Elipsa: definiția geometrică și deducerea ecuației canonice

Bate în pământ două țăruși, leagă între ei o sfoară mai lungă decât distanța dintre ei, întinde sfoara cu vârful unui băț și plimbă bățul ținând sfoara mereu întinsă: bățul desenează o elipsă. Grădinarii fac de secole straturile ovale exact așa, iar planeta pe care stai se mișcă pe o curbă obținută după aceeași regulă, cu Soarele într-unul dintre cele două cuie. Lecția aceasta de clasa a 12-a pornește de la regula sforii și ajunge, prin calcul, la ecuația care descrie curba. Elipsa este mulțimea punctelor din plan pentru care suma distanțelor la două puncte fixe, numite focare, este constantă și egală cu $2a$, mai mare decât distanța dintre focare; ecuația ei canonică este $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

Este a doua conică pe care o studiezi, după cerc, și prima la care ecuația nu se citește direct din desen. La cerc, definiția „toate punctele la distanța $r$ de centru" se traducea într-un singur pas, pentru că o singură distanță era implicată. La elipsă intervin două distanțe și suma lor, deci apar doi radicali, care trebuie eliminați. Drumul de la definiție la ecuație este exact tehnica pe care programa o cere aici și pe care o vei repeta apoi la hiperbolă și la parabolă: izolezi un radical, ridici la pătrat, izolezi ce a rămas, ridici din nou.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția geometrică a elipsei ca loc al punctelor cu suma distanțelor la două focare constantă.
• Vei ști de ce reperul se alege cu focarele pe axa $Ox$, simetrice față de origine, și ce câștigi din alegerea asta.
• Vei ști să deduci ecuația canonică $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ prin două ridicări la pătrat, justificând fiecare pas.
• Vei ști ce înseamnă numerele $a$, $b$ și $c$ și de ce sunt legate prin $c=\sqrt{a^2-b^2}$.
• Vei ști să scrii razele focale $MF$ și $M{F}^{\prime }$ în funcție de abscisa punctului.
• Vei ști ce se întâmplă în cazurile-limită: când cele două focare coincid și când sfoara este exact cât distanța dintre țăruși.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este elipsa și cum o desenezi cu o sfoară?

Pornim de la regula grădinarului, transcrisă matematic.

Elipsa este locul geometric al punctelor $M$ din plan pentru care suma distanțelor la două puncte fixe $F$ și $F^{\prime }$, numite focare, este constantă și egală cu un număr $2a$ mai mare decât distanța dintre focare. Condiția se scrie $MF+M{F}^{\prime }=2a$, iar dacă notăm $F{F}^{\prime }=2c$, atunci ipoteza esențială este $a>c>0$.

Sfoara din construcția grădinarului are exact lungimea $2a$: capetele ei sunt prinse în focare, iar vârful bățului, oriunde s-ar afla, ține suma celor două bucăți constantă. De aici vine și numele de focar: într-o oglindă de formă eliptică, orice rază pornită dintr-un focar ajunge, după reflexie, în celălalt — proprietate folosită în sălile cu ecou și în litotritoare, aparatele medicale care sfărâmă calculii cu unde concentrate.

Condiția $2a>2c$ nu este un moft: dacă sfoara ar fi mai scurtă decât distanța dintre țăruși, n-ai putea-o întinde deloc. Vom vedea la punctul $7$ ce rămâne din curbă în cazurile-limită.

2. Cum alegem reperul ca ecuația să iasă simplă?

Definiția nu conține niciun sistem de axe — este pur geometrică. Ca să obținem o ecuație, trebuie să alegem un reper, iar alegerea bună scurtează calculul cu jumătate.

Alegem originea în mijlocul segmentului $F{F}^{\prime }$ și axa $Ox$ pe dreapta $F{F}^{\prime }$. Atunci focarele au coordonatele $$F(c,0),F^{\prime }(-c,0),c>0,$$ iar distanța dintre ele este $F{F}^{\prime }=2c$, numită distanță focală. Formula distanței dintre două puncte, pe care ai învățat-o la reperul cartezian și distanța dintre două puncte, dă pentru un punct oarecare $M(x,y)$: $$MF=\sqrt{(x-c{)}^2+y^2},M{F}^{\prime }=\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}.$$

Câștigul alegerii se vede imediat: cele două expresii diferă doar prin semnul lui $c$, iar diferența pătratelor lor va fi un termen simplu. Orice altă poziție a focarelor ar da aceeași curbă, doar mutată sau rotită — la fel cum ecuația generală a cercului descrie același cerc, deplasat față de origine.

Merită spus limpede de ce avem voie să alegem reperul: elipsa este o figură a planului, iar poziția axelor este alegerea noastră, nu a ei. Mutând originea în mijlocul segmentului $[F^{\prime }F]$ și rotind axele până când $Ox$ trece prin focare, obținem aceeași curbă, descrisă însă de cea mai simplă ecuație posibilă — motiv pentru care ea se numește canonică. În acest capitol lucrăm numai cu conice așezate astfel; recunoașterea unei conice dintr-o ecuație dată se face la lecția despre recunoașterea conicelor din ecuație sau din grafic. La cerc situația era mai comodă, pentru că el rămâne cerc oriunde l-ai muta, așa cum ai văzut când ai studiat pozițiile unei drepte față de cerc.

3. Cum se deduce ecuația canonică a elipsei?

Punctul $M(x,y)$ aparține elipsei dacă și numai dacă $$\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=2a.$$ Avem doi radicali, deci vom ridica la pătrat de două ori. Cheia este să nu ridicăm la pătrat suma lor, ci să izolăm întâi unul dintre ei.

Pasul 1 — izolarea și prima ridicare la pătrat. Scriem relația sub forma $M{F}^{\prime }=2a-MF$, adică $$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c{)}^2+y^2},$$ și ridicăm la pătrat: $$(x+c{)}^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}+(x-c{)}^2+y^2.$$ Termenii $y^2$ se reduc, iar $(x+c{)}^2-(x-c{)}^2=4cx$, deci $$4cx=4a^2-4a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}⟺a\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=a^2-cx.$$

Pasul 2 — a doua ridicare la pătrat. Ridicăm din nou la pătrat egalitatea obținută: $$a^2\left[(x-c{)}^2+y^2\right]={\left(a^2-cx\right)}^2.$$ Desfacem: $$a^2{x}^2-2a^{2}cx+a^2{c}^2+a^2{y}^2=a^4-2a^{2}cx+c^2{x}^2.$$ Termenii $-2a^{2}cx$ se reduc din ambele părți — acesta este momentul în care alegerea simetrică a reperului își arată valoarea — și rămâne $$\left(a^2-c^2\right)x^2+a^2{y}^2=a^2\left(a^2-c^2\right).$$

Pasul 3 — notația care curăță formula. Cum $a>c>0$, numărul $a^2-c^2$ este strict pozitiv, deci există $b>0$ cu $$b^2=a^2-c^2,\text{adica˘}c=\sqrt{a^2-b^2}.$$ Înlocuind, obținem $b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2$, iar împărțind prin $a^2{b}^2\ne 0$ ajungem la ecuația canonică a elipsei: $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,a>b>0.$$ Inegalitatea $a>b$ vine din $b^2=a^2-c^2<a^2$: numitorul de sub $x^2$ este întotdeauna cel mai mare, pentru că focarele stau pe axa $Ox$.

4. De ce este permisă ridicarea la pătrat?

Ridicarea la pătrat nu este, în general, o transformare echivalentă: din $x=-3$ nu urmează $x^2=9\Rightarrow x=3$. Ea este echivalentă atunci când ambii membri sunt numere nenegative, iar aici exact asta se întâmplă — de fiecare dată, și merită scris în rezolvare.

• La pasul 1, membrul stâng este un radical, deci nenegativ. Membrul drept, $2a-MF$, este nenegativ pentru că din relația de plecare rezultă $MF\le MF+M{F}^{\prime }=2a$. Deci ambii membri sunt nenegativi și ridicarea la pătrat păstrează echivalența.
• La pasul 2, membrul stâng, $a\cdot MF$, este nenegativ ca produs de numere nenegative. Prin urmare și membrul drept, $a^2-cx$, este nenegativ — nu ca ipoteză suplimentară, ci ca o consecință a egalității tocmai obținute. Din nou, ambii membri sunt nenegativi.

Așadar toți pașii sunt echivalențe, nu doar implicații: un punct verifică ecuația canonică dacă și numai dacă verifică relația $MF+M{F}^{\prime }=2a$. Ecuația canonică nu este o consecință a definiției, ci o rescriere completă a ei — de aceea putem lucra de acum înainte numai cu ea.

Cine vrea să vadă reciproca și pe calea directă o poate verifica într-un rând de calcul. Fie $M(x,y)$ un punct care satisface ecuația canonică; atunci $y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)$ și, înlocuind $b^2=a^2-c^2$: $$M{F}^2=(x-c{)}^2+y^2=x^2-2cx+c^2+a^2-c^2-\frac{(a^2-c^2)x^2}{a^2}=\frac{c^2{x}^2}{a^2}-2cx+a^2={\left(a-\frac{c}{a}x\right)}^2.$$ Cum $|x|\le a$ și $c<a$, paranteza este pozitivă, deci $MF=a-\frac{c}{a}x$; analog $M{F}^{\prime }=a+\frac{c}{a}x$, iar suma lor este $2a$. Punctul aparține, așadar, elipsei din definiție.

Observă și o consecință utilă a ecuației: din $\frac{x^2}{a^2}\le 1$ și $\frac{y^2}{b^2}\le 1$ rezultă $|x|\le a$ și $|y|\le b$. Elipsa este deci o curbă mărginită, cuprinsă într-un dreptunghi de laturi $2a$ și $2b$ — spre deosebire de hiperbolă, care se obține din aceeași tehnică de calcul, dar cu diferența distanțelor constantă, la lecția despre hiperbolă și ecuația ei canonică.

5. Razele focale, cadou de la pasul al doilea

Egalitatea $aMF=a^2-cx$, obținută pe drum, merită păstrată. Împărțind prin $a$: $$MF=a-\frac{c}{a}x,M{F}^{\prime }=2a-MF=a+\frac{c}{a}x.$$ Cele două lungimi se numesc razele focale ale punctului $M$ și se calculează, cum vezi, fără niciun radical, doar din abscisa lui $M$. Raportul $\frac{c}{a}$ care apare în ele primește un nume și o interpretare geometrică în lecția următoare, despre elementele elipsei și reprezentarea ei grafică.

Formula dă și un control instantaneu: suma lor este $\left(a-\frac{c}{a}x\right)+\left(a+\frac{c}{a}x\right)=2a$, exact definiția, pentru orice $x$.

6. Verificarea pe o elipsă cu numere prietenoase

Fie $a=5$ și $c=4$; atunci $b^2=25-16=9$, deci $b=3$ și elipsa are ecuația $$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1,$$ cu focarele $F(4,0)$ și $F^{\prime }(-4,0)$ și cu $2a=10$.

Luăm punctul de abscisă $3$: din $\frac{9}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ rezultă $y^2=9\cdot \frac{16}{25}$, deci $y=\frac{12}{5}$. Pentru $M\left(3,\frac{12}{5}\right)$: $$MF=\sqrt{(3-4{)}^2+\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{169}{25}}=\frac{13}{5},M{F}^{\prime }=\sqrt{(3+4{)}^2+\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{1369}{25}}=\frac{37}{5}.$$ Suma: $\frac{13}{5}+\frac{37}{5}=\frac{50}{5}=10=2a$ ✓. Cu formula razelor focale, direct: $MF=5-\frac{4}{5}\cdot 3=\frac{13}{5}$ ✓.

Un al doilea punct merită privit separat: cel de abscisă $0$, adică $B(0,3)$. Razele lui focale sunt egale — $BF=\sqrt{16+9}=5$ și, la fel, $B{F}^{\prime }=5$ —, iar suma dă tot $10$ ✓. Numărul $5$ este chiar $a$, iar egalitatea $BF=a$ nu este o coincidență numerică: în triunghiul dreptunghic cu catetele $OB=b$ și $OF=c$ ipotenuza este $\sqrt{b^2+c^2}=a$. Această relație pitagoreică dintre $a$, $b$ și $c$ este cheia întregii lecții următoare.

Alegerea numerelor nu este întâmplătoare: tripletele pitagoreice — $(3,4,5)$, $(5,12,13)$ — dau puncte cu coordonate raționale, deci verificări exacte, fără aproximări. Le vei regăsi în toate exemplele acestei unități.

7. Ce se întâmplă în cazurile-limită?

Definiția are două condiții ascunse, iar călcarea fiecăreia schimbă complet rezultatul.

• Dacă $c=0$, adică focarele coincid, condiția devine $2\cdot MF=2a$, deci $MF=a$: obținem un cerc de rază $a$. Și ecuația spune același lucru: $b^2=a^2-0=a^2$, iar ecuația canonică devine $x^2+y^2=a^2$. Cercul este deci cazul particular al elipsei cu focarele suprapuse — de aceea capitolul a început cu el.
• Dacă $2a=2c$, sfoara este exact cât distanța dintre țăruși. Din inegalitatea triunghiului, $MF+M{F}^{\prime }\ge F{F}^{\prime }$, cu egalitate doar când $M$ se află pe segmentul $[F^{\prime }F]$. Locul geometric se turtește în segmentul $[F^{\prime }F]$, deci nu mai este o curbă.
• Dacă $2a<2c$, nu există niciun punct: suma distanțelor nu poate coborî sub $F{F}^{\prime }$. Locul geometric este mulțimea vidă.

De aceea condiția $a>c>0$ face parte din definiție, nu este un detaliu tehnic.

8. Cum afli $a$, $b$ și $c$ unul din celelalte două?

Aproape orice problemă de la acest capitol se rezolvă cu triunghiul dreptunghic ascuns în relația $a^2=b^2+c^2$: cunoscând două dintre numerele $a$, $b$, $c$, îl afli imediat pe al treilea.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la focare și sfoară la ecuație

Scriem ecuația elipsei cu focarele $F(4,0)$, $F^{\prime }(-4,0)$, pentru care suma distanțelor de la orice punct al ei la focare este $10$.

Din datele problemei, $c=4$ și $2a=10$, deci $a=5$. Condiția $a>c$ este îndeplinită ($5>4$), deci elipsa există. Atunci $b^2=a^2-c^2=25-16=9$ și ecuația este $$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.$$

Exemplul 2 — Deducerea refăcută pe numere

Determinăm, direct din definiție, locul punctelor $M(x,y)$ cu $MF+M{F}^{\prime }=10$, unde $F(4,0)$ și $F^{\prime }(-4,0)$.

Scriem $\sqrt{(x+4{)}^2+y^2}=10-\sqrt{(x-4{)}^2+y^2}$ și ridicăm la pătrat: $$(x+4{)}^2+y^2=100-20\sqrt{(x-4{)}^2+y^2}+(x-4{)}^2+y^2.$$ Reducem și obținem $16x=100-20\sqrt{(x-4{)}^2+y^2}$, adică $5\sqrt{(x-4{)}^2+y^2}=25-4x$. Ridicăm din nou la pătrat: $$25\left[(x-4{)}^2+y^2\right]=625-200x+16x^2⟺9x^2+25y^2=225.$$ Împărțind prin $225$ regăsim $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ — același rezultat ca la Exemplul $1$, obținut fără nicio formulă memorată.

Exemplul 3 — Verificarea definiției într-un punct

Arătăm că punctul $N\left(4,\frac{9}{5}\right)$ aparține elipsei $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ și calculăm $NF+N{F}^{\prime }$.

Substituim: $\frac{16}{25}+\frac{81}{25\cdot 9}=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$ ✓.

Razele focale, cu formula de la punctul $5$ și $c=4$, $a=5$: $NF=5-\frac{4}{5}\cdot 4=\frac{9}{5}$ și $N{F}^{\prime }=5+\frac{16}{5}=\frac{41}{5}$. Suma este $\frac{50}{5}=10=2a$ ✓.

Control direct: $NF=\sqrt{0+\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$ ✓ și $N{F}^{\prime }=\sqrt{64+\frac{81}{25}}=\sqrt{\frac{1681}{25}}=\frac{41}{5}$ ✓. Punctul $N$ are o proprietate specială: are aceeași abscisă cu focarul $F$, deci $NF$ este chiar jumătatea coardei duse prin focar perpendicular pe $Ox$.

Exemplul 4 — De la ecuație la focare

Determinăm focarele și suma constantă pentru elipsa $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$ și verificăm rezultatul pe un punct.

Din ecuație: $a^2=169$, deci $a=13$; $b^2=25$, deci $b=5$. Atunci $c=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$, focarele sunt $F(12,0)$ și $F^{\prime }(-12,0)$, iar suma constantă este $2a=26$.

Verificăm pe punctul de abscisă $5$: din $\frac{25}{169}+\frac{y^2}{25}=1$ rezultă $y^2=25\cdot \frac{144}{169}$, deci $y=\frac{60}{13}$. Razele focale: $MF=13-\frac{12}{13}\cdot 5=\frac{109}{13}$ și $M{F}^{\prime }=13+\frac{60}{13}=\frac{229}{13}$, cu suma $\frac{338}{13}=26$ ✓.

Exemplul 5 — Elipsa care trece prin două puncte

Determinăm ecuația canonică a elipsei care trece prin punctele $P\left(4,\frac{9}{5}\right)$ și $Q\left(3,\frac{12}{5}\right)$.

Notăm $u=\frac{1}{a^2}$ și $v=\frac{1}{b^2}$; ecuația devine $x^{2}u+y^{2}v=1$, deci condițiile din enunț dau sistemul liniar $$16u+\frac{81}{25}v=1,9u+\frac{144}{25}v=1.$$ Înmulțim ambele ecuații cu $25$: $400u+81v=25$ și $225u+144v=25$. Scăzând, $175u=63v$, deci $u=\frac{9}{25}v$. Înlocuind în a doua: $225\cdot \frac{9}{25}v+144v=25$, adică $81v+144v=25$, deci $v=\frac{1}{9}$ și $u=\frac{1}{25}$.

Prin urmare $a^2=25$, $b^2=9$ și elipsa este $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$. Condiția $a>b$ este îndeplinită, deci focarele sunt pe $Ox$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră punctele $F(3,0)$ și $F^{\prime }(-3,0)$ și mulțimea punctelor $M$ din plan cu proprietatea $MF+M{F}^{\prime }=10$.

a) Scrieți ecuația canonică a curbei obținute. Avem $c=3$ și $a=5$, cu $a>c$, deci curba este o elipsă cu $b^2=25-9=16$. Ecuația este $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

b) Arătați că punctul $T\left(3,\frac{16}{5}\right)$ aparține curbei. Substituim: $\frac{9}{25}+\frac{256}{25\cdot 16}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✓.

c) Calculați $TF$ și $T{F}^{\prime }$ și verificați definiția. Cu razele focale: $TF=5-\frac{3}{5}\cdot 3=\frac{16}{5}$ și $T{F}^{\prime }=5+\frac{9}{5}=\frac{34}{5}$. Suma este $\frac{50}{5}=10$ ✓, deci $T$ respectă condiția din enunț. Control direct: $TF=\sqrt{0+\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}$ și $T{F}^{\prime }=\sqrt{36+\frac{256}{25}}=\sqrt{\frac{1156}{25}}=\frac{34}{5}$ ✓.

Să exersăm

1. Scrieți ecuația canonică a elipsei cu focarele $F(\pm 4,0)$ și cu $2a=10$.

2. Determinați $b$ și scrieți ecuația canonică pentru elipsa cu $a=13$ și $c=12$.

3. Determinați focarele elipsei $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ și suma constantă $2a$.

4. Arătați că punctul $M\left(-3,\frac{12}{5}\right)$ aparține elipsei $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ și calculați $MF+M{F}^{\prime }$.

5. Aduceți ecuația $9x^2+25y^2=225$ la forma canonică și precizați $a$, $b$ și $c$.

6. Deduceți, pornind de la definiție, ecuația locului punctelor $M$ cu $MF+M{F}^{\prime }=26$, unde $F(\pm 12,0)$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La elipsă, numitorul de sub $x^2$ este întotdeauna mai mare decât cel de sub $y^2$, în convenția în care focarele sunt pe axa $Ox$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă lungimea sforii este egală cu distanța dintre țăruși, se obține tot o elipsă, doar că foarte turtită."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Cercul este un caz particular de elipsă."

10. Calculați razele focale ale punctului de abscisă $2$ de pe elipsa $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ și verificați că suma lor este $10$.

11. Determinați ecuația canonică a elipsei care trece prin punctele $\left(5,0\right)$ și $\left(3,\frac{12}{5}\right)$.

12. Elipsa $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ trece prin punctul $(0,4)$ și are un focar în $(3,0)$. Determinați $a$ și $b$.

13. Arătați că, pentru orice punct $M$ al elipsei $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$, avem $1\le MF\le 9$.

14. Determinați lungimea coardei elipsei $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ perpendiculară pe $Ox$ și dusă prin focarul $F(4,0)$.

15. (Problemă aplicată.) Un strat de flori are forma unei elipse cu axa mare de $10$ metri și cea mică de $6$ metri. La ce distanță unul de altul trebuie bătuți cei doi țăruși și ce lungime are sfoara?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $F(\pm 3,0)$ și mulțimea punctelor cu $MF+M{F}^{\prime }=10$. a) Scrieți ecuația canonică. b) Verificați că $\left(4,\frac{12}{5}\right)$ aparține curbei. c) Calculați cele două raze focale ale acestui punct.

17. Arătați că, dacă un punct al elipsei are abscisa $0$, cele două raze focale sunt egale, și calculați valoarea lor comună în funcție de $a$.

18. (Provocare.) Arătați, folosind definiția, că elipsa este simetrică față de ambele axe de coordonate și față de origine.

Răspunsuri și explicații

1. $c=4$, $a=5$, deci $b^2=25-16=9$ și ecuația este $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

2. $b^2=a^2-c^2=169-144=25$, deci $b=5$ și ecuația este $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$.

3. $a=5$, $b=4$, deci $c=\sqrt{25-16}=3$: focarele sunt $(3,0)$ și $(-3,0)$, iar suma constantă este $2a=10$.

4. Substituție: $\frac{9}{25}+\frac{144}{25\cdot 9}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✓. Razele focale: $MF=5+\frac{12}{5}=\frac{37}{5}$ și $M{F}^{\prime }=5-\frac{12}{5}=\frac{13}{5}$, cu suma $10$.

5. Împărțim prin $225$: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$, deci $a=5$, $b=3$ și $c=\sqrt{25-9}=4$.

6. Cu $a=13$ și $c=12$ se refac cei doi pași: $13\sqrt{(x-12{)}^2+y^2}=169-12x$, apoi, prin ridicare la pătrat și reducere, $25x^2+169y^2=4225$, adică $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$.

7. Adevărat. Din $b^2=a^2-c^2$ și $c>0$ rezultă $b^2<a^2$. Numitorul mai mare arată pe ce axă stau focarele, deci este și un test rapid de recunoaștere.

8. Fals. Când $2a=F{F}^{\prime }$, inegalitatea triunghiului dă egalitate numai pentru punctele segmentului $[F^{\prime }F]$: locul geometric este un segment, nu o curbă. Elipsă „foarte turtită" se obține când $2a$ este doar puțin mai mare decât $F{F}^{\prime }$.

9. Adevărat. Pentru $c=0$ focarele coincid, condiția devine $MF=a$, iar ecuația canonică devine $x^2+y^2=a^2$, adică ecuația unui cerc de rază $a$.

10. $MF=5-\frac{4}{5}\cdot 2=\frac{17}{5}$ și $M{F}^{\prime }=5+\frac{8}{5}=\frac{33}{5}$; suma este $\frac{50}{5}=10$ ✓. Ordonata punctului, $y=\frac{3\sqrt{21}}{5}$, nu este necesară pentru acest calcul — acesta este avantajul formulei razelor focale.

11. Punctul $(5,0)$ dă $a^2=25$. Înlocuind al doilea punct: $\frac{9}{25}+\frac{144}{25b^2}=1$, deci $\frac{144}{25b^2}=\frac{16}{25}$ și $b^2=9$. Ecuația este $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

12. Punctul $(0,4)$ dă $b=4$, iar focarul dă $c=3$; atunci $a^2=b^2+c^2=16+9=25$, deci $a=5$. Elipsa este $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

13. Aici $a=5$, $c=4$, deci $MF=5-\frac{4}{5}x$ cu $x\in [-5,5]$. Funcția este descrescătoare în $x$, deci valoarea maximă este în $x=-5$, unde $MF=9$, iar cea minimă în $x=5$, unde $MF=1$. Prin urmare $1\le MF\le 9$.

14. Coarda are ecuația $x=4$; din $\frac{16}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ rezultă $y=\pm \frac{9}{5}$, deci lungimea este $\frac{18}{5}=3,6$. Este dublul razei focale a punctului de abscisă $c$, adică $\frac{2b^2}{a}$.

15. Axa mare $2a=10$ dă $a=5$; axa mică $2b=6$ dă $b=3$. Atunci $c=\sqrt{25-9}=4$, deci țărușii se bat la $2c=8$ metri unul de altul, iar sfoara are lungimea $2a=10$ metri.

16. a) $c=3$, $a=5$, $b^2=16$, deci $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. b) $\frac{16}{25}+\frac{144}{25\cdot 16}=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$ ✓. c) $MF=5-\frac{3}{5}\cdot 4=\frac{13}{5}$ și $M{F}^{\prime }=5+\frac{12}{5}=\frac{37}{5}$, cu suma $10$ ✓.

17. Pentru $x=0$, formulele razelor focale dau $MF=M{F}^{\prime }=a$. Geometric, punctul se află pe mediatoarea segmentului $[F^{\prime }F]$, deci este egal depărtat de focare, iar suma fiind $2a$, fiecare rază focală este $a$.

18. Fie $M(x,y)$ pe elipsă. Punctul $M_1(x,-y)$ are aceleași distanțe la focare, pentru că în formule $y$ apare doar prin $y^2$; deci $M_1$ este pe elipsă și curba este simetrică față de $Ox$. Punctul $M_2(-x,y)$ are razele focale schimbate între ele — $M_{2}F=M{F}^{\prime }$ și $M_2{F}^{\prime }=MF$ —, deci suma rămâne $2a$: simetrie față de $Oy$. Compunând cele două simetrii se obține simetria față de origine.

De reținut

• Elipsa este locul geometric al punctelor pentru care suma distanțelor la două puncte fixe, numite focare, este constantă și egală cu $2a$, cu condiția obligatorie $2a>F{F}^{\prime }$.
• Cu focarele $F(c,0)$ și $F^{\prime }(-c,0)$, ecuația canonică este $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, unde $a>b>0$ și $b^2=a^2-c^2$.
• Deducerea se face prin două ridicări la pătrat, fiecare justificată prin faptul că ambii membri sunt nenegativi, deci toți pașii sunt echivalențe.
• Razele focale se calculează fără radicali, cu $MF=a-\frac{c}{a}x$ și $M{F}^{\prime }=a+\frac{c}{a}x$, iar suma lor este $2a$ pentru orice punct al elipsei.
• Cazurile-limită completează tabloul: focare confundate înseamnă cerc, sfoară egală cu distanța dintre țăruși înseamnă segment, sfoară mai scurtă înseamnă mulțimea vidă.

Greșeli frecvente

• Ridici la pătrat suma celor doi radicali dintr-odată. Rezultatul conține produsul lor, deci un radical nou și mai complicat. Izolează întotdeauna un radical înainte de prima ridicare la pătrat.
• Uiți să justifici ridicarea la pătrat. La Bacalaureat M1 pasul se punctează: scrie într-un rând că ambii membri sunt nenegativi, deci transformarea este echivalentă.
• Confunzi rolurile lui $b$ și $c$. Numărul $b$ este semiaxa care apare în ecuație, iar $c$ este jumătatea distanței dintre focare; ele nu sunt egale niciodată la o elipsă adevărată. Relația corectă este $a^2=b^2+c^2$, cu $a$ cel mai mare dintre cele trei.
• Scrii $c=\sqrt{a^2+b^2}$. Aceasta este formula de la hiperbolă. La elipsă focarele sunt în interior, deci $c$ este mai mic decât $a$, iar sub radical stă diferența.
• Aplici formula razelor focale cu ordonata în loc de abscisă. În $MF=a-\frac{c}{a}x$ intră abscisa punctului, pentru că focarele stau pe axa $Ox$; înlocuirea cu $y$ dă rezultate care nu însumează $2a$.

Aplică acasă

1. Elipsa cu sfoara. Bate două cuie într-o scândură, la $8$ cm unul de altul, și leagă între ele o sfoară de $10$ cm. Trasează curba cu un creion care ține sfoara întinsă, apoi măsoară semiaxele: trebuie să obții $5$ cm pe direcția cuielor și $3$ cm perpendicular pe ea, adică exact elipsa $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

2. Aceeași sfoară, alți țăruși. Păstrează sfoara de $10$ cm și mută cuiele la $6$ cm, apoi la $2$ cm unul de altul. Desenează de fiecare dată curba și observă cum se apropie de un cerc pe măsură ce cuiele se apropie — verificarea practică a cazului-limită $c=0$.

3. Elipsa din umbră. Ține o minge la lumina unei lanterne așezate oblic și urmărește umbra ei pe podea: conturul este o elipsă. Măsoară cele două diametre perpendiculare ale umbrei și calculează distanța dintre focarele ei.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă cerința explicită a programei de a deduce ecuația canonică a elipsei din definiția geometrică, folosind distanțele de la un punct oarecare al curbei la focare. Nu este o formulă de memorat, ci un calcul de reprodus: la clasă, elevul trebuie să poată reface cei doi pași de ridicare la pătrat pe un exemplu numeric și, dacă i se cere, în cazul general.

Ce verifică lecția: (1) enunțarea corectă a definiției, cu tot cu condiția ca suma să depășească distanța dintre focare; (2) alegerea reperului și scrierea celor două distanțe; (3) izolarea radicalului înaintea primei ridicări la pătrat; (4) justificarea faptului că ambele ridicări la pătrat sunt echivalențe; (5) relația $a^2=b^2+c^2$ și folosirea ei în ambele sensuri.

Întrebări bune de control: „De ce sfoara trebuie să fie mai lungă decât distanța dintre cuie?", „De ce nu ridicăm de la început la pătrat toată relația?", „Care dintre numerele $a$, $b$, $c$ este cel mai mare și de ce?", „Ce curbă obții dacă cele două focare coincid?". Un semn sigur că elevul a înțeles: verifică singur rezultatul înlocuind un punct cu coordonate raționale și adunând cele două raze focale.

La BAC, profilul matematică-informatică va cere acest tip de deducere odată cu intrarea în examen a programei noi; până atunci, tehnica celor două ridicări la pătrat rămâne utilă la ecuațiile iraționale, unde se punctează exact aceleași justificări. Exercițiile de aici sunt gândite în formatul cu subpuncte a), b), c) al Subiectului al II-lea.

Întrebări frecvente

Ce este elipsa în matematică? Elipsa este mulțimea punctelor din plan pentru care suma distanțelor la două puncte fixe, numite focare, are aceeași valoare, notată $2a$. Valoarea trebuie să fie mai mare decât distanța dintre focare, altfel curba nu există. Este curba pe care o trasează creionul care ține întinsă o sfoară legată de două cuie.

Care este ecuația canonică a elipsei? Cu focarele așezate pe axa $Ox$, simetric față de origine, ecuația este $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, unde $a$ este semiaxa mare, $b$ semiaxa mică și $a>b>0$. Numerele sunt legate de semidistanța focală prin $b^2=a^2-c^2$, adică $a^2=b^2+c^2$.

Cum se deduce ecuația elipsei din definiție? Se scriu cele două distanțe cu formula distanței dintre două puncte, se izolează un radical, se ridică la pătrat și se reduc termenii; rămâne o singură rădăcină, care se izolează și se ridică din nou la pătrat. După reducerea termenilor asemenea și notația $b^2=a^2-c^2$ se obține ecuația canonică.

De ce se ridică de două ori la pătrat? Pentru că relația de plecare conține doi radicali. Prima ridicare elimină unul dintre ei, dar lasă celălalt înmulțit cu un factor; a doua îl elimină și pe acesta. Amândouă sunt echivalențe, pentru că de fiecare dată ambii membri ai egalității sunt numere nenegative, lucru care se justifică în rezolvare.

Care este relația dintre $a$, $b$ și $c$ la elipsă? Relația este $a^2=b^2+c^2$, adică $c=\sqrt{a^2-b^2}$. Ea se citește ca teorema lui Pitagora într-un triunghi dreptunghic cu catetele $b$ și $c$ și ipotenuza $a$. Atenție: la hiperbolă relația este alta, cu semnul plus sub radical.

Ce se întâmplă dacă cele două focare coincid? Se obține un cerc. Condiția devine „distanța până la un singur punct este constantă", adică exact definiția cercului de rază $a$. În ecuație, $c=0$ dă $b=a$, iar forma canonică se transformă în $x^2+y^2=a^2$. Cercul este deci elipsa cu focarele suprapuse.

Apar conicele în subiectele de Bacalaureat M1? În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut, pentru că ele intră în examen odată cu programa nouă. Elipsa rămâne însă materie de clasa a 12-a și se folosește la finalul anului, când se calculează aria interiorului ei cu ajutorul integralei definite.