dreptei, iar $n$ se numește ordonata la origine.

Numele celui de-al doilea coeficient se justifică imediat: pentru $x=0$ obținem $y=n$, deci dreapta trece prin punctul $(0,n)$, situat pe axa $Oy$. Cu alte cuvinte, $n$ este ordonata punctului în care dreapta taie axa ordonatelor.

Cele două numere au roluri complet diferite și complementare: $m$ dă direcția (cum e înclinată dreapta), iar $n$ dă poziția (cât de sus e așezată). Schimbând $m$ roteșți dreapta în jurul punctului $(0,n)$; schimbând $n$ o translatezi vertical, fără să-i modifici înclinarea.

2. Care drepte au ecuație explicită

Nu orice dreaptă se poate scrie sub forma $y=mx+n$, iar teorema următoare spune exact care.

Teoremă. O dreaptă din planul $xOy$ admite o ecuație de forma $y=mx+n$ dacă și numai dacă nu este verticală.

Demonstrație. „Dacă nu e verticală, atunci admite." O dreaptă neverticală are pantă $m$ și conține cel puțin un punct $M_0(x_0,y_0)$; conform calculului din paragraful 1, ea are ecuația $y=mx+n$ cu $n=y_0-m{x}_0$.

„Dacă admite, atunci nu e verticală." Presupunem că dreapta $d$ are ecuația $y=mx+n$. Punctele $(0,n)$ și $(1,m+n)$ o verifică, deci aparțin lui $d$; ele au abscise diferite, deci $d$ nu poate fi verticală (pe o verticală toate punctele au aceeași abscisă). $■$

Consecință practică. Verticala $x=x_0$ nu se poate scrie explicit, pentru că nu are pantă. Când o problemă cere „determinați dreapta de forma $y=mx+n$ care…", verticalele sunt automat excluse din discuție — iar dacă enunțul cere toate dreptele cu o proprietate, verticala trebuie analizată separat.

Orizontalele, în schimb, se scriu fără nicio dificultate: pentru $m=0$ rămâne $y=n$, adică o dreaptă paralelă cu $Ox$.

3. Perechea $(m,n)$ este unică

O întrebare firească: ar putea aceeași dreaptă să aibă două ecuații explicite diferite? Răspunsul este nu, iar demonstrația e scurtă și merită știută, pentru că justifică metoda de identificare a coeficienților.

Propoziție. Dacă $y=m_{1}x+n_1$ și $y=m_{2}x+n_2$ sunt ecuații ale aceleiași drepte, atunci $m_1=m_2$ și $n_1=n_2$.

Demonstrație. Punctele dreptei verifică ambele relații, deci $m_{1}x+n_1=m_{2}x+n_2$ pentru orice $x$ din mulțimea absciselor punctelor dreptei — o mulțime infinită, pentru că dreapta nu e verticală. Rescriem:

$$(m_1-m_2)x=n_2-n_1\text{pentru o infinitate de valori ale lui }x.$$

Dacă am avea $m_1\ne m_2$, ecuația de gradul întâi de mai sus ar avea soluție unică, deci s-ar verifica pentru un singur $x$ — contradicție. Prin urmare $m_1=m_2$, și atunci membrul drept trebuie să fie nul, adică $n_1=n_2$. $■$

De aici rezultă metoda identificării coeficienților: două drepte scrise explicit coincid exact când au aceeași pantă și aceeași ordonată la origine. Dacă au aceeași pantă și ordonate diferite, sunt paralele distincte; dacă au pante diferite, se intersectează într-un punct. Vei relua sistematic această clasificare la poziția relativă a două drepte.

4. Determinarea coeficienților din date

În practică, $m$ și $n$ se află din informațiile enunțului. Cele trei situații care apar sunt următoarele.

Un punct și panta. Se scrie ecuația punct-pantă și se izolează $y$; echivalent, se folosește direct $n=y_0-m{x}_0$.

Două puncte. Se calculează întâi panta cu formula din lecția despre panta unei drepte, $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, apoi se determină $n$ punând coordonatele oricăruia dintre cele două puncte în $y=mx+n$. Al doilea punct se folosește ca verificare.

Ordonata la origine și încă un punct. Coeficientul $n$ se citește direct, iar $m$ rezultă din condiția ca punctul să verifice ecuația.

În toate cele trei cazuri, ultimul pas este același: înlocuiești datele în ecuația obținută și verifici. Este cea mai ieftină plasă de siguranță din tot capitolul.

5. Intersecțiile cu axele și trasarea rapidă

Din forma explicită, cele două intersecții cu axele se citesc aproape instantaneu:

• cu axa $Oy$: pui $x=0$ și obții direct punctul $(0,n)$;
• cu axa $Ox$: pui $y=0$ și rezolvi $mx+n=0$, de unde $x=-\frac{n}{m}$, adică punctul $\left(-\frac{n}{m},0\right)$ — cu condiția $m\ne 0$.

Cazul $m=0$ se discută separat: dreapta $y=n$ este orizontală, deci nu taie axa $Ox$ dacă $n\ne 0$, iar dacă $n=0$ ea este axa $Ox$.

De aici, rețeta de trasare în două mișcări: marchezi punctul $(0,n)$ pe axa $Oy$; de acolo înaintezi o unitate spre dreapta și urci (sau cobori) cu $m$ unități, obținând al doilea punct; unești. Când panta e o fracție $\frac{p}{q}$, mergi $q$ unități la dreapta și $p$ unități pe verticală, ca să nimerești un punct cu coordonate întregi.

Aceleași două intersecții determină, împreună cu originea, un triunghi dreptunghic a cărui arie se calculează imediat — o cerință frecventă la Bacalaureat M1:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot \left|-\frac{n}{m}\right|\cdot |n|=\frac{n^2}{2|m|},m\ne 0,n\ne 0.$$

6. Familii de drepte citite din coeficienți

Ecuația explicită are doi parametri, deci fixând unul obținem câte o familie cu semnificație geometrică limpede.

Panta fixată, ordonata variabilă: familia $y=mx+n$, cu $m$ fix și $n\in \mathbb{R}$, este mulțimea tuturor dreptelor paralele cu o direcție dată. Trecerea de la o valoare a lui $n$ la alta translatează dreapta pe verticală.

Ordonata fixată, panta variabilă: familia $y=mx+n$, cu $n$ fix și $m\in \mathbb{R}$, este fasciculul dreptelor care trec prin punctul $(0,n)$ — fără verticala $x=0$, adică fără axa $Oy$ însăși, care nu are ecuație explicită.

Cele două familii sunt utile la problemele de tipul „determinați dreapta paralelă cu $d$ care trece prin punctul $A$": scrii familia paralelelor la $d$, adică păstrezi panta lui $d$ și lași $n$ necunoscut, apoi impui ca $A$ să verifice ecuația.

7. Trecerea între forme

Cele trei forme cu care lucrezi până acum se transformă una într-alta prin calcule elementare:

Ultima linie a tabelului anunță lecția următoare: forma $ax+by+c=0$, numită ecuația generală a dreptei, este singura care le cuprinde pe toate dreptele, verticalele incluse. Forma explicită rămâne însă cea mai comodă atunci când dreapta nu e verticală, pentru că citește direct cele două informații geometrice esențiale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citirea coeficienților și aria dintre axe

Se consideră dreapta $d:y=-\frac{2}{5}x+4$. Precizați panta și ordonata la origine, determinați intersecțiile cu axele și calculați aria triunghiului determinat de $d$ împreună cu axele de coordonate.

Rezolvare. Comparând cu $y=mx+n$: panta este $m=-\frac{2}{5}$, iar ordonata la origine este $n=4$. Panta fiind negativă, dreapta coboară.

Intersecția cu $Oy$: pentru $x=0$ rezultă $y=4$, deci punctul $A(0,4)$. Intersecția cu $Ox$: pentru $y=0$,

$$-\frac{2}{5}x+4=0⟹\frac{2}{5}x=4⟹x=10⟹B(10,0).$$

Triunghiul $OAB$ este dreptunghic în $O$, cu catetele $OB=10$ și $OA=4$. Aria, calea întâi:

$$\mathcal{S}=\frac{10\cdot 4}{2}=20.$$

Calea a doua, cu determinantul format din coordonatele vârfurilor — formulă demonstrată la aria unui triunghi cu ajutorul determinantului, folosită aici doar ca verificare:

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 10& 0& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right|=0\cdot (0-4)-0\cdot (10-0)+1\cdot (40-0)=40,\mathcal{S}=\frac{40}{2}=20.$$

Cele două căi coincid. $■$

Exemplul 2 — Din punct și pantă în forma explicită

Scrieți sub forma explicită ecuația dreptei care trece prin $A(6,-5)$ și are panta $\frac{1}{3}$, apoi determinați intersecția ei cu axa $Ox$.

Rezolvare. Din formula punct-pantă:

$$y+5=\frac{1}{3}(x-6)⟹y+5=\frac{1}{3}x-2⟹y=\frac{1}{3}x-7.$$

Deci $m=\frac{1}{3}$ și $n=-7$. (Se putea folosi și formula directă: $n=y_0-m{x}_0=-5-\frac{1}{3}\cdot 6=-7$.)

Intersecția cu $Ox$: din $\frac{1}{3}x-7=0$ rezultă $x=21$, deci punctul $(21,0)$.

Verificare pe punctul din enunț: pentru $x=6$, $y=2-7=-5$ ✓. $■$

Exemplul 3 — Determinarea lui $m$ și $n$ din două puncte

Determinați ecuația explicită a dreptei care trece prin $A(-2,7)$ și $B(4,-5)$.

Rezolvare. Panta:

$$m=\frac{-5-7}{4-(-2)}=\frac{-12}{6}=-2.$$

Punem coordonatele lui $A$ în $y=-2x+n$: $7=-2\cdot (-2)+n=4+n$, deci $n=3$. Ecuația este $y=-2x+3$.

Verificare pe al doilea punct: $-2\cdot 4+3=-5$ ✓, exact ordonata lui $B$. Verificarea pe punctul nefolosit la determinarea lui $n$ este obligatorie — ea prinde imediat o greșeală de semn la pantă. $■$

Exemplul 4 — Dreptele care nu se pot scrie explicit

Precizați care dintre dreptele $d_1:x=-2$, $d_2:y=5$ și $d_3$, determinată de punctele $(3,-1)$ și $(3,8)$, admite ecuație explicită.

Rezolvare. $d_1$ este verticală (toate punctele au abscisa $-2$), deci nu are pantă și nu admite ecuație explicită.

$d_2$ este orizontală: are panta $m=0$ și ordonata la origine $n=5$, deci se scrie explicit ca $y=0\cdot x+5$. Este cazul particular al pantei nule, nu al lipsei pantei.

$d_3$ are ambele puncte de abscisă $3$, deci este verticala $x=3$: nu admite ecuație explicită.

Concluzie: singura dintre cele trei este $d_2$. $■$

Exemplul 5 — O aplicație: cele două scări de temperatură

Legătura dintre temperatura exprimată în grade Celsius, $C$, și cea exprimată în grade Fahrenheit, $F$, este liniară: la $0$ grade Celsius corespund $32$ de grade Fahrenheit, iar la $100$ de grade Celsius corespund $212$. Scrieți ecuația explicită a dreptei corespunzătoare și determinați temperatura la care cele două scări indică același număr.

Rezolvare. Punem $C$ pe abscisă și $F$ pe ordonată. Din cele două perechi de valori:

$$m=\frac{212-32}{100-0}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5},n=32,$$

pentru că punctul $(0,32)$ este chiar intersecția cu axa ordonatelor. Ecuația este

$$F=\frac{9}{5}C+32.$$

Panta $\frac{9}{5}$ se citește: o creștere de un grad Celsius înseamnă o creștere de $1,8$ grade Fahrenheit.

Cele două scări indică același număr când $F=C$, adică pe intersecția cu prima bisectoare:

$$C=\frac{9}{5}C+32⟹5C=9C+160⟹-4C=160⟹C=-40.$$

Așadar $-40$ grade Celsius înseamnă exact $-40$ grade Fahrenheit. Verificare: $\frac{9}{5}\cdot (-40)+32=-72+32=-40$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreapta $d:y=2x-3$. a) Determinați coordonatele punctelor în care $d$ intersectează axele de coordonate. b) Arătați că punctul $C(5,7)$ aparține dreptei $d$ și determinați ordonata la origine a dreptei care trece prin $C$ și are panta $-\frac{1}{2}$. c) Determinați numărul real $n$ pentru care dreapta de ecuație $y=2x+n$ trece prin punctul $P(-4,1)$.

Rezolvare. a) Cu $Oy$: pentru $x=0$, $y=-3$, deci punctul $(0,-3)$ — chiar ordonata la origine. Cu $Ox$: din $2x-3=0$ rezultă $x=\frac{3}{2}$, deci punctul $\left(\frac{3}{2},0\right)$.

b) Verificăm apartenența: $2\cdot 5-3=7$, egal cu ordonata lui $C$, deci $C\in d$.

Dreapta cerută trece prin $C(5,7)$ și are panta $-\frac{1}{2}$:

$$y-7=-\frac{1}{2}(x-5)⟹y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}+7=-\frac{1}{2}x+\frac{19}{2}.$$

Ordonata la origine este $n=\frac{19}{2}$. Verificare: pentru $x=5$, $y=-\frac{5}{2}+\frac{19}{2}=\frac{14}{2}=7$ ✓.

c) Punem coordonatele lui $P$ în ecuație:

$$1=2\cdot (-4)+n⟹1=-8+n⟹n=9.$$

Dreapta este $y=2x+9$. Observă că ea are aceeași pantă ca $d$ și ordonată la origine diferită, deci este paralelă distinctă cu $d$. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare dreaptă scrisă explicit, precizează panta și ordonata la origine, iar la final verifică rezultatul înlocuind un punct.

1. Precizează panta și ordonata la origine ale dreptei $y=5x-6$ și determină intersecțiile ei cu axele.

2. Precizează panta și ordonata la origine ale dreptei $y=-\frac{2}{3}x+4$ și determină intersecțiile ei cu axele.

3. Scrie sub formă explicită ecuația dreptei care trece prin $A(-1,-2)$ și are panta $3$.

4. Adu la forma explicită ecuația $4x+5y-20=0$ și precizează cei doi coeficienți.

5. Determină ecuația explicită a dreptei care trece prin $A(-4,-1)$ și $B(8,5)$.

6. Explică de ce dreapta $x=7$ nu are ecuație explicită, deși dreapta $y=7$ are.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dreapta $y=-7$ nu are pantă, pentru că în ecuația ei nu apare $x$."

8. Stabilește care dintre punctele $(2,2)$, $(-1,11)$ și $(3,0)$ aparțin dreptei $y=-3x+8$.

9. Calculează aria triunghiului determinat de dreapta $y=-2x+6$ împreună cu axele de coordonate, pe două căi.

10. Scrie ecuația dreptei paralele cu $y=-3x+11$ care trece prin punctul $A(-2,9)$.

11. (Problemă aplicată.) Un serviciu are o taxă fixă de $45$ de lei pe lună, plus $0,75$ lei pentru fiecare unitate consumată. Scrie ecuația explicită a costului și calculează costul pentru $60$ și pentru $140$ de unități.

12. Determină numărul real $n$ pentru care dreapta $y=-\frac{1}{4}x+n$ trece prin punctul $(12,1)$.

13. Determină punctul de intersecție al dreptelor $y=\frac{1}{2}x+3$ și $y=-2x+8$.

14. Arată că punctele $(0,-4)$, $(2,-1)$ și $(-4,-10)$ sunt coliniare, scriind ecuația explicită a dreptei care le conține.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreapta $d:y=-\frac{1}{3}x+5$. a) Determinați coordonatele punctelor în care $d$ taie axele. b) Calculați aria triunghiului determinat de $d$ împreună cu axele de coordonate. c) Determinați ordonata la origine a dreptei care are aceeași pantă ca $d$ și trece prin punctul $(3,1)$.

16. Explică ce se schimbă geometric atunci când, în ecuația $y=mx+n$, mărești $n$ păstrând $m$; și ce se schimbă când mărești $m$ păstrând $n$.

17. Fie dreapta $y=-4x+2$. Compară ordonatele punctelor ei de abscise $-1$ și $3$ și explică rezultatul prin semnul pantei.

18. (Provocare.) Determină numărul real $k$ pentru care dreapta $y=(k-2)x+3k$ trece prin punctul $(1,-4)$, apoi scrie ecuația obținută.

Răspunsuri și explicații

1. $m=5$, $n=-6$. Cu $Oy$: $(0,-6)$. Cu $Ox$: din $5x-6=0$ rezultă $x=\frac{6}{5}$, deci $\left(\frac{6}{5},0\right)$.

2. $m=-\frac{2}{3}$, $n=4$. Cu $Oy$: $(0,4)$. Cu $Ox$: din $-\frac{2}{3}x+4=0$ rezultă $x=6$, deci $(6,0)$.

3. $y+2=3(x+1)$, adică $y=3x+1$. Deci $m=3$ și $n=1$. Verificare: pentru $x=-1$, $y=-3+1=-2$ ✓.

4. Izolăm $y$: $5y=-4x+20$, deci $y=-\frac{4}{5}x+4$. Panta este $-\frac{4}{5}$, ordonata la origine este $4$. Verificare: punctul $(5,0)$ verifică ambele forme ✓.

5. $m=\frac{5-(-1)}{8-(-4)}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Din $-1=\frac{1}{2}\cdot (-4)+n$ rezultă $n=1$. Ecuația este $y=\frac{1}{2}x+1$. Verificare pe $B$: $\frac{1}{2}\cdot 8+1=5$ ✓.

6. Dreapta $x=7$ este verticală: toate punctele ei au abscisa $7$, unghiul ei de înclinare este $90^{\circ }$ și nu are pantă, deci nu există niciun $m$ pentru care să se scrie $y=mx+n$. Dreapta $y=7$ este orizontală, are panta $0$ și ordonata la origine $7$, deci se scrie explicit ca $y=0\cdot x+7$.

7. Fals. Dreapta $y=-7$ este orizontală și are pantă, egală cu $0$; lipsa lui $x$ din scriere înseamnă doar că panta este nulă. Dreptele fără pantă sunt cele verticale, de forma $x=a$, iar în ecuația lor lipsește $y$.

8. Pentru $(2,2)$: $-3\cdot 2+8=2$ ✓, aparține. Pentru $(-1,11)$: $3+8=11$ ✓, aparține. Pentru $(3,0)$: $-9+8=-1\ne 0$, deci nu aparține.

9. Intersecțiile: cu $Oy$, $(0,6)$; cu $Ox$, din $-2x+6=0$ rezultă $(3,0)$. Calea întâi, catete: $\mathcal{S}=\frac{3\cdot 6}{2}=9$. Calea a doua, determinantul pe $O(0,0)$, $(3,0)$, $(0,6)$: $\Delta =18$, deci $\mathcal{S}=\frac{18}{2}=9$ ✓.

10. Paralelele au aceeași pantă, deci ecuația este $y=-3x+n$. Punem punctul: $9=-3\cdot (-2)+n=6+n$, deci $n=3$ și dreapta este $y=-3x+3$. Cum $3\ne 11$, cele două drepte sunt paralele distincte.

11. Cu consumul $x$ pe abscisă: panta este $\frac{3}{4}$, iar ordonata la origine $45$, deci $y=\frac{3}{4}x+45$. Pentru $x=60$: $45+45=90$ lei. Pentru $x=140$: $105+45=150$ lei.

12. $1=-\frac{1}{4}\cdot 12+n=-3+n$, deci $n=4$. Dreapta este $y=-\frac{1}{4}x+4$.

13. Egalăm ordonatele: $\frac{1}{2}x+3=-2x+8$, adică $\frac{5}{2}x=5$, deci $x=2$ și $y=4$. Punctul de intersecție este $(2,4)$. Verificare în a doua ecuație: $-2\cdot 2+8=4$ ✓.

14. Din primele două puncte: $m=\frac{-1-(-4)}{2-0}=\frac{3}{2}$, iar $n=-4$ se citește direct din punctul $(0,-4)$. Ecuația este $y=\frac{3}{2}x-4$. Verificare pe al treilea punct: $\frac{3}{2}\cdot (-4)-4=-6-4=-10$ ✓, deci cele trei puncte sunt coliniare. (Confirmare cu determinantul: $\Delta =0$.)

15. a) Cu $Oy$: $(0,5)$. Cu $Ox$: din $-\frac{1}{3}x+5=0$ rezultă $x=15$, deci $(15,0)$. b) Calea întâi: $\mathcal{S}=\frac{15\cdot 5}{2}=\frac{75}{2}$. Calea a doua, cu determinantul pe $O(0,0)$, $(15,0)$, $(0,5)$: $\Delta =75$, deci $\mathcal{S}=\frac{75}{2}$ ✓. c) Aceeași pantă înseamnă $y=-\frac{1}{3}x+n$; punem punctul: $1=-1+n$, deci $n=2$.

16. Mărind $n$ cu $m$ fixat, dreapta se translatează vertical în sus, rămânând paralelă cu ea însăși: direcția nu se schimbă, doar poziția. Mărind $m$ cu $n$ fixat, dreapta se rotește în jurul punctului $(0,n)$, care rămâne pe loc, iar înclinarea ei crește.

17. Pentru $x=-1$: $y=4+2=6$. Pentru $x=3$: $y=-12+2=-10$. Ordonata a scăzut, deși abscisa a crescut — comportament așteptat, pentru că panta $-4$ este negativă: dreapta coboară de la stânga la dreapta.

18. Punem coordonatele punctului: $-4=(k-2)\cdot 1+3k$, adică $-4=4k-2$, deci $4k=-2$ și $k=-\frac{1}{2}$. Atunci $m=k-2=-\frac{5}{2}$ și $n=3k=-\frac{3}{2}$, deci dreapta este $y=-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}$. Verificare: $-\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=-4$ ✓.

De reținut

• Ecuația explicită (sau redusă) a unei drepte neverticale este $y=mx+n$, unde $m$ este panta, iar $n$ este ordonata la origine, adică ordonata punctului $(0,n)$ în care dreapta taie axa $Oy$.
• O dreaptă admite ecuație explicită dacă și numai dacă nu este verticală. Verticala $x=x_0$ nu are pantă, deci nici ecuație explicită; orizontala are panta $0$ și se scrie $y=n$.
• Perechea $(m,n)$ este unic determinată de dreaptă. Două drepte coincid exact când au aceeași pantă și aceeași ordonată la origine; cu aceeași pantă și ordonate diferite sunt paralele distincte.
• Intersecțiile cu axele: $(0,n)$ cu $Oy$ și $\left(-\frac{n}{m},0\right)$ cu $Ox$, pentru $m\ne 0$. Aria triunghiului format cu axele este $\mathcal{S}=\frac{n^2}{2|m|}$.
• Din forma explicită se trece în forma generală mutând totul într-un membru: $mx-y+n=0$. Forma generală, spre deosebire de cea explicită, acoperă toate dreptele planului.

Greșeli frecvente

• Se citește panta fără a izola $y$. Din $4x+5y-20=0$ se „citește" $m=4$ sau $m=5$. Corect: aduci întâi la $y=-\frac{4}{5}x+4$ și abia atunci panta este coeficientul lui $x$.
• Se confundă „fără pantă" cu „pantă zero". Dreapta $y=-7$ are pantă și aceasta este $0$; dreapta $x=-7$ nu are pantă. Prima se scrie explicit, a doua nu.
• Se uită condiția $m\ne 0$ la intersecția cu $Ox$. Formula $x=-\frac{n}{m}$ nu are sens pentru $m=0$: dreapta orizontală $y=n$, cu $n\ne 0$, nu taie deloc axa absciselor.
• Se determină $n$ și nu se mai verifică al doilea punct. Când dreapta e dată prin două puncte, unul se folosește la determinarea lui $n$, iar celălalt trebuie folosit ca verificare — altfel o greșeală de semn la pantă trece nedetectată.
• Se confundă rolurile coeficienților la trasare. Se pleacă din $(n,0)$ în loc de $(0,n)$. Reține: $n$ este o ordonată, deci punctul de plecare se află pe axa verticală.

Aplică acasă

1. Două numere în loc de o dreaptă. Desenează pe hârtie milimetrică trei drepte oarecare, citește pentru fiecare punctul de tăiere cu axa $Oy$ și estimează panta numărând pătrățelele. Scrie cele trei ecuații, apoi dă-i unui coleg doar perechile de numere și roagă-l să redeseneze dreptele. Cât de bine se suprapun desenele?

2. Tariful din jurul tău. Găsește un serviciu cu taxă fixă plus preț pe unitate (parcare, abonament de date, livrare). Notează partea fixă și prețul unitar, scrie ecuația explicită a costului și calculează costul pentru trei niveluri de consum. Care dintre cei doi coeficienți contează mai mult la consum mic, și care la consum mare?

3. Familia de paralele. Alege o pantă, de exemplu $\frac{2}{3}$, și desenează în același reper cinci drepte cu această pantă și cu ordonate la origine diferite. Măsoară distanța pe verticală dintre două drepte consecutive și compar-o cu diferența ordonatelor la origine. Ce observi?

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează forma explicită a ecuației dreptei și, mai important, condiția de existență a acestei forme. Competențele vizate din programa de matematică-informatică sunt XI.CS.2.3 (scrierea ecuației unei drepte în formă generală, apoi în formă explicită, și analizarea relației dintre coeficienți și poziția față de axe), XI.CS.1.3 (identificarea elementelor caracteristice dreptelor) și XI.CS.4.3 (exprimarea în limbaj matematic a proprietăților caracterizate prin ecuații). Deși elevul de profil real cunoaște din clasa a IX-a funcția afină și graficul ei, aici punctul de vedere se inversează: nu pornim de la o funcție ca să obținem un grafic, ci de la o dreaptă ca să obținem o ecuație — iar întrebarea „care drepte se pot scrie astfel?" nu apare în studiul funcțiilor, pentru că graficul unei funcții nu poate fi niciodată o verticală.

Cele două rezultate teoretice ale lecției merită tratate ca atare, nu ca observații: teorema de caracterizare (o dreaptă are ecuație explicită exact când nu e verticală) și unicitatea perechii $(m,n)$, care justifică metoda identificării coeficienților și, implicit, criteriul de paralelism din lecțiile următoare. Întrebări bune de control: „Ce reprezintă geometric $n$?"; „De ce verticala nu are ecuație explicită?"; „Ce se întâmplă cu dreapta dacă mărești $n$?"; „Cum afli intersecția cu $Ox$ și când nu există?"; „Două drepte cu aceeași pantă pot fi diferite?".

La BAC M1, forma explicită apare ca punct de plecare în majoritatea problemelor de geometrie analitică: se cere intersecția cu axele, aria triunghiului format cu axele, verificarea apartenenței unui punct, determinarea unui parametru din condiția de apartenență sau de paralelism. Semne că elevul a înțeles: izolează $y$ înainte de a citi panta, nu confundă panta nulă cu lipsa pantei, verifică rezultatul pe un punct nefolosit în calcul și precizează din reflex condiția $m\ne 0$ acolo unde apare o împărțire.

Întrebări frecvente

Ce este ecuația explicită a unei drepte? Este forma $y=mx+n$, în care $m$ este panta dreptei, iar $n$ este ordonata la origine. Se mai numește ecuația redusă și se poate scrie pentru orice dreaptă care nu este verticală.

Ce înseamnă ordonata la origine? Este ordonata punctului în care dreapta taie axa $Oy$, adică valoarea lui $y$ pentru $x=0$. Geometric, ea arată cât de sus este așezată dreapta; schimbând-o, dreapta se translatează vertical fără să-și schimbe înclinarea.

Care drepte nu au ecuație explicită? Doar cele verticale, de forma $x=a$. Ele nu au pantă, deci nu există niciun $m$ pentru care să se scrie $y=mx+n$. Toate celelalte drepte, inclusiv orizontalele, se pot scrie explicit.

Cum aflu panta dintr-o ecuație de forma $ax+by+c=0$? Izolezi $y$ și aduci ecuația la forma $y=mx+n$; panta este coeficientul lui $x$. Operația este posibilă exact când $b\ne 0$, adică atunci când dreapta nu este verticală.

Cum determin ecuația explicită dacă știu două puncte? Calculezi mai întâi panta cu $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, apoi înlocuiești coordonatele unuia dintre puncte în $y=mx+n$ ca să afli $n$. Al doilea punct se folosește ca verificare.

Cum recunosc două drepte paralele din ecuațiile lor explicite? Au aceeași pantă și ordonate la origine diferite. Dacă și pantele, și ordonatele coincid, dreptele sunt confundate; dacă pantele diferă, dreptele se intersectează într-un punct.

Cum calculez aria triunghiului dintre o dreaptă și axe? Afli cele două intersecții, $(0,n)$ și $\left(-\frac{n}{m},0\right)$, care sunt catetele unui triunghi dreptunghic cu vârful în origine. Aria este $\mathcal{S}=\frac{n^2}{2|m|}$, iar rezultatul se poate verifica și cu determinantul format din coordonatele celor trei vârfuri.

De ce se numește „explicită" această formă? Pentru că exprimă explicit pe $y$ în funcție de $x$: dai o abscisă și obții direct ordonata, printr-un singur calcul. Formele generală și punct-pantă nu au această proprietate fără o prelucrare prealabilă.