Elementele elipsei și reprezentarea ei grafică

Un inginer care proiectează o cupolă eliptică, un astronom care descrie o orbită și un elev care are de desenat o curbă pe foaia de examen au nevoie de aceleași șase numere: unde este centrul, cât de lungi sunt cele două axe, unde stau focarele și cât de „turtită" este curba. Toate se citesc direct din ecuația canonică, iar lecția aceasta de clasa a 12-a arată cum, apoi transformă informația în desen. Elementele unei elipse sunt centrul, cele patru vârfuri, semiaxa mare $a$, semiaxa mică $b$, cele două focare aflate la distanța $c=\sqrt{a^2-b^2}$ de centru și excentricitatea $e=\frac{c}{a}$.

Lecția anterioară a dedus ecuația $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ din definiția cu sfoara și cele două cuie. Acum facem drumul invers: pornim de la ecuație și scoatem din ea toate elementele geometrice ale curbei — vârfuri, axe, focare, excentricitate —, după care trasăm graficul în cinci pași, la fel de sistematic cum ai trasat, în unitatea trecută, graficul unei funcții. Programa cere explicit acest algoritm de reprezentare grafică, iar el se va repeta, cu mici schimbări, la hiperbolă și la parabolă.

Ce vei învăța

• Vei ști să numești toate elementele unei elipse: centru, axe de simetrie, vârfuri, semiaxe, focare, distanță focală.
• Vei ști să le determini pe toate pornind de la ecuația canonică, inclusiv când ecuația este dată sub forma $A{x}^2+B{y}^2=D$.
• Vei ști ce este excentricitatea $e=\frac{c}{a}$ și ce spune valoarea ei despre forma curbei.
• Vei ști să trasezi graficul unei elipse în cinci pași, folosind dreptunghiul de laturi $2a$ și $2b$.
• Vei ști să scrii elipsa ca reuniune a graficelor a două funcții cu radical, așa cum cere programa.
• Vei ști să verifici singur, cu trei controale rapide, dacă desenul obținut este corect.

Hai să descoperim împreună

1. Ce elemente are o elipsă?

Pornim de la elipsa în forma canonică $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, cu $a>b>0$, dedusă la lecția despre definiția geometrică a elipsei și ecuația ei canonică.

Elementele elipsei sunt centrul, cele două axe de simetrie, cele patru vârfuri, cele două focare și excentricitatea. Centrul este originea $O$, axele de simetrie sunt axele de coordonate, vârfurile sunt punctele în care curba taie axele, focarele stau pe axa $Ox$ la distanța $c$ de centru, iar excentricitatea măsoară cât de turtită este curba.

Iată-le, cu notațiile fixate pentru tot capitolul:

2. De unde vin vârfurile și simetriile?

Toate elementele de mai sus ies din ecuație prin calcule de o linie, iar meritul formei canonice este tocmai acesta.

Vârfurile sunt intersecțiile cu axele. Punând $y=0$ obținem $\frac{x^2}{a^2}=1$, deci $x=\pm a$: vârfurile $A(a,0)$ și $A^{\prime }(-a,0)$. Punând $x=0$ obținem $y=\pm b$: vârfurile $B(0,b)$ și $B^{\prime }(0,-b)$. Nu există alte intersecții cu axele, deci elipsa are exact patru vârfuri.

Simetriile vin din faptul că în ecuație variabilele apar numai la puterea a doua. Dacă $M(x,y)$ verifică ecuația, atunci o verifică și $(x,-y)$, și $(-x,y)$, și $(-x,-y)$. Prin urmare curba este simetrică față de $Ox$, față de $Oy$ și față de origine — de aceea $O$ se numește centrul elipsei.

Mărginirea vine tot din ecuație: din $\frac{x^2}{a^2}\le 1$ și $\frac{y^2}{b^2}\le 1$ rezultă $|x|\le a$ și $|y|\le b$. Elipsa este deci cuprinsă în dreptunghiul cu vârfurile $(\pm a,\pm b)$ și îl atinge exact în cele patru vârfuri ale sale. Acest dreptunghi este scheletul desenului, la punctul $5$.

3. Triunghiul dreptunghic ascuns în elipsă

Relația $a^2=b^2+c^2$ nu este doar o formulă: este teorema lui Pitagora într-un triunghi care se vede pe desen. Ia vârful $B(0,b)$ și focarul $F(c,0)$; triunghiul $OBF$ este dreptunghic în $O$, cu catetele $OB=b$ și $OF=c$, deci $$BF=\sqrt{b^2+c^2}=a.$$

Rezultatul se putea obține și din definiție: pentru punctul $B$, cele două raze focale sunt egale, iar suma lor este $2a$, deci fiecare este $a$. Din el iese construcția cu compasul a focarelor: dacă ai desenat elipsa și îi cunoști vârfurile, pui vârful compasului în $B$, iei deschiderea $a=OA$ și tai axa $Ox$ în două puncte — acelea sunt focarele.

Practic, cele trei numere se determină unul din celelalte două: $$c=\sqrt{a^2-b^2},b=\sqrt{a^2-c^2},a=\sqrt{b^2+c^2}.$$ Toate distanțele de aici se calculează cu formula deprinsă la reperul cartezian și distanța dintre două puncte; pe desen, ele sunt laturi ale unui singur triunghi dreptunghic, ceea ce face relația ușor de reținut.

Din același triunghi iese și o lungime pe care o vom folosi la trasare: coarda dusă prin focar, perpendicular pe axa mare. Punând $x=c$ în ecuația canonică obținem $$\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2-c^2}{a^2}=\frac{b^2}{a^2}⟹y=\pm \frac{b^2}{a},$$ deci coarda are lungimea $\frac{2b^2}{a}$. Pentru elipsa $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ ea măsoară $\frac{18}{5}=3,6$.

4. Ce este excentricitatea și ce măsoară ea?

Excentricitatea unei elipse este raportul dintre semidistanța focală și semiaxa mare: $$e=\frac{c}{a},e\in (0,1).$$ Încadrarea este imediată: $c>0$ dă $e>0$, iar $c<a$ dă $e<1$. Este un număr fără unitate de măsură, deci nu depinde de scara desenului: două elipse asemenea au aceeași excentricitate.

Ce măsoară? Cât de departe sunt focarele de centru, în raport cu dimensiunea curbei — adică turtirea. Legătura cu semiaxele se vede scriind $$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}=\sqrt{1-e^2}.$$ Când $e$ este aproape de $0$, raportul $\frac{b}{a}$ este aproape de $1$ și elipsa seamănă cu un cerc; când $e$ se apropie de $1$, raportul scade spre $0$ și elipsa devine tot mai alungită.

Excentricitatea se citește și în razele focale, care la lecția anterioară au căpătat forma $MF=a-\frac{c}{a}x$. Cu notația de acum, ele se scriu foarte compact: $$MF=a-ex,M{F}^{\prime }=a+ex,x\in [-a,a].$$ De aici rezultă că distanța de la un punct al elipsei la un focar variază între $a-c=a(1-e)$, atinsă în vârful cel mai apropiat, și $a+c=a(1+e)$, atinsă în cel mai depărtat. La orbite, cele două valori poartă nume proprii în astronomie și explică de ce o planetă se mișcă mai repede când este aproape de Soare.

La hiperbolă, același raport $\frac{c}{a}$ se definește la fel, dar are valori supraunitare, pentru că acolo $c>a$ — comparația se face la lecția despre hiperbolă și ecuația ei canonică.

Câteva repere din realitate: orbita Pământului are excentricitatea aproximativ $0,017$, deci este aproape circulară — de aceea distanța până la Soare variază puțin de-a lungul anului; orbita cometei Halley are excentricitatea aproximativ $0,97$, deci este o elipsă foarte alungită, care o duce departe de Soare și o aduce înapoi.

⚠️ În toată unitatea de conice, litera $e$ înseamnă excentricitate și nimic altceva.

5. Cum trasezi graficul unei elipse pas cu pas?

Trasarea are cinci pași, pe care îi vom numi cei cinci pași ai trasării elipsei și îi vom folosi ca atare în tot capitolul. Îi ilustrăm pe $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

1. Citește $a$ și $b$ din ecuație și calculează $c$. Aici $a=5$, $b=3$, $c=\sqrt{25-9}=4$.
2. Desenează dreptunghiul-schelet, cu laturile $x=\pm a$ și $y=\pm b$, punctat. Aici, dreptunghiul de laturi $10$ și $6$.
3. Marchează vârfurile $A(5,0)$, $A^{\prime }(-5,0)$, $B(0,3)$, $B^{\prime }(0,-3)$ — sunt mijloacele laturilor dreptunghiului — și focarele $F(4,0)$, $F^{\prime }(-4,0)$.
4. Adaugă două-trei puncte de control, ca să nu deformezi curba între vârfuri. Cel mai comod este punctul de abscisă $c$: din $\frac{16}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ rezultă $y=\pm \frac{9}{5}=\pm 1,8$. Alt punct util: $x=3$ dă $y=\pm \frac{12}{5}=\pm 2,4$.
5. Unește punctele cu o curbă netedă, care atinge dreptunghiul exact în cele patru vârfuri și nu iese din el. Elipsa nu are colțuri și nu are porțiuni drepte.

Punctele de la pasul $4$ nu sunt alese la întâmplare: coarda dusă prin focar perpendicular pe axa mare are lungimea $\frac{2b^2}{a}$, aici $\frac{18}{5}=3,6$, și îți arată cât de „plină" este curba în dreptul focarelor.

6. Elipsa ca reuniune a graficelor a două funcții

Elipsa nu este graficul unei funcții: dreapta verticală $x=0$ o taie în două puncte, $B$ și $B^{\prime }$. Ea este însă, cum cere programa să se spună, reuniunea graficelor a două funcții.

Din ecuația canonică scoatem $y$: $$\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{x^2}{a^2}⟹y^2=\frac{b^2}{a^2}\left(a^2-x^2\right)⟹y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}.$$ Prin urmare, elipsa este reuniunea graficelor funcțiilor $$f_{1,2}:[-a,a]\to \mathbb{R},f_{1,2}(x)=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2},$$ adică semi-elipsa de deasupra axei $Ox$ (pentru semnul plus) și cea de dedesubt (pentru semnul minus). Domeniul $[-a,a]$ apare de la sine: sub radical trebuie să avem un număr nenegativ.

Pe exemplul nostru, $f_1(x)=\frac{3}{5}\sqrt{25-x^2}$, iar tabelul de valori folosit la trasare arată așa:

Valorile scad de la $b$ la $0$ pe măsură ce $x$ crește de la $0$ la $a$ — exact numerele folosite la pasul $4$ al trasării. Această scriere este utilă în trei locuri: la recunoașterea unei conice, discutată la lecția despre recunoașterea conicelor din ecuație sau din grafic; la studiul curbei cu instrumentele de analiză, la lecția despre conice și analiza matematică; și la sfârșitul anului, când aria mărginită de elipsă se calculează cu integrala. Funcțiile cu radical de acest tip le-ai întâlnit deja când ai studiat graficul funcțiilor cu radicali.

7. Cum citești elementele dintr-o ecuație dată?

Multe enunțuri nu dau ecuația în forma canonică, ci sub forma $A{x}^2+B{y}^2=D$, cu $A$, $B$, $D$ pozitive. Regula este simplă: împarte totul prin $D$ și adu ecuația la forma cu $1$ în membrul drept.

De pildă, $9x^2+25y^2=225$ devine, după împărțire prin $225$, chiar $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$. Atenție la capcană: numitorii sunt $\frac{225}{9}=25$ și $\frac{225}{25}=9$, deci coeficientul mic din ecuația inițială dă numitorul mare.

8. Trei controale rapide ale desenului

Înainte de a considera figura terminată, verifică:

• curba atinge dreptunghiul exact în patru puncte și nu iese niciodată din el;
• focarele sunt înăuntru, pe axa mare, mai aproape de vârfurile $A$ și $A^{\prime }$ decât de centru atunci când elipsa este alungită, și oricum niciodată în afara curbei;
• suma distanțelor de la un punct oarecare al desenului la cele două focare, măsurată cu rigla, dă aproximativ $2a$ — este chiar definiția, folosită ca verificare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Toate elementele, dintr-o ecuație canonică

Determinăm elementele elipsei $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$.

Numitorii sunt $169$ și $25$, deci $a=13$ și $b=5$ (numitorul mare stă sub $x^2$, deci focarele sunt pe $Ox$). Atunci $c=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$.

Elementele: centrul $O(0,0)$; vârfurile $A(13,0)$, $A^{\prime }(-13,0)$, $B(0,5)$, $B^{\prime }(0,-5)$; axa mare are lungimea $26$, axa mică are lungimea $10$; focarele sunt $F(12,0)$ și $F^{\prime }(-12,0)$, cu distanța focală $24$; excentricitatea este $e=\frac{12}{13}\approx 0,92$, deci elipsa este vizibil alungită.

Exemplul 2 — Ecuație care trebuie adusă la forma canonică

Determinăm elementele elipsei $16x^2+25y^2=400$.

Împărțim prin $400$: $\frac{16x^2}{400}+\frac{25y^2}{400}=1$, adică $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. Deci $a=5$, $b=4$ și $c=\sqrt{25-16}=3$.

Vârfurile sunt $(\pm 5,0)$ și $(0,\pm 4)$, focarele $(\pm 3,0)$, iar excentricitatea $e=\frac{3}{5}=0,6$. Coarda prin focar, perpendiculară pe axa mare, are lungimea $\frac{2b^2}{a}=\frac{32}{5}=6,4$.

Exemplul 3 — Care elipsă este mai turtită

Comparăm elipsele $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ și $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

Ambele au $a=5$, deci aceeași axă mare. Prima are $b=3$ și $c=4$, deci $e=\frac{4}{5}=0,8$; a doua are $b=4$ și $c=3$, deci $e=\frac{3}{5}=0,6$. Excentricitatea mai mare înseamnă curbă mai turtită, deci prima este mai alungită — ceea ce se vede și direct: are axa mică mai scurtă.

Observă și că elipsele $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ și $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$ au aceeași excentricitate, $\frac{4}{5}$: a doua este mărirea primei de două ori, deci are aceeași formă.

Exemplul 4 — Trasarea în cinci pași

Reprezentăm grafic elipsa $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

Pasul 1: $a=5$, $b=4$, $c=3$. Pasul 2: dreptunghiul punctat cu laturile $x=\pm 5$ și $y=\pm 4$. Pasul 3: vârfurile $(\pm 5,0)$ și $(0,\pm 4)$, focarele $(\pm 3,0)$. Pasul 4: punctul de abscisă $3$ are $\frac{9}{25}+\frac{y^2}{16}=1$, deci $y=\pm \frac{16}{5}=\pm 3,2$; punctul de abscisă $4$ are $y=\pm \frac{12}{5}=\pm 2,4$. Pasul 5: unim printr-o curbă netedă, tangentă la dreptunghi în vârfuri.

Control final: pentru punctul $\left(3,\frac{16}{5}\right)$, razele focale sunt $5-\frac{3}{5}\cdot 3=\frac{16}{5}$ și $5+\frac{9}{5}=\frac{34}{5}$, cu suma $10=2a$ ✓.

Exemplul 5 — Elipsa scrisă ca reuniune de grafice

Scriem elipsa $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ ca reuniune a graficelor a două funcții și calculăm câteva valori.

Din ecuație, $y^2=\frac{9}{25}\left(25-x^2\right)$, deci $y=\pm \frac{3}{5}\sqrt{25-x^2}$. Cele două funcții sunt $$f_{1,2}:[-5,5]\to \mathbb{R},f_{1,2}(x)=\pm \frac{3}{5}\sqrt{25-x^2}.$$ Valorile: $f_1(0)=3$, $f_1(3)=\frac{3}{5}\cdot 4=\frac{12}{5}$, $f_1(4)=\frac{3}{5}\cdot 3=\frac{9}{5}$, $f_1(5)=0$. Graficul lui $f_1$ este semi-elipsa de deasupra axei $Ox$, iar cel al lui $f_2$ este simetricul lui față de $Ox$; reuniunea lor este toată elipsa.

Verificare pe un punct: $\left(4,\frac{9}{5}\right)$ dă $\frac{16}{25}+\frac{81}{225}=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră elipsa de ecuație $9x^2+25y^2=225$.

a) Aduceți ecuația la forma canonică și determinați semiaxele. Împărțind prin $225$ obținem $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$, deci semiaxa mare este $a=5$, iar cea mică $b=3$.

b) Determinați focarele și excentricitatea. Avem $c=\sqrt{25-9}=4$, deci focarele sunt $F(4,0)$ și $F^{\prime }(-4,0)$, iar excentricitatea este $e=\frac{4}{5}=0,8$.

c) Determinați lungimea coardei perpendiculare pe axa mare, dusă prin focarul $F$. Coarda are ecuația $x=4$; înlocuind, $\frac{16}{25}+\frac{y^2}{9}=1$, deci $y^2=\frac{81}{25}$ și $y=\pm \frac{9}{5}$. Lungimea este $\frac{18}{5}=3,6$, adică exact $\frac{2b^2}{a}$.

Să exersăm

1. Determinați semiaxele, vârfurile și focarele elipsei $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

2. Determinați elementele elipsei $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$ și excentricitatea ei.

3. Aduceți ecuația $4x^2+9y^2=36$ la forma canonică și precizați $a$, $b$ și $c$.

4. Calculați excentricitatea elipsei $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$ și comparați-o cu cea a elipsei $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

5. Scrieți ecuația canonică a elipsei cu semiaxa mare $5$ și excentricitatea $\frac{3}{5}$.

6. Scrieți ecuația canonică a elipsei cu focarele $(\pm 12,0)$ și excentricitatea $\frac{12}{13}$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Excentricitatea unei elipse poate fi egală cu $1$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Elipsa este graficul unei funcții."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două elipse au aceeași excentricitate, atunci au aceeași formă, putând diferi doar prin mărime."

10. Determinați cele două funcții a căror reuniune de grafice este elipsa $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$ și precizați-le domeniul.

11. Calculați lungimea coardei perpendiculare pe axa mare, dusă prin focarul elipsei $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$.

12. Reprezentați grafic, în cinci pași, elipsa $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$, precizând punctele folosite.

13. Arătați că punctul $\left(\frac{13}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)$ aparține elipsei $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$.

14. Determinați perimetrul dreptunghiului circumscris elipsei $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$, cel cu laturile paralele cu axele.

15. (Problemă aplicată.) O boltă de tunel are forma unei semi-elipse, cu deschiderea la sol de $10$ metri și înălțimea în centru de $3$ metri. Ce înălțime are bolta la $4$ metri de centru?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră elipsa $16x^2+25y^2=400$. a) Determinați $a$, $b$ și $c$. b) Determinați focarele și excentricitatea. c) Arătați că punctul $\left(3,\frac{16}{5}\right)$ aparține elipsei și calculați suma distanțelor lui la focare.

17. Determinați ecuația canonică a elipsei cu axa mare de lungime $26$ care trece prin punctul $(0,5)$.

18. (Provocare.) Arătați că, pentru orice punct $M$ al elipsei, distanța de la $M$ la centru este cuprinsă între $b$ și $a$, și precizați în ce puncte se ating cele două valori.

Răspunsuri și explicații

1. $a=5$, $b=4$, $c=\sqrt{25-16}=3$. Vârfurile: $(\pm 5,0)$ și $(0,\pm 4)$; focarele: $(3,0)$ și $(-3,0)$.

2. $a=13$, $b=5$, $c=12$; vârfurile $(\pm 13,0)$ și $(0,\pm 5)$; focarele $(\pm 12,0)$; excentricitatea $e=\frac{12}{13}$.

3. Împărțind prin $36$: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$, deci $a=3$, $b=2$ și $c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$.

4. Pentru prima: $a=10$, $b=6$, $c=8$, deci $e=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$. A doua are tot $e=\frac{4}{5}$. Cele două elipse au aceeași formă; prima este a doua mărită de două ori.

5. Din $e=\frac{c}{a}$ rezultă $c=\frac{3}{5}\cdot 5=3$, deci $b^2=25-9=16$ și ecuația este $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

6. Din $c=12$ și $\frac{c}{a}=\frac{12}{13}$ rezultă $a=13$, deci $b^2=169-144=25$ și ecuația este $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$.

7. Fals. Excentricitatea este $\frac{c}{a}$, iar la elipsă $c<a$, deci $e<1$ întotdeauna. Valoarea $1$ ar însemna $c=a$, adică sfoara exact cât distanța dintre focare — caz în care locul geometric este un segment, nu o elipsă.

8. Fals. Verticala $x=0$ taie curba în $(0,b)$ și $(0,-b)$, deci o valoare a lui $x$ ar avea două imagini. Elipsa este însă reuniunea graficelor a două funcții, cele de la punctul $6$.

9. Adevărat. Excentricitatea determină raportul $\frac{b}{a}=\sqrt{1-e^2}$, deci forma; mărimea este dată separat de valoarea lui $a$. Două elipse cu aceeași excentricitate sunt asemenea.

10. $f_{1,2}:[-13,13]\to \mathbb{R}$, $f_{1,2}(x)=\pm \frac{5}{13}\sqrt{169-x^2}$. Domeniul este dat de condiția $169-x^2\ge 0$.

11. Coarda are ecuația $x=12$; din $\frac{144}{169}+\frac{y^2}{25}=1$ rezultă $y^2=\frac{625}{169}$, deci $y=\pm \frac{25}{13}$ și lungimea este $\frac{50}{13}$, adică $\frac{2b^2}{a}$.

12. $a=4$, $b=3$, $c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\approx 2,65$. Dreptunghiul are laturile $x=\pm 4$, $y=\pm 3$; vârfurile sunt $(\pm 4,0)$ și $(0,\pm 3)$; puncte de control: $x=2$ dă $y=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}\approx \pm 2,60$. Curba se unește neted, tangentă la dreptunghi în vârfuri.

13. $\frac{169}{4\cdot 169}+\frac{75}{4\cdot 25}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ ✓, deci punctul aparține elipsei.

14. Dreptunghiul are laturile $2a=10$ și $2b=6$, deci perimetrul este $2(10+6)=32$.

15. Bolta este semi-elipsa superioară a elipsei cu $a=5$ și $b=3$, adică graficul funcției $f_1(x)=\frac{3}{5}\sqrt{25-x^2}$. La $4$ metri de centru: $f_1(4)=\frac{3}{5}\cdot 3=\frac{9}{5}=1,8$ metri.

16. a) Împărțind prin $400$: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$, deci $a=5$, $b=4$, $c=3$. b) Focarele sunt $(\pm 3,0)$, iar $e=\frac{3}{5}$. c) $\frac{9}{25}+\frac{256}{25\cdot 16}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✓; razele focale sunt $5-\frac{3}{5}\cdot 3=\frac{16}{5}$ și $5+\frac{9}{5}=\frac{34}{5}$, cu suma $10=2a$ ✓.

17. Axa mare $2a=26$ dă $a=13$; punctul $(0,5)$ este vârful de pe axa mică, deci $b=5$. Ecuația este $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$.

18. Fie $M(x,y)$ pe elipsă. Atunci $y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)$ și $$O{M}^2=x^2+y^2=b^2+x^2\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right).$$ Coeficientul lui $x^2$ este pozitiv, pentru că $b<a$, deci $O{M}^2$ crește odată cu $x^2$. Cum $x^2\in [0,a^2]$, valoarea minimă este $b^2$ (atinsă pentru $x=0$, adică în vârfurile $B$ și $B^{\prime }$), iar cea maximă este $a^2$ (atinsă pentru $x=\pm a$, adică în vârfurile $A$ și $A^{\prime }$). Prin urmare $b\le OM\le a$.

De reținut

• Din ecuația canonică se citesc direct semiaxele: $a$ este radicalul numitorului mai mare, aflat sub $x^2$, iar $b$ este radicalul celui mai mic.
• Cele patru vârfuri sunt $(\pm a,0)$ și $(0,\pm b)$, iar elipsa este simetrică față de ambele axe și față de centru, pentru că în ecuație variabilele apar doar la puterea a doua.
• Relația $a^2=b^2+c^2$ este teorema lui Pitagora în triunghiul $OBF$, iar din ea rezultă că distanța de la un vârf de pe axa mică la fiecare focar este exact $a$.
• Excentricitatea $e=\frac{c}{a}$ ia valori în intervalul $(0,1)$ și măsoară turtirea: aproape de $0$ înseamnă aproape cerc, aproape de $1$ înseamnă foarte alungită.
• Elipsa nu este graficul unei funcții, dar este reuniunea graficelor funcțiilor $f_{1,2}(x)=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$, definite pe $[-a,a]$.

Greșeli frecvente

• Iei $a$ ca fiind numitorul, nu radicalul lui. În $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ semiaxele sunt $5$ și $3$, nu $25$ și $9$. Verifică imediat pe vârfuri: curba taie axa $Ox$ în $\pm 5$.
• Așezi focarele pe axa mică. Focarele stau întotdeauna pe axa mare, adică pe axa care conține vârfurile mai depărtate de centru; altfel suma distanțelor nu ar putea fi $2a$.
• Confunzi convenția $a>b$. În acest capitol scriem întotdeauna $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ cu $a>b>0$ și focarele pe $Ox$. Dacă într-o problemă numitorul mai mare apare sub $y^2$, curba este tot o elipsă, dar cu axa mare pe $Oy$, deci rolurile axelor se schimbă între ele; recunoașterea acestor situații se face la lecția despre recunoașterea conicelor.
• Calculezi $c=\sqrt{a^2+b^2}$. Aceasta este formula de la hiperbolă; la elipsă sub radical stă diferența, iar rezultatul trebuie să fie mai mic decât $a$. Dacă îți iese $c>a$, ai greșit semnul.
• Desenezi elipsa cu colțuri sau ca pe un dreptunghi rotunjit. Curba atinge dreptunghiul-schelet exact în patru puncte și se depărtează de el peste tot în rest; folosește punctele de control de la pasul $4$ ca să nu o umfli.

Aplică acasă

1. Elipsa din carton. Desenează pe carton elipsa $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ la scara $1$ unitate $=2$ cm, urmând cei cinci pași. Decupeaz-o, apoi verifică cu rigla, în cinci puncte diferite, că suma distanțelor la focare este mereu aceeași.

2. Excentricitatea, măsurată. Caută pe internet valorile semiaxelor orbitelor lui Mercur și ale lui Marte, calculează excentricitățile și desenează cele două orbite la aceeași scară. Vei observa că, deși una este mult mai excentrică decât cealaltă, ambele arată aproape circulare — Soarele fiind cel deplasat față de centru.

3. Bolta de tunel. Măsoară deschiderea și înălțimea unei bolți sau a unei arcade din cartier, presupune că este semi-elipsă și scrie funcția care îi descrie conturul. Verifică apoi, măsurând înălțimea la un metru de margine, cât de bine se potrivește modelul.

Pentru părinți și profesori

Lecția răspunde direct cerinței din programă de a determina elementele unei conice căreia i se cunoaște ecuația canonică și de a o reprezenta grafic pe baza acestei ecuații. Este partea „de execuție" a capitolului: după ce lecția anterioară a dedus ecuația, aici se învață citirea ei și desenul.

Ce verifică lecția: (1) citirea corectă a semiaxelor din numitori, cu atenție la faptul că $a$ este radicalul numitorului mai mare; (2) calculul lui $c$ cu diferența, nu cu suma; (3) definiția excentricității și interpretarea ei; (4) parcurgerea completă a celor cinci pași ai trasării, cu dreptunghiul-schelet și cu punctele de control; (5) scrierea elipsei ca reuniune a graficelor a două funcții cu radical, formulare cerută explicit de programă.

Întrebări bune de control: „Pe ce axă stau focarele și de unde știi?", „Cât este distanța de la vârful de pe axa mică la un focar?", „Ce se întâmplă cu forma curbei dacă excentricitatea crește?", „De ce elipsa nu este graficul unei funcții?". Un semn sigur că elevul a înțeles: desenează întâi dreptunghiul și abia apoi curba, și verifică la final cu suma distanțelor la focare.

La BAC, profilul matematică-informatică va cere acest tip de determinări odată cu intrarea în examen a programei noi; independent de asta, scrierea ca reuniune de grafice este pasul pregătitor pentru calculul ariei interiorului elipsei cu integrala definită, la finalul anului. Exercițiile sunt gândite în formatul cu subpuncte a), b), c) al Subiectului al II-lea.

Întrebări frecvente

Care sunt elementele unei elipse? Centrul, cele două axe de simetrie, cele patru vârfuri, cele două focare și excentricitatea. Centrul este originea, vârfurile sunt punctele în care curba taie axele, focarele stau pe axa mare, simetric față de centru, iar excentricitatea este raportul dintre semidistanța focală și semiaxa mare.

Cum aflu focarele elipsei din ecuația canonică? Iei radicalii numitorilor, obținând semiaxele $a$ și $b$ cu $a>b$, apoi calculezi $c=\sqrt{a^2-b^2}$. Focarele sunt punctele $(c,0)$ și $(-c,0)$, așezate pe axa mare. Verificarea rapidă: distanța de la un vârf al axei mici la fiecare focar trebuie să fie exact $a$.

Ce este excentricitatea unei elipse? Este raportul $e=\frac{c}{a}$ dintre semidistanța focală și semiaxa mare, un număr cuprins strict între $0$ și $1$. Măsoară turtirea curbei: valorile apropiate de zero dau elipse aproape circulare, iar cele apropiate de unu dau elipse foarte alungite. Nu depinde de mărimea desenului.

Cum se desenează o elipsă pornind de la ecuație? În cinci pași: citești $a$ și $b$ și calculezi $c$; desenezi punctat dreptunghiul de laturi $2a$ și $2b$; marchezi cele patru vârfuri, în mijloacele laturilor, și focarele; adaugi două-trei puncte de control calculate din ecuație; unești totul printr-o curbă netedă, tangentă la dreptunghi în vârfuri.

Este elipsa graficul unei funcții? Nu, pentru că unei valori a lui $x$ din intervalul deschis $(-a,a)$ îi corespund două valori ale lui $y$. Elipsa este însă reuniunea graficelor funcțiilor $f_{1,2}(x)=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$, definite pe $[-a,a]$: prima dă jumătatea de sus a curbei, a doua jumătatea de jos.

De ce distanța de la vârful de pe axa mică la focar este egală cu semiaxa mare? Pentru că acel vârf este egal depărtat de cele două focare, iar suma celor două distanțe este $2a$ prin definiție, deci fiecare este $a$. Același rezultat se obține și cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic de catete $b$ și $c$, unde ipotenuza este $\sqrt{b^2+c^2}=a$.

Apar conicele în subiectele de Bacalaureat M1? În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut, pentru că ele intră în examen odată cu programa nouă. Elementele elipsei rămân însă materie de clasa a 12-a și se folosesc în capitolul de aplicații ale integralei, unde aria interiorului elipsei se calculează pornind exact de la funcțiile cu radical de mai sus.