Ecuația Hamilton-Cayley: pe scurt

Urma unei matrice pătratice este suma elementelor de pe diagonala principală: $\mathrm{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$. Se calculează fără nicio înmulțire și este liniară: $\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(B)$ și $\mathrm{tr}(\alpha A)=\alpha \mathrm{tr}(A)$. Mai verifică $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$, chiar dacă $AB\ne BA$ — dar nu este adevărat că $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)$; aici urma nu se poartă ca determinantul.

Teorema Hamilton-Cayley (ordinul 2). Pentru orice $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$, $$A^2-\mathrm{tr}(A)A+(\det A)I_2=O_2.$$ Se reține exact așa: pătratul, minus urma ori matricea, plus determinantul ori matricea unitate, dă matricea nulă. Forma de lucru este $A^2=\mathrm{tr}(A)A-(\det A)I_2$. Atenție: ultimul termen este $(\det A)I_2$, o matrice, nu numărul $\det A$.

Prima consecință. Dacă $\det A\ne 0$, atunci $A^{-1}=\frac{1}{\det A}(\mathrm{tr}(A)I_2-A)$ — nu o metodă nouă, ci vechea formulă cu adjuncta, pentru că la ordinul $2$ avem $A^{\ast }=\mathrm{tr}(A)I_2-A$.

A doua consecință — coborârea gradului. Orice putere se scrie $A^n=x_{n}A+y_n{I}_2$, cu $x_{n+1}=\mathrm{tr}(A)x_n-\det A\cdot x_{n-1}$, $x_1=1$, $x_2=\mathrm{tr}(A)$ și $y_n=-\det A\cdot x_{n-1}$. În loc de patru numere urmărești două.

Trei cazuri se prăbușesc într-o linie: dacă $\mathrm{tr}(A)=0$, atunci $A^2=-(\det A)I_2$; dacă $\det A=0$, atunci $A^n=(\mathrm{tr}(A){)}^{n-1}A$; dacă amândouă sunt nule, $A^2=O_2$ (matrice nilpotentă). Uită-te la cele două numere înainte de a porni recurența.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care este ecuația Hamilton-Cayley a matricei $A=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ 4& -1\end{array}\right)$?

   • a) $A^2-4A-3I_2=O_2$
   • b) $A^2-4A+3I_2=O_2$
   • c) $A^2+4A+3I_2=O_2$
   • d) $A^2-3A+4I_2=O_2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $A^2-4A+3I_2=O_2$

   Cele două numere: $\mathrm{tr}(A)=5+(-1)=4$ și $\det A=5\cdot (-1)-(-2)\cdot 4=-5+8=3$. Ecuația este $A^2-\mathrm{tr}(A)A+(\det A)I_2=O_2$, adică $A^2-4A+3I_2=O_2$. Varianta d) inversează rolurile: urma stă la $A$, determinantul la $I_2$, niciodată invers.

2. Fie $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu $\mathrm{tr}(A)=3$ și $\det A=2$. Cum se scrie $A^3$ în funcție de $A$ și $I_2$?

   • a) $A^3=7A-6I_2$
   • b) $A^3=9A-6I_2$
   • c) $A^3=3A-2I_2$
   • d) $A^3=27A-8I_2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $A^3=7A-6I_2$

   Din ecuație, $A^2=3A-2I_2$. Înmulțim cu $A$: $A^3=3A^2-2A$, apoi înlocuim din nou $A^2$: $A^3=3(3A-2I_2)-2A=9A-6I_2-2A=7A-6I_2$. Control pe $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$, care are urma $3$ și determinantul $2$: $A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 8\end{array}\right)$, exact cât dă $7A-6I_2$. Varianta d) ridică la cub coeficienții, ceea ce nu are nicio justificare.

3. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& -2\end{array}\right)$. Cât este $A^{2024}$?

   • a) $19^{1012}A$
   • b) $19^{2024}{I}_2$
   • c) $-19^{1012}{I}_2$
   • d) $19^{1012}{I}_2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $19^{1012}{I}_2$

   $\mathrm{tr}(A)=2+(-2)=0$ și $\det A=-4-15=-19$, deci ecuația devine $A^2=-(\det A)I_2=19I_2$. Atunci $A^{2024}=(A^2{)}^{1012}=19^{1012}{I}_2$. Varianta a) ar fi răspunsul pentru un exponent impar, iar b) confundă exponentul puterii cu exponentul lui $19$.