Ecuații matriceale

O ecuație obișnuită, $3x=12$, se rezolvă împărțind la $3$. Una în care necunoscuta e o matrice, $AX=B$, pare să ceară același gest — numai că împărțirea cu o matrice nu există. Nu e o lipsă de notație, ci o consecință a felului în care se înmulțesc matricele: produsul nu e comutativ, deci nici n-ar fi limpede pe ce parte s-ar face „împărțirea".

Din fericire, ai deja unealta potrivită: matricea inversă $A^{-1}$, definită exact atunci când $\det A\ne 0$, joacă rolul lui $\frac{1}{3}$ de mai sus. Toată lecția se sprijină pe o singură idee: înmulțești ambii membri cu $A^{-1}$, având grijă de ce parte o faci. Ecuațiile matriceale sunt printre cele mai frecvente subiecte de Bacalaureat M1 din capitolul de matrice, pentru că verifică într-un singur exercițiu determinantul, inversa și necomutativitatea produsului.

Ce vei învăța

• Vei ști de ce nu există „împărțire cu matrice" și cu ce se înlocuiește.
• Vei ști să rezolvi ecuațiile $AX=B$, $XA=B$ și $AXB=C$, alegând corect partea din care înmulțești.
• Vei ști să stabilești ce dimensiuni are matricea necunoscută $X$.
• Vei ști să aduci la forma standard ecuații ca $AX+2X=B$.
• Vei ști ce se întâmplă când $\det A=0$: fără soluție sau o infinitate de soluții.
• Vei ști să discuți o ecuație matriceală cu parametru, după valorile determinantului.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu se poate „împărți" cu o matrice

Fie $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ și ecuația $AX=B$, cu necunoscuta $X$. Tentația e să scrii $X=\frac{B}{A}$; simbolul acesta nu are sens, din două motive.

Primul: nu toate matricele pătratice au inversă. Dacă $\det A=0$, nu există nicio matrice care să se poarte ca „$\frac{1}{A}$" — vezi Matrice inversabilă: definiție și criteriul determinantului.

Al doilea, mai subtil: chiar când inversa există, produsul matricelor nu este comutativ, deci $A^{-1}B$ și $B{A}^{-1}$ sunt, în general, diferite, iar $\frac{B}{A}$ nu ar spune la care dintre ele se referă. Contraexemplul de reținut, cu $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$ (pentru care $\det A=1$ și $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$) și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 3\end{array}\right)$:

$$A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 1& -6\end{array}\right),B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-10& 7\\ -5& 4\end{array}\right).$$

Regula de limbaj: nu spui „împart la $A$", ci „înmulțesc la stânga cu $A^{-1}$" sau „la dreapta cu $A^{-1}$", precizând de fiecare dată partea.

2. Ecuația $AX=B$

Teoremă. Fie $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ cu $\det A\ne 0$ și $B\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{C})$. Atunci ecuația $AX=B$ are soluție unică, anume $X=A^{-1}B$.

Demonstrație. Există: dacă $X=A^{-1}B$, atunci $AX=A\left(A^{-1}B\right)=\left(A{A}^{-1}\right)B=I_{n}B=B$, deci $X$ este într-adevăr soluție. Unică: dacă $X$ verifică $AX=B$, înmulțim la stânga cu $A^{-1}$ și obținem $A^{-1}(AX)=A^{-1}B$; asociativitatea dă $\left(A^{-1}A\right)X=A^{-1}B$, adică $I_{n}X=X=A^{-1}B$. $■$ Observă unde s-a folosit fiecare ipoteză: asociativitatea permite regruparea, iar $\det A\ne 0$ asigură existența lui $A^{-1}$.

Dimensiunile. Dacă $A$ are ordinul $n$ și $B\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{C})$, atunci $X\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{C})$ — același format ca $B$. Verifică formatele înainte de calcul: $AX$ are sens numai dacă $A$ are atâtea coloane câte linii are $X$.

Exemplu. Cu $A$ și $B$ de mai sus, soluția ecuației $AX=B$ este

$$X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 1& -6\end{array}\right).$$

Verificarea, obligatorie, se face în ecuația inițială: $AX=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 1& -6\end{array}\right)=B$ ✓.

3. Ecuația $XA=B$: partea contează

Aici necunoscuta stă în stânga, deci $A^{-1}$ trebuie adus tot în dreapta, ca să se anuleze cu $A$:

$$XA=B/\cdot A^{-1}\text{ la dreapta}⟹(XA)A^{-1}=B{A}^{-1}⟹X\left(A{A}^{-1}\right)=B{A}^{-1}⟹X=B{A}^{-1}.$$

Cu aceleași $A$ și $B$: $X=B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-10& 7\\ -5& 4\end{array}\right)$, iar controlul dă $XA=B$ ✓.

Compară cele două rezultate: aceleași matrice, aceeași literă $X$, dar soluții complet diferite. De aceea prima întrebare la orice ecuație matriceală este: unde stă necunoscuta, la stânga sau la dreapta lui $A$?

4. Ecuația $AXB=C$

Necunoscuta e prinsă între două matrice, deci se eliberează în doi pași: la stânga cu $A^{-1}$, la dreapta cu $B^{-1}$.

Teoremă. Dacă $\det A\ne 0$ și $\det B\ne 0$, ecuația $AXB=C$ are soluția unică $X=A^{-1}C{B}^{-1}$.

Ordinea nu se poate schimba: $A^{-1}$ stă înaintea lui $C$, iar $B^{-1}$ după el.

Exemplu. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 5& 3\end{array}\right)$. Avem $\det A=1$ și $\det B=1$, deci ambele sunt inversabile, cu $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$ și $B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$. Calculăm întâi $A^{-1}C$, apoi înmulțim cu $B^{-1}$:

$$A^{-1}C=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right),X=\left(A^{-1}C\right)B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\right).$$

Verificare în ecuația inițială: $AX=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 7& -2\end{array}\right)$, iar $(AX)B=C$ ✓.

5. Aducerea la forma standard

Multe enunțuri nu sunt gata pregătite. Se aduc la una dintre cele trei forme prin adunare, scădere și factor comun, fără să schimbi vreodată ordinea factorilor.

• $AX+B=C$ devine $AX=C-B$, deci $X=A^{-1}(C-B)$.
• $AX+\alpha X=B$, cu $\alpha$ scalar, se scrie $\left(A+\alpha I_n\right)X=B$: factorul comun este $X$, iar $\alpha X=\alpha I_{n}X$. Condiția de rezolvare devine $\det \left(A+\alpha I_n\right)\ne 0$ — nu $\det A\ne 0$.
• $AX=XB$ nu se rezolvă cu inversa: necunoscuta apare de ambele părți, în poziții diferite; astfel de ecuații se tratează prin identificarea elementelor lui $X$.

Exemplu. Rezolvăm $AX-2X=B$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 2\end{array}\right)$. Scriem $\left(A-2I_2\right)X=B$, unde $A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ are determinantul $1\ne 0$ și inversa $\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$. Deci

$$X=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -1& 4\end{array}\right).$$

Control în ecuația inițială: $AX=\left(\begin{array}{cc}7& -4\\ -1& 10\end{array}\right)$ și $2X=\left(\begin{array}{cc}4& -4\\ -2& 8\end{array}\right)$, iar diferența este $B$ ✓.

6. Ce se întâmplă când $\det A=0$

Teorema de mai sus cere $\det A\ne 0$. Dacă determinantul e nul, ecuația nu mai are neapărat soluție, iar când are, soluția nu mai e unică. Ambele situații se văd pe $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$, cu $\det A=0$. Notăm $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)$ și calculăm

$$AX=\left(\begin{array}{cc}x+2z& y+2t\\ 2x+4z& 2y+4t\end{array}\right).$$

Observă structura: linia a doua este întotdeauna dublul primei linii, orice ar fi $X$.

Cazul fără soluție. Ecuația $AX=I_2$ ar cere $x+2z=1$ și, pe linia a doua, $2x+4z=0$, adică $x+2z=0$ — contradicție. Deci nu are nicio soluție. (Se vede și cu determinantul produsului: din $AX=I_2$ ar rezulta $\det A\cdot \det X=1$, imposibil când $\det A=0$.)

Cazul cu o infinitate de soluții. Ecuația $AX=A$ cere doar $x+2z=1$ și $y+2t=2$ (liniile a doua se obțin automat). Luând $z=\alpha$ și $t=\beta$ oricare, obținem familia

$$X=\left(\begin{array}{cc}1-2\alpha & 2-2\beta \\ \alpha & \beta \end{array}\right),\alpha ,\beta \in \mathbb{R},$$

toate soluții. Pentru $\alpha =\beta =0$ regăsim $X=I_2$; pentru $\alpha =1$, $\beta =3$ obținem $X=\left(\begin{array}{cc}-1& -4\\ 1& 3\end{array}\right)$, care verifică la fel de bine.

Concluzia de reținut: $\det A\ne 0$ garantează existența și unicitatea; $\det A=0$ nu garantează nimic — se cercetează caz cu caz. Studiul general se face la unitatea despre sisteme de ecuații liniare, unde vei primi un criteriu care decide dinainte între cele trei posibilități.

7. Ecuații matriceale cu parametru

Când $A$ depinde de un parametru, întrebarea „pentru ce valori are ecuația soluție unică?" devine „pentru ce valori este $\det A\ne 0$?".

Fie $A(m)=\left(\begin{array}{cc}1& m\\ 2& m+1\end{array}\right)$, cu $m\in \mathbb{R}$. Atunci

$$\det A(m)=1\cdot (m+1)-m\cdot 2=1-m.$$

Deci ecuația $A(m)X=B$ are soluție unică exact pentru $m\ne 1$. Pentru $m=1$, matricea $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$ are determinantul nul, iar ecuația intră în cazul studiat mai sus.

Pentru $m=0$, de pildă, $A(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$ cu $\det A(0)=1$ și $A(0{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)$; pentru $m=2$, $A(2)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$ cu $\det A(2)=-1$ și $A(2{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ 2& -1\end{array}\right)$.

8. La ce folosesc: modelarea unei situații de echilibru

Un atelier face trei produse, $P_1$, $P_2$, $P_3$, folosind trei resurse (lemn, manoperă, vopsea). Consumurile pe unitate de produs formează matricea $A$, în care linia $i$ este resursa $i$, iar coloana $j$ este produsul $j$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}45\\ 35\\ 40\end{array}\right).$$

Coloana $B$ dă cantitățile disponibile. Dacă $X$ este coloana bucăților produse, condiția „se consumă exact tot" se scrie $AX=B$; cum $\det A=1\ne 0$, planul de producție există și este unic:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -1& 3& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right),X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{c}45-35\\ -45+105-40\\ -35+40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 5\end{array}\right).$$

Verificare: $2\cdot 10+20+5=45$, $10+20+5=35$, $10+20+10=40$ ✓. Vei recunoaște aici scrierea matriceală a unui sistem de ecuații liniare; legătura se face pe larg la Sisteme de ecuații liniare: forma matriceală. Faptul că $\det A\ne 0$ înseamnă, în limbajul problemei, că resursele determină complet planul de producție.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuația $AX=B$

Rezolvați ecuația $AX=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 8& 2\end{array}\right)$.

Rezolvare. $\det A=3-2=1\ne 0$, deci $A$ este inversabilă și $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 1\end{array}\right)$. Înmulțim la stânga:

$$X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 8& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}15-16& 3-4\\ -5+8& -1+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 3& 1\end{array}\right).$$

Verificare: $AX=\left(\begin{array}{cc}-1+6& -1+2\\ -1+9& -1+3\end{array}\right)=B$ ✓.

Exemplul 2 — Ecuația $XA=B$

Rezolvați ecuația $XA=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 5& 2\end{array}\right)$ și $B=I_2$.

Rezolvare. $\det A=6-5=1$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -5& 3\end{array}\right)$. Înmulțind la dreapta cu $A^{-1}$ obținem $X=B{A}^{-1}=I_2{A}^{-1}=A^{-1}$ — previzibil, pentru că $XA=I_2$ spune exact că $X$ e inversa lui $A$. Verificare: $\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -5& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 5& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6-5& 2-2\\ -15+15& -5+6\end{array}\right)=I_2$ ✓.

Exemplul 3 — Cu termen liber și factor comun

Rezolvați ecuația $AX+X=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 3& 3\end{array}\right)$.

Rezolvare. Scoatem factor comun pe $X$: $AX+X=\left(A+I_2\right)X$, unde $A+I_2=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$ are $\det \left(A+I_2\right)=11\ne 0$ și

$${\left(A+I_2\right)}^{-1}=\frac{1}{11}\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 4\end{array}\right).$$

Prin urmare $X=\frac{1}{11}\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 3& 3\end{array}\right)=\frac{1}{11}\left(\begin{array}{cc}9& -3\\ 8& 12\end{array}\right)$.

Atenție: condiția e $\det \left(A+I_2\right)\ne 0$, nu $\det A\ne 0$.

Exemplul 4 — Ecuația $AXB=C$

Rezolvați ecuația $AXB=C$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 8& 5\end{array}\right)$.

Rezolvare. $\det A=1$ și $\det B=1$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$ și $B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$. Atunci

$$A^{-1}C=\left(\begin{array}{cc}10-8& 6-5\\ -5+8& -3+5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$

Deci $X=I_2$, ceea ce se confirmă imediat: $A{I}_{2}B=AB=C$ ✓.

Exemplul 5 — Când determinantul se anulează

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 1& 3\end{array}\right)$. Arătați că ecuația $AX=I_2$ nu are soluții, iar ecuația $AX=A$ are o infinitate de soluții.

Rezolvare. $\det A=6-6=0$. Cu $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)$ obținem $AX=\left(\begin{array}{cc}2x+6z& 2y+6t\\ x+3z& y+3t\end{array}\right)$: prima linie este dublul celei de-a doua.

Pentru $AX=I_2$ ar trebui ca $(1,0)$ să fie dublul lui $(0,1)$ — fals, deci ecuația nu are soluții. Pentru $AX=A$ condițiile devin $x+3z=1$ și $y+3t=3$ (prima linie iese automat). Luând $z=\alpha$ și $t=\beta$, familia soluțiilor este $X=\left(\begin{array}{cc}1-3\alpha & 3-3\beta \\ \alpha & \beta \end{array}\right)$, cu $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ — o infinitate.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{cc}m& 2\\ 1& m-1\end{array}\right)$, cu $m\in \mathbb{R}$, și $B=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)$. a) Determinați valorile lui $m$ pentru care ecuația $A(m)X=B$ are soluție unică. b) Rezolvați ecuația pentru $m=3$. c) Arătați că pentru $m=2$ ecuația nu are soluții.

Rezolvare. a) $\det A(m)=m(m-1)-2=m^2-m-2=(m-2)(m+1)$, deci soluția e unică exact pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{-1,2\}$.

b) Pentru $m=3$: $A(3)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 2\end{array}\right)$, cu $\det A(3)=4$ și $A(3{)}^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -1& 3\end{array}\right)$. Necunoscuta e o matrice-coloană:

$$X=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}6\\ -1\end{array}\right).$$

Verificare: $\frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}18-2\\ 6-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)=B$ ✓.

c) Pentru $m=2$: $A(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$, iar cu $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ obținem $A(2)X=\left(\begin{array}{c}2x+2y\\ x+y\end{array}\right)$: prima componentă e dublul celei de-a doua, dar în $B$ avem $4\ne 2\cdot 1$. Deci ecuația nu are soluții.

Să exersăm

Scrie întâi determinantul matricei care înmulțește necunoscuta și abia apoi decide dacă se poate rezolva. Verifică fiecare soluție în ecuația inițială.

1. Rezolvă $AX=B$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$.

2. Rezolvă $XA=B$, cu aceleași $A$ și $B$ ca la exercițiul 1, și compară rezultatele.

3. Rezolvă $AX=B$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 5\end{array}\right)$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $A$ este inversabilă, atunci ecuațiile $AX=B$ și $XA=B$ au aceeași soluție."

5. Determină $X$ din $AX+B=C$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 5\end{array}\right)$.

6. Rezolvă $AX-3X=B$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 2& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația $AX=B$ are soluție doar dacă $\det A\ne 0$."

8. Rezolvă $AXB=C$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$.

9. Determină $X\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$ din $AX=B$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right)$.

10. Arată că $AX=B$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 6\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, nu are soluții.

11. Determină toate matricele $X$ cu $AX=O_2$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$.

12. (Problemă aplicată.) O cofetărie face două sortimente de prăjituri. Fiecare prăjitură din primul sortiment cere $2$ ouă și $1$ pahar de lapte, iar fiecare din al doilea cere $1$ ou și $1$ pahar de lapte. Într-o zi s-au folosit $17$ ouă și $11$ pahare de lapte. Scrie situația ca ecuație matriceală $AX=B$ și determină câte prăjituri s-au făcut din fiecare sortiment.

13. Determină $m\in \mathbb{R}$ pentru care $A(m)X=B$ are soluție unică, cu $A(m)=\left(\begin{array}{cc}m& 1\\ 4& m\end{array}\right)$.

14. Rezolvă $AX=B$ pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$. a) Calculați $\det A$ și determinați $A^{-1}$. b) Rezolvați ecuația $AX=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$. c) Rezolvați ecuația $XA=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$ și arătați că soluțiile de la b) și c) sunt diferite.

16. Explică, în două-trei fraze, de ce din $AX=AY$ nu rezultă întotdeauna $X=Y$ și ce condiție trebuie pusă asupra lui $A$ pentru ca implicația să fie adevărată.

17. Determină $X$ din $XA=B$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 4\end{array}\right)$.

18. (Provocare.) Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$. Determină toate matricele $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)$ pentru care $AX=XA$, identificând elementele celor două produse.

Răspunsuri și explicații

1. $\det A=2-1=1$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$ și $X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$, iar $AX=B$ ✓.

2. $X=B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$, iar $XA=B$ ✓. Soluția e diferită de cea de la exercițiul 1: partea din care se înmulțește schimbă rezultatul.

3. $\det A=1$, $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)$, deci $X=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right)$, iar $AX=B$ ✓.

4. Fals. Prima ecuație dă $X=A^{-1}B$, a doua $X=B{A}^{-1}$, iar produsul nu e comutativ. Exercițiile 1 și 2 sunt exact contraexemplul. Cele două coincid doar în cazuri speciale, de pildă când $A$ și $B$ comută.

5. Aducem la forma standard: $AX=C-B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$. Cu $\det A=1$ și $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$ obținem $X=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -2& 3\end{array}\right)$.

6. $AX-3X=\left(A-3I_2\right)X$, unde $A-3I_2=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$ are determinantul nul, deci inversa nu se poate folosi. Cele două linii ale produsului sunt egale, dar liniile lui $B$ sunt $(2,0)$ și $(1,1)$, diferite: ecuația nu are soluții.

7. Fals. Condiția $\det A\ne 0$ garantează soluție unică, dar nu e necesară pentru existență: $AX=A$ cu $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ are o infinitate de soluții, deși $\det A=0$.

8. $\det A=1$, $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)$; $\det B=1$, $B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right)$. Atunci $A^{-1}C=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $X=\left(A^{-1}C\right)B^{-1}=I_2$. Verificare: $A{I}_{2}B=AB=C$ ✓.

9. $\det A=3-2=1$, $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 3\end{array}\right)$, deci $X=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$. Verificare: $3\cdot 2+1=7$ și $2\cdot 2+1=5$ ✓.

10. $\det A=6-6=0$. Dacă ar exista $X$ cu $AX=I_2$, atunci, luând determinantul, $\det A\cdot \det X=\det I_2=1$, adică $0=1$ — fals. Deci ecuația nu are soluții.

11. Cu $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)$, prima linie a lui $AX$ este $(x+2z,y+2t)$, iar a doua e dublul ei. Condiția $AX=O_2$ se reduce la $x+2z=0$ și $y+2t=0$, deci $X=\left(\begin{array}{cc}-2\alpha & -2\beta \\ \alpha & \beta \end{array}\right)$ — o infinitate de soluții nenule, deși $B=O_2$.

12. Cu $x$ și $y$ numărul de prăjituri din cele două sortimente, $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}17\\ 11\end{array}\right)$. Cum $\det A=1$ și $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$, obținem $X=\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right)$: șase prăjituri din primul sortiment și cinci din al doilea. Verificare: $2\cdot 6+5=17$ ouă și $6+5=11$ pahare ✓.

13. $\det A(m)=m^2-4$, deci soluția este unică pentru $m^2\ne 4$, adică $m\in \mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$.

14. $\det A=1$ (dezvoltând după coloana a treia), iar $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 2& 1\end{array}\right)$, deci $X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 6\end{array}\right)$. Verificare în ecuația inițială: $-3+4=1$ ✓, $2$ ✓, $-3+6=3$ ✓.

15. a) $\det A=4-3=1$ și $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$. b) $X=A^{-1}\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 10\\ 7& 17\end{array}\right)$. c) $X=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}11& 7\\ 16& 10\end{array}\right)$. Cele două matrice sunt vizibil diferite, ceea ce confirmă că partea din care se înmulțește contează.

16. Din $AX=AY$ rezultă $A(X-Y)=O_n$; dacă $A$ e inversabilă, înmulțind la stânga cu $A^{-1}$ obținem $X=Y$. Dacă $\det A=0$, concluzia poate fi falsă: pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ există $Z\ne O_2$ cu $AZ=O_2$ (exercițiul 11), deci $X$ și $X+Z$ dau același produs. Condiția necesară e $\det A\ne 0$.

17. $\det A=1$, $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$, iar necunoscuta stă în stânga, deci $X=B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 3\end{array}\right)$, iar $XA=B$ ✓.

18. $AX=\left(\begin{array}{cc}x+z& y+t\\ z& t\end{array}\right)$ și $XA=\left(\begin{array}{cc}x& x+y\\ z& z+t\end{array}\right)$. Identificând: $x+z=x$ dă $z=0$; $y+t=x+y$ dă $t=x$; $t=z+t$ dă din nou $z=0$. Deci $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& x\end{array}\right)$, cu $x,y\in \mathbb{R}$ oarecare — o mulțime care conține $I_2$ și $A$. Verificare pentru $x=1$, $y=2$: ambele produse dau $\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$ ✓.

De reținut

• Nu există împărțire cu matrice. Se înmulțește cu inversa, precizând partea: la stânga sau la dreapta.
• Cele trei forme standard: $AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B$; $XA=B\Rightarrow X=B{A}^{-1}$; $AXB=C\Rightarrow X=A^{-1}C{B}^{-1}$, cu condiția ca matricele cu care se înmulțește să aibă determinantul nenul.
• Factorul comun se scoate ținând seama de poziție: $AX+\alpha X=\left(A+\alpha I_n\right)X$, cu condiția $\det \left(A+\alpha I_n\right)\ne 0$.
• $\det A\ne 0$ înseamnă existență ȘI unicitate. Când $\det A=0$, ecuația poate fi fără soluții sau cu o infinitate — se cercetează caz cu caz.
• Orice soluție se verifică în ecuația inițială, nu în cea transformată: o inversare greșită de ordine se vede imediat la control.

Greșeli frecvente

• Scrierea $X=\frac{B}{A}$. Simbolul nu există: chiar și când $A$ e inversabilă, $A^{-1}B\ne B{A}^{-1}$ în general.
• Înmulțirea din partea greșită. La $AX=B$ se înmulțește la stânga, la $XA=B$ la dreapta. Regula practică: $A^{-1}$ se așază lipit de $A$, ca să se simplifice.
• Verificarea condiției pe matricea greșită. La $AX+2X=B$ contează $\det \left(A+2I_2\right)$, nu $\det A$: se poate ca $A$ să fie inversabilă, iar $A+2I_2$ să nu fie — sau invers.
• Concluzia „$\det A=0$, deci nu are soluții". Fals: poate avea o infinitate de soluții, ca la $AX=A$. Determinantul nul înseamnă doar că teorema de unicitate nu se aplică.
• Uitarea verificării formatelor. Dacă $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ și $B\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$, atunci $X$ e o matrice-coloană, nu una pătratică. Scrie formatul lui $X$ înainte de calcul.

Aplică acasă

1. Rețeta inversată. Alege două rețete de prăjituri cu aceleași două ingrediente, în cantități diferite. Scrie matricea consumurilor, notează cât ai folosit în total și rezolvă ecuația matriceală ca să afli câte porții au ieșit din fiecare.

2. Testul de necomutativitate. Ia două matrice de ordin $2$ cu determinantul $1$ și rezolvă cu ele atât $AX=B$, cât și $XA=B$. Păstrează exemplul în caiet: e cel mai bun antidot pentru greșeala cu partea.

3. Parametrul care strică totul. Scrie o matrice $2\times 2$ cu un parametru $m$ pe diagonală și găsește valorile pentru care ecuația $A(m)X=B$ nu mai are soluție unică. Testează apoi una dintre ele.

Pentru părinți și profesori

Lecția aplică tot ce s-a construit în capitolul de determinanți: criteriul de inversabilitate, calculul inversei cu matricea adjunctă și necomutativitatea produsului. Programa cere explicit „matrice inversabilă; ecuații matriceale", iar competența XI.CS.3.1 conține activitatea „rezolvarea unei ecuații matriceale cu ajutorul inversei matricei".

În caiet se verifică două lucruri: partea din care s-a înmulțit și matricea al cărei determinant a fost calculat — aproape toate greșelile intră într-una dintre cele două categorii. Al treilea semn de neatenție e soluția neverificată: substituirea în ecuația inițială cere treizeci de secunde și prinde orice inversare de ordine.

Întrebări de control: „Ce înseamnă că nu există împărțire cu matrice?"; „La $XA=B$, de ce parte înmulțești cu $A^{-1}$?"; „Ce condiție pui la $AX+3X=B$?"; „Dacă $\det A=0$, ecuația are sigur zero soluții?".

La BAC M1 tema apare de regulă în subiectul al doilea, adesea cu un parametru: determinantul, valorile pentru care soluția e unică, apoi rezolvarea într-un caz numeric. Semn că elevul a înțeles: scrie de la început formatul lui $X$ și determinantul matricei potrivite.

Întrebări frecvente

Ce este o ecuație matriceală? O ecuație în care necunoscuta este o matrice. Formele standard sunt $AX=B$, $XA=B$ și $AXB=C$, iar rezolvarea se face înmulțind ambii membri cu matricele inverse, de partea potrivită.

Cum se rezolvă ecuația $AX=B$? Se verifică întâi că $\det A\ne 0$, se calculează $A^{-1}$ și se înmulțește la stânga cu $A^{-1}$: $X=A^{-1}B$. Rezultatul se verifică înlocuind în ecuația inițială.

De ce nu pot să împart cu o matrice? Pentru că nu orice matrice pătratică are inversă (doar cele cu determinantul nenul), iar produsul nefiind comutativ, un simbol $\frac{B}{A}$ nu ar preciza dacă se referă la $A^{-1}B$ sau la $B{A}^{-1}$, care sunt în general diferite.

Care e diferența dintre $AX=B$ și $XA=B$? Poziția necunoscutei: la prima $X=A^{-1}B$, la a doua $X=B{A}^{-1}$. Cele două soluții sunt de obicei diferite, deci ecuațiile nu sunt echivalente.

Ce fac dacă determinantul este zero? Nu poți folosi inversa. Notezi elementele lui $X$ cu litere, scrii produsul și îl compari cu membrul drept: fie apare o contradicție, și atunci ecuația nu are soluții, fie rămân condiții verificate de o infinitate de matrice.

Cum rezolv o ecuație de forma $AX+2X=B$? Se scoate factor comun $X$, ținând seama că $2X=2I_{n}X$: ecuația devine $\left(A+2I_n\right)X=B$, cu condiția $\det \left(A+2I_n\right)\ne 0$ și soluția $X={\left(A+2I_n\right)}^{-1}B$.

Cum apar ecuațiile matriceale la Bacalaureat M1? De obicei într-un subiect cu trei cerințe: determinantul (eventual cu parametru), valorile pentru care soluția e unică și rezolvarea într-un caz numeric, cu matricea adjunctă.