Ecuația generală a cercului: pe scurt

Desfăcând parantezele din ecuația canonică se ajunge la ecuația generală a cercului: $x^2+y^2+2mx+2ny+p=0$, cu centrul $C(-m,-n)$ și $r^2=m^2+n^2-p$. Atenție la coeficienți: numărul care înmulțește pe $x$ este $2m$, nu $m$, deci abscisa centrului este jumătate din coeficientul lui $x$, cu semn schimbat.

Ecuația reprezintă un cerc adevărat numai dacă $m^2+n^2-p>0$; pentru valoarea zero rămâne un singur punct, iar pentru valori negative mulțimea vidă. Verificarea acestei condiții este parte din răspuns, nu un amănunt. O ecuație de gradul al doilea poate fi ecuație de cerc numai dacă are coeficienți egali la $x^2$ și $y^2$ și nu conține termenul $xy$; înainte de orice calcul se împarte la coeficientul comun al pătratelor, altfel formulele centrului și razei dau rezultate false.

Condiția ca un punct să aparțină cercului este liniară în $m$, $n$ și $p$, ceea ce face ca cercul prin trei puncte să se determine rezolvând un sistem $3\times 3$. Determinantul acestui sistem este de patru ori determinantul de coliniaritate al celor trei puncte, deci se anulează exact când punctele sunt coliniare — caz în care niciun cerc nu trece prin ele. Regula de numărare a condițiilor: trei necunoscute înseamnă trei condiții. Cercul găsit se verifică substituind toate cele trei puncte și recalculând raza ca distanță de la centru.

Exerciții din această mini-lecție

1. Centrul și raza cercului $x^2+y^2-6x+8y-11=0$ sunt:

   • a) $C(-3,4)$ și $r=6$
   • b) $C(6,-8)$ și $r=6$
   • c) $C(3,-4)$ și $r=36$
   • d) $C(3,-4)$ și $r=6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $C(3,-4)$ și $r=6$

   Din $2m=-6$ rezultă $m=-3$, iar din $2n=8$ rezultă $n=4$; centrul este $C(-m,-n)=(3,-4)$. Apoi $r^2=m^2+n^2-p=9+16+11=36$, deci $r=6$. Varianta $C(6,-8)$ ia coeficienții drept $m$ și $n$, iar $C(-3,4)$ uită schimbarea de semn.

2. Mulțimea descrisă de ecuația $x^2+y^2-4x+6y+13=0$ este:

   • a) un singur punct, $(2,-3)$
   • b) mulțimea vidă
   • c) o reuniune de două drepte
   • d) un cerc de rază $1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) un singur punct, $(2,-3)$

   Avem $m=-2$, $n=3$, $p=13$, deci $r^2=m^2+n^2-p=4+9-13=0$. Când expresia se anulează, ecuația se scrie $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=0$ și are o singură soluție reală, punctul $(2,-3)$ — un cerc „de rază nulă”, adică un punct. Mulțimea vidă apare doar când $m^2+n^2-p<0$.

3. Centrul și raza cercului $2x^2+2y^2-8x+12y-6=0$ sunt:

   • a) $C(2,-3)$ și $r=\sqrt{3}$
   • b) $C(2,-3)$ și $r=4$
   • c) $C(-2,3)$ și $r=4$
   • d) $C(4,-6)$ și $r=4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $C(2,-3)$ și $r=4$

   Formulele centrului și razei sunt valabile numai pentru coeficientul $1$ la pătrate, deci se împarte întâi prin $2$: $x^2+y^2-4x+6y-3=0$. De aici $m=-2$, $n=3$, $p=-3$, deci $C(2,-3)$ și $r^2=4+9+3=16$, adică $r=4$. Citirea directă din ecuația neîmpărțită dă centrul $(4,-6)$, greșit.