Ecuația generală a dreptei: pe scurt

Forma explicită are un gol: verticalele. Ecuația generală îl astupă. Ea se scrie $ax+by+c=0$, cu $a$ și $b$ nu simultan nule — condiția nu e un capriciu: pentru $a=b=0$ ecuația ar deveni $c=0$, adică fie o afirmație falsă (nicio soluție), fie una mereu adevărată (tot planul), iar niciuna dintre cele două mulțimi nu este o dreaptă.

Teorema care justifică numele: mulțimea punctelor care verifică o astfel de ecuație este întotdeauna o dreaptă și, reciproc, orice dreaptă din plan admite o asemenea ecuație. Nicio dreaptă nu scapă și nimic în afară de drepte nu se strecoară înăuntru.

Trecerea în forma explicită se face izolând $y$, posibilă exact când $b\ne 0$: $m=-\frac{a}{b}$ și $n=-\frac{c}{b}$ — ambele cu minus. Coeficienții se citesc și geometric: $b=0$ înseamnă dreaptă verticală $x=-\frac{c}{a}$, fără pantă; $a=0$ înseamnă dreaptă orizontală, cu panta $0$; $c=0$ înseamnă dreaptă prin origine, pentru că $O(0,0)$ verifică ecuația.

Spre deosebire de forma explicită, cea generală nu este unică: două ecuații descriu aceeași dreaptă exact când tripletele $(a,b,c)$ sunt proporționale, cu factor nenul — toți trei coeficienții, termenul liber inclus. De obicei se alege reprezentantul cu coeficienți întregi, fără factor comun. Apartenența unui punct se decide prin substituție, iar intersecțiile cu axele anulând, pe rând, câte o coordonată.

Exerciții din această mini-lecție

1. Panta dreptei de ecuație $5x+2y-8=0$ este:

   • a) $\frac{5}{2}$
   • b) $-\frac{5}{2}$
   • c) $-\frac{2}{5}$
   • d) $5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-\frac{5}{2}$

   Izolăm $y$: $2y=-5x+8$, deci $y=-\frac{5}{2}x+4$ și panta este $m=-\frac{5}{2}$. Formula $m=-\frac{a}{b}$ dă același rezultat — cu minus. Varianta $\frac{5}{2}$ este exact greșeala de semn care apare când se citește $\frac{a}{b}$.

2. Ordonata la origine a dreptei $2x-5y-20=0$ este:

   • a) $-4$
   • b) $-20$
   • c) $4$
   • d) $20$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $-4$

   Punem $x=0$: $-5y-20=0$, deci $y=-4$. Cu formula, $n=-\frac{c}{b}=-\frac{-20}{-5}=-4$. Varianta $-20$ este termenul liber $c$, care nu este ordonata la origine — confuzia se evită punând efectiv $x=0$.

3. Care dintre următoarele ecuații reprezintă aceeași dreaptă ca $3x-5y+15=0$?

   • a) $3x-5y+30=0$
   • b) $6x-10y+15=0$
   • c) $-9x+15y-45=0$
   • d) $5x-3y+15=0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $-9x+15y-45=0$

   Două ecuații dau aceeași dreaptă exact când tripletele lor de coeficienți sunt proporționale, cu tot cu termenul liber: $(-9,15,-45)=(-3)\cdot (3,-5,15)$ ✓. Prima variantă are aceiași $a$ și $b$, dar alt termen liber; a doua a înmulțit doar primii doi coeficienți.