Ecuația generală a dreptei

Deschide orice program de proiectare asistată — cel în care se desenează planul unei case, traseul unei conducte sau conturul unei parcele. Fiecare dreaptă din desen este stocată în memorie ca un triplet de numere, nu ca o formulă de tipul „ $y$ egal ceva". Motivul e practic: pe un plan real există stâlpi verticali, ziduri verticale, limite de proprietate verticale — iar o dreaptă verticală nu se poate scrie sub forma $y = m x + n$ . Un program care ar folosi numai forma explicită s-ar bloca la primul zid.

Soluția pe care o folosesc toate aceste programe este exact forma pe care o studiezi în lecția de față: ecuația generală $a x + b y + c = 0$ . Ea descrie orice dreaptă din plan, fără excepție, e simetrică în raport cu cele două variabile și e forma de pornire pentru aproape tot ce urmează în capitol — de la poziția relativă a două drepte până la distanța de la un punct la o dreaptă. Merită învățată temeinic: din trei numere vei citi, dintr-o privire, direcția dreptei, poziția ei față de axe și tot ce ai nevoie pentru a lucra cu ea.

Ce vei învăța

Vei ști ce este ecuația generală $a x + b y + c = 0$ , de ce se cere ca $a$ și $b$ să nu fie simultan nule și de ce ea descrie orice dreaptă din plan.
Vei ști să treci, în ambele sensuri, între forma generală și forma explicită $y = m x + n$ , calculând panta cu $m = - \frac{a}{b}$ și ordonata la origine cu $n = - \frac{c}{b}$ .
Vei ști să recunoști, direct din coeficienți, dacă dreapta este verticală, orizontală sau trece prin origine.
Vei ști de ce ecuația generală a unei drepte nu este unică și cum se aduce la forma cu coeficienți întregi, fără numitori.
Vei ști să verifici apartenența unui punct la o dreaptă, să afli intersecțiile cu axele și să determini un parametru dintr-o condiție dată.

Hai să descoperim împreună

1. Golul pe care îl lasă forma explicită

Forma explicită $y = m x + n$ , studiată în lecția Ecuația explicită a dreptei, are o calitate mare: se citește direct din ea panta $m$ și ordonata la origine $n$ . Are însă un defect, și e unul serios.

Ia dreapta formată din toate punctele de abscisă $3$ : punctele $(3, - 5)$ , $(3, 0)$ , $(3, 11)$ și toate celelalte de forma $(3, y)$ . Este o dreaptă perfect legitimă, verticală. Poate fi ea scrisă ca $y = m x + n$ ? Nu. O egalitate de forma $y = m x + n$ dă, pentru fiecare $x$ , o singură valoare a lui $y$ — iar pe verticala noastră, abscisei $3$ îi corespund toate ordonatele posibile. Nu există numere $m$ și $n$ care să facă asta.

Cauza adâncă e că verticala nu are pantă. Panta este $tg α$ , unde $α$ este unghiul făcut cu semiaxa pozitivă $O x$ ; pentru verticală, $α = 9 0^{\circ}$ , iar $tg 9 0^{\circ}$ nu există. Nu spunem „panta este infinită" — spunem, corect, că panta nu este definită.

Concluzia: forma explicită acoperă toate dreptele cu excepția verticalelor. Ne trebuie o scriere care să nu privilegieze pe $y$ față de $x$ .

2. Ecuația generală: definiția și teorema

Definiție. Se numește ecuație generală a unei drepte o ecuație de forma $a x + b y + c = 0, a, b, c \in R, (a, b) \neq = (0, 0),$ adică o ecuație în care $a$ și $b$ nu sunt simultan nule.

Condiția $(a, b) \neq = (0, 0)$ nu e un capriciu. Dacă am avea $a = b = 0$ , ecuația ar deveni $c = 0$ : fie o afirmație falsă (dacă $c \neq = 0$ ), care nu e verificată de niciun punct, fie o afirmație mereu adevărată (dacă $c = 0$ ), verificată de tot planul. Nici mulțimea vidă, nici planul întreg nu sunt drepte.

Teoremă. Mulțimea punctelor $M (x, y)$ ale căror coordonate verifică ecuația $a x + b y + c = 0$ , cu $(a, b) \neq = (0, 0)$ , este o dreaptă. Reciproc, orice dreaptă din plan admite o ecuație de această formă.

Demonstrație. Pentru primul sens, distingem după $b$ .

Dacă $b \neq = 0$ , izolăm pe $y$ : din $b y = - a x - c$ obținem $y = - \frac{a}{b} x - \frac{c}{b}$ , adică exact forma explicită $y = m x + n$ cu $m = - \frac{a}{b}$ și $n = - \frac{c}{b}$ . Este deci o dreaptă neverticală, de pantă $m$ .

Dacă $b = 0$ , atunci obligatoriu $a \neq = 0$ (altfel am încălca ipoteza), iar ecuația devine $a x + c = 0$ , adică $x = - \frac{c}{a}$ . Mulțimea punctelor cu abscisa fixată este o dreaptă verticală.

Pentru reciprocă, la fel pe cazuri. O dreaptă neverticală are ecuația $y = m x + n$ ; o rescriem $m x - y + n = 0$ , care este de forma cerută cu $a = m$ , $b = - 1$ , $c = n$ — și într-adevăr $b = - 1 \neq = 0$ . O dreaptă verticală are ecuația $x = k$ ; o rescriem $x - k = 0$ , de forma cerută cu $a = 1$ , $b = 0$ , $c = - k$ . $■$

Reține concluzia, pentru că e motivul pentru care forma aceasta se numește „generală": nicio dreaptă nu scapă, iar nimic în afară de drepte nu se strecoară înăuntru.

Forma generală ax + by + c = 0 acoperă toate dreptele

3. Trecerea între cele două forme

Demonstrația de mai sus îți dă și rețeta de lucru, în ambele sensuri.

Din generală în explicită (posibilă numai dacă $b \neq = 0$ ): izolezi pe $y$ și obții $y = - \frac{a}{b} x - \frac{c}{b}, deci m = - \frac{a}{b}, n = - \frac{c}{b} .$

Pe $d : 3 x - 4 y + 12 = 0$ : avem $a = 3$ , $b = - 4$ , $c = 12$ , deci $m = - \frac{3}{- 4} = \frac{3}{4}$ și $n = - \frac{12}{- 4} = 3$ , adică $y = \frac{3}{4} x + 3$ . Verificăm pe două puncte: pentru $x = 4$ formula explicită dă $y = 3 + 3 = 6$ , iar în forma generală $3 \cdot 4 - 4 \cdot 6 + 12 = 12 - 24 + 12 = 0$ ✓; pentru $x = - 4$ formula dă $y = - 3 + 3 = 0$ , iar $3 \cdot (- 4) - 4 \cdot 0 + 12 = 0$ ✓.

Din explicită în generală: treci totul în membrul stâng. Din $y = m x + n$ obții $m x - y + n = 0$ .

Pe $y = - \frac{2}{5} x + 3$ : mutăm și obținem $\frac{2}{5} x + y - 3 = 0$ ; înmulțind cu $5$ scăpăm de numitor și rămâne $2 x + 5 y - 15 = 0$ . Verificare pe $(0, 3)$ : $0 + 15 - 15 = 0$ ✓; pe $(5, 1)$ : $10 + 5 - 15 = 0$ ✓.

Atenție la semnul lui $m$ . Panta este $- \frac{a}{b}$ , cu minus. Elevul grăbit citește $m = \frac{a}{b}$ și greșește semnul la jumătate dintre exerciții. Dacă ai vreo îndoială, nu memora formula: izolează efectiv pe $y$ , e o singură linie de calcul.

4. Ce citești direct din coeficienți

Cei trei coeficienți spun, fiecare, ceva despre poziția dreptei. Iată tabloul complet, cu $(a, b) \neq = (0, 0)$ presupus mereu:

Situația coeficienților	Ecuația devine	Dreapta este
$b = 0$ (deci $a \neq = 0$ )	$x = - \frac{c}{a}$	verticală, paralelă cu $O y$ ; nu are pantă
$a = 0$ (deci $b \neq = 0$ )	$y = - \frac{c}{b}$	orizontală, paralelă cu $O x$ ; panta este $0$
$c = 0$	$a x + b y = 0$	trece prin origine, pentru că $O (0, 0)$ o verifică
$a \neq = 0$ și $b \neq = 0$	$y = - \frac{a}{b} x - \frac{c}{b}$	oblică, de pantă $- \frac{a}{b} \neq = 0$

Două cazuri-limită merită numite: $y = 0$ (adică $a = c = 0$ ) este chiar axa $O x$ , iar $x = 0$ (adică $b = c = 0$ ) este axa $O y$ .

Exersează citirea pe trei exemple. Ecuația $2 x - 6 = 0$ are $b = 0$ , deci e verticala $x = 3$ . Ecuația $5 y + 15 = 0$ are $a = 0$ , deci e orizontala $y = - 3$ , cu panta $0$ . Ecuația $2 x + 3 y = 0$ are $c = 0$ : trece prin origine, iar panta ei este $- \frac{2}{3}$ ; punctele $(3, - 2)$ și $(- 6, 4)$ o verifică, fiindcă $6 - 6 = 0$ și $- 12 + 12 = 0$ ✓.

5. Aceeași dreaptă, ecuații diferite

Forma explicită are o proprietate comodă: o dreaptă neverticală are o singură ecuație $y = m x + n$ . Forma generală nu are această proprietate, și e important să înțelegi de ce.

Înmulțește ecuația $3 x - 4 y + 12 = 0$ cu $2$ : obții $6 x - 8 y + 24 = 0$ . Punctele care verifică prima ecuație verifică și pe a doua — pentru $(4, 6)$ : $24 - 48 + 24 = 0$ ✓ — pentru că a înmulți o egalitate cu $0$ cu un număr nenul nu schimbă nimic. La fel cu $- 3$ : $- 9 x + 12 y - 36 = 0$ ; sau cu $\frac{1}{2}$ : $\frac{3}{2} x - 2 y + 6 = 0$ . Toate descriu aceeași dreaptă.

Regulă. Ecuațiile $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ și $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ reprezintă aceeași dreaptă exact atunci când tripletul $(a_{2}, b_{2}, c_{2})$ este un multiplu nenul al lui $(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ .

Capcana: nu e destul ca doi dintre coeficienți să fie proporționali. Ecuațiile $3 x - 4 y + 12 = 0$ și $3 x - 4 y + 6 = 0$ au primii doi coeficienți identici, dar termenii liberi diferă — sunt drepte diferite. Prima trece prin $(- 4, 0)$ , a doua prin $(- 2, 0)$ , iar $3 \cdot (- 4) - 4 \cdot 0 + 6 = - 6 \neq = 0$ , deci primul punct nu e pe a doua dreaptă. (Ce relație geometrică au între ele două astfel de drepte vei stabili la lecția Condiții de paralelism și de perpendicularitate.)

Forma cu coeficienți întregi. Fiindcă poți înmulți cu orice număr nenul, obiceiul de lucru este să alegi reprezentantul cel mai curat: coeficienți întregi, fără factor comun. Din $\frac{1}{2} x - \frac{2}{3} y + 1 = 0$ înmulțești cu $6$ și rămâne $3 x - 4 y + 6 = 0$ ; verificare pe $(2, 3)$ : $6 - 12 + 6 = 0$ ✓. Din $6 x - 9 y + 12 = 0$ împarți la $3$ și rămâne $2 x - 3 y + 4 = 0$ . Aceasta nu este o a cincea formă a ecuației dreptei — este tot ecuația generală, doar cu reprezentantul ales convenabil.

6. Apartenența unui punct și intersecțiile cu axele

Apartenența se decide printr-o simplă substituție: punctul $M (x_{0}, y_{0})$ aparține dreptei $a x + b y + c = 0$ dacă și numai dacă $a x_{0} + b y_{0} + c = 0$ .

Pe $d : 3 x - 4 y + 12 = 0$ , punctul $P (2, - 1)$ dă $3 \cdot 2 - 4 \cdot (- 1) + 12 = 6 + 4 + 12 = 22 \neq = 0$ , deci $P \in / d$ . În schimb $(8, 9)$ dă $24 - 36 + 12 = 0$ , deci $(8, 9) \in d$ ✓.

Intersecțiile cu axele se obțin anulând, pe rând, câte o coordonată:

cu $O x$ : pui $y = 0$ și rezolvi $a x + c = 0$ ;
cu $O y$ : pui $x = 0$ și rezolvi $b y + c = 0$ .

Pe aceeași dreaptă $d$ : cu $O x$ , din $3 x + 12 = 0$ iese $x = - 4$ , deci punctul $(- 4, 0)$ ; cu $O y$ , din $- 4 y + 12 = 0$ iese $y = 3$ , deci $(0, 3)$ — care este chiar ordonata la origine $n$ , așa cum trebuie.

Două puncte, o riglă: tăieturile cu axele

Aceste două puncte sunt, practic, cel mai rapid mod de a desena o dreaptă oblică: le marchezi și tragi rigla prin ele. Atenție însă la cazurile în care metoda nu se aplică: dacă $c = 0$ , ambele „intersecții" coincid cu originea, și îți mai trebuie un punct; dacă dreapta e paralelă cu o axă, ea nu taie acea axă deloc.

7. Determinarea unei drepte dintr-o condiție

Multe cerințe sună așa: „determinați parametrul astfel încât dreapta să treacă prin punctul dat". Metoda e mereu aceeași — substitui coordonatele punctului și rezolvi ecuația obținută în parametru.

Pentru ce valoare a lui $a$ dreapta $a x + 3 y - 6 = 0$ trece prin $M (2, 4)$ ? Substituim: $2 a + 12 - 6 = 0$ , deci $2 a = - 6$ și $a = - 3$ . Verificare: dreapta $- 3 x + 3 y - 6 = 0$ conține $M$ , fiindcă $- 6 + 12 - 6 = 0$ ✓, și conține și $(0, 2)$ , fiindcă $0 + 6 - 6 = 0$ ✓.

Un al doilea tip de cerință: „aflați ordonata punctului de pe dreaptă care are abscisa dată". Pe $3 x + 4 y - 10 = 0$ , punctul de abscisă $- 2$ are ordonata dată de $- 6 + 4 y - 10 = 0$ , adică $4 y = 16$ și $y = 4$ ; într-adevăr $(- 2, 4)$ verifică ecuația ✓.

8. De ce forma generală e cea care contează mai departe

Ai putea întreba de ce nu rămânem la $y = m x + n$ , care pare mai simplă. Trei motive, pe care le vei vedea la lucru în lecțiile următoare.

Întâi, acoperirea completă: verticalele intră în discuție fără tratament special, ceea ce înseamnă mai puține cazuri de discutat în rezolvări și mai puține puncte pierdute la Bacalaureat M1.

Al doilea, simetria: în $a x + b y + c = 0$ , variabilele $x$ și $y$ apar la fel. De aceea forma cu determinant a dreptei prin două puncte, pe care o studiezi la lecția Ecuația dreptei determinate de două puncte, produce în mod natural tocmai un triplet $(a, b, c)$ .

Al treilea, cerințele lecțiilor viitoare: poziția relativă a două drepte se decide rezolvând sistemul format din cele două ecuații generale, iar formula distanței de la un punct la o dreaptă, de la lecția Distanța de la un punct la o dreaptă, cere ca dreapta să fie scrisă obligatoriu sub forma generală înainte de a fi aplicată. Cine lucrează numai cu forma explicită va trebui, la fiecare exercițiu, să convertească — deci mai bine învață conversia acum.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Din generală în explicită

Enunț. Scrieți dreapta $d : 4 x + 3 y - 24 = 0$ sub formă explicită și precizați panta și ordonata la origine.

Rezolvare. Izolăm pe $y$ : $3 y = - 4 x + 24$ , deci $y = - \frac{4}{3} x + 8$ . Prin urmare $m = - \frac{4}{3}$ și $n = 8$ .

Verificare pe două puncte: pentru $x = 0$ , $y = 8$ , iar $0 + 24 - 24 = 0$ ✓; pentru $x = 3$ , $y = - 4 + 8 = 4$ , iar $12 + 12 - 24 = 0$ ✓.

Exemplul 2 — Din explicită în generală, cu coeficienți întregi

Enunț. Scrieți sub formă generală, cu coeficienți întregi, dreapta $y = \frac{5}{2} x - 4$ .

Rezolvare. Trecem totul în stânga: $\frac{5}{2} x - y - 4 = 0$ . Înmulțim cu $2$ : $5 x - 2 y - 8 = 0$ .

Verificare: $(0, - 4)$ dă $0 + 8 - 8 = 0$ ✓; $(2, 1)$ dă $10 - 2 - 8 = 0$ ✓.

Exemplul 3 — Poziția, citită din coeficienți

Enunț. Precizați poziția fiecărei drepte față de axe: $d_{1} : 2 x - 7 = 0$ ; $d_{2} : 3 y + 9 = 0$ ; $d_{3} : x - y = 0$ ; $d_{4} : 5 x + 2 y - 10 = 0$ .

Rezolvare. La $d_{1}$ , $b = 0$ : verticală, $x = \frac{7}{2}$ , fără pantă. La $d_{2}$ , $a = 0$ : orizontală, $y = - 3$ , panta $0$ . La $d_{3}$ , $c = 0$ : trece prin origine, panta $- \frac{1}{- 1} = 1$ — este prima bisectoare. La $d_{4}$ : oblică, panta $- \frac{5}{2}$ , iar $c \neq = 0$ , deci nu trece prin origine.

Exemplul 4 — Apartenență și parametru

Enunț. a) Verificați dacă $P (3, - 2)$ aparține dreptei $x - y - 5 = 0$ . b) Determinați $a$ astfel încât dreapta $a x + 4 y - 12 = 0$ să treacă prin $N (- 2, 5)$ .

Rezolvare. a) Substituim: $3 - (- 2) - 5 = 3 + 2 - 5 = 0$ , deci $P$ aparține dreptei.

b) Substituim coordonatele lui $N$ : $- 2 a + 20 - 12 = 0$ , deci $2 a = 8$ și $a = 4$ . Verificare: $4 x + 4 y - 12 = 0$ conține $N$ , căci $- 8 + 20 - 12 = 0$ ✓, și conține $(3, 0)$ , căci $12 + 0 - 12 = 0$ ✓.

Exemplul 5 — Aceeași dreaptă sau nu?

Enunț. Stabiliți care dintre ecuațiile $2 x - 3 y + 4 = 0$ , $6 x - 9 y + 12 = 0$ și $2 x - 3 y + 8 = 0$ reprezintă aceeași dreaptă.

Rezolvare. Comparăm tripletele. Trecerea de la $(2, - 3, 4)$ la $(6, - 9, 12)$ se face înmulțind cu $3$ — toți trei coeficienții — deci primele două ecuații descriu aceeași dreaptă.

Al treilea triplet, $(2, - 3, 8)$ , are aceiași $a$ și $b$ , dar $8 \neq = 4$ ; nu există niciun număr $k$ cu $2 k = 2$ , $- 3 k = - 3$ și $4 k = 8$ simultan (primele două cer $k = 1$ , a treia cere $k = 2$ ). Deci a treia ecuație descrie o altă dreaptă. Verificare directă: punctul $(1, 2)$ verifică prima ecuație ( $2 - 6 + 4 = 0$ ✓), dar nu și pe a treia ( $2 - 6 + 8 = 4 \neq = 0$ ).

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Enunț. Se consideră dreapta $d : 2 x - 5 y + 10 = 0$ . a) Determinați panta și ordonata la origine. b) Determinați coordonatele punctelor de intersecție ale lui $d$ cu axele de coordonate. c) Verificați dacă punctul $E (10, 6)$ aparține dreptei $d$ .

Rezolvare. a) Izolăm pe $y$ : $5 y = 2 x + 10$ , deci $y = \frac{2}{5} x + 2$ . Așadar $m = \frac{2}{5}$ și $n = 2$ .

b) Cu $O x$ : punem $y = 0$ și obținem $2 x + 10 = 0$ , deci $x = - 5$ ; punctul este $A (- 5, 0)$ . Cu $O y$ : punem $x = 0$ și obținem $- 5 y + 10 = 0$ , deci $y = 2$ ; punctul este $B (0, 2)$ — coincide, cum era de așteptat, cu ordonata la origine.

c) Substituim: $2 \cdot 10 - 5 \cdot 6 + 10 = 20 - 30 + 10 = 0$ , deci $E \in d$ .

Să exersăm

1. Scrieți sub formă generală dreapta $y = 3 x - 7$ .

2. Scrieți sub formă explicită dreapta $4 x + 3 y - 24 = 0$ și precizați panta.

3. Precizați poziția față de axe a dreptelor: a) $2 x - 7 = 0$ ; b) $3 y + 9 = 0$ ; c) $x - y = 0$ ; d) $5 x + 2 y - 10 = 0$ .

4. Verificați dacă punctul $P (3, - 2)$ aparține dreptei $x - y - 5 = 0$ .

5. Determinați $a \in R$ astfel încât dreapta $a x + 4 y - 12 = 0$ să treacă prin punctul $N (- 2, 5)$ .

6. Determinați intersecțiile cu axele ale dreptei $5 x - 2 y - 8 = 0$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Orice dreaptă din plan poate fi scrisă sub forma $y = m x + n$ .

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) Ecuațiile $2 x - 3 y + 4 = 0$ și $6 x - 9 y + 12 = 0$ reprezintă aceeași dreaptă.

9. Determinați panta dreptei $7 x + 2 y = 0$ și precizați un punct al ei diferit de origine.

10. Scrieți sub formă generală, cu coeficienți întregi, dreapta $y = \frac{5}{2} x - 4$ .

11. Pe dreapta $3 x + 4 y - 10 = 0$ , aflați ordonata punctului de abscisă $- 2$ .

12. Pentru ce valoare a lui $b$ dreapta $6 x + b y - 18 = 0$ este verticală? Scrieți atunci ecuația ei sub forma $x = k$ .

13. (Problemă aplicată.) Nivelul apei dintr-un rezervor, măsurat în centimetri după $x$ minute de golire, satisface relația $3 x + 2 y - 120 = 0$ . Care era nivelul inițial? După câte minute se golește rezervorul? Cu câți centimetri scade nivelul în fiecare minut?

14. Determinați $c \in R$ astfel încât dreapta $2 x - 3 y + c = 0$ să treacă prin origine.

15. Scrieți ecuația generală a dreptei paralele cu $O y$ care trece prin $(- 5, 3)$ , apoi pe cea a dreptei paralele cu $O x$ care trece prin același punct.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră dreapta $d : 3 x - y + 6 = 0$ . a) Determinați panta și ordonata la origine. b) Aflați intersecțiile lui $d$ cu axele. c) Verificați dacă $E (1, 9)$ aparține lui $d$ .

17. Aduceți la forma generală cu coeficienți întregi ecuația $\frac{x}{3} - \frac{y}{4} + 1 = 0$ .

18. (Provocare.) Arătați că dreapta $a x + b y + c = 0$ trece prin origine dacă și numai dacă $c = 0$ . Deduceți forma generală a tuturor dreptelor care trec prin origine și explicați de ce printre ele se află și o dreaptă fără pantă.

Răspunsuri și explicații

1. Trecem totul în stânga: $3 x - y - 7 = 0$ . Verificare pe $(1, - 4)$ : $3 + 4 - 7 = 0$ ✓ și pe $(3, 2)$ : $9 - 2 - 7 = 0$ ✓.

2. $3 y = - 4 x + 24$ , deci $y = - \frac{4}{3} x + 8$ ; panta este $m = - \frac{4}{3}$ , ordonata la origine $n = 8$ .

3. a) $b = 0$ : verticală, $x = \frac{7}{2}$ , fără pantă. b) $a = 0$ : orizontală, $y = - 3$ , panta $0$ . c) $c = 0$ : trece prin origine, panta $1$ (prima bisectoare). d) oblică, panta $- \frac{5}{2}$ , nu trece prin origine.

4. $3 - (- 2) - 5 = 0$ , deci da, punctul aparține dreptei.

5. $- 2 a + 4 \cdot 5 - 12 = 0 \Rightarrow - 2 a + 8 = 0 \Rightarrow a = 4$ . Verificare: $4 (- 2) + 4 \cdot 5 - 12 = - 8 + 20 - 12 = 0$ ✓.

6. Cu $O x$ ( $y = 0$ ): $5 x - 8 = 0$ , deci $(\frac{8}{5}, 0)$ . Cu $O y$ ( $x = 0$ ): $- 2 y - 8 = 0$ , deci $(0, - 4)$ .

7. Fals. Dreptele verticale, de ecuație $x = k$ , nu pot fi scrise sub această formă, pentru că unei abscise îi corespund toate ordonatele. Ele nu au pantă, fiindcă $tg 9 0^{\circ}$ nu există.

8. Adevărat. Al doilea triplet este primul înmulțit cu $3$ : $(6, - 9, 12) = 3 \cdot (2, - 3, 4)$ , iar înmulțirea cu un număr nenul nu schimbă mulțimea soluțiilor.

9. $2 y = - 7 x$ , deci $y = - \frac{7}{2} x$ și $m = - \frac{7}{2}$ . Cum $c = 0$ , dreapta trece prin origine; un alt punct al ei este $(2, - 7)$ , fiindcă $14 - 14 = 0$ ✓.

10. $\frac{5}{2} x - y - 4 = 0$ , înmulțit cu $2$ : $5 x - 2 y - 8 = 0$ . Verificare pe $(4, 6)$ : $20 - 12 - 8 = 0$ ✓.

11. $3 (- 2) + 4 y - 10 = 0 \Rightarrow 4 y = 16 \Rightarrow y = 4$ . Punctul este $(- 2, 4)$ .

12. Dreapta este verticală exact când coeficientul lui $y$ se anulează, deci $b = 0$ . Ecuația devine $6 x - 18 = 0$ , adică $x = 3$ .

13. Nivelul inițial: punem $x = 0$ și obținem $2 y = 120$ , deci $y = 60$ cm. Rezervorul se golește când $y = 0$ : $3 x = 120$ , deci $x = 40$ de minute. Panta este $m = - \frac{3}{2}$ , deci nivelul scade cu $1, 5$ cm pe minut. Verificare la jumătatea intervalului: pentru $x = 20$ ar trebui $y = 30$ , iar $60 + 60 - 120 = 0$ ✓.

14. Originea $O (0, 0)$ dă $c = 0$ . (Este cazul general din tabelul secțiunii $4$ .)

15. Paralela cu $O y$ este verticală, deci de forma $x = k$ ; trecând prin $(- 5, 3)$ , avem $k = - 5$ și ecuația generală $x + 5 = 0$ . Paralela cu $O x$ este orizontală, $y = 3$ , adică $y - 3 = 0$ .

16. a) $y = 3 x + 6$ , deci $m = 3$ și $n = 6$ . b) Cu $O x$ : $3 x + 6 = 0 \Rightarrow x = - 2$ , punctul $(- 2, 0)$ ; cu $O y$ : $- y + 6 = 0 \Rightarrow y = 6$ , punctul $(0, 6)$ . c) $3 \cdot 1 - 9 + 6 = 0$ , deci $E$ aparține dreptei ✓.

17. Înmulțim cu $12$ (numitorul comun): $4 x - 3 y + 12 = 0$ . Verificare pe $(3, 8)$ : $12 - 24 + 12 = 0$ ✓ și pe $(- 3, 0)$ : $- 12 + 12 = 0$ ✓.

18. Originea aparține dreptei dacă și numai dacă $a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = 0$ , adică exact $c = 0$ . Deci dreptele prin origine sunt cele de ecuație $a x + b y = 0$ , cu $(a, b) \neq = (0, 0)$ . Printre ele se află și cazul $b = 0$ , care dă $a x = 0$ , adică $x = 0$ — axa $O y$ , o dreaptă verticală, deci fără pantă. Aceasta arată încă o dată de ce forma generală e necesară: familia „drepte prin origine" nu poate fi descrisă complet prin $y = m x$ .

De reținut

Ecuația generală este $a x + b y + c = 0$ , cu $a$ și $b$ nu simultan nule; orice dreaptă din plan are o astfel de ecuație și orice astfel de ecuație descrie o dreaptă.
Când $b \neq = 0$ , panta este $m = - \frac{a}{b}$ , iar ordonata la origine este $n = - \frac{c}{b}$ — cu semnul minus în ambele.
$b = 0$ înseamnă dreaptă verticală $x = - \frac{c}{a}$ , fără pantă; $a = 0$ înseamnă dreaptă orizontală cu panta $0$ ; $c = 0$ înseamnă dreaptă prin origine.
Ecuația generală nu este unică: două ecuații descriu aceeași dreaptă exact când tripletele lor $(a, b, c)$ sunt proporționale, cu factor nenul.
Un punct aparține dreptei dacă și numai dacă substituția coordonatelor lui anulează membrul stâng; intersecțiile cu axele se află punând, pe rând, $y = 0$ și $x = 0$ .

Greșeli frecvente

Panta luată fără semn. Din $3 x - 4 y + 12 = 0$ se scrie „ $m = \frac{3}{4}$ pentru că $a = 3$ , $b = - 4$ " — din întâmplare corect aici, dar din $3 x + 4 y + 12 = 0$ același raționament dă $\frac{3}{4}$ în loc de $- \frac{3}{4}$ . Corect: $m = - \frac{a}{b}$ ; la orice îndoială, izolează efectiv pe $y$ .
Aplicarea formulei pantei când $b = 0$ . Pe $2 x - 6 = 0$ se scrie $m = - \frac{2}{0}$ . Corect: verifici întâi dacă $b = 0$ ; dacă da, dreapta e verticală și nu are pantă (nu spui „pantă infinită").
Compararea a doar doi coeficienți. Din faptul că $2 x - 3 y + 4 = 0$ și $2 x - 3 y + 8 = 0$ au aceiași $a$ și $b$ se conchide că sunt aceeași dreaptă. Corect: proporționalitatea trebuie să fie a întregului triplet, termenul liber inclus.
Uitarea condiției $(a, b) \neq = (0, 0)$ . Se acceptă „ecuația" $0 \cdot x + 0 \cdot y + 5 = 0$ ca dreaptă. Corect: ea nu are nicio soluție; fără condiție, teorema din secțiunea $2$ ar fi falsă.
Confundarea lui $c$ cu ordonata la origine. Din $3 x - 4 y + 12 = 0$ se citește „ $n = 12$ ". Corect: $n = - \frac{c}{b} = - \frac{12}{- 4} = 3$ ; ordonata la origine se obține punând $x = 0$ și rezolvând, nu citind direct pe $c$ .

Aplică acasă

Harta orașului tău. Deschide o hartă și alege o stradă lungă și dreaptă. Așază mental un reper cu originea într-o intersecție cunoscută și citește coordonatele aproximative (în sute de metri) a două puncte de pe stradă. Scrie apoi ecuația generală a străzii, cu coeficienți întregi, și verifică prin substituție că ambele puncte o satisfac.
Rampa de acces. Măsoară cu ruleta lungimea orizontală și înălțimea unei rampe sau a unei scări din apropiere. Scrie ecuația generală a dreptei care descrie profilul ei, luând originea la baza rampei, și determină unde ar ajunge rampa dacă ar fi prelungită cu încă doi metri pe orizontală.
Consumul telefonului. Notează procentul bateriei la fiecare $15$ minute, timp de o oră. Dacă punctele obținute par să stea pe o dreaptă, scrie-i ecuația sub formă generală și folosește-o pentru a estima după câte minute bateria ar ajunge la $0%$ .

Pentru părinți și profesori

Ce verifică lecția. Stăpânirea celei mai generale scrieri a unei drepte în plan și capacitatea de a naviga liber între formele ecuației. Competențele vizate sunt XI.CS.1.3 (identificarea elementelor caracteristice dreptelor), XI.CS.2.3 (obținerea ecuației unei drepte, cu relațiile dintre coeficienți, puncte și pante) și XI.CS.4.3 (exprimarea în limbaj matematic a relațiilor geometrice).

Întrebări de control. „De ce se cere ca $a$ și $b$ să nu fie simultan nule?"; „Care e panta dreptei $5 x + 2 y - 3 = 0$ ?" (răspuns: $- \frac{5}{2}$ ); „Ce înseamnă geometric $c = 0$ ?"; „Dacă înmulțesc toată ecuația cu $- 4$ , se schimbă dreapta?".

Semne că a înțeles. Elevul verifică din reflex dacă $b = 0$ înainte de a calcula panta; scrie sistematic $m = - \frac{a}{b}$ cu minus; verifică rezultatele prin substituție, nu doar prin recitirea calculului; și nu confundă termenul liber $c$ cu ordonata la origine $n$ .

Unde apare la BAC M1. Foarte des, ca prim pas al unui exercițiu mai lung: se dă o dreaptă sub formă generală și se cere panta, o intersecție cu axele sau verificarea apartenenței unui punct. Forma generală este apoi obligatorie la formula distanței de la un punct la o dreaptă și utilă la discuția poziției relative a două drepte. Un elev care ezită la conversia dintre forme pierde timp la fiecare astfel de subiect.

Întrebări frecvente

Ce este ecuația generală a unei drepte? Este scrierea $a x + b y + c = 0$ , în care $a$ și $b$ nu sunt amândoi nuli. Punctele planului ale căror coordonate verifică această egalitate formează exact o dreaptă, iar orice dreaptă poate fi scrisă astfel.

Cum aflu panta din ecuația generală? Dacă $b \neq = 0$ , panta este $m = - \frac{a}{b}$ . Dacă $b = 0$ , dreapta este verticală și nu are pantă. Cel mai sigur procedeu, când nu ești sigur de semn, este să izolezi efectiv pe $y$ din ecuație.

De ce nu poate fi scrisă o dreaptă verticală sub forma $y = m x + n$ ? Pentru că o astfel de scriere atribuie fiecărei abscise o singură ordonată, în timp ce pe o verticală aceleiași abscise îi corespund toate ordonatele. Din același motiv, verticala nu este graficul unei funcții.

Două ecuații diferite pot descrie aceeași dreaptă? Da, dacă una se obține din cealaltă prin înmulțire cu un număr nenul. De exemplu $2 x - 3 y + 4 = 0$ și $6 x - 9 y + 12 = 0$ sunt aceeași dreaptă. Proporționalitatea trebuie să fie a tuturor celor trei coeficienți.

Cum verific dacă un punct aparține unei drepte date prin ecuația generală? Înlocuiești coordonatele punctului în membrul stâng. Dacă obții $0$ , punctul aparține dreptei; dacă obții orice altă valoare, nu aparține.

Cum aflu unde taie o dreaptă axele de coordonate? Pui $y = 0$ și rezolvi în $x$ pentru intersecția cu $O x$ ; pui $x = 0$ și rezolvi în $y$ pentru intersecția cu $O y$ . Dacă $c = 0$ , ambele intersecții sunt originea.

Ce înseamnă că termenul liber este zero? Înseamnă că dreapta trece prin originea reperului, pentru că substituind $x = 0$ și $y = 0$ obții tocmai $c = 0$ .

De ce se cere adesea forma cu coeficienți întregi? Pentru că ecuația generală nu e unică și e nevoie de un reprezentant standard, ușor de comparat cu altele. Se înmulțește cu numitorul comun și se simplifică prin factorul comun al coeficienților; dreapta rămâne aceeași.