Ecuația Hamilton-Cayley și puterile unei matrice de ordin 2

Până acum, ori de câte ori ai avut nevoie de $A^2$ ai făcut o înmulțire, iar pentru $A^3$ încă una: fiecare putere nouă cere o muncă nouă. Ar fi de mare folos o relație care să lege $A^2$ de $A$ însuși — pentru că atunci $A^3=A^2\cdot A$ s-ar reduce tot la $A$, și tot așa, la infinit.

Relația există și, pentru ordinul $2$, e uimitor de simplă: leagă $A^2$ de $A$ și de $I_2$ folosind doar două numere scoase din matrice — determinantul și un al doilea număr, numit urma, pe care îl vei defini astăzi. Poartă numele matematicienilor William Rowan Hamilton (1853) și Arthur Cayley (1858) și este, la clasa a XI-a, cea mai eficientă unealtă pentru puterile unei matrice de ordin $2$. Ai avut nevoie de determinanți ca să ajungi aici: de asta lecția vine acum, și nu în capitolul despre puteri.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi urma $\mathrm{tr}(A)$ și să-i folosești proprietățile.
• Vei ști să enunți și să demonstrezi ecuația Hamilton-Cayley pentru ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$.
• Vei ști să obții inversa unei matrice de ordin $2$ dintr-o singură scădere.
• Vei ști să cobori gradul oricărei puteri: $A^n=x_{n}A+y_n{I}_2$.
• Vei ști să deduci formula generală a lui $A^n$ dintr-o recurență de ordinul al doilea.
• Vei ști să recunoști cazurile particulare ($\mathrm{tr}(A)=0$, $\det A=0$) în care totul se rezolvă într-o linie.

Hai să descoperim împreună

1. O coincidență care cere explicație

Ia matricea $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$ și calculează-i pătratul, cu regula obișnuită de înmulțire:

$$A^2=\left(\begin{array}{cc}9-2& -3-0\\ 6+0& -2+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& -3\\ 6& -2\end{array}\right),\text{iar}3A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}9& -3\\ 6& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& -3\\ 6& -2\end{array}\right).$$

Deci $A^2=3A-2I_2$: pătratul se scrie folosind numai $A$ și $I_2$. De unde vin coeficienții? $\det A=3\cdot 0-(-1)\cdot 2=2$, iar $3$ este $3+0$, adică suma elementelor de pe diagonala principală. Coincidența nu e coincidență: relația $A^2=(a_{11}+a_{22})A-(\det A)I_2$ e adevărată pentru orice matrice de ordin $2$, iar mai jos o demonstrăm.

2. Urma unei matrice pătratice

Al doilea număr are nevoie de un nume.

Definiție. Fie $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. Se numește urma matricei $A$ suma elementelor de pe diagonala principală: $$\mathrm{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}.$$

Notația vine din englezescul trace, „urmă"; se scrie \operatorname{tr}(A). Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$ avem $\mathrm{tr}(A)=3+0=3$; apoi $\mathrm{tr}(I_2)=2$ și $\mathrm{tr}(O_2)=0$.

Spre deosebire de determinant, urma se calculează fără nicio înmulțire. Are trei proprietăți, verificabile imediat din definiție:

• aditivitate: $\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(B)$, pentru că elementul de pe poziția $(i,i)$ al sumei este $a_{ii}+b_{ii}$;
• omogenitate: $\mathrm{tr}(\alpha A)=\alpha \mathrm{tr}(A)$, pentru orice scalar $\alpha \in \mathbb{C}$;
• simetrie la produs: $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$, chiar dacă $AB\ne BA$.

Atenție la o capcană. Urma nu se poartă cu produsul așa cum se poartă determinantul: din determinantul produsului a două matrice știi că $\det (AB)=\det A\cdot \det B$, dar nu este adevărat că $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)$ — vei găsi un contraexemplu în exercițiul 4.

3. Ecuația Hamilton-Cayley: enunț și demonstrație

Teoremă (ecuația Hamilton-Cayley pentru ordinul 2). Pentru orice matrice $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ are loc egalitatea $$A^2-\mathrm{tr}(A)A+(\det A)I_2=O_2.$$

De reținut exact așa: „pătratul, minus urma ori matricea, plus determinantul ori matricea unitate, dă matricea nulă". Unii autori o numesc relația Hamilton-Cayley; e același lucru.

Demonstrație. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, cu $a,b,c,d\in \mathbb{C}$. Calculăm întâi pătratul, cu regula de înmulțire „linie pe coloană", și cei doi coeficienți, $\mathrm{tr}(A)=a+d$, $\det A=ad-bc$:

$$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab+bd\\ ca+dc& cb+d^2\end{array}\right),\mathrm{tr}(A)A=\left(\begin{array}{cc}(a+d)a& (a+d)b\\ (a+d)c& (a+d)d\end{array}\right),(\det A)I_2=\left(\begin{array}{cc}ad-bc& 0\\ 0& ad-bc\end{array}\right).$$

Adunăm cele trei matrice, element cu element. Pe poziția $(1,1)$ obținem $a^2+bc-(a+d)a+ad-bc=0$; pe poziția $(1,2)$, $ab+bd-(a+d)b=0$; pe poziția $(2,1)$, $ca+dc-(a+d)c=0$; iar pe poziția $(2,2)$,

$$cb+d^2-(a+d)d+ad-bc=cb+d^2-ad-d^2+ad-bc=0.$$

Toate cele patru elemente sunt nule, deci matricea din stânga este $O_2$. $■$

Demonstrația folosește numai definiția înmulțirii și formula determinantului de ordin $2$ — de aceea merge la fel peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$, chiar și cu elemente fracționare sau cu parametru.

Forma de lucru. În practică nu folosim egalitatea cu $O_2$, ci varianta rearanjată, care spune ce este $A^2$:

$$A^2=\mathrm{tr}(A)A-(\det A)I_2.$$

4. Prima consecință: inversa, dintr-o singură scădere

Presupunem $\det A\ne 0$, deci $A$ este inversabilă. Punem în evidență factorul comun $A$ în primii doi termeni ai ecuației și împărțim la numărul nenul $-\det A$:

$$A\cdot (A-\mathrm{tr}(A)I_2)=-(\det A)I_2⟺A\cdot \frac{1}{\det A}(\mathrm{tr}(A)I_2-A)=I_2.$$

Cum $A$ comută cu $I_2$ și cu ea însăși, aceeași egalitate are loc și înmulțind pe cealaltă parte. Prin urmare:

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}(\mathrm{tr}(A)I_2-A),\det A\ne 0.$$

Este vechea formulă, îmbrăcată altfel. Din calculul inversei cu matricea adjunctă știi că $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$. Or, pentru ordinul $2$,

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+d& 0\\ 0& a+d\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\mathrm{tr}(A)I_2-A.$$

Deci Hamilton-Cayley nu aduce o a treia metodă de inversare, ci o scurtătură de scriere pentru cea cu adjuncta: la ordinul $2$, adjuncta este chiar $\mathrm{tr}(A)I_2-A$. Practic: schimbi între ele elementele de pe diagonala principală, schimbi semnul celorlalte două, împarți la determinant.

Exemplu: pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 4\end{array}\right)$, cu $\mathrm{tr}(A)=5$ și $\det A=6$, obținem $A^{-1}=\frac{1}{6}\left(5I_2-A\right)=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -2& 1\end{array}\right)$, iar verificarea dă $\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -2& 1\end{array}\right)=6I_2$ ✓.

5. A doua consecință: coborârea gradului

Ecuația spune că $A^2$ se exprimă cu $A$ și $I_2$. Înmulțind cu $A$, obținem $A^3=\mathrm{tr}(A)A^2-(\det A)A$, iar în $A^2$ înlocuim din nou. Repetând, ajungem la:

Consecință (coborârea gradului). Pentru orice $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ și orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ există numerele $x_n,y_n\in \mathbb{C}$ astfel încât $$A^n=x_{n}A+y_n{I}_2.$$

Oricât de mare ar fi $n$, matricea $A^n$ nu „scapă" din familia combinațiilor dintre $A$ și $I_2$. Aici e toată puterea metodei: în loc de patru numere care se schimbă la fiecare pas, urmărești două.

Justificarea se face prin inducție matematică. Pentru $n=1$ luăm $x_1=1$, $y_1=0$; presupunem $A^n=x_{n}A+y_n{I}_2$ și înmulțim cu $A$, notând $t=\mathrm{tr}(A)$, $d=\det A$:

$$A^{n+1}=(x_{n}A+y_n{I}_2)A=x_n{A}^2+y_{n}A=x_n(tA-d{I}_2)+y_{n}A=(t{x}_n+y_n)A-d{x}_n{I}_2.$$

Identificând, obținem recurențele $x_{n+1}=t{x}_n+y_n$ și $y_{n+1}=-d{x}_n$, cu $x_1=1$, $y_1=0$. Cu ele, orice putere se calculează pas cu pas, doar cu numere.

6. O singură recurență, de ordinul al doilea

Cele două șiruri se pot uni într-unul singur: din a doua relație, $y_n=-d{x}_{n-1}$ (pentru $n\ge 2$), iar înlocuind în prima obținem

$$x_{n+1}=t{x}_n-d{x}_{n-1},x_1=1,x_2=t.$$

Rămâne o recurență liniară de ordinul al doilea, exact tipul întâlnit la ridicarea la putere cu ajutorul șirurilor recurente — cu deosebirea că acolo trebuia să ghicești forma lui $A^n$, pe când aici ecuația ți-o dă. Rațiile ies din $r^2-\mathrm{tr}(A)r+\det A=0$: e ecuația Hamilton-Cayley cu numărul $r$ în locul matricei $A$, de aceea i se spune ecuația caracteristică.

Exemplu complet. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$ avem $t=3$, $d=2$, deci $x_{n+1}=3x_n-2x_{n-1}$, cu $x_1=1$, $x_2=3$. Ecuația caracteristică $r^2-3r+2=0$ are rădăcinile $1$ și $2$, deci $x_n=\alpha +\beta \cdot 2^n$; din $\alpha +2\beta =1$ și $\alpha +4\beta =3$ iese $x_n=2^n-1$, iar $y_n=-2x_{n-1}=2-2^n$. Prin urmare $A^n=(2^n-1)A+(2-2^n)I_2$, adică

$$A^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^{n+1}-1& 1-2^n\\ 2^{n+1}-2& 2-2^n\end{array}\right),n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

Control rapid: pentru $n=1$ formula dă $\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$ ✓, iar pentru $n=2$ dă $\left(\begin{array}{cc}7& -3\\ 6& -2\end{array}\right)$ — exact matricea calculată la începutul lecției ✓.

7. Trei cazuri în care totul se prăbușește într-o linie

Înainte de a porni recurența, uită-te la cele două numere: de multe ori nu mai e nevoie de ea.

Cazul $\mathrm{tr}(A)=0$. Ecuația devine $A^2=-(\det A)I_2$: pătratul este un multiplu al matricei unitate, deci toate puterile se citesc imediat. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$, cu $\mathrm{tr}(A)=0$ și $\det A=-7$, avem $A^2=7I_2$, deci $A^{2k}=7^k{I}_2$ și $A^{2k+1}=7^{k}A$, pentru orice $k\in \mathbb{N}$.

Cazul $\det A=0$. Ecuația devine $A^2=\mathrm{tr}(A)A$, deci fiecare înmulțire cu $A$ doar adaugă un factor $\mathrm{tr}(A)$, adică $A^n=(\mathrm{tr}(A){)}^{n-1}A$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$, cu $\mathrm{tr}(A)=5$ și $\det A=0$, avem $A^n=5^{n-1}A$.

Cazul $\mathrm{tr}(A)=0$ și $\det A=0$. Atunci $A^2=O_2$, deși $A$ însăși poate fi nenulă — o matrice numită nilpotentă, de exemplu $A=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 1& -2\end{array}\right)$. Consecința utilă: $A^n=O_2$ pentru orice $n\ge 2$, iar puterile matricei $I_2+A$ se scriu foarte simplu, $(I_2+A{)}^n=I_2+nA$.

8. Ce nu spune ecuația și cât de departe merge

Nu confunda urma cu determinantul. Urma se adună, determinantul se înmulțește. Matricele $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ au toate urma $5$, dar determinanții $4$, $4$ și $0$ — deci ecuații Hamilton-Cayley diferite. Doar perechea $(\mathrm{tr}(A),\det A)$ determină ecuația.

Ecuația nu spune că $A$ este un număr. Din $A^2-tA+d{I}_2=O_2$ nu rezultă $A=t$ sau ceva asemănător. În particular, ultimul termen este $d{I}_2$, nu $d$: a scrie $A^2-\mathrm{tr}(A)A+\det A=O_2$ înseamnă a aduna un număr cu o matrice.

Ordinul 3 și mai departe. Există o relație analogă pentru orice ordin, dar la ordinul $3$ ea are alți coeficienți și nu intră în cerințele de Bacalaureat M1. La clasa a XI-a folosim numai varianta de ordin $2$; pentru matricele mai mari rămân celelalte metode, comparate în Cum alegi metoda de ridicare la putere.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea directă a ecuației

Verificați ecuația Hamilton-Cayley pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$.

Rezolvare. Calculăm cele două numere: $\mathrm{tr}(A)=2+2=4$ și $\det A=4-3=1$. Apoi pătratul:

$$A^2=\left(\begin{array}{cc}4+3& 2+2\\ 6+6& 3+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 4\\ 12& 7\end{array}\right).$$

Înlocuim în membrul stâng al ecuației:

$$A^2-4A+1\cdot I_2=\left(\begin{array}{cc}7& 4\\ 12& 7\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 12& 8\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=O_2.✓$$

Exemplul 2 — Inversa în două rânduri

Determinați $A^{-1}$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$, folosind ecuația Hamilton-Cayley.

Rezolvare. Avem $\mathrm{tr}(A)=3$ și $\det A=2\ne 0$, deci $A$ este inversabilă. Aplicăm formula:

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}(\mathrm{tr}(A)I_2-A)=\frac{1}{2}\left(\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 0\end{array}\right)\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& 3\end{array}\right).$$

Verificare obligatorie, pe ambele părți: $A\cdot \frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& 3\end{array}\right)=\frac{1}{2}\cdot 2I_2=I_2$ ✓, la fel în ordinea inversă.

Exemplul 3 — Formula generală a lui $A^n$

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$. Determinați $A^n$, pentru $n \in \mathbb{N}^{}$.*

Rezolvare. $\mathrm{tr}(A)=4$, $\det A=4-1=3$, deci $A^2=4A-3I_2$. Scriem $A^n=x_{n}A+y_n{I}_2$, cu $x_{n+1}=4x_n-3x_{n-1}$, $x_1=1$, $x_2=4$ și $y_n=-3x_{n-1}$. Ecuația caracteristică $r^2-4r+3=0$ are rădăcinile $1$ și $3$, deci $x_n=\alpha +\beta \cdot 3^n$; din $\alpha +3\beta =1$ și $\alpha +9\beta =4$ rezultă $\beta =\frac{1}{2}$, $\alpha =-\frac{1}{2}$, adică

$$x_n=\frac{3^n-1}{2},y_n=-3\cdot \frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3-3^n}{2},A^n=\frac{3^n-1}{2}A+\frac{3-3^n}{2}{I}_2.$$

Pe elemente, $A^n=\left(\begin{array}{cc}\frac{3^n+1}{2}& \frac{3^n-1}{2}\\ \frac{3^n-1}{2}& \frac{3^n+1}{2}\end{array}\right)$. Control: pentru $n=1$ obținem $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ ✓, iar pentru $n=2$, $\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$, exact cât dă înmulțirea directă ✓.

Exemplul 4 — Când urma este zero

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$. Calculați $A^{2026}$ și $A^{2027}$.

Rezolvare. $\mathrm{tr}(A)=1+(-1)=0$ și $\det A=-1-6=-7$. Ecuația devine $A^2-0\cdot A-7I_2=O_2$, deci

$$A^2=7I_2.$$

De aici, $A^{2026}={\left(A^2\right)}^{1013}=7^{1013}{I}_2$, iar $A^{2027}=A^{2026}\cdot A=7^{1013}A$. Toată problema s-a redus la o singură înmulțire de verificare: $A^2=\left(\begin{array}{cc}1+6& 2-2\\ 3-3& 6+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& 7\end{array}\right)$ ✓.

Exemplul 5 — Când determinantul este zero

Arătați că, pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$, are loc $A^n=5^{n-1}A$, oricare ar fi $n \in \mathbb{N}^{}$.*

Rezolvare. $\mathrm{tr}(A)=5$, $\det A=4-4=0$, deci ecuația Hamilton-Cayley dă direct $A^2=5A$. Demonstrăm formula prin inducție: pentru $n=1$, $5^{0}A=A$ ✓; presupunând $A^n=5^{n-1}A$ și înmulțind cu $A$, obținem $A^{n+1}=5^{n-1}{A}^2=5^{n-1}\cdot 5A=5^{n}A$, adică exact formula pentru $n+1$. $■$

Observă efectul: matricea nu este inversabilă, iar puterile ei rămân, toate, multipli ai lui $A$ — nu se apropie niciodată de $I_2$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ 1& -1\end{array}\right)$. a) Calculați $\mathrm{tr}(A)$ și $\det A$ și scrieți ecuația Hamilton-Cayley a matricei $A$. b) Arătați că ${\left(A-I_2\right)}^2=O_2$. c) Demonstrați că $A^n=I_2+n\left(A-I_2\right)$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{}$,șicalculați$A^{10}$.*

Rezolvare. a) $\mathrm{tr}(A)=3+(-1)=2$ și $\det A=3\cdot (-1)-(-4)\cdot 1=-3+4=1$. Ecuația este

$$A^2-2A+I_2=O_2.$$

b) Membrul stâng se grupează ca un pătrat perfect, pentru că $A$ comută cu $I_2$: $A^2-2A+I_2={\left(A-I_2\right)}^2$. Deci ${\left(A-I_2\right)}^2=O_2$, ceea ce se vede și direct, cu $N=A-I_2=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 1& -2\end{array}\right)$: avem $N^2=\left(\begin{array}{cc}4-4& -8+8\\ 2-2& -4+4\end{array}\right)=O_2$ ✓.

c) Scriem $A=I_2+N$, cu $N^2=O_2$, și demonstrăm prin inducție că $A^n=I_2+nN$. Pentru $n=1$: $I_2+N=A$ ✓. Pas: presupunem $A^n=I_2+nN$; atunci $A^{n+1}=\left(I_2+nN\right)\left(I_2+N\right)=I_2+N+nN+n{N}^2=I_2+(n+1)N$, pentru că $N^2=O_2$. Pe elemente,

$$A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+n\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2n+1& -4n\\ n& 1-2n\end{array}\right),$$

de unde $A^{10}=\left(\begin{array}{cc}21& -40\\ 10& -19\end{array}\right)$. Control: $\det \left(A^{10}\right)=-399+400=1={\left(\det A\right)}^{10}$ ✓.

Să exersăm

Primul lucru pe care îl scrii sunt cele două numere: $\mathrm{tr}(A)$ și $\det A$. Abia apoi decizi ce metodă folosești.

1. Calculează $\mathrm{tr}(A)$ și $\det A$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ 2& -1\end{array}\right)$ și scrie ecuația Hamilton-Cayley.

2. Verifică prin calcul direct ecuația Hamilton-Cayley pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$.

3. Determină $A^{-1}$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 1& 1\end{array}\right)$, cu formula dedusă din ecuația Hamilton-Cayley.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice matrice $A,B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ are loc $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)$."

5. Arată că, dacă $A=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 6& -4\end{array}\right)$, atunci $A^2=-2I_2$, și calculează $A^8$.

6. Determină $A^2$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 1& 3\end{array}\right)$ cu ecuația Hamilton-Cayley, apoi scrie $A^n$.

7. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$. Arată că ${\left(A-2I_2\right)}^2=O_2$ și deduce $A^n$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\mathrm{tr}(A)=0$, atunci $A^2$ este un multiplu al matricei unitate."

9. Determină $x_3,y_3\in \mathbb{R}$ cu $A^3=x_{3}A+y_3{I}_2$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right)$.

10. Arată că matricea $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ verifică $A^2=I_2$ și precizează cât este $A^{2027}$.

11. (Problemă aplicată.) Într-o rețea de două servere, matricea de transfer a sarcinii dintr-o oră în următoarea este $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$. Folosind ecuația Hamilton-Cayley, arată că matricea de transfer după $n$ ore este $5^{n-1}A$ și explică ce înseamnă că determinantul e nul.

12. Determină $a\in \mathbb{R}$ astfel încât matricea $A=\left(\begin{array}{cc}a& 2\\ 3& -a\end{array}\right)$ să verifice $A^2=7I_2$.

13. Fie $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ cu $\mathrm{tr}(A)=5$ și $\det A=6$. Exprimă $A^3$ în funcție de $A$ și $I_2$.

14. Arată că, dacă $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ verifică $A^2=O_2$, atunci $\det A=0$ și $\mathrm{tr}(A)=0$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$. a) Scrieți ecuația Hamilton-Cayley a matricei $A$. b) Determinați $A^{-1}$. c) Demonstrați că $A^n=2^n{I}_2+n\cdot 2^{n-1}\left(A-2I_2\right)$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

16. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$. Scrie recurența șirului $\left(x_n\right)$ din $A^n=x_{n}A+y_n{I}_2$ și calculează $x_1,x_2,x_3,x_4$.

17. Determină toate matricele $A=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& b\end{array}\right)$, cu $a,b\in \mathbb{R}$, pentru care $A^2=A$.

18. (Provocare.) Folosind ecuația Hamilton-Cayley și proprietățile urmei, demonstrează că, pentru orice $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$, $$\det A=\frac{(\mathrm{tr}(A){)}^2-\mathrm{tr}\left(A^2\right)}{2}.$$ Verifică formula pe $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$.

Răspunsuri și explicații

1. $\mathrm{tr}(A)=5+(-1)=4$ și $\det A=-5+4=-1$. Ecuația este $A^2-4A-I_2=O_2$, adică $A^2=4A+I_2$.

2. $\mathrm{tr}(A)=5$, $\det A=4-6=-2$, iar $A^2=\left(\begin{array}{cc}7& 15\\ 10& 22\end{array}\right)$. Atunci $A^2-5A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}7-5-2& 15-15\\ 10-10& 22-20-2\end{array}\right)=O_2$ ✓.

3. $\mathrm{tr}(A)=5$, $\det A=4-3=1\ne 0$. Deci $A^{-1}=5I_2-A=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ -1& 4\end{array}\right)$, iar produsul $A\cdot A^{-1}$ dă $I_2$ ✓.

4. Fals. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 5& 2\end{array}\right)$ avem $AB=\left(\begin{array}{cc}10& 3\\ 20& 5\end{array}\right)$, deci $\mathrm{tr}(AB)=15$, pe când $\mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)=10$. Adevărată e egalitatea $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$: aici $BA=\left(\begin{array}{cc}-3& -4\\ 11& 18\end{array}\right)$, tot cu urma $15$.

5. $\mathrm{tr}(A)=4+(-4)=0$ și $\det A=-16+18=2$, deci ecuația devine $A^2+2I_2=O_2$, adică $A^2=-2I_2$. Calculul direct confirmă: $A^2=\left(\begin{array}{cc}16-18& -12+12\\ 24-24& -18+16\end{array}\right)=-2I_2$ ✓. Atunci $A^8={\left(A^2\right)}^4=(-2{)}^4{I}_2=16I_2$.

6. $\mathrm{tr}(A)=5$, $\det A=0$, deci $A^2=5A=\left(\begin{array}{cc}10& 30\\ 5& 15\end{array}\right)$, iar prin inducție $A^n=5^{n-1}A$.

7. $\mathrm{tr}(A)=4$, $\det A=4$, deci ${\left(A-2I_2\right)}^2=O_2$. Cu $N=A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$ și $A=2I_2+N$, $N^2=O_2$, obținem $A^n=2^n{I}_2+n{2}^{n-1}N=\left(\begin{array}{cc}{2}^n+n{2}^{n-1}& -n{2}^{n-1}\\ n{2}^{n-1}& 2^n-n{2}^{n-1}\end{array}\right)$.

8. Adevărat. Dacă $\mathrm{tr}(A)=0$, ecuația devine $A^2=-(\det A)I_2$, adică un multiplu scalar al lui $I_2$.

9. $\mathrm{tr}(A)=1$, $\det A=-2$, deci $A^2=A+2I_2$ și $A^3=A^2+2A=3A+2I_2$, adică $x_3=3$, $y_3=2$.

10. $\mathrm{tr}(A)=0$, $\det A=-1$, deci $A^2=I_2$. Cum $2027$ este impar, $A^{2027}={\left(A^2\right)}^{1013}A=A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

11. $\mathrm{tr}(A)=5$ și $\det A=0$, deci $A^2=5A$ și, prin inducție, $A^n=5^{n-1}A$: după $n$ ore, tiparul de redistribuire e același, doar amplificat de $5^{n-1}$. Determinantul nul înseamnă că matricea nu e inversabilă: din starea de după o oră nu se poate reconstitui cea de dinainte.

12. $\mathrm{tr}(A)=a+(-a)=0$ pentru orice $a$, deci ecuația Hamilton-Cayley devine $A^2=-(\det A)I_2$. Cum $\det A=-a^2-6$, obținem $A^2=\left(a^2+6\right)I_2$. Condiția $A^2=7I_2$ înseamnă $a^2+6=7$, adică $a^2=1$ și $a\in \{-1,1\}$. Verificare pentru $a=1$: ${\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right)}^2=7I_2$ ✓; la fel pentru $a=-1$ ✓.

13. $A^2=5A-6I_2$, deci $A^3=A\cdot A^2=5A^2-6A=5(5A-6I_2)-6A=19A-30I_2$.

14. Luând determinantul în $A^2=O_2$ obținem ${\left(\det A\right)}^2=0$, deci $\det A=0$. Atunci ecuația Hamilton-Cayley devine $O_2=\mathrm{tr}(A)A$. Dacă $A=O_2$, urma este evident $0$; dacă $A\ne O_2$, atunci $\mathrm{tr}(A)=0$. În ambele cazuri, $\mathrm{tr}(A)=0$.

15. a) $\mathrm{tr}(A)=4$, $\det A=4$, deci $A^2-4A+4I_2=O_2$. b) $A^{-1}=\frac{1}{4}\left(4I_2-A\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 2\end{array}\right)$; produsul cu $A$ dă $I_2$ ✓. c) Din a) avem ${\left(A-2I_2\right)}^2=O_2$; notăm $N=A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$. Prin inducție, din $A^n=2^n{I}_2+n{2}^{n-1}N$ rezultă $A^{n+1}=\left(2^n{I}_2+n{2}^{n-1}N\right)\left(2I_2+N\right)=2^{n+1}{I}_2+(n+1)2^{n}N$ ✓. Pe elemente, $A^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n{2}^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right)$.

16. $\mathrm{tr}(A)=2$, $\det A=1-4=-3$, deci $x_{n+1}=2x_n+3x_{n-1}$, cu $x_1=1$, $x_2=2$. Rezultă $x_3=7$ și $x_4=20$. (Formula închisă: $x_n=\frac{3^n-(-1{)}^n}{4}$; într-adevăr, $x_3=\frac{27+1}{4}=7$ ✓.)

17. $\mathrm{tr}(A)=a+b$, $\det A=ab$, deci condiția $A^2=A$ devine $(a+b-1)A=ab{I}_2$. Dacă am avea $a+b-1\ne 0$, ar rezulta $A=\frac{ab}{a+b-1}{I}_2$, imposibil: elementul din colțul dreapta-sus al lui $A$ este $1$, iar la un multiplu al lui $I_2$ el este nul. Rămâne $a+b=1$, membrul stâng devine $O_2$ și deci $ab=0$. Obținem $(a,b)\in \{(0,1),(1,0)\}$, adică matricele $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$, care într-adevăr verifică $A^2=A$.

18. Aplicăm urma în ecuația Hamilton-Cayley, folosind aditivitatea și omogenitatea ei: din $A^2=\mathrm{tr}(A)A-(\det A)I_2$ rezultă $\mathrm{tr}\left(A^2\right)=(\mathrm{tr}(A){)}^2-\det A\cdot \mathrm{tr}(I_2)$, iar $\mathrm{tr}(I_2)=2$ dă formula cerută. Verificare pe $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$: $\mathrm{tr}(A)=3$ și $\mathrm{tr}\left(A^2\right)=7-2=5$, deci $\frac{9-5}{2}=2=\det A$ ✓.

De reținut

• Urma este suma elementelor de pe diagonala principală: $\mathrm{tr}(A)=a_{11}+\cdots +a_{nn}$. E liniară și verifică $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$, dar nu $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)$.
• Ecuația Hamilton-Cayley pentru $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$: $A^2-\mathrm{tr}(A)A+(\det A)I_2=O_2$, adică $A^2=\mathrm{tr}(A)A-(\det A)I_2$.
• Inversa, într-un rând: dacă $\det A\ne 0$, atunci $A^{-1}=\frac{1}{\det A}(\mathrm{tr}(A)I_2-A)$ — aceeași formulă cu adjuncta, pentru că la ordinul $2$ avem $A^{\ast }=\mathrm{tr}(A)I_2-A$.
• Coborârea gradului: orice putere se scrie $A^n=x_{n}A+y_n{I}_2$, cu $x_{n+1}=\mathrm{tr}(A)x_n-\det A\cdot x_{n-1}$, $x_1=1$, $x_2=\mathrm{tr}(A)$, și $y_n=-\det A\cdot x_{n-1}$.
• Trei scurtături: $\mathrm{tr}(A)=0\Rightarrow A^2=-(\det A)I_2$; $\det A=0\Rightarrow A^n=(\mathrm{tr}(A){)}^{n-1}A$; ambele nule $\Rightarrow A^2=O_2$.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre urmă și determinant. Urma se adună ($a_{11}+a_{22}$), determinantul se înmulțește ($a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$). Scrie-le pe amândouă, etichetate, înainte de orice altceva.
• Uitarea lui $I_2$ în ultimul termen. Se scrie $(\det A)I_2$, nu $\det A$: un număr nu se adună cu o matrice. Aceeași grijă la formula inversei — acolo $\mathrm{tr}(A)$ înmulțește $I_2$, nu apare singur.
• Greșirea semnului. Ecuația are semne alternate: plus $A^2$, minus urma ori $A$, plus determinantul ori $I_2$. La rearanjarea în forma de lucru, semnul determinantului se schimbă — verifică pe un exemplu numeric mic.
• Aplicarea la ordinul 3. Formula $A^2-\mathrm{tr}(A)A+(\det A)I_3=O_3$ este falsă: la ordinul $3$ relația analogă începe cu $A^3$ și are alți coeficienți. Folosește ecuația numai pentru ${\mathcal{M}}_2$.
• Oprirea la $x_n$ fără $y_n$. Dacă scrii $A^n=x_{n}A$, ai pierdut jumătate din răspuns: termenul $y_n{I}_2$ dispare doar când $\det A=0$, altfel se calculează cu $y_n=-\det A\cdot x_{n-1}$.

Aplică acasă

1. Colecția de perechi. Scrie zece matrice de ordin $2$ cu elemente între $-3$ și $3$ și, pentru fiecare, perechea $(\mathrm{tr}(A),\det A)$. Grupează-le: urmă nulă, determinant nul, amândouă nule, niciunul.

2. Testul de o secundă. Ia matricea unui prieten, calculează-i urma și determinantul și spune-i, fără nicio înmulțire, cât e $A^2$ scris ca $\alpha A+\beta I_2$; lasă-l pe el să verifice prin înmulțire directă.

3. Dobânda pe două conturi. Modelează cu o matrice de ordin $2$ mutarea banilor între două conturi de la o lună la alta. Calculează matricea după $n$ luni cu ecuația Hamilton-Cayley și compară, pentru $n=3$, cu trei înmulțiri succesive.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce urma unei matrice — noțiune nouă, care apare aici pentru prima dată în tot parcursul — și ecuația Hamilton-Cayley pentru ordinul $2$, listată explicit de sugestiile metodologice ale programei printre metodele de ridicare la putere a unei matrice pătratice.

Are trei straturi: verificarea pe o matrice concretă, demonstrația (calcul direct pe $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$) și folosirea (inversa, puterile). Elevii care sar peste al doilea greșesc semnele, pentru că memorează o formulă în loc să o reconstruiască.

De verificat în caiet: (1) urma și determinantul sunt scrise separat și etichetate, înainte de orice calcul; (2) ultimul termen conține $I_2$; (3) când se cere $A^n$, apar ambele șiruri, $x_n$ și $y_n$; (4) rezultatul se controlează pe $n=1$ și $n=2$. Întrebări de control: „Ce este urma unei matrice?"; „Scrie ecuația Hamilton-Cayley pentru ordinul $2$"; „Ce se întâmplă dacă urma este zero?"; „Poți folosi ecuația pentru o matrice de ordin $3$?".

La BAC M1, tema apare aproape întotdeauna în același tipar: se dă o matrice de ordin $2$, se cere verificarea unei relații de forma $A^2=\alpha A+\beta I_2$, apoi inversa sau o formulă pentru $A^n$ demonstrată prin inducție. Semn că elevul a înțeles: privește întâi perechea $(\mathrm{tr}(A),\det A)$ și abia apoi decide dacă are nevoie de recurență.

Întrebări frecvente

Ce este urma unei matrice? Suma elementelor de pe diagonala principală, notată $\mathrm{tr}(A)$. Pentru $\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$ urma este $3$. Se calculează fără nicio înmulțire și, împreună cu determinantul, formează perechea care determină ecuația Hamilton-Cayley.

Cum se scrie ecuația Hamilton-Cayley pentru o matrice de ordin 2? $A^2-\mathrm{tr}(A)A+(\det A)I_2=O_2$, adică, în forma de lucru, $A^2=\mathrm{tr}(A)A-(\det A)I_2$. Ultimul termen conține obligatoriu $I_2$, pentru că determinantul este un număr, iar un număr nu se adună cu o matrice.

Cum se demonstrează ecuația Hamilton-Cayley? Prin calcul direct: se ia $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, se calculează $A^2$, se scade $(a+d)A$, se adună $(ad-bc)I_2$ și se verifică cele patru elemente — toate ies nule.

Cum aflu inversa unei matrice de ordin 2 cu Hamilton-Cayley? Dacă $\det A\ne 0$, atunci $A^{-1}=\frac{1}{\det A}(\mathrm{tr}(A)I_2-A)$: interschimbi elementele de pe diagonala principală, schimbi semnul celorlalte două și împarți la determinant. E formula cu matricea adjunctă, scrisă mai scurt.

Cum calculez $A^n$ folosind ecuația Hamilton-Cayley? Scrii $A^n=x_{n}A+y_n{I}_2$ și obții recurența $x_{n+1}=\mathrm{tr}(A)x_n-\det A\cdot x_{n-1}$, cu $x_1=1$, $x_2=\mathrm{tr}(A)$, apoi $y_n=-\det A\cdot x_{n-1}$. Rezolvi recurența, înlocuiești și verifici formula pentru $n=1$ și $n=2$. Metoda continuă lecția Puterea unei matrice pătratice.

Ce se întâmplă dacă urma matricei este zero? Ecuația devine $A^2=-(\det A)I_2$, deci pătratul este un multiplu al matricei unitate. De aici, toate puterile pare sunt multipli de $I_2$, iar cele impare sunt multipli de $A$ — problema se rezolvă într-o linie, fără nicio recurență.

Se poate folosi ecuația Hamilton-Cayley la matrice de ordin 3? Există o relație analogă pentru orice ordin, dar la ordinul $3$ ea începe cu $A^3$ și are alți coeficienți; nu se cere la Bacalaureat M1. Formula învățată aici se aplică exclusiv matricelor de ordin $2$; a o scrie cu $I_3$ este o greșeală.