Elementele hiperbolei: focare, vârfuri, asimptote; reprezentarea grafică

Turnurile de răcire ale unei centrale au o siluetă care se strânge la mijloc și se deschide în sus și în jos: contururile lor sunt, aproape exact, ramuri de hiperbolă. Ce se vede de la distanță nu este însă curba, ci direcțiile ei — două drepte de care conturul se apropie fără să le atingă. Lecția de față, a opta din unitatea de conice a clasei a 12-a, dă nume tuturor mărimilor citite direct din ecuația canonică și arată, cu instrumentele de analiză matematică deja stăpânite, de unde vin cele două drepte. Elementele hiperbolei $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ sunt centrul, cele două vârfuri $(\pm a,0)$, cele două focare $(\pm c,0)$ cu $c=\sqrt{a^2+b^2}$, excentricitatea supraunitară $e=\frac{c}{a}$ și cele două asimptote $y=\pm \frac{b}{a}x$, de care ramurile se apropie fără să le atingă.

În lecția precedentă, hiperbola: definiția geometrică și ecuația canonică, am dedus ecuația $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ și am aflat că orice punct al curbei are $|x|\ge a$. Acum ducem lucrul până la desen: identificăm centrul, vârfurile, focarele, cele două axe, excentricitatea și — noutatea reală a lecției — cele două asimptote, pe care le demonstrăm cu procedura în trei pași a lecției asimptota oblică.

Ce vei învăța

• Vei ști să citești toate elementele hiperbolei direct din ecuația canonică: centru, vârfuri, focare, semiaxe, excentricitate.
• Vei ști să scrii asimptotele $y=\pm \frac{b}{a}x$ și să le demonstrezi ca asimptote oblice la graficele funcțiilor-ramură.
• Vei ști să construiești dreptunghiul fundamental și să-l folosești pentru a desena hiperbola în cinci etape.
• Vei ști să stabilești poziția ramurilor față de asimptote și să calculezi distanța de la un punct al curbei la o asimptotă.
• Vei ști să treci de la excentricitate la panta asimptotelor, prin relația $\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$.
• Vei ști să determini ecuația unei hiperbole când se dau asimptotele și un focar sau un punct.

Hai să descoperim împreună

1. Care sunt elementele hiperbolei?

Elementele hiperbolei sunt mărimile și punctele care se citesc direct din ecuația canonică și care determină complet curba: centrul, cele două vârfuri, cele două focare, cele două semiaxe, excentricitatea și cele două asimptote. Pentru hiperbola de ecuație $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, toate se exprimă prin numerele $a$, $b$ și $c=\sqrt{a^2+b^2}$.

Iată-le, strânse într-un singur loc, cu valorile pentru firul roșu al unității — hiperbola introdusă în lecția conicele ca secțiuni ale conului și folosită la deducerea ecuației canonice, $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ (deci $a=3$, $b=4$, $c=5$):

Tabelul se citește în ambele sensuri: din ecuație spre elemente și din elemente spre ecuație. Ambele drumuri apar în probleme.

2. Vârfurile, axele și cele două semiaxe

Vârfurile sunt punctele de intersecție ale curbei cu axa focarelor. Le-am găsit deja: pentru $y=0$ ecuația dă $x^2=a^2$, deci $A(a,0)$ și $A^{\prime }(-a,0)$. Segmentul $A{A}^{\prime }$, de lungime $2a$, se numește axa transversă, iar dreapta care îl conține — axa $Ox$ — este axa focală.

Pe axa $Oy$ curba nu are niciun punct, dar numărul $b$ nu este mai puțin real: punctele $B(0,b)$ și $B^{\prime }(0,-b)$ se marchează pe desen și segmentul $B{B}^{\prime }$, de lungime $2b$, se numește axa netransversă. Numele „semiaxă imaginară" pentru $b$ vine tocmai de aici: capetele ei nu sunt puncte ale curbei, dar mărimea $b$ controlează cât de repede se deschid ramurile.

Simetriile, demonstrate în lecția precedentă, se recitesc acum ca proprietăți ale elementelor: hiperbola este simetrică față de ambele axe și față de centru, iar cele două vârfuri, ca și cele două focare, sunt simetrice față de $O$.

Citirea elementelor dintr-un desen. Programa cere și drumul invers: să identifici elementele unei conice căreia i se cunoaște reprezentarea grafică. La hiperbolă procedura este directă. Măsori pe desen abscisa unui vârf și obții $a$; măsori panta uneia dintre asimptote — cel mai comod, urcușul pe verticală când înaintezi cu $a$ pe orizontală — și obții $b$; apoi calculezi $c=\sqrt{a^2+b^2}$ și marchezi focarele. Dacă desenul are trasat dreptunghiul fundamental, jumătățile laturilor lui dau direct $a$ și $b$, fără niciun calcul. Verificarea finală se face cu un punct oarecare al curbei, citit de pe desen și substituit în ecuație.

3. Ce spune excentricitatea despre forma hiperbolei?

Excentricitatea este raportul $e=\frac{c}{a}$; la hiperbolă $c>a$, deci $e>1$ întotdeauna, spre deosebire de elipsă, unde $e\in (0,1)$ — comparația merită făcută cu lecția elementele elipsei.

Legătura dintre excentricitate și forma curbei se vede printr-un calcul de trei rânduri: $$\frac{b^2}{a^2}=\frac{c^2-a^2}{a^2}=e^2-1⟹\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}.$$ Cum $\frac{b}{a}$ este chiar panta asimptotelor, rezultatul spune: excentricitatea determină înclinarea asimptotelor, deci forma hiperbolei, indiferent de mărimea ei.

• $e$ apropiat de $1$ înseamnă pantă mică: ramurile sunt strânse, aproape lipite de axa transversă;
• $e=\sqrt{2}$ dă panta $1$, deci asimptote perpendiculare — cazul hiperbolei echilatere, studiat în lecția următoare, hiperbola echilateră raportată la asimptote;
• $e$ mare înseamnă pantă mare: ramurile se deschid aproape ca două semidrepte verticale.

Pe firul roșu, $e=\frac{5}{3}$ și $\sqrt{e^2-1}=\sqrt{\frac{25}{9}-1}=\frac{4}{3}$ — exact panta citită din tabel ✓.

Sensul cuvântului „excentricitate" este același la ambele conice cu centru: el măsoară cât de departe sunt focarele față de centru, raportat la vârfuri. La elipsă, focarele stau între vârfuri, deci $c<a$ și $e<1$; la hiperbolă ele stau dincolo de vârfuri, deci $c>a$ și $e>1$. Excentricitatea se definește doar pentru aceste două conice, pentru că doar ele au centru și două focare.

4. Ramurile hiperbolei sunt grafice de funcții

Aici se face legătura cu tot ce am construit în unitatea de asimptote. Din ecuația canonică scoatem $y$: $$\frac{y^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}-1⟹y^2=\frac{b^2}{a^2}\left(x^2-a^2\right)⟹y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}.$$

Condiția $x^2-a^2\ge 0$ dă domeniul $D=(-\infty ,-a]\cup [a,+\infty )$ — aceeași mulțime pe care am găsit-o geometric în lecția precedentă. Prin urmare hiperbola este reuniunea graficelor a două funcții: $$f,g:D\to \mathbb{R},f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2},g(x)=-f(x).$$

Graficul lui $f$ este jumătatea de deasupra axei $Ox$ (câte o bucată pe fiecare ramură), iar graficul lui $g$ este jumătatea de dedesubt. Pentru firul roșu: $$f(x)=\frac{4}{3}\sqrt{x^2-9},D=(-\infty ,-3]\cup [3,+\infty ).$$

Observă că $f$ este o funcție pară, deci graficul ei este simetric față de axa $Oy$ — de aici simetria celor două ramuri.

5. Cum se demonstrează că dreptele $y=\pm \frac{b}{a}x$ sunt asimptote?

Acum că ramurile sunt grafice de funcții, întrebarea are răspuns cu unelte cunoscute: aplicăm procedura în trei pași a asimptotei oblice, fixată în lecția asimptota oblică. Nu redemonstrăm teorema, o folosim.

Lucrăm cu $f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$ și pornim, așa cum cere Propoziția de excludere reciprocă, de la limita funcției: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, deci nu există asimptotă orizontală spre $+\infty$ și are rost să căutăm una oblică.

Spre $+\infty$.

Pasul 1 — panta. Pentru $x>0$ avem $\sqrt{x^2-a^2}=x\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}$, deci $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\frac{b}{a}\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}=\frac{b}{a}\in {\mathbb{R}}^{\ast }.$$

Pasul 2 — termenul liber. Cu acest $m$, folosind amplificarea cu conjugata, ca la nedeterminările cu radicali: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}-\frac{b}{a}x\right)=\frac{b}{a}\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-a^2}{\sqrt{x^2-a^2}+x}=0\in \mathbb{R}.$$

Pasul 3 — concluzia. Dreapta $y=\frac{b}{a}x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

Spre $-\infty$. Aici intervine capcana semnalată în lecția asimptotele funcțiilor uzuale: pentru $x<0$ avem $\sqrt{x^2-a^2}=|x|\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}=-x\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}$. Prin urmare $$m=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=-\frac{b}{a}\in {\mathbb{R}}^{\ast },n=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}+\frac{b}{a}x\right)=\frac{b}{a}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-a^2}{\sqrt{x^2-a^2}-x}=0,$$ deci dreapta $y=-\frac{b}{a}x$ este asimptotă oblică spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

Pentru $g=-f$ concluziile se schimbă între ele, prin simetria față de $Ox$. Reunind cele patru rezultate:

Cele două drepte $y=\frac{b}{a}x$ și $y=-\frac{b}{a}x$ se numesc asimptotele hiperbolei $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. Fiecare este asimptotă oblică la graficul uneia dintre funcțiile-ramură, spre unul dintre capete.

Pe firul roșu: asimptotele sunt $y=\frac{4}{3}x$ și $y=-\frac{4}{3}x$, adică $4x-3y=0$ și $4x+3y=0$. O regulă de scriere rapidă, verificabilă imediat: asimptotele se obțin înlocuind $1$ cu $0$ în ecuația canonică, pentru că $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$ se descompune în $\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=0$.

6. Dreptunghiul fundamental și desenul în cinci etape

Dreptunghiul fundamental al hiperbolei este dreptunghiul cu laturile pe dreptele $x=\pm a$ și $y=\pm b$, adică cel cu vârfurile $(a,b)$, $(-a,b)$, $(-a,-b)$, $(a,-b)$. El are două proprietăți care fac desenul aproape automat:

• diagonalele lui sunt exact asimptotele, pentru că dreapta prin $O$ și $(a,b)$ are panta $\frac{b}{a}$;
• semidiagonala lui are lungimea $c$, pentru că $\sqrt{a^2+b^2}=c$; deci cercul cu centrul $O$ care trece prin vârfurile dreptunghiului taie axa $Ox$ chiar în focare.

A doua proprietate dă o construcție a focarelor cu rigla și compasul, fără să calculezi nimic. Pe firul roșu, dreptunghiul are vârfurile $(\pm 3,\pm 4)$, semidiagonala $5$, iar cercul de rază $5$ centrat în origine trece prin focarele $(\pm 5,0)$ ✓.

Desenul se face apoi în cinci mișcări, pe care le vom numi cei cinci pași ai trasării hiperbolei, prin analogie cu cei cinci pași ai trasării elipsei, fixați în lecția elementele elipsei. Sunt pașii desenului și nu au legătură cu cei trei pași ai asimptotei oblice, folosiți la secțiunea precedentă. Îi ilustrăm pe firul roșu.

• Pasul 1. Citești $a$ și $b$ din ecuație, calculezi $c=\sqrt{a^2+b^2}$, trasezi reperul și marchezi vârfurile $A(a,0)$, $A^{\prime }(-a,0)$ și punctele $B(0,b)$, $B^{\prime }(0,-b)$.
• Pasul 2. Construiești, punctat, dreptunghiul fundamental prin cele patru puncte marcate.
• Pasul 3. Prelungești diagonalele dreptunghiului în ambele sensuri și le desenezi punctat: sunt asimptotele.
• Pasul 4. Adaugi două-trei puncte de control calculate din ecuație; pe firul roșu, punctele de abscisă $5$ au ordonatele $\pm \frac{16}{3}$.
• Pasul 5. Desenezi cele două ramuri: fiecare pleacă din vârful ei, trece prin punctele de control, iese din dreptunghi prin latura verticală și se apropie tot mai mult de asimptote, fără să le atingă. Marchezi focarele pe axa $Ox$, la distanța $c$ de origine, și scrii sub desen lista asimptotelor.

Trei controale rapide ale desenului, analoage celor de la elipsă: ramurile nu intră niciodată în dreptunghiul fundamental, ci îl ating exact în vârfuri; focarele sunt în interiorul ramurilor, mai departe de centru decât vârfurile; iar diferența distanțelor de la un punct oarecare al desenului la cele două focare, măsurată cu rigla, dă aproximativ $2a$ — chiar definiția, folosită ca verificare.

7. Unde stau ramurile față de asimptote?

Răspunsul se citește din semnul diferenței dintre funcție și dreaptă, exact ca la orice asimptotă oblică. Pentru $x\ge a$: $$\frac{b}{a}x-f(x)=\frac{b}{a}\left(x-\sqrt{x^2-a^2}\right)=\frac{b}{a}\cdot \frac{a^2}{x+\sqrt{x^2-a^2}}>0,$$ deci $f(x)<\frac{b}{a}x$: ramura din primul cadran rămâne mereu sub asimptota ei și urcă spre ea de dedesubt. Prin simetrie, fiecare dintre cele patru bucăți de ramură stă „în interiorul" unghiului format de asimptote care conține axa $Ox$.

Diferența scrisă mai sus tinde la $0$, dar nu se anulează niciodată: hiperbola nu își intersectează asimptotele. Este o proprietate specială — la o funcție oarecare, graficul poate tăia asimptota oblică de oricâte ori.

Distanța efectivă de la un punct al curbei la o asimptotă se calculează cu formula din lecția distanța de la un punct la o dreaptă. De exemplu, pentru punctul $M\left(5,\frac{16}{3}\right)$ al firului roșu și asimptota $4x-3y=0$: $$d(M,d)=\frac{\left|4\cdot 5-3\cdot \frac{16}{3}\right|}{\sqrt{16+9}}=\frac{|20-16|}{5}=\frac{4}{5}.$$

Formula generală merită scrisă o dată, pentru că arată cât de repede se apropie curba de asimptotă. Pentru $M\left(x,\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}\right)$ cu $x\ge a$ și asimptota $bx-ay=0$, al cărei numitor este $\sqrt{a^2+b^2}=c$: $$d(M,d)=\frac{b\left(x-\sqrt{x^2-a^2}\right)}{c}=\frac{a^{2}b}{c\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right)}.$$ Numitorul crește nemărginit, deci distanța tinde la $0$, dar rămâne strict pozitivă — încă o dovadă că ramura nu atinge asimptota. Pe firul roșu, formula dă $\frac{36}{5\left(x+\sqrt{x^2-9}\right)}$; la $x=5$ obținem $\frac{36}{5\cdot 9}=\frac{4}{5}$ ✓, iar la $x=100$ distanța a scăzut deja sub $0,04$.

8. Cum se determină hiperbola din asimptote?

Este cerința inversă și apare des. Dacă se dau asimptotele $y=\pm kx$, atunci $\frac{b}{a}=k$, adică $b=ka$; mai trebuie o singură informație suplimentară, iar aceasta poate fi:

• un focar, $(\pm c,0)$: atunci $a^2+b^2=c^2$, deci $a^2(1+k^2)=c^2$;
• un vârf, $(\pm a,0)$: atunci $a$ e cunoscut direct și $b=ka$;
• un punct al curbei: se înlocuiește în $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{k^2{a}^2}=1$ și se află $a^2$.

Exemplu: asimptotele $y=\pm \frac{5}{12}x$ și focarul $(13,0)$ dau $b=\frac{5}{12}a$ și $a^2+\frac{25}{144}{a}^2=169$, adică $\frac{169}{144}{a}^2=169$, deci $a^2=144$, $a=12$ și $b=5$: hiperbola este $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$.

⚠️ Atenție: asimptotele nu determină singure hiperbola. Toate hiperbolele $\frac{x^2}{9t}-\frac{y^2}{16t}=1$, cu $t>0$, au aceleași asimptote $y=\pm \frac{4}{3}x$. E nevoie mereu de o a doua condiție.

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Determină toate elementele hiperbolei $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.

Din ecuație: $a^2=9$, $b^2=16$, deci $a=3$, $b=4$ și $c=\sqrt{9+16}=5$.

Centrul este $O(0,0)$; vârfurile $A(3,0)$ și $A^{\prime }(-3,0)$; focarele $F(5,0)$ și $F^{\prime }(-5,0)$; axa transversă are lungimea $2a=6$, axa netransversă $2b=8$; excentricitatea $e=\frac{5}{3}$; asimptotele $y=\frac{4}{3}x$ și $y=-\frac{4}{3}x$.

Exemplul 2

Determină elementele și asimptotele hiperbolei $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$.

Avem $a=4$, $b=2$, deci $c=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Focarele sunt $(\pm 2\sqrt{5},0)$, vârfurile $(\pm 4,0)$, excentricitatea $e=\frac{2\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1,118$, iar asimptotele sunt $y=\pm \frac{1}{2}x$.

Exemplul arată că $c$ nu este obligatoriu rațional: doar tripletele pitagoreice dau numere întregi, iar problemele de examen le preferă tocmai din acest motiv.

Dacă aceeași hiperbolă ar fi fost dată prin desen, drumul ar fi fost: citim vârful la abscisa $4$, deci $a=4$; citim că asimptota urcă $2$ unități când înaintează $4$, deci $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$ și $b=2$; calculăm $c=\sqrt{20}$ și scriem ecuația $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$.

Exemplul 3

Scrie ecuația hiperbolei care are asimptotele $y=\pm \frac{15}{8}x$ și focarele $(\pm 17,0)$.

Din asimptote, $\frac{b}{a}=\frac{15}{8}$, deci $b=\frac{15}{8}a$. Din focare, $c=17$, deci $a^2+b^2=289$: $$a^2+\frac{225}{64}{a}^2=289⟹\frac{289}{64}{a}^2=289⟹a^2=64,b^2=225.$$ Ecuația este $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{225}=1$. Verificare: $c=\sqrt{64+225}=17$ ✓ și panta $\frac{15}{8}$ ✓.

Exemplul 4

Excentricitatea unei hiperbole este $e=\frac{13}{12}$, iar semiaxa reală este $12$. Determină $b$, focarele și asimptotele.

Din $e=\frac{c}{a}$ obținem $c=ea=\frac{13}{12}\cdot 12=13$. Atunci $b^2=c^2-a^2=169-144=25$, deci $b=5$.

Focarele sunt $(\pm 13,0)$, iar asimptotele $y=\pm \frac{5}{12}x$. Verificare prin formula pantei: $\sqrt{e^2-1}=\sqrt{\frac{169}{144}-1}=\sqrt{\frac{25}{144}}=\frac{5}{12}$ ✓.

Exemplul 5

Arată, prin procedura în trei pași, că dreapta $y=\frac{4}{3}x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f:[3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4}{3}\sqrt{x^2-9}$.

Cum $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, nu există asimptotă orizontală spre $+\infty$, deci căutăm oblică.

Pasul 1. $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4\sqrt{x^2-9}}{3x}=\frac{4}{3}\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{1-\frac{9}{x^2}}=\frac{4}{3}\in {\mathbb{R}}^{\ast }$.

Pasul 2. $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{4}{3}\sqrt{x^2-9}-\frac{4}{3}x\right)=\frac{4}{3}\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-9}{\sqrt{x^2-9}+x}=0\in \mathbb{R}$.

Pasul 3. Prin urmare dreapta $y=\frac{4}{3}x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră hiperbola $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$.

a) Determină vârfurile, focarele și excentricitatea acestei hiperbole.

Din ecuație, $a=12$, $b=5$, deci $c=\sqrt{144+25}=13$. Vârfurile sunt $(\pm 12,0)$, focarele $(\pm 13,0)$, iar $e=\frac{13}{12}$.

b) Scrie ecuațiile asimptotelor și arată că ramura din primul cadran rămâne sub asimptota corespunzătoare.

Asimptotele sunt $y=\pm \frac{5}{12}x$. Pe ramura din primul cadran, $y=\frac{5}{12}\sqrt{x^2-144}$, iar $$\frac{5}{12}x-\frac{5}{12}\sqrt{x^2-144}=\frac{5}{12}\cdot \frac{144}{x+\sqrt{x^2-144}}>0\text{pentru orice }x\ge 12,$$ deci punctele ramurii au ordonata strict mai mică decât a asimptotei.

c) Arată că punctul $M\left(13,\frac{25}{12}\right)$ aparține hiperbolei și calculează distanța de la $M$ la asimptota $y=\frac{5}{12}x$.

Substituim: $\frac{169}{144}-\frac{625}{144\cdot 25}=\frac{169-25}{144}=1$ ✓.

Scriem asimptota sub forma generală $5x-12y=0$ și aplicăm formula distanței: $$d(M,d)=\frac{\left|5\cdot 13-12\cdot \frac{25}{12}\right|}{\sqrt{25+144}}=\frac{|65-25|}{13}=\frac{40}{13}.$$

Să exersăm

1. Determină $a$, $b$, $c$, vârfurile, focarele și excentricitatea hiperbolei $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{144}=1$.

2. Scrie asimptotele hiperbolei $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ sub formă generală, fără fracții.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) Graficul unei hiperbole își intersectează asimptotele în două puncte.

4. Determină ecuația hiperbolei cu vârfurile $(\pm 6,0)$ și asimptotele $y=\pm \frac{2}{3}x$.

5. Calculează excentricitatea hiperbolei $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{225}=1$ și verifică relația $\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$.

6. Scrie funcțiile ale căror grafice, reunite, formează hiperbola $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$, precizând domeniul lor.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Două hiperbole diferite nu pot avea aceleași asimptote.

8. Determină distanța de la punctul $\left(5,\frac{16}{3}\right)$, situat pe hiperbola $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$, la asimptota $4x-3y=0$.

9. (Problemă aplicată.) Conturul unui turn de răcire urmează, într-o secțiune verticală, hiperbola $\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{900}=1$, cu unitatea în metri și cu $y$ măsurat de la nivelul celui mai îngust punct. Care este diametrul minim al turnului și ce pantă au dreptele către care tinde conturul?

10. Aplică procedura în trei pași pentru a arăta că $y=-\frac{3}{2}x$ este asimptotă oblică spre $-\infty$ la graficul funcției $f(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x^2-4}$.

11. Construiește dreptunghiul fundamental al hiperbolei $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ și verifică prin calcul că semidiagonala lui este egală cu $c$.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) Cu cât excentricitatea este mai mare, cu atât ramurile hiperbolei sunt mai strânse în jurul axei transverse.

13. Determină ecuația hiperbolei care are asimptotele $y=\pm x$ și trece prin punctul $(5,4)$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră hiperbola $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$. Determină focarele, scrie asimptotele și calculează distanța de la focarul $F(5,0)$ la asimptota $4x-3y=0$.

15. Arată că, pentru orice hiperbolă, distanța de la un focar la o asimptotă este egală cu $b$.

16. (Problemă aplicată.) Două microfoane sunt așezate la $200$ de metri unul de altul, iar o explozie este auzită la primul cu o întârziere corespunzătoare unei diferențe de drum de $120$ de metri. Scrie ecuația hiperbolei pe care se află sursa și asimptotele ei.

17. Pentru hiperbola $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, arată că punctul de intersecție al asimptotelor este centrul curbei.

18. (Provocare.) Arată că produsul distanțelor de la un punct oarecare al hiperbolei $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ la cele două asimptote este constant și calculează această constantă.

Răspunsuri și explicații

1. $a=5$, $b=12$, $c=\sqrt{25+144}=13$. Vârfurile sunt $(\pm 5,0)$, focarele $(\pm 13,0)$, iar $e=\frac{13}{5}$. Asimptotele sunt $y=\pm \frac{12}{5}x$.

2. Din $y=\pm \frac{4}{3}x$ obținem $4x-3y=0$ și $4x+3y=0$. Ele se obțin și direct, descompunând $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=0$.

3. Fals. Diferența dintre asimptotă și ramură este $\frac{b}{a}\cdot \frac{a^2}{x+\sqrt{x^2-a^2}}$, strict pozitivă pentru orice $x\ge a$, deci nu se anulează niciodată. Hiperbola nu își atinge asimptotele, deși distanța dintre ele tinde la zero. Este o deosebire față de graficul unei funcții oarecare, care poate tăia asimptota oblică de oricâte ori.

4. Din vârfuri, $a=6$; din asimptote, $\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$, deci $b=4$. Ecuația este $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{16}=1$.

5. $a=8$, $b=15$, $c=17$, deci $e=\frac{17}{8}$. Verificare: $\sqrt{e^2-1}=\sqrt{\frac{289}{64}-1}=\sqrt{\frac{225}{64}}=\frac{15}{8}=\frac{b}{a}$ ✓.

6. $f,g:(-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )\to \mathbb{R}$, cu $f(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x^2-4}$ și $g(x)=-\frac{3}{2}\sqrt{x^2-4}$.

7. Fals. Toate hiperbolele $\frac{x^2}{9t}-\frac{y^2}{16t}=1$, cu $t>0$, au asimptotele $y=\pm \frac{4}{3}x$. Asimptotele fixează forma, nu și mărimea.

8. $d=\frac{\left|4\cdot 5-3\cdot \frac{16}{3}\right|}{\sqrt{16+9}}=\frac{|20-16|}{5}=\frac{4}{5}$.

9. Din ecuație, $a=10$ și $b=30$. Diametrul minim este $2a=20$ de metri, atins în vârfuri, adică la nivelul $y=0$, cel mai îngust al turnului. Dreptele către care tinde conturul au pantele $\pm \frac{b}{a}=\pm 3$, deci la înălțimi mari peretele se depărtează de axă cu o unitate pe orizontală la fiecare trei unități pe verticală.

10. Cum $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, nu există asimptotă orizontală. Pasul 1: pentru $x<0$, $\sqrt{x^2-4}=-x\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}$, deci $m=-\frac{3}{2}$. Pasul 2: $n=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3}{2}\left(\sqrt{x^2-4}+x\right)=\frac{3}{2}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-4}{\sqrt{x^2-4}-x}=0$. Pasul 3: dreapta $y=-\frac{3}{2}x$ este asimptotă oblică spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

11. Vârfurile dreptunghiului sunt $(\pm 3,\pm 4)$, iar semidiagonala are lungimea $\sqrt{3^2+4^2}=5=c$ ✓. Cercul de rază $5$ centrat în $O$ trece prin cele patru vârfuri și taie axa $Ox$ în focarele $(\pm 5,0)$.

12. Fals. Este exact invers: panta asimptotelor este $\sqrt{e^2-1}$, deci crește odată cu $e$. Excentricitate mare înseamnă asimptote abrupte și ramuri larg deschise; excentricitate apropiată de $1$ înseamnă ramuri strânse.

13. Din $y=\pm x$ rezultă $b=a$, deci ecuația are forma $x^2-y^2=a^2$. Punctul $(5,4)$ dă $25-16=9=a^2$, deci $a=3$ și ecuația este $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{9}=1$, adică $x^2-y^2=9$.

14. $a=3$, $b=4$, $c=5$, deci focarele sunt $(\pm 5,0)$, iar asimptotele $y=\pm \frac{4}{3}x$. Distanța de la $F(5,0)$ la $4x-3y=0$ este $\frac{|20-0|}{5}=4=b$.

15. Focarul este $(c,0)$, iar asimptota se scrie $bx-ay=0$. Distanța este $\frac{|bc|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{bc}{c}=b$, pentru că $\sqrt{a^2+b^2}=c$. Rezultatul e general și explică de ce, în dreptunghiul fundamental, $b$ apare ca „înălțime".

16. $2c=200$ dă $c=100$; $2a=120$ dă $a=60$, iar $60<100$ ✓. Atunci $b^2=10000-3600=6400$, deci $b=80$: hiperbola este $\frac{x^2}{3600}-\frac{y^2}{6400}=1$, cu asimptotele $y=\pm \frac{4}{3}x$.

17. Scăzând ecuațiile $y=\frac{b}{a}x$ și $y=-\frac{b}{a}x$ obținem $\frac{2b}{a}x=0$, deci $x=0$ și apoi $y=0$: intersecția este $O(0,0)$. Cum $O$ este și centrul de simetrie al curbei, cele două asimptote se taie exact în centrul hiperbolei — de aceea ele se construiesc pornind din origine.

18. Asimptotele sunt $bx-ay=0$ și $bx+ay=0$, ambele cu numitorul $\sqrt{a^2+b^2}=c$. Produsul distanțelor este $$\frac{|bx-ay|}{c}\cdot \frac{|bx+ay|}{c}=\frac{|b^2{x}^2-a^2{y}^2|}{c^2}=\frac{a^2{b}^2}{c^2}=\frac{a^2{b}^2}{a^2+b^2},$$ pentru că $b^2{x}^2-a^2{y}^2=a^2{b}^2$ pe toată hiperbola. Constanta nu depinde de punctul ales.

De reținut

• Elementele hiperbolei $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ sunt centrul $O$, vârfurile $(\pm a,0)$, focarele $(\pm c,0)$ cu $c=\sqrt{a^2+b^2}$, semiaxele $a$ și $b$, excentricitatea $e=\frac{c}{a}>1$ și asimptotele $y=\pm \frac{b}{a}x$.
• Ramurile hiperbolei sunt reuniunea graficelor funcțiilor $\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$, definite pe $(-\infty ,-a]\cup [a,+\infty )$.
• Dreptele $y=\pm \frac{b}{a}x$ sunt asimptote oblice la graficele acestor funcții, ceea ce se demonstrează cu procedura în trei pași a asimptotei oblice, separat spre $+\infty$ și spre $-\infty$.
• Panta asimptotelor se leagă de excentricitate prin $\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$, deci excentricitatea determină forma hiperbolei, iar $a$ îi determină mărimea.
• Dreptunghiul fundamental, cu vârfurile $(\pm a,\pm b)$, are drept diagonale asimptotele și semidiagonala egală cu $c$, ceea ce face desenul și localizarea focarelor imediate.

Greșeli frecvente

• A scrie asimptotele ca $y=\pm \frac{a}{b}x$. Panta este $\frac{b}{a}$: numărătorul este semiaxa de sub termenul cu semnul minus. Testul rapid: diagonala dreptunghiului fundamental urcă $b$ pe verticală când înaintează $a$ pe orizontală.
• A afirma că hiperbola își atinge sau își taie asimptotele. Diferența dintre asimptotă și ramură este strict pozitivă pentru orice $x\ge a$; ea tinde la zero, dar nu se anulează. Graficul unei funcții oarecare poate tăia asimptota, hiperbola nu.
• A uita modulul la capătul $-\infty$. Din $\sqrt{x^2-a^2}=|x|\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}$ rezultă $m=-\frac{b}{a}$ spre $-\infty$; cine scrie o singură pantă pierde jumătate din răspuns și obține o singură asimptotă în loc de două.
• A crede că asimptotele determină hiperbola. Ele fixează doar raportul $\frac{b}{a}$; e nevoie de o a doua condiție — un vârf, un focar, un punct — pentru a afla efectiv $a$ și $b$.
• A inversa efectul excentricității. Excentricitate mare înseamnă asimptote înclinate și ramuri deschise, nu strânse; relația care lămurește totul este $\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$, crescătoare în $e$.

Aplică acasă

1. Desenează pe hârtie milimetrică hiperbola $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$, urmând cele cinci etape: vârfuri, dreptunghi fundamental, diagonale punctate, ramuri, focare. Verifică apoi cu rigla că semidiagonala dreptunghiului măsoară cinci unități și că cercul de rază $5$ trece prin focare.

2. Alcătuiește un tabel cu valorile lui $\frac{4}{3}\sqrt{x^2-9}$ și ale diferenței $\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}\sqrt{x^2-9}$ pentru $x=3$, $5$, $10$, $50$, $100$. Observă cum diferența scade spre zero și explică, pornind de la forma cu conjugata, de ce scade aproximativ de zece ori când $x$ crește de zece ori.

3. Caută fotografia unui turn de răcire sau a unei clădiri cu contur hiperbolic, suprapune peste ea un caroiaj și estimează $a$ și $b$ măsurând lățimea minimă și panta conturului la înălțime mare. Scrie ecuația hiperbolei estimate și calculează-i excentricitatea.

Pentru părinți și profesori

Lecția este cea în care conicele se întâlnesc cu analiza matematică: asimptotele hiperbolei nu sunt „date prin formulă", ci se demonstrează cu procedura studiată în unitatea de reprezentare grafică. Este exact legătura pe care programa de matematică-informatică (mate-info) o cere la clasa a XII-a, iar elevii care au lucrat serios asimptotele oblice o parcurg fără dificultate.

Ce verifică lecția: citirea elementelor din ecuația canonică; scrierea asimptotelor și demonstrarea lor prin cele două limite; construcția dreptunghiului fundamental; poziția ramurilor față de asimptote; determinarea hiperbolei din asimptote plus o condiție suplimentară; legătura $\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$.

Întrebări de control: „Care este panta asimptotelor și de unde se citește?"; „De ce spre $-\infty$ panta își schimbă semnul?"; „Poate hiperbola să-și taie asimptota?"; „De ce nu e suficient să știi asimptotele ca să afli ecuația?".

Semne că a înțeles: desenează întâi dreptunghiul fundamental și abia apoi ramurile; scrie cele două limite ori de câte ori i se cere justificarea asimptotei; nu confundă $\frac{b}{a}$ cu $\frac{a}{b}$; folosește formula distanței punct–dreaptă fără ezitare.

Dificultatea tipică: tratarea capătului $-\infty$. Elevul calculează corect spre $+\infty$ și „presupune prin simetrie" restul, ceea ce la examen nu se punctează. Exercițiul 10 cere explicit celălalt capăt, iar Greșelile frecvente îl reiau.

Unde apare la BAC: conicele intră în examen odată cu sesiunile susținute pe programa nouă. Formatul previzibil este cel din Exemplul 6: elemente, asimptote, o distanță — trei subpuncte care se rezolvă în zece minute dacă tabelul elementelor este știut.

Întrebări frecvente

Care sunt elementele hiperbolei?

Elementele hiperbolei sunt centrul, cele două vârfuri, cele două focare, semiaxa reală $a$, semiaxa imaginară $b$, excentricitatea și cele două asimptote. Toate se citesc din ecuația canonică $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ prin numerele $a$, $b$ și $c=\sqrt{a^2+b^2}$, fără niciun calcul suplimentar în afară de radicalul lui $c$.

Care sunt asimptotele hiperbolei și cum se scriu repede?

Asimptotele sunt dreptele $y=\frac{b}{a}x$ și $y=-\frac{b}{a}x$. Cel mai rapid se obțin înlocuind $1$ cu $0$ în ecuația canonică: din $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$ rezultă $\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=0$, adică exact cele două drepte.

Cum se demonstrează că o dreaptă este asimptotă la hiperbolă?

Se scrie ramura ca grafic de funcție, $f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$, și se aplică procedura în trei pași: panta $m=\lim \frac{f(x)}{x}$, apoi termenul liber $n=\lim (f(x)-mx)$, apoi concluzia. Spre $+\infty$ se obține $m=\frac{b}{a}$ și $n=0$, spre $-\infty$ se obține $m=-\frac{b}{a}$ și $n=0$.

De ce nu atinge hiperbola asimptotele?

Pentru că diferența dintre ordonata asimptotei și cea a ramurii este $\frac{b}{a}\cdot \frac{a^2}{x+\sqrt{x^2-a^2}}$, expresie strict pozitivă pentru orice $x\ge a$. Ea tinde la zero când $x$ crește, deci curba se apropie oricât de mult, dar nu se anulează niciodată, deci nu există punct comun.

Ce este dreptunghiul fundamental al hiperbolei?

Este dreptunghiul cu laturile pe dreptele $x=\pm a$ și $y=\pm b$, adică cel cu vârfurile $(\pm a,\pm b)$. Diagonalele lui, prelungite, sunt chiar asimptotele, iar semidiagonala are lungimea $c$, deci cercul cu centrul în origine care trece prin vârfurile lui taie axa transversă exact în focare.

Ce înseamnă excentricitatea pentru forma hiperbolei?

Excentricitatea $e=\frac{c}{a}$ este mereu supraunitară și determină panta asimptotelor prin $\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$. Valori apropiate de $1$ dau ramuri strânse în jurul axei transverse; valori mari dau asimptote abrupte și ramuri larg deschise. Mărimea curbei este dată separat, de semiaxa $a$.

Se cer asimptotele hiperbolei la examen?

În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu programa nouă a clasei a XII-a. Când vor intra, cerințele previzibile sunt: determinarea elementelor din ecuație, scrierea asimptotelor și calculul unei distanțe de la un punct al curbei sau de la un focar la o asimptotă.