Estimarea numerică a integralelor: pe scurt

A estima numeric o integrală înseamnă a o înlocui cu o sumă finită, însoțită de o margine a erorii; fără marginea aceasta, numărul obținut nu spune nimic. Pentru o funcție monotonă și o diviziune echidistantă, integrala stă între ${\sigma }_{\text{st}}$ și ${\sigma }_{\text{dr}}$, iar lățimea benzii este, prin lema benzii, $\frac{b-a}{n}|f(b)-f(a)|$ — deci scade odată cu creșterea lui $n$. Ipoteza de monotonie nu se poate sări: fără ea, cele două sume pot cădea amândouă de aceeași parte a integralei. Metoda trapezelor este media aritmetică a celor două sume de dreptunghiuri, $T_n=\frac{{\sigma }_{\text{st}}+{\sigma }_{\text{dr}}}{2}$; se deduce din aria trapezului, dă valoarea exactă pentru orice funcție de gradul întâi și rămâne în afara programei. În formula ei, capetele intră cu jumătate de pondere — uitarea acestei jumătăți produce o eroare care nu scade deloc când $n$ crește. Verificarea cu un instrument digital confirmă un rezultat obținut exact, dar nu îl demonstrează niciodată: în lucrare se scrie forma exactă, nu zecimalele afișate, iar programele afișează un număr și pentru integrale care nu există, cum e ${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x^2}$. Cele trei semne că ai greșit — semnul rezultatului, ordinul de mărime, comparația cu o arie elementară — se verifică în zece secunde.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru $f(x)=x^3$ pe $[0,2]$ și $n=2$, valoarea dată de metoda trapezelor este:

   • a) $4$
   • b) $6$
   • c) $5$
   • d) $8$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $5$

   Cu $h=1$ și nodurile $0$, $1$, $2$: $T_2=h\left(\frac{f(0)}{2}+f(1)+\frac{f(2)}{2}\right)=0+1+4=5$. Varianta $4$ este valoarea exactă a integralei, ${\int }_0^2{x}^{3}dx=4$: trapezele o supraestimează, pentru că funcția este convexă. Varianta $6$ apare dacă toate valorile se adună cu aceeași pondere.

2. Pentru $f$ crescătoare pe $[a,b]$ și o diviziune echidistantă cu $n$ subintervale, diferența ${\sigma }_{\text{dr}}-{\sigma }_{\text{st}}$ este:

   • a) $\frac{b-a}{n}(f(b)-f(a))$
   • b) $(b-a)(f(b)-f(a))$
   • c) $\frac{f(b)-f(a)}{n}$
   • d) $\frac{b-a}{n}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{b-a}{n}(f(b)-f(a))$

   Aceasta este lema benzii: în diferența celor două sume toți termenii se reduc doi câte doi, în afară de cei de la capete, rămânând $\frac{b-a}{n}(f(b)-f(a))$. Ea este marginea de eroare demonstrată a estimării și arată că banda se îngustează proporțional cu $\frac{1}{n}$. Celelalte trei variante pierd fiecare câte un factor din formulă.

3. În formula metodei trapezelor, valorile funcției în capetele intervalului intră:

   • a) cu aceeași pondere ca celelalte
   • b) cu jumătate de pondere
   • c) cu pondere dublă
   • d) nu intră deloc
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) cu jumătate de pondere

   Fiecare trapez folosește două valori vecine, deci nodurile interioare apar în două trapeze, iar capetele într-unul singur: de aici jumătatea de pondere pentru $f(a)$ și $f(b)$. Uitarea ei dă o eroare care nu scade când $n$ crește, spre deosebire de eroarea metodei, care scade.