Elemente simetrizabile: pe scurt

Fie $\ast$ o lege de compoziție pe $M$ cu element neutru $e$. Elementul $x\in M$ se numește simetrizabil dacă există $x^{\prime }\in M$ cu $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$; atunci $x^{\prime }$ se numește simetricul lui $x$. Trei detalii decid corectitudinea: definiția are sens numai dacă legea are element neutru; se cer ambele egalități (a doua e gratuită doar dacă legea e comutativă); iar $x^{\prime }$ trebuie să fie în $M$ — numărul $2$ nu e simetrizabil în $(\mathbb{Z},\cdot )$, deși în $\mathbb{Q}$ ar avea partenerul $\frac{1}{2}$.

Notația se alege după cum e scrisă legea: $x^{\prime }$ pentru o lege oarecare, $x^{-1}$ („inversul”) pentru una multiplicativă, $-x$ („opusul”) pentru una aditivă.

Simetricul se află rezolvând ecuația $x\ast x^{\prime }=e$. Pentru $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, cu $e=a+1$, se obține $(x-a)(x^{\prime }-a)=1$, deci $x^{\prime }=a+\frac{1}{x-a}$, definit pentru $x\ne a$: elementul $a$ nu este simetrizabil.

În tablă, $x$ este simetrizabil dacă $e$ apare pe linia lui, iar poziția oglindită conține tot $e$. Fără asociativitate, un element poate avea doi simetrici diferiți. Simetrizabile: tot $\mathbb{Z}$ la adunare, doar $\{-1,1\}$ în $(\mathbb{Z},\cdot )$, matricele cu determinant nenul, funcțiile bijective.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=(x-14)(y-14)+14$, cu elementul neutru $e=15$. Simetricul unui element $x\ne 14$ este:

   • a) $28-x$
   • b) $\frac{1}{x}$
   • c) $15-x$
   • d) $14+\frac{1}{x-14}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $14+\frac{1}{x-14}$

   Ecuația $x\ast x^{\prime }=15$ devine $(x-14)(x^{\prime }-14)+14=15$, adică $(x-14)(x^{\prime }-14)=1$, de unde $x^{\prime }=14+\frac{1}{x-14}$. Pentru $x=14$ egalitatea ar da $0=1$, deci $14$ nu este simetrizabil. Varianta b folosește inversul obișnuit, iar c și d sunt formule de tip aditiv, potrivite legilor $x+y-a$, nu acesteia.

2. Mulțimea elementelor simetrizabile din $(\mathbb{Z},\cdot )$ este:

   • a) $\mathbb{Z}$
   • b) $\{-1,1\}$
   • c) $\mathbb{Z}\setminus \{0\}$
   • d) $\{1\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\{-1,1\}$

   Elementul neutru este $1$, iar din $xy=1$ cu $x,y\in \mathbb{Z}$ rezultă $x\in \{-1,1\}$, fiecare fiind propriul simetric. Varianta c este răspunsul analog pentru $(\mathbb{Q},\cdot )$ sau $(\mathbb{R},\cdot )$, unde sunt simetrizabile toate elementele nenule — partenerul $\frac{1}{x}$ există acolo, dar nu în $\mathbb{Z}$. Varianta a ar fi corectă pentru $(\mathbb{Z},+)$, unde neutrul este $0$ și simetricul lui $x$ este $-x$.

3. Un element poate avea doi simetrici diferiți numai dacă legea:

   • a) nu este comutativă
   • b) nu are element neutru
   • c) nu este asociativă
   • d) nu este definită pentru toate perechile
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) nu este asociativă

   Asociativitatea este exact ipoteza care forțează unicitatea: dacă $y$ și $z$ ar fi simetrici ai lui $x$, se calculează $y\ast x\ast z$ grupând întâi la dreapta, apoi la stânga, și se obține $y=z$ — singurul pas folosit este mutarea parantezelor. Tabla-contraexemplu pe $\{e,a,b\}$ cu $a\ast a=a\ast b=e$ este comutativă și are element neutru, deci variantele a și b nu explică nimic.