Acasă · Lecții · clasa a XII-a · Ecuația generală a cercului; cercul determinat de condiții

Ecuația generală a cercului; cercul determinat de condiții

Q: Care este ecuația generală a cercului?

Este x² + y² + 2mx + 2ny + p = 0, forma obținută din cea canonică prin desfacerea pătratelor. Centrul cercului este punctul (-m, -n), adică jumătatea coeficienților lui x și y luată cu semn schimbat, iar raza se calculează din r² = m² + n² - p.

Q: Cum aflu centrul și raza dintr-o ecuație generală?

Ai două metode echivalente. Prima: grupezi termenii în x și în y și completezi fiecare grup până la pătrat perfect, adăugând în ambii membri. A doua: identifici direct m, n și p și aplici formulele C(-m,-n) și r² = m²+n²-p. Verifică apoi prin dezvoltare inversă.

Q: Când reprezintă o ecuație de gradul al doilea un cerc?

Când coeficienții lui x² și y² sunt egali, nu apare termenul xy și, după împărțirea la coeficientul comun, expresia m² + n² - p este strict pozitivă. Dacă expresia e nulă, mulțimea soluțiilor are un singur punct; dacă e negativă, nu există niciun punct real.

Q: Ce înseamnă că un cerc trece prin originea reperului?

Înseamnă că punctul (0,0) verifică ecuația, adică termenul liber este nul: p = 0. Este un criteriu foarte comod, care se citește dintr-o privire, fără niciun calcul, direct din forma generală a ecuației.

Trei stații seismice înregistrează același cutremur: fiecare află distanța până la el, dar nu și direcția, deci fiecare plasează epicentrul pe un cerc în jurul ei, iar cele trei cercuri se taie exact în epicentru. Problema inversă — trei puncte de pe conturul unui crater și cercul care le conține — se rezolvă, la clasa a XII-a, cu un sistem liniar de trei ecuații, dar numai după ce cercul primește o scriere potrivită. Ecuația generală a cercului este $x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 n y + p = 0$ , o ecuație de gradul al doilea în care coeficienții intră liniar; centrul ei este $(- m, - n)$ , iar raza se obține din $r^{2} = m^{2} + n^{2} - p > 0$ .

Forma canonică, dedusă în lecția anterioară, e perfectă pentru citit centrul și raza, dar proastă pentru rezolvat sisteme: necunoscutele $a$ , $b$ , $r$ apar în ea la pătrat. Desfăcând parantezele, pătratele lor dispar și rămâne o ecuație în care coeficienții intră liniar — iar tot ce urmează în lecție se sprijină pe ea.

Ce vei învăța

Vei ști să treci de la forma canonică la ecuația generală $x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 n y + p = 0$ și înapoi.
Vei ști să determini centrul și raza dintr-o ecuație generală, atât prin formare de pătrate, cât și cu formulele directe.
Vei ști să decizi, prin condiția $m^{2} + n^{2} - p > 0$ , dacă o ecuație reprezintă un cerc adevărat, un singur punct sau mulțimea vidă.
Vei ști să recunoști o ecuație de cerc printre alte ecuații de gradul al doilea și să o normalizezi când coeficienții pătratelor nu sunt $1$ .
Vei ști să determini cercul care trece prin trei puncte date, rezolvând un sistem liniar $3 \times 3$ cu formulele lui Cramer.
Vei ști să scrii ecuația cercului cu centrul dat, tangent unei drepte date, și să numeri condițiile de care are nevoie o astfel de problemă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este ecuația generală a cercului?

Ecuația generală a cercului este forma obținută desfăcând pătratele din ecuația canonică și aducând totul într-un membru: $x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 n y + p = 0.$ Coeficienții $m$ , $n$ și $p$ sunt numere reale; scrierea coeficienților lui $x$ și $y$ cu factorul $2$ nu e o toană, ci alegerea care face ca centrul să se citească direct, fără fracții.

Să facem calculul. Pornim de la cercul de centru $C (a, b)$ și rază $r > 0$ , adică de la $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ , și desfacem: $x^{2} - 2 a x + a^{2} + y^{2} - 2 b y + b^{2} - r^{2} = 0,$ adică $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + (a^{2} + b^{2} - r^{2}) = 0.$ Comparând cu forma anunțată obținem legăturile $m = - a, n = - b, p = a^{2} + b^{2} - r^{2} .$

Prin urmare, centrul este $(- m, - n)$ — coeficienții cu semn schimbat — iar raza se obține din $r^{2} = a^{2} + b^{2} - p = m^{2} + n^{2} - p .$

O precizare de notație, obligatorie aici: literele $m$ și $n$ sunt, în această lecție, coeficienții ecuației cercului, nu panta unei drepte, ca în geometria analitică a clasei a XI-a; de aceea dreptele se scriu cu coeficienți numerici, ca $4 x + 3 y - 15 = 0$ . Tot așa, litera $p$ este aici termenul liber, nu parametrul parabolei anunțat în lecția despre conicele ca secțiuni ale conului.

2. Cum afli centrul și raza din ecuația generală?

Sunt două drumuri, și merită știute amândouă: unul mecanic și sigur, celălalt rapid.

Drumul întâi: formarea pătratelor. Grupezi termenii în $x$ și pe cei în $y$ și completezi fiecare grup până la un pătrat perfect. Pe exemplul $x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y - 11 = 0$ : $(x^{2} + 6 x) + (y^{2} - 8 y) = 11.$ Ca să completezi $x^{2} + 6 x$ până la pătrat, adaugi $9 = 3^{2}$ , adică pătratul jumătății coeficientului lui $x$ ; pentru $y^{2} - 8 y$ adaugi $16 = 4^{2}$ . Adaugi, firește, în ambii membri: $(x^{2} + 6 x + 9) + (y^{2} - 8 y + 16) = 11 + 9 + 16,$ adică $(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 36.$ De aici, $C (- 3, 4)$ și $r = 6$ .

Drumul al doilea: formulele directe. Identifici $m$ , $n$ , $p$ din ecuație și aplici $C (- m, - n), r^{2} = m^{2} + n^{2} - p .$ Pe același exemplu: din $2 m = 6$ rezultă $m = 3$ ; din $2 n = - 8$ rezultă $n = - 4$ ; iar $p = - 11$ . Atunci $C (- 3, 4)$ și $r^{2} = 9 + 16 + 11 = 36$ , deci $r = 6$ ✓. Aceleași rezultate, în trei rânduri.

Recomandarea practică: folosește formulele, dar verifică printr-o dezvoltare inversă. Din $(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 36$ desfăcut obții $x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y - 11 = 0$ , exact ecuația de plecare ✓. Este verificarea care prinde greșelile de semn, cele mai frecvente aici.

3. Când reprezintă o ecuație un cerc adevărat?

Formula $r^{2} = m^{2} + n^{2} - p$ dă un număr care poate fi pozitiv, nul sau negativ. Cum raza este strict pozitivă prin definiție, apare o condiție.

Teoremă. Ecuația $x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 n y + p = 0$ reprezintă:

un cerc de centru $(- m, - n)$ și rază $r = m^{2} + n^{2} - p$ , dacă $m^{2} + n^{2} - p > 0$ ;
un singur punct, anume $(- m, - n)$ , dacă $m^{2} + n^{2} - p = 0$ ;
mulțimea vidă, dacă $m^{2} + n^{2} - p < 0$ .

Justificarea e imediată din forma la care duce completarea pătratelor: $(x + m)^{2} + (y + n)^{2} = m^{2} + n^{2} - p .$ Membrul stâng este o sumă de pătrate, deci nenegativ. Dacă membrul drept e negativ, egalitatea e imposibilă și nu există niciun punct. Dacă e zero, suma a două pătrate se anulează doar când amândouă sunt nule, deci $x = - m$ și $y = - n$ : rămâne un singur punct. Numai pentru membru drept pozitiv obținem o curbă.

Cele două cazuri excluse sunt exact cele două „conice degenerate" pe care lecția despre conicele ca secțiuni ale conului le anunța pe cale geometrică. Nu sunt accidente de calcul: sunt granițele familiei.

Exemple de lucru. Pentru $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 5 = 0$ avem $m = - 1$ , $n = 2$ , $p = 5$ , deci $m^{2} + n^{2} - p = 1 + 4 - 5 = 0$ : un singur punct, $(1, - 2)$ . Pentru $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 10 = 0$ obținem $1 + 4 - 10 = - 5 < 0$ : mulțimea vidă. Cele două ecuații diferă printr-o singură cifră a termenului liber și descriu lucruri complet diferite — de aceea condiția se verifică întotdeauna înainte de a scrie „cercul are centrul…".

4. Cum recunoști o ecuație de cerc

Nu orice ecuație de gradul al doilea în $x$ și $y$ descrie un cerc. Semnele de recunoaștere sunt trei, și toate trebuie îndeplinite:

apar ambele pătrate, $x^{2}$ și $y^{2}$ , cu coeficienți egali;
nu apare termenul $x y$ ;
după împărțirea la coeficientul comun al pătratelor, expresia $m^{2} + n^{2} - p$ este strict pozitivă.

Primele două condiții separă cercul de celelalte conice: la elipsă și la hiperbolă coeficienții pătratelor diferă (ca valoare sau ca semn), iar termenul $x y$ apare la curbe rotite, care nu fac obiectul programei de matematică-informatică. A treia condiție e cea din paragraful anterior.

Normalizarea. Când coeficientul comun al pătratelor nu este $1$ , se împarte toată ecuația la el. De pildă, $2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x + 12 y - 6 = 0 : 2 ⟹ x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0,$ de unde $m = - 2$ , $n = 3$ , $p = - 3$ , deci $C (2, - 3)$ și $r^{2} = 4 + 9 + 3 = 16$ , adică $r = 4$ . Împărțirea nu schimbă mulțimea soluțiilor, pentru că factorul e nenul; a uita de ea, în schimb, dă un centru și o rază complet greșite.

5. Cum determini cercul care trece prin trei puncte?

Aici se vede de ce merita scrisă forma generală. Un cerc are trei coeficienți necunoscuți, $m$ , $n$ și $p$ , iar condiția ca punctul $M (x_{0}, y_{0})$ să-i aparțină este $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + 2 m x_{0} + 2 n y_{0} + p = 0,$ adică $2 x_{0} \cdot m + 2 y_{0} \cdot n + 1 \cdot p = - (x_{0}^{2} + y_{0}^{2}) .$ Priviți ca ecuație în $m$ , $n$ , $p$ , aceasta este o ecuație liniară: necunoscutele apar la puterea întâi, cu coeficienți numerici. Trei puncte dau trei asemenea ecuații, deci un sistem liniar $3 \times 3$ — exact obiectul lecției despre sistemele de tip Cramer din clasa a XI-a.

Rețeta în trei etape.

Etapa 1. Scrii cele trei ecuații, în ordinea punctelor.

Etapa 2. Calculezi determinantul sistemului. Dacă e nenul, sistemul e de tip Cramer și are soluție unică; o afli cu $m = \frac{Δ _{1}}{Δ}$ , $n = \frac{Δ _{2}}{Δ}$ , $p = \frac{Δ _{3}}{Δ}$ .

Etapa 3. Treci la forma canonică, verifici condiția $m^{2} + n^{2} - p > 0$ și substitui toate cele trei puncte în ecuația obținută.

Aceleași trei etape rezolvă și problema cercului circumscris unui triunghi: vârfurile sunt cele trei puncte, iar centrul cercului găsit este centrul cercului circumscris. Metoda prin intersecția mediatoarelor dă, firește, același rezultat, dar cere două ecuații de drepte perpendiculare, deci mai mult calcul.

6. Când nu există cercul prin trei puncte?

Determinantul sistemului are o formă remarcabilă. Scoțând factorul $2$ din prima coloană și tot $2$ din a doua, $Δ = 2 x_{1} 2 x_{2} 2 x_{3} 2 y_{1} 2 y_{2} 2 y_{3} 111 = 4 x_{1} x_{2} x_{3} y_{1} y_{2} y_{3} 111 .$

Determinantul rămas este exact cel din lecția despre condiția de coliniaritate a trei puncte: el se anulează dacă și numai dacă cele trei puncte sunt coliniare. Rezultă imediat:

Consecință. Prin trei puncte necoliniare trece un cerc și numai unul. Dacă punctele sunt coliniare, sistemul nu are soluție unică și nu există niciun cerc care să le conțină pe toate trei.

Este exact ce spune geometria: trei puncte de pe o dreaptă nu pot sta pe același cerc, pentru că o dreaptă taie un cerc în cel mult două puncte. Frumusețea e că faptul geometric și cel algebric coincid numeric, prin același determinant.

Un exemplu: pentru $A (1, 1)$ , $B (2, 3)$ și $D (3, 5)$ determinantul de coliniaritate este $123135111 = 1 (3 - 5) - 1 (2 - 3) + 1 (10 - 9) = - 2 + 1 + 1 = 0,$ deci punctele sunt coliniare (toate stau pe dreapta $y = 2 x - 1$ ) și niciun cerc nu trece prin ele.

Observă și convenția de nume folosită în toată lecția: al treilea punct se numește $D$ , nu $C$ , pentru că litera $C$ e rezervată centrului cercului.

7. Trei necunoscute înseamnă trei condiții

Regula de aur a acestei lecții, valabilă la orice problemă de determinare: un cerc are trei necunoscute, deci enunțul trebuie să dea exact trei condiții scalare independente. Numărându-le, știi dinainte dacă problema e bine pusă.

„trece prin trei puncte" $\to$ $3$ condiții;
„are centrul în $C (a, b)$ " $\to$ $2$ condiții;
„are raza $r$ " $\to$ $1$ condiție;
„trece prin punctul $A$ " $\to$ $1$ condiție;
„are centrul pe dreapta $d$ " $\to$ $1$ condiție;
„este tangent dreptei $d$ " $\to$ $1$ condiție.

Cercul cu centrul dat, tangent unei drepte. Centrul aduce două condiții, tangența pe a treia. Tangența se traduce printr-o egalitate simplă: cercul de centru $C$ și rază $r$ este tangent dreptei $d$ exact atunci când $d (C, d) = r,$ adică distanța de la centru la dreaptă este egală cu raza. Formula distanței de la un punct la o dreaptă e cea din lecția clasei a XI-a despre distanța de la un punct la o dreaptă. Aici folosim egalitatea ca pe un criteriu, atât cât ne trebuie pentru a scrie ecuația; discuția completă a pozițiilor unei drepte față de cerc — secantă, tangentă, exterioară — este subiectul lecției următoare, despre poziția unei drepte față de cerc și tangenta la cerc, unde vei învăța și o regulă directă de scriere a tangentei într-un punct al cercului.

Combinații mixte. Cel mai des întâlnit tip amestecă apartenențe și condiții asupra centrului: „trece prin $A$ și prin $B$ și are centrul pe dreapta $d$ " înseamnă $1 + 1 + 1 = 3$ condiții, deci problemă bine pusă. Traducerea în necunoscutele $m$ , $n$ , $p$ păstrează liniaritatea: apartenențele dau ecuațiile din paragraful $5$ , iar condiția „centrul $(- m, - n)$ se află pe dreapta $α x + β y + γ = 0$ " devine $- α m - β n + γ = 0$ , tot liniară. Rezultă din nou un sistem $3 \times 3$ , rezolvabil cu Cramer.

8. Lista de control

Ce ți se cere	Ce faci
forma generală din cea canonică	desfaci pătratele și aduci totul într-un membru
centrul și raza din forma generală	$C (- m, - n)$ , $r^{2} = m^{2} + n^{2} - p$ ; verifici prin dezvoltare inversă
„este ecuația unui cerc?"	coeficienți egali la pătrate, fără $x y$ , normalizezi, apoi $m^{2} + n^{2} - p > 0$
cercul prin trei puncte	sistem liniar $3 \times 3$ în $m$ , $n$ , $p$ , rezolvat cu Cramer
„există un astfel de cerc?"	$Δ = 0$ înseamnă puncte coliniare, deci niciun cerc
cercul cu centrul dat, tangent unei drepte	$r = d (C, d)$ , apoi forma canonică
condiții mixte	numeri condițiile: trebuie să fie exact trei

Ultimul pas, de fiecare dată: substitui în ecuația finală toate punctele din enunț și verifici, separat, condiția $m^{2} + n^{2} - p > 0$ . Problemele de determinare din această unitate se reiau, pentru celelalte trei conice, la lecția despre determinarea conicelor din condiții date.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Dus-întors între cele două forme

Enunț. a) Scrieți sub formă generală ecuația cercului de centru $C (2, - 1)$ și rază $5$ . b) Arătați că ecuația obținută este verificată de punctul $A (5, 3)$ .

Rezolvare. a) Forma canonică este $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$ . Desfacem: $x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + 2 y + 1 - 25 = 0 ⟹ x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 20 = 0.$ Identificând, $2 m = - 4$ dă $m = - 2$ , $2 n = 2$ dă $n = 1$ , iar $p = - 20$ . Controlul e imediat: $C (- m, - n) = (2, - 1)$ ✓ și $r^{2} = 4 + 1 + 20 = 25$ ✓.

b) Substituim: $25 + 9 - 20 + 6 - 20 = 0$ ✓. Punctul $A$ aparține cercului.

Exemplul 2 — Centrul și raza prin formare de pătrate

Enunț. Determinați centrul și raza cercului $x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y - 11 = 0$ , folosind formarea pătratelor, și verificați rezultatul cu formulele directe.

Rezolvare. Grupăm și completăm: $(x^{2} + 6 x + 9) + (y^{2} - 8 y + 16) = 11 + 9 + 16 ⟹ (x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 36.$ Deci $C (- 3, 4)$ și $r = 6$ .

Cu formulele: $m = 3$ , $n = - 4$ , $p = - 11$ , de unde $C (- 3, 4)$ și $r^{2} = 9 + 16 + 11 = 36$ ✓. Condiția $m^{2} + n^{2} - p = 36 > 0$ e îndeplinită, deci avem într-adevăr un cerc.

Verificare pe un punct: $(3, 4)$ ar trebui să fie pe cerc, fiind la $6$ unități la dreapta centrului. Într-adevăr, $9 + 16 + 18 - 32 - 11 = 0$ ✓.

Exemplul 3 — Normalizare și cazuri degenerate

Enunț. Stabiliți ce mulțime de puncte descrie fiecare ecuație: a) $2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x + 12 y - 6 = 0$ ; b) $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 5 = 0$ ; c) $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 10 = 0$ .

Rezolvare. a) Împărțim prin $2$ : $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0$ , deci $m = - 2$ , $n = 3$ , $p = - 3$ . Atunci $m^{2} + n^{2} - p = 4 + 9 + 3 = 16 > 0$ : cerc de centru $C (2, - 3)$ și rază $4$ .

b) $m = - 1$ , $n = 2$ , $p = 5$ , deci $m^{2} + n^{2} - p = 1 + 4 - 5 = 0$ : un singur punct, $(1, - 2)$ . Într-adevăr, formarea pătratelor dă $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 0$ , egalitate posibilă numai pentru $x = 1$ și $y = - 2$ .

c) $m = - 1$ , $n = 2$ , $p = 10$ , deci $m^{2} + n^{2} - p = 1 + 4 - 10 = - 5 < 0$ : mulțimea vidă. Forma $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = - 5$ e imposibilă, o sumă de pătrate nefiind niciodată negativă.

Observă cât de aproape sunt b) și c): diferă doar prin termenul liber, dar una dă un punct, cealaltă nimic.

Exemplul 4 — Cercul prin trei puncte

Enunț. Determinați ecuația cercului care trece prin punctele $A (5, 3)$ , $B (- 2, 2)$ și $D (2, 4)$ , precum și centrul și raza lui.

Rezolvare. Etapa 1. Scriem condiția $2 x_{0} m + 2 y_{0} n + p = - (x_{0}^{2} + y_{0}^{2})$ pentru fiecare punct: $⎩ ⎨ ⎧ 10 m + 6 n + p = - 34 - 4 m + 4 n + p = - 8 4 m + 8 n + p = - 20$

Etapa 2. Determinantul sistemului: $Δ = 10 - 4 4 648111 = 10 (4 - 8) - 6 (- 4 - 4) + (- 32 - 16) = - 40 + 48 - 48 = - 40 \neq = 0.$ Sistemul e de tip Cramer. Calculăm determinanții necunoscutelor: $Δ_{1} = - 34 - 8 - 20 648111 = 80, Δ_{2} = 10 - 4 4 - 34 - 8 - 20 111 = - 40, Δ_{3} = 10 - 4 4 648 - 34 - 8 - 20 = 800.$ Rezultă $m = \frac{80}{- 40} = - 2$ , $n = \frac{- 40}{- 40} = 1$ , $p = \frac{800}{- 40} = - 20$ .

Etapa 3. Ecuația este $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 20 = 0$ . Condiția: $m^{2} + n^{2} - p = 4 + 1 + 20 = 25 > 0$ ✓, deci $C (2, - 1)$ și $r = 5$ .

Verificare pe toate trei punctele: $A$ dă $25 + 9 - 20 + 6 - 20 = 0$ ✓; $B$ dă $4 + 4 + 8 + 4 - 20 = 0$ ✓; $D$ dă $4 + 16 - 8 + 8 - 20 = 0$ ✓. A doua cale, independentă: distanțele de la $C (2, - 1)$ la cele trei puncte sunt $9 + 16 = 5$ , $16 + 9 = 5$ și $0 + 25 = 5$ — egale cu raza ✓. Recunoști cercul: e chiar cel folosit ca exemplu în lecția precedentă, regăsit acum pe un drum complet diferit.

Exemplul 5 — Cerc tangent unei drepte și condiții mixte

Enunț. a) Scrieți ecuația cercului cu centrul $C (2, - 1)$ , tangent dreptei $d : 4 x + 3 y - 15 = 0$ . b) Determinați ecuația cercului care trece prin $A (1, 4)$ și $B (0, - 3)$ și are centrul pe dreapta $x + 3 y = 0$ .

Rezolvare. a) Numărăm condițiile: centrul dă două, tangența una — total trei, problema e bine pusă. Raza este distanța de la centru la dreaptă: $r = d (C, d) = \frac{∣ 4 \cdot 2 + 3 \cdot ( - 1 ) - 15 ∣}{4 ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{∣ 8 - 3 - 15 ∣}{5} = \frac{10}{5} = 2.$ Ecuația canonică este $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ , iar forma generală $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 1 = 0$ . Control: $m^{2} + n^{2} - p = 4 + 1 - 1 = 4 = r^{2}$ ✓.

b) Trei condiții: două apartenențe și una asupra centrului. Traducem fiecare în necunoscutele $m$ , $n$ , $p$ :

$A (1, 4)$ : $2 m + 8 n + p = - (1 + 16) = - 17$ ;
$B (0, - 3)$ : $0 \cdot m - 6 n + p = - (0 + 9) = - 9$ ;
centrul $(- m, - n)$ pe dreapta $x + 3 y = 0$ : $(- m) + 3 (- n) = 0$ , adică $m + 3 n = 0$ .

Determinantul sistemului: $Δ = 201 8 - 6 3 110 = 2 (0 - 3) - 8 (0 - 1) + (0 + 6) = - 6 + 8 + 6 = 8 \neq = 0.$ Din a treia ecuație, $m = - 3 n$ ; înlocuind în a doua, $p = 6 n - 9$ ; înlocuind ambele în prima: $- 6 n + 8 n + 6 n - 9 = - 17$ , deci $8 n = - 8$ și $n = - 1$ . Rezultă $m = 3$ și $p = - 15$ .

Ecuația: $x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y - 15 = 0$ , cu $C (- 3, 1)$ și $r^{2} = 9 + 1 + 15 = 25$ , deci $r = 5$ .

Verificări: $A (1, 4)$ dă $1 + 16 + 6 - 8 - 15 = 0$ ✓; $B (0, - 3)$ dă $0 + 9 + 0 + 6 - 15 = 0$ ✓; centrul verifică $- 3 + 3 \cdot 1 = 0$ ✓, deci se află pe dreapta cerută.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Enunț. Se consideră ecuația $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0$ . a) Arătați că ecuația reprezintă un cerc și determinați centrul și raza lui. b) Verificați dacă punctul $A (8, - 2)$ aparține acestui cerc. c) Determinați valorile reale ale lui $t$ pentru care punctul $M (3, t)$ aparține cercului.

Rezolvare. a) Coeficienții lui $x^{2}$ și $y^{2}$ sunt egali cu $1$ și nu apare termenul $x y$ . Identificăm $m = - 3$ , $n = 2$ , $p = - 12$ , deci $m^{2} + n^{2} - p = 9 + 4 + 12 = 25 > 0.$ Ecuația reprezintă, prin urmare, un cerc de centru $C (3, - 2)$ și rază $r = 5$ . Forma canonică, obținută prin completarea pătratelor, este $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ .

b) Substituim: $64 + 4 - 48 - 8 - 12 = 0$ ✓. Deci $A$ aparține cercului. Control pe a doua cale: $C A = (8 - 3)^{2} + (- 2 + 2)^{2} = 5 = r$ ✓.

c) Punem $x = 3$ și $y = t$ în forma canonică: $(3 - 3)^{2} + (t + 2)^{2} = 25 ⟺ (t + 2)^{2} = 25 ⟺ t = 3 sau t = - 7.$ Verificare pentru $t = 3$ : $9 + 9 - 18 + 12 - 12 = 0$ ✓; pentru $t = - 7$ : $9 + 49 - 18 - 28 - 12 = 0$ ✓. Cele două puncte sunt capetele diametrului vertical al cercului.

Să exersăm

1. Scrieți sub formă generală ecuația cercului de centru $C (- 1, 3)$ și rază $2$ .

2. Determinați centrul și raza cercului $x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y = 0$ și arătați că el trece prin originea reperului.

3. Determinați centrul și raza cercului $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 1 = 0$ .

4. Determinați centrul și raza cercului $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y - 5 = 0$ .

5. Stabiliți ce mulțime descrie ecuația $x^{2} + y^{2} + 10 x - 4 y + 29 = 0$ .

6. Stabiliți ce mulțime descrie ecuația $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + 15 = 0$ .

7. Determinați centrul și raza cercului $3 x^{2} + 3 y^{2} - 12 x + 6 y - 15 = 0$ .

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) Ecuația $x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 n y + p = 0$ reprezintă un cerc pentru orice valori reale ale lui $m$ , $n$ și $p$ .

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) Ecuația $x^{2} + 2 y^{2} - 4 x + 3 = 0$ este ecuația generală a unui cerc.

10. Determinați ecuația cercului care trece prin punctele $A (4, 2)$ , $B (- 1, 7)$ și $D (2, 6)$ , precum și centrul și raza lui.

11. Determinați ecuația cercului circumscris triunghiului cu vârfurile $O (0, 0)$ , $A (6, 0)$ și $B (0, 8)$ și comparați centrul obținut cu mijlocul ipotenuzei.

12. Arătați, calculând determinantul de coliniaritate, că prin punctele $A (1, 1)$ , $B (2, 3)$ și $D (3, 5)$ nu trece niciun cerc.

13. Scrieți ecuația cercului cu centrul $C (4, 3)$ , tangent dreptei $d : 3 x - 4 y + 5 = 0$ .

14. Scrieți ecuația cercului cu centrul $C (- 1, 4)$ , tangent dreptei $d : 3 x + 4 y - 28 = 0$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră ecuația $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 20 = 0$ . a) Arătați că ecuația reprezintă un cerc și determinați centrul și raza lui. b) Verificați dacă punctul $A (5, 3)$ aparține cercului. c) Determinați valorile reale ale lui $t$ pentru care punctul $M (t, 3)$ aparține cercului.

16. (Problemă aplicată.) Trei senzori de fum sunt montați în tavanul unei hale, în punctele $A (0, 0)$ , $B (6, 0)$ și $D (0, 8)$ , coordonatele fiind exprimate în metri. Determinați ecuația cercului care trece prin toți trei și precizați unde trebuie montat detectorul central, aflat la distanță egală de cei trei senzori.

17. Determinați ecuația cercului care trece prin punctele $A (0, 4)$ și $B (6, 2)$ și are centrul pe axa $O x$ , numărând mai întâi condițiile din enunț.

18. (Provocare.) Arătați că, pentru orice trei puncte necoliniare $A$ , $B$ , $D$ , sistemul din rețeta paragrafului $5$ are soluție unică și că soluția verifică automat condiția $m^{2} + n^{2} - p > 0$ . (Indicație: folosiți legătura dintre $Δ$ și determinantul de coliniaritate, apoi arătați că raza obținută este chiar distanța de la centrul găsit la punctul $A$ .)

Răspunsuri și explicații

1. Din $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ se obține $x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} - 6 y + 9 - 4 = 0$ , adică $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 6 = 0$ . Control: $m = 1$ , $n = - 3$ , $p = 6$ , deci $C (- 1, 3)$ ✓ și $r^{2} = 1 + 9 - 6 = 4$ ✓.

2. $m = - 4$ , $n = - 3$ , $p = 0$ , deci $C (4, 3)$ și $r^{2} = 16 + 9 - 0 = 25$ , adică $r = 5$ . Originea verifică ecuația, pentru că termenul liber este nul: $0 + 0 - 0 - 0 = 0$ ✓. Reține regula: un cerc trece prin origine exact când $p = 0$ .

3. $m = 2$ , $n = - 1$ , $p = 1$ ; $C (- 2, 1)$ și $r^{2} = 4 + 1 - 1 = 4$ , deci $r = 2$ .

4. $m = 1$ , $n = - 3$ , $p = - 5$ ; $C (- 1, 3)$ și $r^{2} = 1 + 9 + 5 = 15$ , deci $r = 15$ .

5. $m = 5$ , $n = - 2$ , $p = 29$ ; $m^{2} + n^{2} - p = 25 + 4 - 29 = 0$ , deci mulțimea se reduce la un singur punct, $(- 5, 2)$ .

6. $m = - 1$ , $n = 3$ , $p = 15$ ; $m^{2} + n^{2} - p = 1 + 9 - 15 = - 5 < 0$ , deci ecuația nu are nicio soluție reală: mulțimea vidă.

7. Împărțim prin $3$ : $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 5 = 0$ , deci $m = - 2$ , $n = 1$ , $p = - 5$ . Rezultă $C (2, - 1)$ și $r^{2} = 4 + 1 + 5 = 10$ , adică $r = 10$ . Fără normalizare s-ar fi obținut un centru greșit.

8. Fals. Este nevoie de condiția $m^{2} + n^{2} - p > 0$ . Pentru $m = n = 0$ și $p = 1$ , ecuația $x^{2} + y^{2} + 1 = 0$ nu are nicio soluție reală; pentru $p = 0$ ea se reduce la punctul $O$ .

9. Fals. Coeficienții lui $x^{2}$ și $y^{2}$ sunt $1$ și $2$ , deci diferiți; ecuația nu poate fi adusă la forma generală a cercului prin împărțire. (Ea descrie, de fapt, o elipsă.)

10. Sistemul este $8 m + 4 n + p = - 20$ , $- 2 m + 14 n + p = - 50$ , $4 m + 12 n + p = - 40$ , cu $Δ = - 40$ . Se obține $m = 1$ , $n = - 2$ , $p = - 20$ , deci $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 20 = 0$ , cu $C (- 1, 2)$ și $r^{2} = 1 + 4 + 20 = 25$ , adică $r = 5$ . Verificare: $A$ dă $16 + 4 + 8 - 8 - 20 = 0$ ✓, $B$ dă $1 + 49 - 2 - 28 - 20 = 0$ ✓, $D$ dă $4 + 36 + 4 - 24 - 20 = 0$ ✓.

11. Cu $O (0, 0)$ termenul liber este $p = 0$ . Din $A (6, 0)$ : $12 m + 0 = - 36$ , deci $m = - 3$ . Din $B (0, 8)$ : $16 n = - 64$ , deci $n = - 4$ . Ecuația este $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0$ , cu $C (3, 4)$ și $r^{2} = 9 + 16 = 25$ , adică $r = 5$ . Mijlocul ipotenuzei $A B$ este $(\frac{6 + 0}{2}, \frac{0 + 8}{2}) = (3, 4)$ — același punct, cum era de așteptat pentru un triunghi dreptunghic.

12. Determinantul este $123135111 = (3 - 5) - (2 - 3) + (10 - 9) = 0$ , deci punctele sunt coliniare și $Δ = 4 \cdot 0 = 0$ . Sistemul nu este de tip Cramer, iar geometric o dreaptă taie un cerc în cel mult două puncte, deci niciun cerc nu le conține pe toate trei.

13. $r = \frac{∣ 3 \cdot 4 - 4 \cdot 3 + 5 ∣}{9 + 16} = \frac{5}{5} = 1$ , deci $(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 1$ , adică $x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 24 = 0$ . Control: $m^{2} + n^{2} - p = 16 + 9 - 24 = 1 = r^{2}$ ✓.

14. $r = \frac{∣ 3 \cdot ( - 1 ) + 4 \cdot 4 - 28 ∣}{5} = \frac{15}{5} = 3$ , deci $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 9$ , adică $x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y + 8 = 0$ . Control: $1 + 16 - 8 = 9$ ✓.

15. a) $m = - 2$ , $n = 1$ , $p = - 20$ , iar $m^{2} + n^{2} - p = 4 + 1 + 20 = 25 > 0$ : cerc de centru $C (2, - 1)$ și rază $5$ . b) $25 + 9 - 20 + 6 - 20 = 0$ ✓, deci $A$ aparține cercului. c) $t^{2} + 9 - 4 t + 6 - 20 = 0$ , adică $t^{2} - 4 t - 5 = 0$ , cu soluțiile $t = 5$ și $t = - 1$ . Verificare pentru $t = - 1$ : $1 + 9 + 4 + 6 - 20 = 0$ ✓.

16. Sunt exact configurația de la exercițiul $11$ : ecuația este $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0$ , cu centrul $(3, 4)$ și raza $5$ . Detectorul central se montează în punctul de coordonate $(3, 4)$ , adică la $3$ metri pe o direcție și $4$ pe cealaltă față de senzorul din colț; el va fi la $5$ metri de fiecare dintre cei trei senzori.

17. Condițiile sunt trei: două apartenențe și „centrul pe $O x$ ", adică ordonata centrului este nulă, deci $n = 0$ . Din $A (0, 4)$ : $0 \cdot m + 8 n + p = - 16$ , care cu $n = 0$ dă $p = - 16$ . Din $B (6, 2)$ : $12 m + 4 n + p = - 40$ , adică $12 m - 16 = - 40$ , deci $m = - 2$ . Ecuația: $x^{2} + y^{2} - 4 x - 16 = 0$ , cu $C (2, 0)$ și $r^{2} = 4 + 0 + 16 = 20$ , adică $r = 25$ . Forma canonică: $(x - 2)^{2} + y^{2} = 20$ . Verificare: $A$ dă $4 + 16 = 20$ ✓, $B$ dă $16 + 4 = 20$ ✓.

18. Dacă $A$ , $B$ , $D$ sunt necoliniare, determinantul de coliniaritate este nenul, deci $Δ = 4 \cdot (acel determinant) \neq = 0$ și sistemul este de tip Cramer: are soluție unică $(m, n, p)$ . Fie $C (- m, - n)$ punctul determinat de ea. Faptul că $A$ verifică ecuația $x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 n y + p = 0$ se rescrie, după completarea pătratelor, ca $(x_{A} + m)^{2} + (y_{A} + n)^{2} = m^{2} + n^{2} - p,$ adică $C A^{2} = m^{2} + n^{2} - p$ . Cum $A \neq = C$ — altfel $A$ ar fi centrul, iar $B$ și $D$ ar fi la distanță nulă de el, deci ar coincide cu $A$ — rezultă $C A > 0$ , deci $m^{2} + n^{2} - p = C A^{2} > 0$ . Prin urmare, condiția de cerc adevărat este automat îndeplinită, iar raza este $C A$ . Aceleași calcule pentru $B$ și $D$ arată că și ele sunt la distanța $C A$ de $C$ : cercul găsit trece într-adevăr prin toate trei.

De reținut

Ecuația generală a cercului este $x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 n y + p = 0$ , cu centrul $(- m, - n)$ și $r^{2} = m^{2} + n^{2} - p$ .
Ecuația reprezintă un cerc adevărat numai dacă $m^{2} + n^{2} - p > 0$ ; pentru valoarea zero rămâne un singur punct, iar pentru valori negative mulțimea vidă.
O ecuație de gradul al doilea poate fi ecuație de cerc numai dacă are coeficienți egali la $x^{2}$ și $y^{2}$ și nu conține termenul $x y$ ; înainte de orice calcul se împarte la coeficientul comun al pătratelor.
Condiția ca un punct să aparțină cercului este liniară în $m$ , $n$ și $p$ , deci cercul prin trei puncte se află rezolvând un sistem $3 \times 3$ cu formulele lui Cramer.
Determinantul acestui sistem este de patru ori determinantul de coliniaritate al celor trei puncte: el se anulează exact când punctele sunt coliniare, caz în care niciun cerc nu trece prin ele.

Greșeli frecvente

Se uită împărțirea la coeficientul pătratelor. Din $3 x^{2} + 3 y^{2} - 12 x + 6 y - 15 = 0$ se citește direct $m = - 6$ . Corect: formulele centrului și razei sunt valabile doar pentru coeficientul $1$ ; se împarte întâi prin $3$ și abia apoi se identifică $m = - 2$ , $n = 1$ , $p = - 5$ .
Se ia $2 m$ drept $m$ . Din $x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y - 11 = 0$ se scrie „centrul $(- 6, 8)$ ". Corect: coeficientul lui $x$ este $2 m = 6$ , deci $m = 3$ și abscisa centrului este $- m = - 3$ ; analog, $2 n = - 8$ dă $n = - 4$ și ordonata $4$ .
Se sare peste condiția $m^{2} + n^{2} - p > 0$ . Se scrie „cercul de centru $(1, - 2)$ și rază $- 5$ ". Corect: raza este un număr real strict pozitiv; când expresia iese negativă, ecuația nu are soluții reale, iar când iese nulă rămâne un singur punct.
Se confundă litera $m$ cu panta. Într-o problemă cu cerc și dreaptă, $m$ din ecuația cercului e luat drept panta dreptei. Corect: în ecuația generală a cercului, $m$ și $n$ sunt coeficienți legați de centru prin $C (- m, - n)$ ; când în aceeași problemă apare și o dreaptă, scrie-o cu coeficienți numerici sau cu alte litere.
Se declară cercul găsit fără verificare. După Cramer se scrie ecuația și se trece mai departe. Corect: se substituie toate cele trei puncte în ecuația finală și se recalculează raza ca distanță de la centrul găsit la unul dintre ele; o greșeală de semn într-un determinant se vede imediat.

Aplică acasă

Trei puncte de pe un capac. Așază pe o foaie caroiată un obiect rotund (un capac, o farfurie) și marchează trei puncte de pe conturul lui, citindu-le coordonatele pe caroiaj. Determină cercul care trece prin ele, cu sistemul din lecție, și compară raza calculată cu raza măsurată direct cu rigla. Diferența îți arată eroarea de citire a coordonatelor.
Fântâna și aleea. Desenează pe hârtie o alee dreaptă, dată printr-o ecuație cu coeficienți întregi, și alege un punct drept centrul unei fântâni rotunde care trebuie să atingă aleea exact într-un punct. Calculează raza cu distanța de la centru la dreaptă, scrie ecuația generală a fântânii și verifică pe desen.
Trei orașe și releul. Alege pe o hartă trei localități și estimează-le coordonatele față de o origine convenabilă, în kilometri. Determină cercul care trece prin toate trei: centrul lui este locul unde ar trebui amplasat un releu aflat la distanță egală de cele trei localități. Verifică rezultatul măsurând, pe hartă, cele trei distanțe.

Pentru părinți și profesori

Ce verifică lecția. Trecerea între cele două scrieri ale cercului și folosirea formei generale pentru probleme de determinare: cercul prin trei puncte, cercul circumscris unui triunghi, cercul cu centrul dat tangent unei drepte, combinații de condiții. Competențele vizate sunt XII.CS.5.3 (explicit: „determinarea ecuației unui cerc care îndeplinește anumite condiții — de exemplu, trece prin trei puncte date"), XII.CS.2.3 și XII.CS.1.3. Lecția reinvestește sistemele liniare și determinanții din clasa a XI-a.

Întrebări de control. „Cum se citește centrul din ecuația generală?"; „De ce este nevoie de condiția $m^{2} + n^{2} - p > 0$ ?"; „De ce este liniară condiția ca un punct să aparțină cercului?"; „Ce se întâmplă dacă cele trei puncte sunt coliniare?"; „Câte condiții trebuie să dea o problemă ca să determine un cerc?".

Semne că a înțeles. Elevul normalizează ecuația înainte de a identifica coeficienții; nu confundă $2 m$ cu $m$ ; verifică sistematic condiția de existență; substituie toate punctele din enunț în ecuația finală; și numără condițiile înainte de a începe calculul, ca să vadă dacă problema e bine pusă.

Unde apare la BAC M1. Situația reală a conicelor în examen e explicată la ultima întrebare din „Întrebări frecvente". Sistemul $3 \times 3$ rezolvat cu Cramer rămâne, în schimb, materie de clasa a XI-a, cerută la examen în forma ei proprie.

Întrebări frecvente

Care este ecuația generală a cercului? Este $x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 n y + p = 0$ , forma obținută din cea canonică prin desfacerea pătratelor. Centrul cercului este punctul $(- m, - n)$ , adică jumătatea coeficienților lui $x$ și $y$ luată cu semn schimbat, iar raza se calculează din $r^{2} = m^{2} + n^{2} - p$ .

Cum aflu centrul și raza dintr-o ecuație generală? Ai două metode echivalente. Prima: grupezi termenii în $x$ și în $y$ și completezi fiecare grup până la pătrat perfect, adăugând în ambii membri. A doua: identifici direct $m$ , $n$ și $p$ și aplici formulele $C (- m, - n)$ și $r^{2} = m^{2} + n^{2} - p$ . Verifică apoi prin dezvoltare inversă.

Când reprezintă o ecuație de gradul al doilea un cerc? Când coeficienții lui $x^{2}$ și $y^{2}$ sunt egali, nu apare termenul $x y$ și, după împărțirea la coeficientul comun, expresia $m^{2} + n^{2} - p$ este strict pozitivă. Dacă expresia e nulă, mulțimea soluțiilor are un singur punct; dacă e negativă, nu există niciun punct real.

Cum determin cercul care trece prin trei puncte date? Scrii pentru fiecare punct condiția de apartenență în forma $2 x_{0} m + 2 y_{0} n + p = - (x_{0}^{2} + y_{0}^{2})$ , obții un sistem liniar de trei ecuații cu necunoscutele $m$ , $n$ , $p$ și îl rezolvi cu formulele lui Cramer. La final treci la forma canonică și verifici substituind toate cele trei puncte.

De ce nu există cerc prin trei puncte coliniare? Pentru că o dreaptă intersectează un cerc în cel mult două puncte. Algebric, determinantul sistemului este de patru ori determinantul de coliniaritate al celor trei puncte, deci se anulează exact în cazul coliniar, iar sistemul nu mai are soluție unică.

Cum scriu ecuația unui cerc tangent la o dreaptă? Dacă știi centrul, raza este distanța de la centru la dreaptă, calculată cu formula distanței de la un punct la o dreaptă; înlocuiești apoi în forma canonică. Dacă centrul nu e dat, ai nevoie de alte două condiții, pentru că un cerc are trei necunoscute.

Ce înseamnă că un cerc trece prin originea reperului? Înseamnă că punctul $(0, 0)$ verifică ecuația, adică termenul liber este nul: $p = 0$ . Este un criteriu foarte comod, care se citește dintr-o privire, fără niciun calcul, direct din forma generală a ecuației.

Apar conicele la Bacalaureat M1? În variantele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au fost cerute; ele intră în examen odată cu prima sesiune susținută pe programa nouă. Structura exercițiilor din această lecție este însă cea clasică — „arătați că ecuația reprezintă un cerc", „determinați centrul și raza", „aflați parametrul pentru care un punct aparține cercului" — și corespunde tipului de cerință în trei subpuncte din Subiectul I.