Ecuații matriceale: pe scurt

Într-o ecuație matriceală necunoscuta este o matrice. Nu există „împărțire cu matrice": simbolul $\frac{B}{A}$ nu are sens, pentru că nu orice matrice pătratică are inversă și pentru că produsul nu e comutativ — nici n-ar fi limpede pe ce parte s-ar face. Toată lecția se sprijină pe o singură idee: înmulțești ambii membri cu $A^{-1}$, având grijă de care parte.

Cele trei forme standard, toate cu condiția ca matricele cu care înmulțești să aibă determinantul nenul: $$AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B;XA=B\Rightarrow X=B{A}^{-1};AXB=C\Rightarrow X=A^{-1}C{B}^{-1}.$$

Regula practică: $A^{-1}$ se așază lipit de $A$, ca produsul $A{A}^{-1}=I_n$ să se simplifice. Aceleași matrice date, aceeași literă $X$, dar $A^{-1}B$ și $B{A}^{-1}$ sunt de regulă soluții complet diferite — de aceea prima întrebare la orice ecuație este: unde stă necunoscuta, la stânga sau la dreapta?

Enunțurile se aduc la forma standard fără să schimbi vreodată ordinea factorilor: $AX+B=C$ devine $AX=C-B$, iar $AX+\alpha X$ se scrie $(A+\alpha I_n)X$, deoarece $\alpha X=\alpha I_{n}X$. Atenție, condiția devine atunci $\det (A+\alpha I_n)\ne 0$, nu $\det A\ne 0$.

Când $\det A\ne 0$, soluția există și este unică. Când $\det A=0$, nu se garantează nimic: ecuația poate să nu aibă nicio soluție sau să aibă o infinitate — se cercetează caz cu caz, notând elementele lui $X$ cu litere. Verifică întotdeauna soluția în ecuația inițială, nu în cea transformată.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care este soluția ecuației $XA=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$?

   • a) $\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& -1\end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 2& 3\end{array}\right)$
   • c) $\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$
   • d) $\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ -2& 1\end{array}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& -1\end{array}\right)$

   $\det A=9-8=1$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)$. Necunoscuta stă la stânga lui $A$, deci înmulțim la dreapta: $X=B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& -1\end{array}\right)$. Varianta b) este $A^{-1}B$, adică rezultatul obținut înmulțind din partea greșită — soluția ecuației $AX=B$, nu a celei date.

2. Se consideră ecuația $AX+3X=B$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 0\end{array}\right)$. Care este condiția de rezolvare și ce matrice se inversează?

   • a) $\det A\ne 0$; se inversează $A$
   • b) $\det B\ne 0$; se inversează $B$
   • c) $\det (A+3I_2)\ne 0$; se inversează $A+3I_2$
   • d) $\det (3A)\ne 0$; se inversează $3A$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\det (A+3I_2)\ne 0$; se inversează $A+3I_2$

   Scoatem factor comun pe $X$, ținând seama de poziție: $AX+3X=AX+3I_{2}X=(A+3I_2)X$. Ecuația devine $(A+3I_2)X=B$, deci se inversează $A+3I_2=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$, cu determinantul $4\ne 0$. Faptul că $\det A=-8\ne 0$ nu ajută cu nimic: se poate întâmpla ca $A$ să fie inversabilă, iar $A+3I_2$ să nu fie, sau invers.

3. Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 4& 10\end{array}\right)$. Care afirmație despre ecuația $AX=I_2$ este adevărată?

   • a) are soluție unică
   • b) nu are nicio soluție
   • c) are exact două soluții
   • d) are o infinitate de soluții
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) nu are nicio soluție

   $\det A=20-20=0$. Dacă ar exista $X$ cu $AX=I_2$, luând determinantul am obține $\det A\cdot \det X=\det I_2=1$, adică $0=1$ — imposibil. Se vede și direct: în produsul $AX$ linia a doua este întotdeauna dublul primei, ceea ce în $I_2$ nu se întâmplă. Atenție însă: determinantul nul nu înseamnă automat „fără soluții” — ecuația $AX=A$, cu aceeași matrice, are o infinitate.