Elementele elipsei și graficul ei: pe scurt

Din ecuația canonică $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ elementele se citesc direct, cu grijă la un amănunt: semiaxele sunt radicalii numitorilor, nu numitorii. Semiaxa mare $a$ este radicalul numitorului mai mare, aflat sub $x^2$ în convenția acestui capitol; semiaxa mică $b$ este radicalul celuilalt. Cele patru vârfuri sunt $(\pm a,0)$ și $(0,\pm b)$, iar curba este simetrică față de ambele axe și față de centru, pentru că în ecuație variabilele apar numai la puterea a doua.

Relația $a^2=b^2+c^2$ este teorema lui Pitagora în triunghiul $OBF$: distanța de la vârful $B(0,b)$ la fiecare focar este exact $a$. Focarele stau întotdeauna pe axa mare, niciodată pe cea mică. Excentricitatea $e=\frac{c}{a}$ ia valori în $(0,1)$ și măsoară turtirea: aproape de $0$ înseamnă aproape cerc, aproape de $1$ înseamnă foarte alungită. Două elipse cu aceeași excentricitate au aceeași formă și diferă doar prin mărime.

Elipsa nu este graficul unei funcții, dar este reuniunea graficelor funcțiilor $f_{1,2}:[-a,a]\to \mathbb{R}$, $f_{1,2}(x)=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$ — formularea cerută de programă. Trasarea se face în cinci pași, pornind de la dreptunghiul-schelet cu laturile $2a$ și $2b$, pe care curba îl atinge exact în cele patru vârfuri și de care se depărtează peste tot în rest.

Exerciții din această mini-lecție

1. Excentricitatea elipsei $\frac{x^2}{625}+\frac{y^2}{576}=1$ este:

   • a) $\frac{7}{24}$
   • b) $\frac{24}{25}$
   • c) $\frac{7}{25}$
   • d) $\frac{25}{7}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{7}{25}$

   Semiaxele sunt $a=25$ și $b=24$, iar $c=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7$. Excentricitatea este $e=\frac{c}{a}=\frac{7}{25}$, valoare mică, deci elipsa e aproape circulară. Varianta $\frac{25}{7}$ inversează raportul și ar da $e>1$, imposibil la elipsă; $\frac{24}{25}$ este raportul $\frac{b}{a}$.

2. Focarele conicei $36x^2+100y^2=3600$ sunt:

   • a) $(\pm 6,0)$
   • b) $(\pm 8,0)$
   • c) $(\pm 10,0)$
   • d) $(0,\pm 8)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $(\pm 8,0)$

   Se împarte întâi prin $3600$: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$, deci $a=10$, $b=6$ și $c=\sqrt{100-36}=8$. Focarele sunt $(\pm 8,0)$, pe axa mare. Fără normalizare s-ar citi greșit semiaxele; varianta $(\pm 10,0)$ confundă focarele cu vârfurile, iar $(\pm 6,0)$ ia $b$ drept $c$.

3. Elipsa $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$ este reuniunea graficelor funcțiilor:

   • a) $f_{1,2}:[-10,10]\to \mathbb{R}$, $f_{1,2}(x)=\pm \frac{3}{5}\sqrt{100-x^2}$
   • b) $f_{1,2}:[-6,6]\to \mathbb{R}$, $f_{1,2}(x)=\pm \frac{3}{5}\sqrt{36-x^2}$
   • c) $f_{1,2}:[-10,10]\to \mathbb{R}$, $f_{1,2}(x)=\pm \frac{5}{3}\sqrt{100-x^2}$
   • d) $f_{1,2}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f_{1,2}(x)=\pm \frac{3}{5}\sqrt{100-x^2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $f_{1,2}:[-10,10]\to \mathbb{R}$, $f_{1,2}(x)=\pm \frac{3}{5}\sqrt{100-x^2}$

   Scoțând $y$ din ecuație obținem $y^2=36\left(1-\frac{x^2}{100}\right)$, adică $y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}=\pm \frac{3}{5}\sqrt{100-x^2}$. Domeniul este dat de condiția de existență a radicalului, $x\in [-10,10]$, și face parte din răspuns: fără el, răspunsul este incomplet.