Elipsa: definiția și ecuația canonică: pe scurt

Elipsa este locul geometric al punctelor $M$ pentru care suma distanțelor la două puncte fixe, numite focare, este constantă: $MF+M{F}^{\prime }=2a$. Condiția $2a>F{F}^{\prime }$ este obligatorie și face parte din definiție — este exact „sfoara mai lungă decât distanța dintre țăruși”. Dacă sfoara este egală cu distanța dintre țăruși se obține segmentul $F{F}^{\prime }$, iar dacă este mai scurtă, mulțimea vidă.

Alegând reperul cu originea la mijlocul segmentului focarelor și cu axa $Ox$ pe dreapta lor, focarele devin $F(c,0)$ și $F^{\prime }(-c,0)$, iar condiția de definiție se traduce, prin două ridicări la pătrat, în ecuația canonică $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, cu $a>b>0$ și $b^2=a^2-c^2$. Fiecare ridicare la pătrat se justifică într-un rând: ambii membri comparați sunt nenegativi, deci pasul este o echivalență, iar justificarea se scrie explicit, într-un rând.

Relația de reținut este $a^2=b^2+c^2$, cu $a$ cel mai mare dintre cele trei numere; scrierea $c=\sqrt{a^2+b^2}$ este formula hiperbolei și dă mereu un $c$ prea mare. Razele focale se calculează fără radicali, cu $MF=a-\frac{c}{a}x$ și $M{F}^{\prime }=a+\frac{c}{a}x$, unde intră abscisa punctului, pentru că focarele stau pe $Ox$; suma lor este $2a$ pentru orice punct al elipsei, ceea ce e chiar definiția regăsită prin calcul.

Exerciții din această mini-lecție

1. Elipsa cu focarele $(\pm 6,0)$ și cu $2a=20$ are ecuația canonică:

   • a) $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1$
   • b) $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$
   • c) $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{136}=1$
   • d) $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{6}=1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$

   Din $2a=20$ rezultă $a=10$, iar focarele dau $c=6$. Atunci $b^2=a^2-c^2=100-36=64$, deci ecuația este $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$. Varianta cu $136$ folosește $a^2+c^2$, formula hiperbolei; varianta cu numitorii schimbați între ei ar așeza axa mare pe $Oy$, contrazicând poziția focarelor.

2. La elipsă, relația dintre semiaxe și semidistanța focală este:

   • a) $a^2=b^2+c^2$
   • b) $a^2=b^2-c^2$
   • c) $c^2=a^2+b^2$
   • d) $b^2=a^2+c^2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $a^2=b^2+c^2$

   Este teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de centru, un focar și vârful de pe axa mică: distanța de la $B(0,b)$ la fiecare focar este exact $a$. De aici $a^2=b^2+c^2$, deci $c=\sqrt{a^2-b^2}<a$ — focarele sunt în interiorul elipsei. Varianta $c^2=a^2+b^2$ este formula hiperbolei.

3. Pentru elipsa $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$, raza focală $MF$ a punctului de abscisă $5$, față de focarul $F(6,0)$, este:

   • a) $13$
   • b) $10$
   • c) $3$
   • d) $7$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $7$

   Aici $a=10$ și $c=6$, deci $\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$ și $MF=a-\frac{c}{a}x=10-\frac{3}{5}\cdot 5=7$. Cealaltă rază focală este $M{F}^{\prime }=10+3=13$, iar suma lor este $20=2a$, cum cere definiția. În formulă intră abscisa, nu ordonata: focarele stau pe axa $Ox$.