Elementele hiperbolei și graficul: pe scurt

Elementele hiperbolei $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ sunt centrul $O$, vârfurile $(\pm a,0)$, focarele $(\pm c,0)$ cu $c=\sqrt{a^2+b^2}$, semiaxa reală $a$ și semiaxa imaginară $b$, excentricitatea $e=\frac{c}{a}>1$ și asimptotele $y=\pm \frac{b}{a}x$. Panta lor se obține cel mai repede înlocuind $1$ cu $0$ în ecuația canonică și factorizând: numărătorul este semiaxa de sub termenul cu minus.

Ramurile sunt reuniunea graficelor funcțiilor $\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$, definite pe $(-\infty ,-a]\cup [a,+\infty )$, iar dreptele $y=\pm \frac{b}{a}x$ sunt asimptote oblice la aceste grafice — se demonstrează cu cei trei pași ai asimptotei oblice, separat spre $+\infty$ și spre $-\infty$, unde modulul din $\sqrt{x^2-a^2}=|x|\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}$ schimbă semnul pantei. Curba nu își atinge și nu își taie asimptotele: diferența dintre ele tinde la zero fără să se anuleze.

Dreptunghiul fundamental, cu vârfurile $(\pm a,\pm b)$, are drept diagonale asimptotele, iar semidiagonala lui este exact $c$ — de aici desenul și localizarea focarelor devin imediate. Excentricitatea determină forma prin $\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$: excentricitate mare înseamnă asimptote înclinate și ramuri deschise. Asimptotele singure nu determină hiperbola: ele fixează doar raportul $\frac{b}{a}$, deci mai e nevoie de o condiție.

Exerciții din această mini-lecție

1. Asimptotele hiperbolei $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{25}=1$ sunt:

   • a) $y=\pm \frac{5}{6}x$
   • b) $y=\pm \frac{25}{36}x$
   • c) $y=\pm x$
   • d) $y=\pm \frac{6}{5}x$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $y=\pm \frac{5}{6}x$

   Asimptotele sunt $y=\pm \frac{b}{a}x$, cu $a=6$ și $b=5$, deci $y=\pm \frac{5}{6}x$. Scurtătura: înlocuiește $1$ cu $0$ în ecuație și factorizează, $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{25}=0$. Panta se citește din dreptunghiul fundamental: diagonala urcă $b=5$ pe verticală când înaintează $a=6$ pe orizontală.

2. Pentru hiperbola $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$, distanța de la focarul $F(13,0)$ la asimptota $5x-12y=0$ este:

   • a) $12$
   • b) $5$
   • c) $13$
   • d) $\frac{25}{13}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $5$

   Distanța este $\frac{|5\cdot 13-12\cdot 0|}{\sqrt{25+144}}=\frac{65}{13}=5$, adică exact semiaxa $b$. Rezultatul nu e o coincidență: la orice hiperbolă distanța de la un focar la o asimptotă este $b$, ceea ce dă și o construcție geometrică rapidă a focarelor pornind de la dreptunghiul fundamental.

3. Semidiagonala dreptunghiului fundamental al hiperbolei $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ este egală cu:

   • a) $e$
   • b) $a$
   • c) $b$
   • d) $c$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $c$

   Dreptunghiul fundamental are vârfurile $(\pm a,\pm b)$, deci semidiagonala lui, măsurată din centru, este $\sqrt{a^2+b^2}=c$. De aceea focarele se obțin desenând cercul de rază egală cu semidiagonala și intersectându-l cu axa transversă — construcția standard din cei cinci pași ai trasării.