Estimarea numerică a integralelor și verificarea cu instrumente digitale

Sunt integrale pe care nu le poți calcula exact, oricâte metode ai ști. Nu pentru că ți-ar lipsi ceva din materia de clasa a 12-a, ci pentru că primitiva funcției nu se exprimă prin funcțiile elementare pe care le cunoști: $e^{-x^3}$, $\frac{\sin x}{x}$ sau $\frac{1}{\ln x}$ nu au primitive scrise cu radicali, logaritmi și funcții trigonometrice. Și totuși integralele lor sunt numere perfect determinate, care măsoară arii perfect reale. Cum le afli? Estimarea numerică a unei integrale definite înseamnă aproximarea valorii ei cu sume de dreptunghiuri sau cu metoda trapezelor, atunci când primitiva funcției nu se poate exprima prin funcții elementare.

Răspunsul stă chiar la începutul unității despre integrala definită: sumele Riemann. Ele nu au fost doar o etapă de construcție a noțiunii — sunt și cel mai simplu instrument de calcul aproximativ pe care îl are analiza matematică. Lecția aceasta le folosește în al doilea rol: nu ca să demonstreze că integrala există, ci ca să-i estimeze valoarea, cu o eroare pe care o poți controla. În plus, învață ceva de care ai nevoie la fiecare problemă din unitate, chiar și când calculul exact iese perfect: cum verifici un rezultat, cu monotonia, cu teorema de medie, cu o arie elementară și, dacă ai la îndemână, cu un instrument digital — exact cum recomandă programa de matematică-informatică la finalul capitolului de funcții integrabile.

Ce vei învăța

• Vei ști să estimezi o integrală definită cu sumele de dreptunghiuri ${\sigma }_{\text{st}}$, ${\sigma }_{\text{mij}}$ și ${\sigma }_{\text{dr}}$, pe o diviziune echidistantă dată.
• Vei ști să deduci metoda trapezelor din aria trapezului și să o scrii ca medie a celor două sume din capete.
• Vei ști să urmărești, într-un tabel numeric, cum scade eroarea când numărul de subintervale crește.
• Vei ști să încadrezi o integrală cu monotonia și să o localizezi cu teorema de medie, ca să ai o margine de siguranță garantată.
• Vei ști să compari rezultatul obținut de tine cu cel afișat de un instrument digital și să spui ce dovedește această comparație și ce nu.
• Vei ști cele trei semne că ai greșit și verificarea rapidă care le prinde.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să estimezi numeric o integrală?

Estimarea numerică a unei integrale definite este înlocuirea numărului ${\int }_a^{b}f(x)dx$ cu o sumă finită, calculabilă din valorile funcției într-un număr finit de puncte, însoțită de o margine a diferenței dintre sumă și integrală. Suma se numește estimare, iar diferența dintre ea și valoarea adevărată se numește eroare.

Aici trebuie făcută o distincție care se pierde ușor. La sumele Riemann le-ai construit ca să definești integrala: acolo interesa limita lor, nu valoarea unei sume anume. Acum le folosim invers: fixăm un $n$ concret, calculăm suma și o luăm drept aproximare a integralei. Construcția e aceeași; întrebarea e alta. Acolo întrebam „către ce tind?", aici întrebăm „cât de departe sunt?".

Al doilea lucru de așezat de la început: estimarea numerică nu este o metodă de examen. La Bacalaureat M1 nu se cere niciodată valoarea aproximativă a unei integrale. Ea intră în lecția aceasta în două roluri legitime: ca singura cale de a atribui o valoare unei integrale fără primitivă elementară și, mai ales, ca instrument de verificare a unui rezultat obținut exact. Al doilea rol e cel care aduce puncte.

Merită amintit de unde vine ideea. Lecția despre formula Leibniz–Newton pornea de la observația că pentru ${\int }_1^2\frac{1}{x}dx$ nu există nicio formulă închisă pentru suma Riemann — de aceea era nevoie de primitive. Adevărat: formulă închisă nu există. Dar suma cu un $n$ dat se calculează oricând, adunând $n$ numere. Exact asta vom face.

2. Cum se estimează o integrală cu sume de dreptunghiuri?

Fixăm intervalul $[a,b]$, un număr natural $n\ge 1$ și diviziunea echidistantă de pas $h=\frac{b-a}{n}$, cu nodurile $x_i=a+ih$. Cele trei alegeri standard ale punctelor intermediare au primit nume la lecția despre sumele Riemann și le păstrăm întocmai:

$${\sigma }_{\text{st}}=h\sum _{i=0}^{n-1}f(x_i),{\sigma }_{\text{dr}}=h\sum _{i=1}^{n}f(x_i),{\sigma }_{\text{mij}}=h\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right).$$

Le calculăm pe firul roșu al lecției, ${\int }_1^2\frac{1}{x}dx=\ln 2=0,6931472\dots$, pentru $n=4$. Nodurile sunt $1$, $\frac{5}{4}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{7}{4}$, $2$, iar valorile funcției în ele sunt $1$, $\frac{4}{5}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{1}{2}$. Deci

$${\sigma }_{\text{st}}=\frac{1}{4}\left(1+\frac{4}{5}+\frac{2}{3}+\frac{4}{7}\right)=\frac{319}{420}\approx 0,7595238,{\sigma }_{\text{dr}}=\frac{1}{4}\left(\frac{4}{5}+\frac{2}{3}+\frac{4}{7}+\frac{1}{2}\right)=\frac{533}{840}\approx 0,6345238.$$

Punctele intermediare de la mijloc sunt $\frac{9}{8}$, $\frac{11}{8}$, $\frac{13}{8}$, $\frac{15}{8}$, cu valorile $\frac{8}{9}$, $\frac{8}{11}$, $\frac{8}{13}$, $\frac{8}{15}$, de unde ${\sigma }_{\text{mij}}=\frac{4448}{6435}\approx 0,6912199$.

Funcția $f(x)=\frac{1}{x}$ este strict descrescătoare pe $[1,2]$, deci dreptunghiurile cu înălțimea luată la stânga acoperă subgraficul, iar cele cu înălțimea luată la dreapta stau sub el. Prin urmare

$${\sigma }_{\text{dr}}<{\int }_1^2\frac{dx}{x}<{\sigma }_{\text{st}},\text{adica˘}0,6345238<\ln 2<0,7595238.$$

Aceasta este deja o informație garantată, nu o simplă impresie: o încadrare a lui $\ln 2$ obținută adunând opt fracții. Iar lățimea ei se citește direct din lema benzii, fixată tot la lecția despre sumele Riemann: pentru $f$ monotonă și o diviziune echidistantă,

$$|{\sigma }_{\text{st}}-{\sigma }_{\text{dr}}|=h|f(b)-f(a)|=\frac{b-a}{n}|f(b)-f(a)|.$$

Aici $h=\frac{1}{4}$ și $|f(2)-f(1)|=\frac{1}{2}$, deci banda are exact $\frac{1}{8}=0,125$ — se verifică pe cifrele de mai sus. Pentru $n=50$ banda ar fi $\frac{1}{100}$, iar pentru $n=500$, $\frac{1}{1000}$: eroarea garantată se micșorează de câte ori crește $n$.

3. Cum se obține metoda trapezelor?

Dreptunghiul înlocuiește arcul de grafic de deasupra unei bucăți cu un segment orizontal. E o risipă: cunoaștem valorile funcției în amândouă capetele bucății, deci putem înlocui arcul cu coarda care le unește. Figura de deasupra bucății devine atunci un trapez dreptunghic, cu bazele $f(x_{i-1})$ și $f(x_i)$ și cu înălțimea $h$, a cărui arie o știi din gimnaziu, de la aria trapezului:

$${\mathcal{S}}_i=\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}\cdot h.$$

Adunând cele $n$ trapeze se obține metoda trapezelor:

$$T_n=h\left(\frac{f(x_0)}{2}+f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_{n-1})+\frac{f(x_n)}{2}\right).$$

Formula are o citire care ușurează totul: valorile din capetele intervalului intră cu jumătate de pondere, cele dinăuntru cu pondere întreagă. Și, mai important, ea nu e o metodă nouă, ci media aritmetică a celor două sume de dreptunghiuri din capete:

$$T_n=\frac{{\sigma }_{\text{st}}+{\sigma }_{\text{dr}}}{2}.$$

Verificarea e imediată: în suma ${\sigma }_{\text{st}}+{\sigma }_{\text{dr}}$, valorile $f(x_1),\dots ,f(x_{n-1})$ apar de două ori, iar $f(x_0)$ și $f(x_n)$ o singură dată. Pe firul roșu,

$$T_4=\frac{1}{2}\left(\frac{319}{420}+\frac{533}{840}\right)=\frac{1171}{1680}\approx 0,6970238,$$

față de $\ln 2\approx 0,6931472$: o eroare de $0,0039$, adică de aproape șaptesprezece ori mai mică decât cea a lui ${\sigma }_{\text{st}}$, cu exact același efort de calcul.

Două observații care merită reținute. Prima: pentru o funcție de gradul întâi, metoda trapezelor dă valoarea exactă, oricare ar fi $n$ — trapezele coincid atunci cu subgraficul. A doua, deja demonstrată la sumele Riemann: pentru o funcție de gradul întâi și punctele luate la mijloc, ${\sigma }_{\text{mij}}$ dă tot valoarea exactă; pentru funcții curbate, cele două estimări greșesc în sensuri opuse, iar ${\sigma }_{\text{mij}}$ e de obicei ceva mai bună.

O propoziție de onestitate. Metoda trapezelor nu face parte din programa clasei a XII-a și nu se cere la Bacalaureat M1; o învățăm pentru că se deduce în trei rânduri din aria trapezului și pentru că este cel mai bun control numeric pe care îl poți face cu creionul. Există și metode mai fine — de pildă metoda lui Simpson, care înlocuiește arcele cu arce de parabolă — dar ele sunt în afara programei și le menționăm doar ca să știi că lista nu se oprește aici.

4. Cât de repede scade eroarea când $n$ crește?

Aceasta este întrebarea care face din estimare un instrument, nu o joacă. Răspunsul se citește dintr-un tabel numeric, pe firul roșu ${\int }_1^2\frac{dx}{x}=\ln 2$. Toate valorile de mai jos au fost calculate exact, cu fracții, și abia apoi rotunjite.

Citirea tabelului este limpede. La fiecare dublare a lui $n$, eroarea sumei de dreptunghiuri se înjumătățește, iar eroarea metodei trapezelor se împarte la patru. De aceea $T_{160}$ are cinci zecimale corecte, în timp ce ${\sigma }_{\text{st}}$ nu are nici trei.

Pentru sumele din capete, comportarea aceasta nu e o observație numerică, ci un fapt demonstrat: din lema benzii, ambele sume greșesc cu cel mult $\frac{b-a}{n}|f(b)-f(a)|$, adică cu o mărime invers proporțională cu $n$. Pentru metoda trapezelor există și o margine teoretică analoagă, care explică împărțirea la patru, dar ea folosește derivata a doua a funcției și iese din programa clasei a XII-a; aici ne mulțumim cu observația numerică, spusă ca atare.

Regula practică pe care o reții: dacă vrei o zecimală în plus, la sumele de dreptunghiuri trebuie să înmulțești $n$ cu $10$, iar la trapeze îți ajunge să-l înmulțești cu $\sqrt{10}\approx 3$.

5. Cum se încadrează o integrală fără primitivă elementară?

Estimarea numerică dă un număr, dar nu dă nicio garanție singură. Garanția vine din monotonia integralei, cu rețeta fixată la lecția despre încadrarea și compararea integralelor, ale cărei Etape $1$, $2$ și $3$ le folosim exact ca acolo.

Luăm ${\int }_0^1{e}^{-x^3}dx$, o integrală a cărei valoare exactă nu se poate scrie cu funcțiile elementare.

Etapa 1. Pe $[0,1]$ avem $0\le x^3\le 1$, deci $-1\le -x^3\le 0$.

Etapa 2. Funcția exponențială fiind strict crescătoare, $e^{-1}\le e^{-x^3}\le e^0=1$.

Etapa 3. Integrând pe un interval de lungime $1$: $\frac{1}{e}\le {\int }_0^1{e}^{-x^3}dx\le 1$, adică $0,3679\le I\le 1$.

Încadrarea e adevărată, dar largă. O rafinăm cu inegalitatea elementară $e^u\ge 1+u$, scrisă pentru $u=-x^3$: $e^{-x^3}\ge 1-x^3$. Integrând, ${\int }_0^1\left(1-x^3\right)dx=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$, deci

$$\frac{3}{4}\le {\int }_0^1{e}^{-x^3}dx\le 1.$$

Acum putem estima. Cu $n=10$, pasul $h=0,1$, calculul dă ${\sigma }_{\text{st}}\approx 0,8381956$, ${\sigma }_{\text{dr}}\approx 0,7749835$ și, prin urmare, $T_{10}\approx 0,8065896$. Banda garantată de lema benzii este $0,1\left(1-\frac{1}{e}\right)\approx 0,0632$, iar valoarea adevărată, calculată cu $n$ foarte mare, este $0,8075112\dots$ Estimarea cade cuminte în încadrarea $\left[\frac{3}{4},1\right]$ obținută algebric — și tocmai potrivirea aceasta între două drumuri independente este dovada că niciunul nu e greșit.

6. Cum se verifică o integrală cu teorema de medie?

A doua garanție vine din teorema de medie și interpretarea ei geometrică. Ea spune că, pentru $f$ continuă pe $[a,b]$, există $c\in [a,b]$ cu ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$; numărul $\mu =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f$ este valoarea medie.

De aici iese un control instantaneu, pe care îl poți face din minte: valoarea medie a unei funcții trebuie să fie cuprinsă între valorile ei extreme pe interval. Dacă rezultatul tău dă o medie mai mare decât cea mai mare valoare a funcției, calculul e greșit, fără nicio îndoială.

Pe firul roșu: ${\int }_1^2\frac{dx}{x}=\ln 2$, deci $\mu =\frac{\ln 2}{1}=0,6931472$. Într-adevăr, $f$ ia pe $[1,2]$ valori între $\frac{1}{2}$ și $1$, iar media cade între ele. Mai mult, ecuația $\frac{1}{c}=\ln 2$ dă $c=\frac{1}{\ln 2}\approx 1,4426950$, un punct din interval — exact ce promite teorema, aflat cu cei patru pași de determinare a lui $c$ fixați acolo.

7. Cum verifici un rezultat cu instrumente digitale?

Programa cere, în nota de la capitolul „Funcții integrabile", ca „pentru verificarea rezultatelor" să se poată folosi instrumente digitale. Sunt utile aici programele de geometrie dinamică și calculatoarele grafice — GeoGebra, Desmos și altele asemenea, inclusiv aplicațiile de pe telefon — care au o comandă de integrală definită, precum și foile de calcul tabelar, în care poți construi tu însuți coloana valorilor $f(x_i)$ și le poți aduna.

Ordinea de lucru este una singură și nu se inversează, la fel ca la graficele din fizică și verificarea lor cu instrumente digitale, unde regula a fost fixată pentru desene:

1. Calculezi întâi exact, cu primitiva și formula Leibniz–Newton, sau — dacă primitiva nu există — construiești întâi încadrarea algebrică. Dacă te uiți întâi la numărul afișat de program, nu mai verifici nimic: îți vei confirma singur ce ai văzut.
2. Introduci integrala cu limitele ei și citești valoarea afișată.
3. Compari trei lucruri, în această ordine: semnul, ordinul de mărime (numărul afișat trebuie să cadă în încadrarea ta) și zecimalele (valoarea ta exactă, evaluată numeric, trebuie să coincidă cu cea afișată pe cel puțin patru zecimale).

Deosebirea față de verificarea digitală a graficelor din fizică merită spusă limpede: acolo instrumentul digital verifica un grafic, aici verifică un număr. Regula rămâne însă aceeași, cuvânt cu cuvânt: verificarea digitală confirmă, nu demonstrează. Programul evaluează funcția într-un număr finit de puncte și adună; el nu știe nimic despre ipotezele teoremelor tale. Într-o lucrare se scrie forma exactă — $\ln 2$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{e^2-1}{4}$ —, iar aproximarea se pune, cel mult, în paranteză.

Un avertisment concret: dacă funcția nu e integrabilă pe intervalul cerut — de pildă $\frac{1}{x^2}$ pe $[-1,1]$ —, multe programe afișează totuși un număr, obținut din eșantioane care evită întâmplător polul. Numărul acela nu înseamnă nimic. Integrabilitatea se decide cu criteriile din lecția despre clasele de funcții integrabile, nu cu ecranul.

8. Care sunt cele trei semne că ai greșit?

Le vom numi așa și le vom folosi în toată unitatea. Sunt trei verificări care se fac în zece secunde, înainte de a trece la subpunctul următor.

Semnul rezultatului. O funcție pozitivă pe $[a,b]$, cu $a<b$, dă o integrală pozitivă; o arie sau un volum sunt întotdeauna pozitive. Un rezultat negativ acolo unde ar trebui să fie pozitiv arată aproape sigur o greșeală de semn la evaluarea între limite sau limitele scrise invers.

Ordinul de mărime. Din $m\le f(x)\le M$ pe $[a,b]$ rezultă $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$. Marginile se obțin dintr-o privire, iar rezultatul trebuie să cadă între ele. De pildă, ${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2$ este plauzibil, pentru că $0\le \sin x\le 1$ dă $0\le I\le \pi \approx 3,1416$.

Comparația cu o arie elementară. Dacă subgraficul conține un dreptunghi, un triunghi sau un trapez ori este conținut în unul, aria lui se compară cu formula din gimnaziu. Controlul acesta a fost folosit prima dată la aria subgraficului unei funcții și rămâne cel mai bun dintre toate: pentru ${\int }_1^3\ln xdx=3\ln 3-2\approx 1,2958$, subgraficul e conținut în dreptunghiul de laturi $2$ și $\ln 3$, deci integrala nu poate depăși $2\ln 3\approx 2,1972$ — și nu o face.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Cele trei sume și trapezul, pe aceeași diviziune

Pentru $f:[1,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, și diviziunea echidistantă cu $n=4$, calculați ${\sigma }_{\text{st}}$, ${\sigma }_{\text{mij}}$, ${\sigma }_{\text{dr}}$ și $T_4$, apoi comparați-le cu valoarea exactă.

Rezolvare. Valorile sunt cele calculate în secțiunea a doua:

$${\sigma }_{\text{st}}=\frac{319}{420}\approx 0,7595238,{\sigma }_{\text{mij}}=\frac{4448}{6435}\approx 0,6912199,{\sigma }_{\text{dr}}=\frac{533}{840}\approx 0,6345238,$$

iar $T_4=\frac{{\sigma }_{\text{st}}+{\sigma }_{\text{dr}}}{2}=\frac{1171}{1680}\approx 0,6970238$. Valoarea exactă este $\ln 2\approx 0,6931472$, deci erorile sunt, în ordine, $0,0664$, $0,0019$, $0,0586$ și $0,0039$.

Citirea rezultatului. Cele două sume din capete încadrează integrala, pentru că funcția e monotonă; cele două estimări „de mijloc" — ${\sigma }_{\text{mij}}$ și $T_4$ — sunt mult mai bune și cad de o parte și de alta a valorii adevărate. Nu e o coincidență: pentru o funcție convexă, coarda stă deasupra graficului, deci $T_n$ supraestimează, iar tangenta stă dedesubt, ceea ce face ca ${\sigma }_{\text{mij}}$ să subestimeze.

Exemplul 2. Metoda trapezelor, pe o integrală cu valoare exactă cunoscută

Estimați ${\int }_0^1\frac{4}{1+x^2}dx$ prin metoda trapezelor, cu $n=2$ și cu $n=4$, și comparați cu valoarea exactă.

Rezolvare. Integrala se calculează exact: o primitivă a lui $\frac{4}{1+x^2}$ este $4\mathrm{arctg}x$, deci

$${\int }_0^1\frac{4}{1+x^2}dx=4\mathrm{arctg}x{|}_0^1=4\cdot \frac{\pi }{4}=\pi .$$

Pentru $n=2$ nodurile sunt $0$, $\frac{1}{2}$, $1$, cu valorile $4$, $\frac{16}{5}$, $2$. Atunci ${\sigma }_{\text{st}}=\frac{1}{2}\left(4+\frac{16}{5}\right)=\frac{18}{5}$ și ${\sigma }_{\text{dr}}=\frac{1}{2}\left(\frac{16}{5}+2\right)=\frac{13}{5}$, de unde

$$T_2=\frac{1}{2}\left(\frac{18}{5}+\frac{13}{5}\right)=\frac{31}{10}=3,1.$$

Cu trei valori ale funcției am obținut prima zecimală a lui $\pi$. Pentru $n=4$, un calcul asemănător dă ${\sigma }_{\text{st}}=\frac{1437}{425}$, ${\sigma }_{\text{dr}}=\frac{2449}{850}$ și $T_4=\frac{5323}{1700}\approx 3,1311765$, iar ${\sigma }_{\text{mij}}\approx 3,1468005$. Erorile sunt $0,0416$ pentru $T_2$ și $0,0104$ pentru $T_4$ — din nou împărțite la patru la dublarea lui $n$. (Toate valorile au fost verificate exact, cu fracții.)

Exemplul 3. O integrală fără primitivă elementară

Estimați ${\int }_0^1{e}^{-x^3}dx$ cu $n=10$ și precizați ce garanție aveți asupra rezultatului.

Rezolvare. Pasul este $h=0,1$, iar funcția e strict descrescătoare pe $[0,1]$. Adunând cele zece valori din capetele din stânga, respectiv din dreapta, se obține ${\sigma }_{\text{st}}\approx 0,8381956$ și ${\sigma }_{\text{dr}}\approx 0,7749835$, deci

$$0,7749835<{\int }_0^1{e}^{-x^3}dx<0,8381956,T_{10}=\frac{{\sigma }_{\text{st}}+{\sigma }_{\text{dr}}}{2}\approx 0,8065896.$$

Garanția. Încadrarea de mai sus este riguroasă, pentru că funcția e monotonă, iar lățimea ei este exact $h\left(f(0)-f(1)\right)=0,1\left(1-\frac{1}{e}\right)\approx 0,0632$, prin lema benzii. Estimarea $T_{10}$ nu vine cu o margine demonstrată în programa clasei a XII-a, dar cade în încadrare și, comparată cu valoarea obținută pentru $n$ mare, $0,8075112$, greșește cu mai puțin de o miime.

Controlul independent. Din secțiunea a cincea, $\frac{3}{4}\le I\le 1$; estimarea respectă și această încadrare. Două drumuri diferite care duc în același loc — asta e tot ce poate cere o verificare.

Exemplul 4. Cele trei semne, pe un rezultat greșit

Un elev scrie ${\int }_0^2\left(x^2+1\right)dx=-\frac{14}{3}$. Arătați, fără să refaceți calculul, că rezultatul e greșit, apoi corectați-l.

Rezolvare. Semnul. Integrandul $x^2+1$ este strict pozitiv pe $[0,2]$, iar $0<2$, deci integrala este strict pozitivă, prin monotonia integralei. Un rezultat negativ este imposibil: cel mai probabil limitele au fost înlocuite în ordinea greșită.

Ordinul de mărime. Pe $[0,2]$ avem $1\le x^2+1\le 5$, deci $1\cdot 2\le I\le 5\cdot 2$, adică $2\le I\le 10$. Numărul $\frac{14}{3}\approx 4,6667$ cade în acest interval, iar $-\frac{14}{3}$ nu.

Aria elementară. Subgraficul conține dreptunghiul de laturi $2$ și $1$, de arie $2$, și este conținut în dreptunghiul de laturi $2$ și $5$, de arie $10$ — aceleași margini, citite geometric.

Corectarea. ${\int }_0^2\left(x^2+1\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_0^2=\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}\approx 4,6667$, valoare care trece toate cele trei controale.

Exemplul 5. Estimarea unei mărimi măsurate

Debitul unei conducte a fost măsurat din cinci în cinci minute și a dat, în litri pe minut, valorile $0$, $12$, $18$, $20$, $15$, $6$, $0$. Estimați volumul de apă scurs în cele treizeci de minute.

Rezolvare. Nu cunoaștem formula debitului, ci doar șapte valori ale lui. Volumul este $V={\int }_0^{30}Q(t)dt$, iar singurul lucru pe care îl putem face este să estimăm această integrală. Nodurile sunt echidistante, cu $h=5$ minute, deci se aplică metoda trapezelor:

$$V\approx 5\left(\frac{0}{2}+12+18+20+15+6+\frac{0}{2}\right)=5\cdot 71=355\text{ litri}.$$

Controlul. Debitul maxim măsurat este $20$ de litri pe minut, deci volumul nu poate depăși $20\cdot 30=600$ de litri; iar dacă am fi luat, prudent, doar debitul minim dintre măsurători consecutive, am fi obținut mai puțin de $355$. Rezultatul e plauzibil. (Model simplificat: între două măsurători debitul real nu variază liniar.)

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:[1,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$. Problema are formatul obișnuit al problemei $2$ din Subiectul al III-lea: trei subpuncte de câte $5$ puncte.

a) Calculați ${\int }_1^{2}f(x)dx$. (5 puncte)

b) Arătați că $\frac{1}{2}\le {\int }_1^{2}f(x)dx\le 1$. (5 puncte)

c) Arătați că există $c\in [1,2]$ cu $\frac{1}{c}=\ln 2$ și că $c\in (1,4;1,5)$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Funcția $f$ este continuă pe $[1,2]$, deci integrabilă, și admite acolo primitiva $F(x)=\ln |x|$. Prin formula Leibniz–Newton,

$${\int }_1^2\frac{dx}{x}=\ln |x|{|}_1^2=\ln 2-\ln 1=\ln 2\approx 0,6931472.$$

b) Pe $[1,2]$ avem $1\le x\le 2$, deci, prin trecerea la inverse a numerelor pozitive (care schimbă sensul), $\frac{1}{2}\le \frac{1}{x}\le 1$. Integrând pe un interval de lungime $1$, prin monotonia integralei,

$$\frac{1}{2}={\int }_1^2\frac{1}{2}dx\le {\int }_1^2\frac{dx}{x}\le {\int }_1^{2}1dx=1.$$

Cele două margini sunt exact cele date de dreptunghiurile care încadrează subgraficul.

c) Funcția $f$ este continuă pe $[1,2]$, deci teorema de medie dă un $c\in [1,2]$ cu ${\int }_1^{2}f(x)dx=f(c)(2-1)$, adică $\frac{1}{c}=\ln 2$. Pentru localizare folosim monotonia: $f$ este strict descrescătoare, iar

$$f(1,4)=\frac{5}{7}\approx 0,7142857>\ln 2,f(1,5)=\frac{2}{3}\approx 0,6666667<\ln 2.$$

Prin urmare $c\in (1,4;1,5)$, iar monotonia strictă arată că este singurul punct cu această proprietate. (Într-adevăr, $c=\frac{1}{\ln 2}\approx 1,4426950$.)

Să exersăm

1. Pentru $f:[1,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, și diviziunea echidistantă cu $n=4$, scrieți nodurile și calculați ${\sigma }_{\text{st}}$.

2. Pentru aceeași funcție și aceeași diviziune, calculați ${\sigma }_{\text{dr}}$.

3. Calculați $T_4$ pentru situația de la exercițiile $1$ și $2$ și determinați eroarea față de $\ln 2\approx 0,6931472$.

4. Folosind lema benzii, precizați cât este ${\sigma }_{\text{st}}-{\sigma }_{\text{dr}}$ pentru $f(x)=\frac{1}{x}$ pe $[1,2]$, cu $n=50$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Suma Riemann cu punctele intermediare luate la stânga este întotdeauna mai mică decât integrala."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru o funcție de gradul întâi, metoda trapezelor dă valoarea exactă a integralei, oricare ar fi $n$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un program afișează $0,785398$ pentru ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}$, atunci în lucrare se scrie $0,785398$."

8. Încadrați ${\int }_0^1{e}^{-x^3}dx$ folosind monotonia integrandului pe $[0,1]$.

9. Rafinați încadrarea de la exercițiul $8$ folosind inegalitatea $e^u\ge 1+u$.

10. Determinați valoarea medie a funcției $f(x)=\frac{1}{x}$ pe $[1,2]$ și punctul $c$ dat de teorema de medie.

11. Un elev obține ${\int }_0^2\left(x^2+1\right)dx=-\frac{14}{3}$. Precizați care dintre cele trei semne că ai greșit îl prinde primul și corectați rezultatul.

12. Arătați, fără să calculați integrala, că ${\int }_0^{\pi }\sin xdx$ nu poate depăși $\pi$.

13. Calculați ${\int }_1^3\ln xdx$ și verificați rezultatul comparându-l cu aria dreptunghiului de laturi $2$ și $\ln 3$.

14. (Problemă aplicată.) Debitul unui robinet, măsurat din cinci în cinci minute timp de o jumătate de oră, a dat valorile $0$, $12$, $18$, $20$, $15$, $6$, $0$ litri pe minut. Estimați volumul scurs prin metoda trapezelor.

15. Calculați $T_2$ pentru ${\int }_0^1\frac{4}{1+x^2}dx$ și comparați rezultatul cu $\pi \approx 3,1415927$.

16. Pentru $f(x)=3x+1$ pe $[1,4]$, calculați $T_1$, $T_2$ și $T_5$ și explicați de ce dau același număr.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Arătați că $\frac{1}{3}\le {\int }_0^1\frac{dx}{2+x^2}\le \frac{1}{2}$ și precizați o valoare aproximativă a integralei, dedusă din mijlocul încadrării.

18. (Provocare.) Arătați că, dacă $f$ este convexă pe $[a,b]$, atunci $T_n\ge {\int }_a^{b}f(x)dx$ pentru orice $n$, și verificați afirmația pe $f(x)=\frac{1}{x}$, cu $n=10$.

Răspunsuri și explicații

1. Nodurile sunt $1$, $\frac{5}{4}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{7}{4}$, $2$, iar ${\sigma }_{\text{st}}=\frac{1}{4}\left(1+\frac{4}{5}+\frac{2}{3}+\frac{4}{7}\right)=\frac{319}{420}\approx 0,7595238$.

2. ${\sigma }_{\text{dr}}=\frac{1}{4}\left(\frac{4}{5}+\frac{2}{3}+\frac{4}{7}+\frac{1}{2}\right)=\frac{533}{840}\approx 0,6345238$. Fiind funcția descrescătoare, această sumă e mai mică decât integrala.

3. $T_4=\frac{1}{2}\left(\frac{319}{420}+\frac{533}{840}\right)=\frac{1171}{1680}\approx 0,6970238$, cu eroarea $0,6970238-0,6931472=0,0038766$, adică sub patru miimi.

4. ${\sigma }_{\text{st}}-{\sigma }_{\text{dr}}=\frac{2-1}{50}\left|\frac{1}{2}-1\right|=\frac{1}{50}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{100}=0,01$.

5. Fals. Afirmația e adevărată numai pentru funcțiile crescătoare. Pentru $f(x)=\frac{1}{x}$ pe $[1,2]$, care e descrescătoare, ${\sigma }_{\text{st}}\approx 0,7595>\ln 2$. Ceea ce e adevărat mereu: pentru $f$ monotonă, integrala stă între ${\sigma }_{\text{st}}$ și ${\sigma }_{\text{dr}}$.

6. Adevărat. Pe fiecare bucată, graficul unei funcții de gradul întâi coincide cu coarda, deci trapezul folosit de metodă este chiar subgraficul bucății. Adunându-le, se obține aria exactă. Exercițiul $16$ arată acest lucru pe un caz concret.

7. Fals. Valoarea exactă este $\mathrm{arctg}x{|}_0^1=\frac{\pi }{4}$, iar într-o lucrare se scrie forma exactă. Aproximarea se poate adăuga în paranteză, ca verificare, nu ca rezultat.

8. Pe $[0,1]$ avem $0\le x^3\le 1$, deci $-1\le -x^3\le 0$ și, exponențiala fiind crescătoare, $\frac{1}{e}\le e^{-x^3}\le 1$. Integrând pe un interval de lungime $1$: $\frac{1}{e}\approx 0,3679\le I\le 1$.

9. Din $e^u\ge 1+u$ cu $u=-x^3$ rezultă $e^{-x^3}\ge 1-x^3$, deci $I\ge {\int }_0^1\left(1-x^3\right)dx=\frac{3}{4}$. Împreună cu marginea de sus: $\frac{3}{4}\le I\le 1$. (Valoarea adevărată este $0,8075112$.)

10. $\mu =\frac{1}{2-1}{\int }_1^2\frac{dx}{x}=\ln 2\approx 0,6931472$. Din $\frac{1}{c}=\ln 2$ rezultă $c=\frac{1}{\ln 2}\approx 1,4426950\in [1,2]$. Observă că $c$ nu este mijlocul intervalului, $1,5$.

11. Primul semn este semnul rezultatului: integrandul $x^2+1$ e strict pozitiv, iar $0<2$, deci integrala trebuie să fie pozitivă. Valoarea corectă este $\left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_0^2=\frac{14}{3}\approx 4,6667$.

12. Pe $[0,\pi ]$ avem $0\le \sin x\le 1$, deci, prin monotonia integralei, $0\le {\int }_0^{\pi }\sin xdx\le \pi \approx 3,1416$. (Valoarea exactă este $2$.)

13. Prin integrare prin părți, ${\int }_1^3\ln xdx=\left(x\ln x-x\right){|}_1^3=3\ln 3-3+1=3\ln 3-2\approx 1,2958369$. Dreptunghiul de laturi $2$ și $\ln 3$ are aria $2\ln 3\approx 2,1972246$ și conține subgraficul, deci rezultatul trebuie să fie mai mic — și este.

14. Cu $h=5$ minute, $V\approx 5\left(\frac{0}{2}+12+18+20+15+6+\frac{0}{2}\right)=5\cdot 71=355$ de litri. Controlul: debitul nu a depășit $20$ de litri pe minut, deci volumul nu putea depăși $600$ de litri.

15. Nodurile sunt $0$, $\frac{1}{2}$, $1$, cu valorile $4$, $\frac{16}{5}$, $2$. Atunci $T_2=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{2}+\frac{16}{5}+\frac{2}{2}\right)=\frac{31}{10}=3,1$, cu eroarea $0,0416$ față de $\pi$.

16. Pentru toate trei valorile lui $n$ se obține $T_n=\frac{51}{2}=25,5$, adică exact ${\int }_1^4(3x+1)dx=\left(\frac{3x^2}{2}+x\right){|}_1^4=28-\frac{5}{2}=\frac{51}{2}$. Explicația e cea de la exercițiul $6$: coarda coincide cu graficul.

17. Pe $[0,1]$ avem $0\le x^2\le 1$, deci $2\le 2+x^2\le 3$ și, prin trecerea la inverse, $\frac{1}{3}\le \frac{1}{2+x^2}\le \frac{1}{2}$. Integrând pe un interval de lungime $1$ se obține încadrarea cerută. Mijlocul ei este $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{12}\approx 0,4167$, iar valoarea adevărată este $0,4352099$ — o eroare de sub două sutimi, obținută fără niciun calcul de primitivă.

18. Pentru $f$ convexă, coarda care unește punctele $\left(x_{i-1},f(x_{i-1})\right)$ și $\left(x_i,f(x_i)\right)$ stă deasupra graficului pe toată bucata, deci trapezul de deasupra bucății are aria cel puțin egală cu aria subgraficului bucății. Adunând cele $n$ inegalități se obține $T_n\ge {\int }_a^{b}f$. Verificare: $f(x)=\frac{1}{x}$ este convexă pe $[1,2]$, iar $T_{10}\approx 0,6937714>\ln 2\approx 0,6931472$ ✓. (Simetric, pentru $f$ convexă, ${\sigma }_{\text{mij}}\le {\int }_a^{b}f$: aici ${\sigma }_{\text{mij}}\approx 0,6928354$.)

De reținut

• Estimarea numerică a unei integrale înseamnă înlocuirea ei cu o sumă finită, însoțită de o margine a erorii; fără marginea aceasta, numărul obținut nu spune nimic.
• Pentru o funcție monotonă și o diviziune echidistantă, integrala stă între ${\sigma }_{\text{st}}$ și ${\sigma }_{\text{dr}}$, iar lățimea benzii este $\frac{b-a}{n}|f(b)-f(a)|$, deci scade odată cu creșterea lui $n$.
• Metoda trapezelor este media aritmetică a celor două sume de dreptunghiuri din capete, $T_n=\frac{{\sigma }_{\text{st}}+{\sigma }_{\text{dr}}}{2}$, și dă valoarea exactă pentru orice funcție de gradul întâi.
• Verificarea cu un instrument digital confirmă un rezultat obținut exact, dar nu îl demonstrează niciodată, iar în lucrare se scrie forma exactă, nu zecimalele afișate de program.
• Cele trei semne că ai greșit — semnul rezultatului, ordinul de mărime și comparația cu o arie elementară — se verifică în zece secunde și prind majoritatea greșelilor de calcul.

Greșeli frecvente

• Iei estimarea drept rezultat. Un număr obținut cu trapeze nu este valoarea integralei, ci o aproximare a ei; când integrala se poate calcula exact, în lucrare se scrie forma exactă, iar estimarea rămâne, cel mult, o verificare pusă în paranteză.
• Folosești încadrarea cu ${\sigma }_{\text{st}}$ și ${\sigma }_{\text{dr}}$ pentru o funcție care nu e monotonă. Ordinea ${\sigma }_{\text{dr}}<I<{\sigma }_{\text{st}}$ vine din monotonie; fără ea, cele două sume pot cădea amândouă de aceeași parte a integralei.
• Aduni în formula trapezelor toate valorile cu aceeași pondere. Capetele intră cu jumătate de pondere; uitarea acestei jumătăți dă o eroare care nu scade deloc când $n$ crește.
• Ceri unui program valoarea unei integrale dintr-o funcție neintegrabilă. Pentru ${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x^2}$ multe programe afișează un număr, deși funcția e nemărginită și nu e integrabilă. Integrabilitatea se decide cu criteriile din lecție, nu cu ecranul.
• Renunți la controale când calculul „a ieșit frumos". Cele trei semne că ai greșit costă zece secunde și prind tocmai greșelile care dau rezultate frumoase: limite inversate, un semn pierdut, un factor uitat.

Aplică acasă

1. Coloana de sume. Într-o foaie de calcul, construiește pentru $f(x)=\frac{1}{x}$ pe $[1,2]$ patru coloane: nodurile $x_i$, valorile $f(x_i)$, sumele parțiale și, la final, ${\sigma }_{\text{st}}$, ${\sigma }_{\text{dr}}$ și $T_n$. Rulează-le pentru $n=10$, $n=100$ și $n=1000$ și notează într-un tabel cu câte zecimale corecte ale lui $\ln 2$ ajungi de fiecare dată.

2. Aceeași integrală, trei drumuri. Ia ${\int }_0^1\frac{4}{1+x^2}dx$ și obține-i valoarea în trei feluri: exact, cu primitiva; estimat, cu trapeze pentru $n=8$; și afișat de un instrument digital. Scrie cele trei numere unul sub altul și explică în două propoziții ce dovedește potrivirea lor și ce nu.

3. Măsoară și estimează. Umple un vas de la robinet și notează, din zece în zece secunde, nivelul apei; transformă-l în debit prin diferențe și estimează cu metoda trapezelor volumul total. Compară rezultatul cu volumul măsurat direct și explică de unde vine diferența.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă nota din programa de matematică-informatică de la capitolul „Funcții integrabile" — „pentru verificarea rezultatelor se pot folosi instrumente digitale" — și activitatea de învățare din competența XII.CS.6.3 privind folosirea instrumentelor digitale pentru verificarea ariilor calculate cu integrale. Conținutul matematic propriu-zis este cel din competența XII.CS.4.6: aproximarea unei integrale prin încadrarea între două constante, cu monotonia integralei și cu teorema de medie.

Este important de precizat că metoda trapezelor nu face parte din programă și nu se cere la BAC. Ea apare aici pentru că se deduce în trei rânduri din aria trapezului, pentru că leagă cele trei sume Riemann deja studiate și pentru că oferă cel mai bun control numeric accesibil unui elev. Metoda lui Simpson este doar menționată.

Ce verifică lecția: (1) calculul unei sume Riemann cu valori concrete, pe o diviziune echidistantă; (2) deducerea și aplicarea formulei trapezelor; (3) citirea unui tabel de erori și formularea unei reguli din el; (4) redactarea unei încadrări cu monotonia integralei; (5) aplicarea teoremei de medie pentru localizarea unui punct; (6) verificarea unui rezultat prin cele trei semne.

Întrebări bune de control: „Ce garanție ai asupra numărului pe care l-ai obținut?", „De ce funcționează încadrarea cu cele două sume abia când funcția e monotonă?", „De câte ori trebuie să crești $n$ ca să câștigi o zecimală?", „Ce ai scrie în lucrare: $\frac{\pi }{4}$ sau $0,785398$?", „Ce ai verifica înainte de a trece mai departe?". Semn că elevul a înțeles: după fiecare integrală calculată, se oprește o clipă și îi verifică semnul și ordinul de mărime.

Lecția următoare, sinteza aplicațiilor integralei definite, strânge întreaga unitate în format de examen și folosește controalele fixate aici la fiecare dintre cele șase probleme-model.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă estimarea numerică a unei integrale?

Înseamnă înlocuirea integralei cu o sumă finită, calculată din valorile funcției într-un număr finit de puncte, plus o margine a diferenței dintre sumă și valoarea adevărată. Cele mai simple estimări sunt sumele de dreptunghiuri ${\sigma }_{\text{st}}$, ${\sigma }_{\text{mij}}$, ${\sigma }_{\text{dr}}$ și metoda trapezelor. Fără marginea de eroare, numărul obținut nu are nicio valoare matematică.

Care este formula metodei trapezelor?

Pentru o diviziune echidistantă a lui $[a,b]$ cu pasul $h=\frac{b-a}{n}$ și nodurile $x_i$, formula este $T_n=h\left(\frac{f(x_0)}{2}+f(x_1)+\cdots +f(x_{n-1})+\frac{f(x_n)}{2}\right)$. Valorile din capete intră cu jumătate de pondere, cele dinăuntru cu pondere întreagă. Echivalent, $T_n$ este media aritmetică a sumelor ${\sigma }_{\text{st}}$ și ${\sigma }_{\text{dr}}$.

Cum scade eroarea când crește numărul de subintervale?

La sumele de dreptunghiuri, eroarea este invers proporțională cu $n$: dublând $n$, ea se înjumătățește. La metoda trapezelor se observă numeric că, dublând $n$, eroarea se împarte la patru. Practic, pentru o zecimală în plus trebuie să înmulțești $n$ cu zece la dreptunghiuri și doar cu aproximativ trei la trapeze.

Cum verifici rezultatul unei integrale cu instrumente digitale?

Calculezi întâi exact, cu primitiva și formula Leibniz–Newton, sau construiești încadrarea algebrică; abia apoi introduci integrala într-un program de geometrie dinamică, într-un calculator grafic sau într-o foaie de calcul. Compari semnul, ordinul de mărime și zecimalele. Dacă ceva nu se potrivește, ai găsit o greșeală — de obicei în calcul, uneori în ipoteze.

De ce nu ține loc de demonstrație un număr afișat de un program?

Pentru că programul adună valorile funcției într-un număr finit de puncte și nu verifică nicio ipoteză. El poate afișa un număr chiar și pentru o funcție neintegrabilă, ocolind întâmplător punctele problematice. Verificarea digitală confirmă un calcul corect, dar nu îl înlocuiește; în lucrare se scrie forma exactă.

Ce sunt cele trei semne că ai greșit?

Sunt trei controale rapide asupra unui rezultat: semnul — un integrand pozitiv pe un interval crescător dă o integrală pozitivă; ordinul de mărime — rezultatul trebuie să cadă între $m(b-a)$ și $M(b-a)$, unde $m$ și $M$ încadrează funcția; și comparația cu o arie elementară — dreptunghiul, triunghiul sau trapezul care conține regiunea, ori este conținut în ea.

Se cere metoda trapezelor la Bacalaureat M1?

Nu. Programa clasei a XII-a nu conține metode de integrare numerică, iar subiectele nu cer valori aproximative ale integralelor. Ceea ce se cere, și încă des, este încadrarea unei integrale între două constante, cu monotonia integralei sau cu teorema de medie — exact conținutul competenței XII.CS.4.6, prezent în lecție la secțiunile a cincea și a șasea.

De ce unele integrale nu se pot calcula exact?

Pentru că primitiva funcției, deși există (funcția fiind continuă), nu se poate scrie cu funcțiile elementare studiate: polinoame, radicali, exponențiale, logaritmi, funcții trigonometrice și inversele lor. Exemplele clasice sunt $e^{-x^3}$, $e^{-x^2}$ și $\frac{\sin x}{x}$. Integralele lor sunt numere bine determinate, care se pot estima oricât de precis.