Existența soluțiilor unei ecuații reale: pe scurt

Întrebările se despart și se pun în ordine: are soluții?, câte?, unde? și abia la urmă care sunt?. Primele trei se rezolvă complet fără nicio formulă de rezolvare.

Existența, în trei pași: aduci ecuația la forma $f(x)=0$; justifici continuitatea lui $f$; găsești $a<b$ cu $f(a)\cdot f(b)<0$. Prin consecința de semn a proprietății valorilor intermediare (teorema lui Bolzano), ecuația are cel puțin o soluție în $(a,b)$. Capetele se caută încercând întregi mici. Când intervalul nu se dă, se folosesc limitele la $\pm \infty$; de aici rezultă că orice ecuație polinomială de grad impar are cel puțin o soluție reală — cele de grad par nu au această garanție ($x^2+1=0$).

Unicitatea se obține din stricta monotonie, fără derivate: o funcție strict monotonă este injectivă, deci ecuația are cel mult o soluție. Suma a două funcții strict crescătoare este strict crescătoare.

Separarea soluțiilor: calculezi $f$ într-un șir de puncte de probă; fiecare schimbare de semn dă cel puțin o soluție, iar un plafon (gradul polinomului) dă numărul exact.

Localizarea se face prin înjumătățirea intervalului: după $k$ pași lungimea este $\frac{b-a}{2^k}$. Metoda nu depinde de forma expresiei, deci merge și la ecuațiile transcendente.

Exerciții din această mini-lecție

1. Despre ecuația $x^3+2x-5=0$ se poate afirma că:

   • a) are exact o soluție reală, situată în $(1,2)$
   • b) are cel puțin trei soluții reale
   • c) nu are soluții reale
   • d) are exact o soluție reală, situată în $(0,1)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) are exact o soluție reală, situată în $(1,2)$

   Funcția $f(x)=x^3+2x-5$ este polinomială, deci continuă, și este suma funcțiilor strict crescătoare $x^3$ și $2x$, plus o constantă: e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci are cel mult o soluție. Cum $f(1)=-2<0$ și $f(2)=7>0$, soluția există în $(1,2)$. La d), $f(0)=-5$ și $f(1)=-2$ au același semn.

2. Ecuația $x^3-3x-1=0$ are:

   • a) exact o soluție reală
   • b) exact două soluții reale
   • c) exact trei soluții reale
   • d) nicio soluție reală
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) exact trei soluții reale

   Cu punctele de probă $-2,-1,0,1,2$ obținem valorile $-3,1,-1,-3,1$, adică semnele $-,+,-,-,+$: trei schimbări de semn, deci cel puțin trei soluții, în $(-2,-1)$, $(-1,0)$ și $(1,2)$. Gradul fiind $3$, ecuația are cel mult trei soluții reale; prin urmare are exact trei.

3. Prin metoda înjumătățirii, pornind de la intervalul $[0,1]$, după $4$ pași lungimea intervalului care conține soluția este:

   • a) $\frac{1}{8}$
   • b) $\frac{1}{32}$
   • c) $\frac{1}{4}$
   • d) $\frac{1}{16}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\frac{1}{16}$

   La fiecare pas lungimea se înjumătățește, deci după $k$ pași ea este $\frac{b-a}{2^k}$. Aici $b-a=1$ și $k=4$, deci lungimea este $\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}=0,0625$. Precizia crește geometric: după zece pași intervalul are lungimea sub $0,001$.