Elemente simetrizabile și simetricul unui element

Pune-ți întrebarea unui programator care scrie o aplicație de desen: fiecare comandă trebuie să aibă un „Undo". Dacă utilizatorul a mutat figura cu trei pași la dreapta, trebuie să existe o comandă care o aduce exact înapoi; dacă a rotit-o cu $90^{\circ }$, trebuie să existe rotația care anulează rotația. Întrebarea „ce anulează ce am făcut" este, în algebră, întrebarea despre elementele simetrizabile, iar la clasa a 12-a ea vine imediat după elementul neutru: neutrul spune „nu se schimbă nimic", iar simetricul spune „ne întoarcem la nimic-schimbat". Elementul simetrizabil este elementul care poate fi anulat: $x$ se numește simetrizabil dacă există în aceeași mulțime un element $x^{\prime }$, numit simetricul lui $x$, cu $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$.

În Elementul neutru al unei legi de compoziție am construit elementul $e$ care lasă orice element neatins și am arătat că, atunci când există, el este unic. Acum urcăm o treaptă: pentru fiecare element $x$ căutăm un partener care, compus cu $x$, să dea chiar $e$. Lecția aceasta este piesa care lipsește din definiția structurilor algebrice: în unitatea următoare, mulțimile în care fiecare element are un asemenea partener vor primi un nume propriu și un capitol întreg. Iar la Bacalaureat M1 problema „determinați elementele simetrizabile" apare aproape în fiecare subiect de tip Subiectul al II-lea construit pe o lege de compoziție.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești un element simetrizabil față de o lege de compoziție cu element neutru și să explici de ce sunt necesare ambele egalități din definiție.
• Vei ști să folosești corect cele trei notații ale simetricului: $x^{\prime }$ pentru o lege oarecare, $x^{-1}$ pentru o lege notată multiplicativ și $-x$ pentru una notată aditiv.
• Vei ști să determini simetricul unui element rezolvând ecuația $x\ast x^{\prime }=e$, atât pentru legi date prin formule, cât și pentru matrice și funcții.
• Vei ști să citești elementele simetrizabile direct din tabla operației.
• Vei ști să arăți, cu un contraexemplu, că fără asociativitate un element poate avea doi simetrici diferiți.
• Vei ști să descrii mulțimea elementelor simetrizabile pentru operațiile uzuale de pe $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, pe matrice și pe funcții.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că un element este simetrizabil?

Un element simetrizabil este un element $x\in M$ pentru care există $x^{\prime }\in M$ cu proprietatea că $x\ast x^{\prime }=e$ și $x^{\prime }\ast x=e$, unde $e$ este elementul neutru al legii de compoziție $\ast$ definite pe mulțimea $M$; elementul $x^{\prime }$ se numește simetricul lui $x$ față de legea $\ast$. Reține trei detalii care fac toată diferența la Bacalaureat M1.

Întâi, definiția are sens numai dacă legea are element neutru. Fără $e$ nu există nicio țintă spre care să compunem, deci întrebarea „este $x$ simetrizabil?" nu se poate nici măcar formula. De aceea lecția aceasta vine după cea despre elementul neutru, nu înainte.

Al doilea, se cer ambele egalități, $x\ast x^{\prime }=e$ și $x^{\prime }\ast x=e$. Când legea este comutativă, a doua se obține gratuit din prima și se scrie o singură dată, spunând explicit „legea fiind comutativă". Când legea nu este comutativă — cum se întâmplă la înmulțirea matricelor sau la compunerea funcțiilor — cele două egalități sunt condiții diferite și trebuie verificate amândouă.

Al treilea, simetricul trebuie să fie în $M$. Numărul $2$ nu este simetrizabil în $(\mathbb{Z},\cdot )$, deși în $\mathbb{Q}$ ar avea inversul $\frac{1}{2}$: partenerul există, dar nu locuiește în mulțimea pe care lucrăm. Aceeași lege, mulțimi diferite, răspunsuri diferite — exact ideea pe care o cere competența de comparare a proprietăților unei legi în funcție de mulțimea pe care e definită.

2. De ce există trei notații pentru același lucru: $x^{\prime }$, $x^{-1}$ și $-x$?

Notația simetricului se alege după cum e scrisă legea, iar la matematică-informatică ea trebuie folosită consecvent, pentru că baremul o urmărește.

Deci „inversul" și „opusul" nu sunt noțiuni noi: sunt numele pe care le poartă simetricul în cele două situații particulare cu care lucrezi din gimnaziu. Când o problemă definește o lege oarecare prin formulă, notația corectă este $x^{\prime }$, chiar dacă formula conține înmulțiri.

3. Primele exemple: numere, matrice, funcții

Să trecem prin operațiile uzuale, cu răspunsul complet de fiecare dată. Toate legile din această listă sunt asociative, iar pentru ele simetricul unui element este unic — teorema generală vine în lecția următoare, Semigrupuri și monoizi, și de aceea putem spune de pe acum „simetricul", cu articol hotărât.

• $(\mathbb{Z},+)$, cu $e=0$: orice număr întreg este simetrizabil, iar simetricul lui $x$ este $-x$. La fel în $(\mathbb{Q},+)$, $(\mathbb{R},+)$, $(\mathbb{C},+)$.
• $(\mathbb{N},+)$, cu $e=0$: singurul element simetrizabil este $0$, pentru că $x+y=0$ cu $x,y\in \mathbb{N}$ obligă $x=y=0$. Aceeași operație, o mulțime mai mică, și aproape toate simetricele dispar.
• $(\mathbb{Z},\cdot )$, cu $e=1$: din $xy=1$ cu $x,y\in \mathbb{Z}$ rezultă $x\in \{-1,1\}$, deci doar $-1$ și $1$ sunt simetrizabile, fiecare fiind propriul invers.
• $(\mathbb{Q},\cdot )$, cu $e=1$: simetrizabile sunt toate numerele raționale nenule, cu $x^{-1}=\frac{1}{x}$. Zero nu are invers, pentru că $0\cdot y=0\ne 1$ oricare ar fi $y$. Identic în $(\mathbb{R},\cdot )$ și $(\mathbb{C},\cdot )$.
• $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),+)$, cu $e=O_2$: orice matrice este simetrizabilă, opusul lui $A$ fiind $-A$.
• $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),\cdot )$, cu $e=I_2$: aici răspunsul l-ai obținut deja în clasa a XI-a, la Matrice inversabilă: criteriul determinantului — matricea $A$ este simetrizabilă exact atunci când $\det A\ne 0$, iar simetricul ei este $A^{-1}$. Cum înmulțirea matricelor nu este comutativă, definiția cere ambele produse, $A{A}^{-1}=A^{-1}A=I_2$.
• $(\mathcal{F}(E),\circ )$, mulțimea funcțiilor $f:E\to E$ cu compunerea, având $e=1_E$ (funcția identică): $f$ este simetrizabilă exact atunci când este bijectivă, iar simetricul ei este $f^{-1}$ — criteriul din Funcția inversă: condiția de inversabilitate. În particular, în $(S_n,\circ )$ toate permutările sunt simetrizabile, pentru că o permutare este prin definiție bijectivă; vezi Permutări: definiție, notație și compunere.

Compară primele trei linii: aceeași întrebare, patru mulțimi, patru răspunsuri. Trecerea de la $\mathbb{Z}$ la $\mathbb{Q}$ la înmulțire schimbă complet tabloul, iar trecerea de la $\mathbb{Z}$ la $\mathbb{N}$ la adunare îl schimbă în sens invers.

4. Cum se află simetricul unui element?

Simetricul unui element se află rezolvând ecuația $x\ast x^{\prime }=e$ în necunoscuta $x^{\prime }$, după ce elementul neutru a fost deja determinat. Rețeta are patru pași și e cea care se cere la Bacalaureat M1:

1. scrii legea în formă factorizată $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, dacă e de tipul cu produs (rețeta din Legi de compoziție pe mulțimi de numere);
2. determini elementul neutru $e$ — pentru forma de mai sus, $e=a+1$;
3. rezolvi ecuația $x\ast x^{\prime }=e$, adică $(x-a)(x^{\prime }-a)=1$, de unde $x^{\prime }=a+\frac{1}{x-a}$;
4. precizezi pentru ce $x$ funcționează și verifici că $x^{\prime }$ este în mulțimea dată.

Exemplu complet, pe legea $x\ast y=xy-4x-4y+20$ definită pe $\mathbb{R}$. Forma factorizată este $x\ast y=(x-4)(y-4)+4$, elementul neutru este $e=5$, iar ecuația simetricului devine

$$(x-4)(x^{\prime }-4)+4=5⟺(x-4)(x^{\prime }-4)=1.$$

Pentru $x=4$ egalitatea devine $0=1$, imposibil, deci $4$ nu este simetrizabil. Pentru $x\ne 4$ obținem

$$x^{\prime }=4+\frac{1}{x-4}.$$

Așadar mulțimea elementelor simetrizabile este $\mathbb{R}\setminus \{4\}$. Verifică pe un caz concret: pentru $x=6$ formula dă $x^{\prime }=4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$, iar $6\ast \frac{9}{2}=27-24-18+20=5=e$, corect. Observă și că elementul $3$ este propriul simetric, pentru că $3\ast 3=9-12-12+20=5$.

Pentru o lege aditivă rețeta e și mai scurtă. La $x\ast y=x+y-4$ pe $\mathbb{Z}$ avem $e=4$, iar din $x+x^{\prime }-4=4$ rezultă $x^{\prime }=8-x$: orice număr întreg este simetrizabil.

5. De ce poate un element să aibă doi simetrici?

Pentru că definiția, așa cum am scris-o, nu spune nicăieri „unul singur". Cât timp legea nu este asociativă, un element poate avea doi parteneri diferiți care îl duc în $e$. Iată tabla care arată asta, pe mulțimea $M=\{e,a,b\}$:

Prima linie și prima coloană reproduc antetul, deci $e$ este element neutru. Tabla este simetrică față de diagonala principală, deci legea este comutativă — citirile acestea sunt cele fixate în Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime finită. Acum privește linia lui $a$: avem $a\ast a=e$ și $a\ast b=e$. Prin urmare și $a$, și $b$ sunt simetrici ai lui $a$ — simetricul nu este unic.

Ce lipsește? Asociativitatea. Într-adevăr,

$$(a\ast a)\ast b=e\ast b=b,a\ast (a\ast b)=a\ast e=a,$$

iar $a\ne b$, deci legea nu este asociativă. Vom vedea în lecția următoare că asociativitatea este exact ipoteza care forțează unicitatea. Ideea se spune într-o propoziție: dacă $x$ ar avea doi simetrici, $y$ și $z$, se calculează produsul $y\ast x\ast z$ în două feluri — grupând întâi factorii din dreapta, apoi pe cei din stânga — iar cele două rezultate se dovedesc a fi chiar $y$ și $z$. Singurul pas care lucrează este mutarea parantezelor, adică tocmai asociativitatea. Enunțul de sine stătător și demonstrația completă sunt în Semigrupuri și monoizi, pentru că acolo structura cu lege asociativă și element neutru primește un nume.

6. Cum se citesc elementele simetrizabile din tabla operației?

Pe o mulțime finită, întrebarea se rezolvă vizual, fără niciun calcul. Elementul $x$ este simetrizabil dacă și numai dacă elementul neutru $e$ apare pe linia lui $x$, iar poziția simetrică față de diagonala principală conține tot pe $e$. Concret, cauți $e$ pe linia lui $x$, notezi coloana pe care l-ai găsit — să zicem coloana lui $y$ — și verifici că la intersecția liniei lui $y$ cu coloana lui $x$ stă tot $e$. Dacă da, $y=x^{\prime }$.

Când legea este comutativă, tabla e simetrică și a doua verificare e automată: e suficient ca $e$ să apară pe linia lui $x$. Când legea nu e comutativă, verificarea a doua este obligatorie.

Ia mulțimea $M=\{0,1,2,3\}$ cu legea $x\ast y=\max (x,y)$. Tabla ei este:

Elementul neutru este $0$, pentru că linia și coloana lui reproduc antetul. Pe linia lui $1$, valoarea $0$ nu apare deloc; la fel pe liniile lui $2$ și $3$. Singurul element simetrizabil este $0$, cu $0^{\prime }=0$. Ai aici, într-un exemplu de trei rânduri, o structură perfect respectabilă — legea este asociativă și comutativă, are element neutru — în care aproape nimic nu este simetrizabil.

7. Ce este mulțimea elementelor simetrizabile?

Merită să privim elementele simetrizabile nu unul câte unul, ci ca mulțime, pentru că ea spune cel mai mult despre structura pe care o studiem. Iată tabloul, așa cum îl cere programa:

Trei observații se văd cu ochiul liber. Prima: elementul neutru este întotdeauna simetrizabil, cu $e^{\prime }=e$, pentru că $e\ast e=e$. A doua: mulțimea elementelor simetrizabile este parte stabilă — dacă $x$ și $y$ sunt simetrizabile, atunci și $x\ast y$ este. A treia: există structuri în care simetrizabile sunt toate elementele ($\mathbb{Z}$ cu adunarea), altele în care sunt aproape toate ($\mathbb{Q}$ cu înmulțirea, unde lipsește doar zeroul) și altele în care e simetrizabil doar neutrul (mulțimea de mai sus cu $\max$). Aceste trei tipare organizează tot capitolul, iar mulțimea elementelor simetrizabile va primi și o notație proprie, $U(M)$, în lecția următoare, unde structura pe care trăiește capătă un nume.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O lege aditivă pe $\mathbb{Z}$

Pe $\mathbb{Z}$ se definește $x\ast y=x+y-4$. Determină elementele simetrizabile și simetricul fiecăruia.

Legea este comutativă, deci verificăm o singură egalitate. Elementul neutru se obține din $x+e-4=x$, adică $e=4$. Ecuația simetricului este $x+x^{\prime }-4=4$, de unde $x^{\prime }=8-x$. Cum $8-x\in \mathbb{Z}$ pentru orice $x\in \mathbb{Z}$, toate elementele sunt simetrizabile. Verificare: $x\ast (8-x)=x+8-x-4=4=e$, corect.

Exemplul 2 — Un element care nu are simetric

Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\ast y=xy-3x-3y+12$. Determină elementele simetrizabile.

Căutăm forma factorizată: $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$, ceea ce se verifică desfăcând parantezele, $xy-3x-3y+9+3$. Elementul neutru rezultă din $(x-3)(e-3)+3=x$, adică $(x-3)(e-3)=x-3$ pentru orice $x$, deci $e-3=1$ și $e=4$. Ecuația simetricului este $(x-3)(x^{\prime }-3)=1$: pentru $x=3$ ea devine $0=1$, imposibil, iar pentru $x\ne 3$ dă $x^{\prime }=3+\frac{1}{x-3}$. Mulțimea elementelor simetrizabile este $\mathbb{R}\setminus \{3\}$.

Exemplul 3 — Simetricul unei matrice

În $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),\cdot )$, arată că $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$ este simetrizabilă și determină simetricul ei.

Calculăm $\det A=2\cdot 2-1\cdot 3=1\ne 0$, deci $A$ este inversabilă. Cu formula inversei pentru matrice de ordin doi obținem $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$. Verificăm ambele produse, pentru că înmulțirea matricelor nu este comutativă:

$$A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}4-3& -2+2\\ 6-6& -3+4\end{array}\right)=I_2,A^{-1}A=\left(\begin{array}{cc}4-3& 2-2\\ -6+6& -3+4\end{array}\right)=I_2.$$

Exemplul 4 — Simetricul unei funcții

În $(\mathcal{F}(\mathbb{R}),\circ )$, arată că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-3$, este simetrizabilă și determină simetricul ei. Arată apoi că $g(x)=x^2$ nu este.

Funcția $f$ este bijectivă: din $2x_1-3=2x_2-3$ rezultă $x_1=x_2$ (injectivitate), iar ecuația $2x-3=y$ are soluția $x=\frac{y+3}{2}$ pentru orice $y$ real (surjectivitate). Deci $f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}$, iar $f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=1_{\mathbb{R}}$. Funcția $g$ nu este injectivă, pentru că $g(-2)=g(2)=4$, deci nu este bijectivă și nu are simetric față de compunere.

Exemplul 5 — Citirea din tablă

Pe $M=\{e,a,b,c\}$ se dă tabla de mai jos. Determină elementul neutru și elementele simetrizabile.

Linia și coloana lui $e$ reproduc antetul, deci $e$ este element neutru. Tabla e simetrică față de diagonala principală, deci legea e comutativă și e destul să căutăm $e$ pe fiecare linie: pe linia lui $a$ îl găsim în coloana lui $c$, deci $a^{\prime }=c$; pe linia lui $b$ îl găsim în coloana lui $b$, deci $b^{\prime }=b$; pe linia lui $c$ îl găsim în coloana lui $a$, deci $c^{\prime }=a$. Toate cele patru elemente sunt simetrizabile.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea de compoziție $x\ast y=xy-4x-4y+20$.

a) Arată că $x\ast y=(x-4)(y-4)+4$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$.

Desfacem paranteza din membrul drept: $(x-4)(y-4)+4=xy-4x-4y+16+4=xy-4x-4y+20$, adică exact membrul stâng.

b) Determină elementul neutru al legii $\ast$.

Punem condiția $x\ast e=x$ pentru orice $x$ real: $(x-4)(e-4)+4=x$, adică $(x-4)(e-4)=x-4$. Cum egalitatea trebuie să aibă loc pentru orice $x$, alegem un $x\ne 4$ și simplificăm: $e-4=1$, deci $e=5$. Legea fiind comutativă, avem și $e\ast x=x$, deci $e=5$ este element neutru.

c) Determină elementele simetrizabile și simetricul fiecăruia.

Ecuația simetricului este $(x-4)(x^{\prime }-4)+4=5$, adică $(x-4)(x^{\prime }-4)=1$. Pentru $x=4$ obținem $0=1$, fals, deci $4$ nu este simetrizabil. Pentru $x\ne 4$ rezultă $x^{\prime }=4+\frac{1}{x-4}$, număr real, deci mulțimea elementelor simetrizabile este $\mathbb{R}\setminus \{4\}$. Control numeric: pentru $x=6$, $x^{\prime }=\frac{9}{2}$, iar $6\ast \frac{9}{2}=27-24-18+20=5$, corect. Așa arată, aproape cuvânt cu cuvânt, cerința din Subiectul al II-lea de la Bacalaureat M1.

Să exersăm

1. Pe $\mathbb{Z}$ se definește $x\ast y=x+y-4$. Determină simetricul lui $7$.

2. Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\ast y=x+y+2$. Arată că orice element este simetrizabil și determină formula simetricului.

3. Determină elementele simetrizabile din $(\mathbb{Z},\cdot )$ și simetricul fiecăruia.

4. Determină elementele simetrizabile din $(\mathbb{Q},\cdot )$ și explică de ce $0$ nu se află printre ele.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-o mulțime pe care legea are element neutru, orice element este simetrizabil."

6. Arată că $A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$ este simetrizabilă în $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),\cdot )$ și determină simetricul ei.

7. În $(\mathcal{F}(\mathbb{R}),\circ )$, determină simetricul funcției $f(x)=3x+1$.

8. Este funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2$, simetrizabilă în $(\mathcal{F}(\mathbb{R}),\circ )$? Justifică.

9. Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\ast y=xy-3x-3y+12$. a) Scrie legea sub formă factorizată. b) Determină elementul neutru. c) Determină elementele simetrizabile.

10. (Problemă aplicată.) Un cifru deplasează fiecare literă cu $5$ poziții într-un alfabet de $26$ de litere, ciclic. Compunerea a două deplasări este tot o deplasare, iar elementul neutru este deplasarea cu $0$ poziții. Care este simetricul deplasării cu $5$ poziții?

11. Este matricea $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ simetrizabilă în $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),\cdot )$? Justifică prin determinant.

12. Pe $M=(2,+\infty )$ se definește $x\ast y=xy-2x-2y+6$. Verifică faptul că $3$ este element neutru și determină simetricul lui $4$.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Elementul neutru este întotdeauna simetrizabil, iar simetricul lui este el însuși."

14. Pe $M=\{1,2,3,4\}$ se definește $x\ast y=\max (x,y)$. Arată că $1$ este element neutru și determină elementele simetrizabile.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=2xy-6x-6y+21$. a) Arată că $x\ast y=2(x-3)(y-3)+3$. b) Determină elementul neutru. c) Determină elementele simetrizabile și simetricul fiecăruia.

16. Pe $\mathbb{Z}$ se definește $x\ast y=x+y-4$. Determină elementele egale cu propriul simetric.

17. În $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),+)$, determină simetricul matricei $\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 0& 5\end{array}\right)$ și explică de ce aici orice matrice este simetrizabilă.

18. (Provocare.) Fie $a\in \mathbb{R}$ fixat și legea $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, definită pe $M=\mathbb{R}\setminus \{a\}$. Determină elementul neutru și arată că orice element din $M$ este simetrizabil.

Răspunsuri și explicații

1. $e=4$, iar din $7+x^{\prime }-4=4$ rezultă $x^{\prime }=1$. Verificare: $7\ast 1=7+1-4=4$, corect.

2. Din $x+e+2=x$ obținem $e=-2$. Ecuația $x+x^{\prime }+2=-2$ dă $x^{\prime }=-4-x$, număr real pentru orice $x$ real, deci toate elementele sunt simetrizabile.

3. Din $xy=1$ cu $x,y\in \mathbb{Z}$ rezultă că $x$ divide pe $1$, deci $x\in \{-1,1\}$. Fiecare este propriul invers: $(-1)(-1)=1$ și $1\cdot 1=1$.

4. Orice $x\in {\mathbb{Q}}^{\ast }$ este simetrizabil, cu $x^{-1}=\frac{1}{x}\in \mathbb{Q}$. Numărul $0$ nu este, pentru că $0\cdot y=0$ pentru orice $y$, deci produsul nu poate fi niciodată $1$.

5. Fals. În $(\mathbb{N},+)$ elementul neutru este $0$, dar singurul element simetrizabil este tot $0$; în $(\mathbb{Z},\cdot )$ neutrul este $1$, iar simetrizabile sunt doar $-1$ și $1$. Existența neutrului nu garantează nimic despre simetrice.

6. $\det A=3\cdot 2-5\cdot 1=1\ne 0$, deci $A$ este inversabilă, iar $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)$. Control: $A{A}^{-1}=I_2$ și $A^{-1}A=I_2$.

7. $f$ este bijectivă (funcție de gradul întâi cu panta nenulă), iar din $y=3x+1$ obținem $x=\frac{y-1}{3}$. Deci simetricul este $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{3}$.

8. Nu. $g$ nu este injectivă, pentru că $g(-2)=g(2)=4$, deci nu este bijectivă. Fără bijectivitate nu există funcție $h$ cu $g\circ h=h\circ g=1_{\mathbb{R}}$.

9. a) $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$. b) Din $(x-3)(e-3)=x-3$ rezultă $e=4$. c) Din $(x-3)(x^{\prime }-3)=1$: elementul $3$ nu este simetrizabil, iar pentru $x\ne 3$ avem $x^{\prime }=3+\frac{1}{x-3}$. Mulțimea cerută este $\mathbb{R}\setminus \{3\}$.

10. Deplasarea cu $21$ de poziții, pentru că $5+21=26$, adică o rotire completă a alfabetului, echivalentă cu deplasarea cu $0$.

11. Nu. $\det \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)=1\cdot 4-2\cdot 2=0$, iar criteriul determinantului spune că o matrice cu determinantul nul nu este inversabilă.

12. Forma factorizată este $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$, iar $x\ast 3=(x-2)\cdot 1+2=x$, deci $3$ este element neutru. Din $(4-2)(x^{\prime }-2)=1$ obținem $x^{\prime }-2=\frac{1}{2}$, adică $x^{\prime }=\frac{5}{2}$, care este în $(2,+\infty )$. Control: $4\ast \frac{5}{2}=10-8-5+6=3$, corect.

13. Adevărat. Din definiția elementului neutru, $e\ast e=e$, ceea ce este exact condiția ca $e$ să fie simetrizabil și ca simetricul lui să fie $e$.

14. $\max (1,x)=x$ pentru orice $x\in M$, deci $1$ este element neutru. Pentru ca $x$ să fie simetrizabil ar trebui ca $\max (x,y)=1$ pentru un $y\in M$, ceea ce cere $x\le 1$. Singurul element simetrizabil este $1$, cu $1^{\prime }=1$.

15. a) $2(x-3)(y-3)+3=2(xy-3x-3y+9)+3=2xy-6x-6y+21$. b) Din $2(x-3)(e-3)=x-3$ rezultă $e-3=\frac{1}{2}$, deci $e=\frac{7}{2}$. c) Din $2(x-3)(x^{\prime }-3)=\frac{1}{2}$ obținem $(x-3)(x^{\prime }-3)=\frac{1}{4}$: elementul $3$ nu este simetrizabil, iar pentru $x\ne 3$ avem $x^{\prime }=3+\frac{1}{4(x-3)}$.

16. Condiția $x^{\prime }=x$ înseamnă $8-x=x$, deci $x=4$. Singurul element egal cu propriul simetric este chiar elementul neutru.

17. Simetricul este $\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ 0& -5\end{array}\right)$, pentru că suma celor două matrice este $O_2$. Orice matrice $A$ este simetrizabilă față de adunare, cu opusul $-A$, obținut schimbând semnul fiecărui element.

18. Din $(x-a)(e-a)=x-a$ și $x\ne a$ rezultă $e-a=1$, deci $e=a+1$, element din $M$. Ecuația $(x-a)(x^{\prime }-a)=1$ are, pentru orice $x\ne a$, soluția $x^{\prime }=a+\frac{1}{x-a}$, iar $x^{\prime }\ne a$ pentru că $\frac{1}{x-a}\ne 0$. Prin urmare orice element din $M$ este simetrizabil.

De reținut

• Un element $x$ este simetrizabil față de legea $\ast$ cu element neutru $e$ dacă există $x^{\prime }\in M$ astfel încât $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$, iar $x^{\prime }$ se numește simetricul lui $x$.
• Simetricul se notează $x^{\prime }$ pentru o lege oarecare, $x^{-1}$ și se numește invers când legea este multiplicativă, respectiv $-x$ și se numește opus când legea este aditivă.
• Simetricul unui element se determină rezolvând ecuația $x\ast x^{\prime }=e$ în necunoscuta $x^{\prime }$, după ce elementul neutru a fost aflat; pentru legea $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ răspunsul este $x^{\prime }=a+\frac{1}{x-a}$, cu $x\ne a$.
• Pe o mulțime finită, elementele simetrizabile se citesc din tabla operației: $x$ este simetrizabil dacă elementul neutru apare pe linia lui $x$ și, simetric față de diagonala principală, și pe coloana lui.
• Aceeași lege dă mulțimi de elemente simetrizabile diferite pe mulțimi diferite: la înmulțire, $\mathbb{Z}$ dă doar $\{-1,1\}$, în timp ce $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$ dau toate elementele nenule.

Greșeli frecvente

• Verificarea unei singure egalități la o lege necomutativă. La matrice și la funcții trebuie arătate ambele produse, $x\ast x^{\prime }=e$ și $x^{\prime }\ast x=e$. Scutirea se acordă numai după ce ai spus explicit că legea este comutativă.
• Uitarea condiției „$x^{\prime }$ aparține lui $M$". Formula $x^{\prime }=4+\frac{1}{x-4}$ nu ajunge; trebuie spus pentru ce valori ale lui $x$ ea are sens și verificat că rezultatul rămâne în mulțimea dată. Pe $\mathbb{Z}$, de pildă, aproape niciun element nu ar mai fi simetrizabil.
• Confuzia dintre element neutru și element simetrizabil. Neutrul este unul singur pentru toată mulțimea; simetricul se caută separat pentru fiecare element. Un element neutru există sau nu; simetrice pot exista pentru unele elemente și pentru altele nu.
• Notația greșită a simetricului. Pentru o lege oarecare $\ast$ se scrie $x^{\prime }$, nu $x^{-1}$ și nu $\frac{1}{x}$ — chiar dacă formula legii conține produse. Notațiile $x^{-1}$ și $-x$ sunt rezervate legilor scrise multiplicativ, respectiv aditiv.
• Presupunerea că simetricul e automat unic. Unicitatea are nevoie de asociativitate. Fără ea, tabla de la punctul 5 arată un element cu doi simetrici diferiți, deci nu poți scrie „simetricul" înainte de a ști că legea este asociativă.

Aplică acasă

1. Ceasul ca operație. Scrie pe hârtie orele $0,1,\dots ,11$ și definește operația „adună orele și ia restul la $12$". Găsește elementul neutru, apoi determină simetricul fiecărei ore. Câte elemente sunt simetrizabile? Păstrează foaia — vei recunoaște structura peste două lecții.

2. Vânătoarea de simetrice pe calculator. Într-o foaie de calcul, scrie tabla legii $x\ast y=\max (x,y)$ pe $\{0,1,2,3,4\}$, apoi tabla legii $x\ast y=\min (x,y)$ pe aceeași mulțime. Pentru fiecare, identifică elementul neutru și elementele simetrizabile. Compară rezultatele și explică diferența.

3. Undo în aplicația ta preferată. Alege trei comenzi dintr-un editor de text sau de imagini (deplasare, rotire, schimbare de culoare) și scrie, pentru fiecare, comanda care o anulează. Care dintre ele nu are „undo" și de ce? Vei descoperi că exact acelea nu sunt bijective.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide seria proprietăților unei legi de compoziție și pregătește direct definiția structurilor din unitatea următoare. Ea verifică trei lucruri: dacă elevul scrie corect definiția (cu ambele egalități și cu apartenența simetricului la mulțime), dacă știe să obțină simetricul rezolvând o ecuație, și dacă înțelege că răspunsul depinde de mulțimea pe care se lucrează, nu doar de formula legii.

De verificat în caiet: (1) elementul neutru este determinat înainte de a căuta simetrice; (2) la legile de tipul $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ apare forma factorizată, nu calculul brut; (3) elementele excluse (cele pentru care ecuația nu are soluție) sunt numite explicit; (4) la matrice și funcții se invocă criteriul potrivit — determinantul nenul, respectiv bijectivitatea. Întrebări de control: „Ce înseamnă că $x$ e simetrizabil?"; „De ce trebuie două egalități?"; „De ce nu e $2$ inversabil în $\mathbb{Z}$?"; „Cum vezi pe tablă că un element e simetrizabil?".

La BAC, tipul de cerință este constant: se dă o lege pe $\mathbb{R}$ sau pe un interval, se cere forma factorizată, elementul neutru și elementele simetrizabile — de regulă cele trei subpuncte ale primei probleme din Subiectul al II-lea. Semn că elevul a înțeles: după ce află formula simetricului, verifică singur pe o valoare numerică și precizează domeniul pe care formula funcționează.

Întrebări frecvente

Ce este un element simetrizabil? Un element $x$ al unei mulțimi $M$ pe care este definită o lege $\ast$ cu element neutru $e$ se numește simetrizabil dacă există un element $x^{\prime }$ tot din $M$ astfel încât $x\ast x^{\prime }=e$ și $x^{\prime }\ast x=e$. Elementul $x^{\prime }$ se numește simetricul lui $x$ și, atunci când legea este asociativă, este unic.

Cum se află simetricul unui element? Se rezolvă ecuația $x\ast x^{\prime }=e$ în necunoscuta $x^{\prime }$, după ce elementul neutru $e$ a fost determinat. Pentru legile de tipul $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ se ajunge la $(x-a)(x^{\prime }-a)=1$, deci $x^{\prime }=a+\frac{1}{x-a}$, formulă valabilă pentru $x\ne a$.

Care este diferența dintre simetric, invers și opus? Este aceeași noțiune, cu trei nume și trei notații, alese după cum se scrie legea. La o lege oarecare $\ast$ scriem $x^{\prime }$ și spunem „simetricul"; la o lege notată multiplicativ scriem $x^{-1}$ și spunem „inversul"; la o lege notată aditiv scriem $-x$ și spunem „opusul".

De ce trebuie verificate două egalități în definiție? Pentru că o lege de compoziție nu este obligatoriu comutativă. La înmulțirea matricelor sau la compunerea funcțiilor, $x\ast x^{\prime }$ și $x^{\prime }\ast x$ sunt calcule diferite și pot da rezultate diferite. Când legea este comutativă, ai voie să verifici una singură, spunând explicit de ce.

Poate un element să aibă doi simetrici diferiți? Da, dacă legea nu este asociativă. Pe mulțimea $\{e,a,b\}$ se poate construi o tablă în care $a\ast a=e$ și $a\ast b=b\ast a=e$, deci $a$ are doi simetrici. Asociativitatea este ipoteza care forțează unicitatea, iar demonstrația ei se face în lecția despre semigrupuri și monoizi.

De ce numărul $2$ nu este simetrizabil în $\mathbb{Z}$ față de înmulțire? Pentru că ecuația $2y=1$ nu are soluție în $\mathbb{Z}$: singurul candidat, $\frac{1}{2}$, nu este număr întreg. Condiția ca simetricul să aparțină mulțimii pe care lucrăm este esențială. În $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ sau $\mathbb{C}$ același element $2$ este simetrizabil.

Cum recunosc elementele simetrizabile din tabla operației? Cauți elementul neutru pe linia elementului studiat. Dacă îl găsești în coloana unui element $y$ și, în plus, la intersecția liniei lui $y$ cu coloana lui $x$ apare tot neutrul, atunci $x$ este simetrizabil și $x^{\prime }=y$. La legile comutative, tabla fiind simetrică, prima verificare este suficientă.

Cum apar elementele simetrizabile în subiectele de Bacalaureat M1? Aproape întotdeauna ca al treilea subpunct al unei probleme din Subiectul al II-lea: se dă o lege pe $\mathbb{R}$ sau pe un interval, se cere forma factorizată, apoi elementul neutru, apoi elementele simetrizabile cu formula simetricului. Punctajul se pierde cel mai des la elementul exclus, care trebuie numit explicit.