Existența soluțiilor unei ecuații în mulțimea numerelor reale

Ecuația $x^3+x-1=0$ nu se rezolvă cu nicio formulă pe care ai învățat-o. Nu are rădăcini raționale, nu se descompune frumos în factori, nu e reciprocă, nu e bipătrată. Și totuși, despre soluția ei se pot spune lucruri precise: există, este unică, se află între $0,68$ și $0,69$ și poate fi calculată cu oricâte zecimale dorești. Toate aceste afirmații se obțin fără a scrie vreodată soluția sub formă exactă.

Aici se vede maturitatea analizei matematice. Până acum, „a rezolva o ecuație" însemna „a găsi o formulă pentru soluții"; dacă formula nu exista, exercițiul se oprea. De astăzi, întrebările se despart: are soluții?, câte?, unde? și abia la urmă care sunt?. Primele trei se rezolvă complet cu uneltele lecțiilor anterioare — continuitatea, Proprietatea valorilor intermediare și tabelul de semn de la Semnul unei funcții continue pe un interval —, iar a patra devine o chestiune de precizie, nu de existență. Este exact tipul de raționament pentru care baremele de la Bacalaureat M1 acordă punctaj complet.

Ce vei învăța

• Vei ști să demonstrezi că o ecuație are cel puțin o soluție într-un interval dat, aducând-o la forma $f(x)=0$ și verificând semnele la capete.
• Vei ști să alegi capetele intervalului, inclusiv atunci când domeniul e nemărginit, folosind limitele la $\pm \infty$.
• Vei ști să demonstrezi unicitatea soluției prin stricta monotonie a funcției, fără să folosești derivate.
• Vei ști să separi soluțiile unei ecuații, adică să spui câte sunt și în ce intervale se află, printr-un tabel cu valori de probă.
• Vei ști să localizezi o soluție cu oricâte zecimale, prin metoda înjumătățirii intervalului.
• Vei ști să tratezi la fel ecuațiile transcendente, cu exponențiale, logaritmi sau funcții trigonometrice, pentru care nicio formulă nu există.

Hai să descoperim împreună

1. Patru întrebări, nu una

Fie o ecuație scrisă sub forma $f(x)=0$. Întrebările corecte, în ordinea în care se pun, sunt:

1. Există soluții? — se răspunde cu continuitate și semne la capete;
2. Câte sunt? — se răspunde cu monotonie (pentru unicitate) sau cu numărul de schimbări de semn;
3. Unde se află? — se răspunde prin intervalele de separare;
4. Care sunt? — se răspunde exact, dacă se poate, sau aproximativ, cu oricâte zecimale.

Toată lecția tratează primele trei întrebări. A patra e adesea imposibilă în scriere exactă și, ceea ce contează, inutilă: pentru a proiecta o piesă sau a calcula o dobândă, șapte zecimale corecte valorează cât o formulă.

2. Metoda de bază: continuitate plus schimbare de semn

Procedura, în trei pași.

1. Aduci ecuația la forma $f(x)=0$, mutând totul într-un membru. Din $e^x=3-x$ obții $f(x)=e^x+x-3$.
2. Justifici continuitatea lui $f$ pe intervalul ales — de regulă printr-o propoziție, folosind rezultatele din Continuitatea pe o mulțime. Operații cu funcții continue, compunere și inversă.
3. Găsești două numere $a<b$ cu $f(a)\cdot f(b)<0$. Prin consecința de semn a proprietății valorilor intermediare (cunoscută și ca teorema lui Bolzano), ecuația are cel puțin o soluție în $(a,b)$.

Pasul 3 e cel care cere puțină intuiție. Regula practică: încearcă numere întregi mici — $-2,-1,0,1,2$ — și oprește-te la prima pereche de valori cu semne contrare. Dacă expresia conține $e^x$ sau $\ln x$, alege capetele acolo unde acestea au valori simple: $x=0$ dă $e^0=1$, $x=1$ dă $\ln 1=0$.

Exemplu complet. Ecuația $x^3+x-1=0$. Funcția $f(x)=x^3+x-1$ e polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$. Avem $f(0)=-1<0$ și $f(1)=1>0$, deci $f(0)\cdot f(1)<0$: ecuația are cel puțin o soluție în intervalul $(0,1)$.

3. Când intervalul nu ți se dă

Dacă enunțul nu indică un interval, capetele se caută cu ajutorul comportării la infinit, studiată în Limita unei funcții la plus infinit și la minus infinit.

Principiul. Dacă $f$ e continuă pe $\mathbb{R}$ și $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ,$$ atunci există un număr $a$ cu $f(a)<0$ (pentru că valorile coboară oricât de jos) și un număr $b>a$ cu $f(b)>0$. Pe $[a,b]$ se aplică pasul 3 de mai sus, deci ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție reală.

De aici rezultă un fapt pe care merită să-l reții ca atare: orice ecuație polinomială de grad impar are cel puțin o soluție reală. Motivul: la un polinom de grad impar, termenul dominant impune limite infinite de semne contrare la cele două capete ale axei. Ecuațiile de grad par nu se bucură de aceeași garanție — $x^2+1=0$ nu are nicio soluție reală.

4. Unicitatea: monotonia strictă

Consecința de semn dă cel puțin o soluție. Pentru a spune „exact una", ai nevoie de un argument în plus, iar cel mai simplu este monotonia.

Principiu. O funcție strict monotonă pe un interval este injectivă acolo, deci ecuația $f(x)=0$ are cel mult o soluție pe acel interval. Combinând cu existența: exact una.

Cum arăți monotonia fără derivate? Cu proprietățile funcțiilor elementare, cunoscute de pe traseul tău:

• $x\mapsto x^3$, $x\mapsto x^5$ și, în general, puterile impare sunt strict crescătoare pe $\mathbb{R}$;
• $x\mapsto a^x$ e strict crescătoare pentru $a>1$ și strict descrescătoare pentru $0<a<1$ — vezi Proprietățile funcției exponențiale;
• $x\mapsto {\log }_{a}x$ urmează aceeași regulă după bază — vezi Funcția logaritmică: grafic și proprietăți;
• suma a două funcții strict crescătoare este strict crescătoare, iar adunarea unei constante nu schimbă monotonia;
• înmulțirea cu un număr negativ inversează monotonia.

Exemplu. Pentru $f(x)=e^x+x-3$: funcția $e^x$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, funcția $x$ e strict crescătoare, iar $-3$ e constantă; suma lor e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. Deci ecuația $e^x+x-3=0$ are exact o soluție reală, iar aceasta se află în $(0,1)$, fiindcă $f(0)=-2<0$ și $f(1)=e-2\approx 0,7182818>0$. (Numeric, prin înjumătățiri: soluția este $\approx 0,7920600$.)

5. Separarea soluțiilor

Când soluțiile sunt mai multe, întrebarea devine: câte și unde? Metoda este tot un tabel de semn, dar construit cu valori de probă alese de tine, nu cu zerouri (pe care nu le cunoști).

Procedura.

1. calculezi $f$ într-un șir de puncte, alese astfel încât să prinzi toate schimbările de semn (de regulă întregi consecutivi, plus limitele la capete);
2. fiecare schimbare de semn între două puncte consecutive garantează cel puțin o soluție în intervalul dintre ele;
3. dacă știi și un plafon al numărului de soluții, obții numărul exact.

Plafonul cel mai comod: o ecuație polinomială de grad $n$ are cel mult $n$ soluții reale — rezultat cunoscut din studiul polinoamelor, de la Teorema fundamentală a algebrei și de la Ecuații algebrice cu coeficienți întregi.

Exemplu-etalon. Ecuația $x^3-3x-1=0$. Funcția $f(x)=x^3-3x-1$ e continuă pe $\mathbb{R}$. Calculăm:

Sunt trei schimbări de semn, deci cel puțin trei soluții: câte una în $(-2,-1)$, în $(-1,0)$ și în $(1,2)$ — ultima pentru că $f(1)=-3<0$ și $f(2)=1>0$. Cum gradul este $3$, ecuația are cel mult trei soluții reale. Prin urmare are exact trei, câte una în fiecare interval indicat.

Un avertisment de vocabular: tabelul de mai sus este un tabel de valori de probă, alese de tine. Nu îl confunda cu instrumentul care poartă un nume propriu și care se studiază în unitatea următoare; acolo punctele nu se mai ghicesc, ci se calculează.

(Verificat numeric: pe $[-5,5]$ funcția își schimbă semnul exact de trei ori, iar soluțiile localizate prin înjumătățiri sunt $\approx -1,5320889$, $\approx -0,3472964$ și $\approx 1,8793852$, fiecare în intervalul anunțat.)

Vei relua exact această ecuație în lecția Șirul lui Rolle, unde derivata îți va spune unde să cauți punctele de probă, în loc să le ghicești. Deocamdată le alegi tu, iar metoda funcționează perfect pentru ecuațiile de la clasă.

6. Localizarea prin înjumătățirea intervalului

Ai un interval $[a,b]$ cu $f(a)\cdot f(b)<0$ și vrei soluția cu zecimale. Procedura, numită metoda înjumătățirii (sau a bisecției), repetă un singur gest:

calculezi $m=\frac{a+b}{2}$; dacă $f(a)\cdot f(m)<0$, soluția e în $[a,m]$ și înlocuiești $b$ cu $m$; altfel e în $[m,b]$ și înlocuiești $a$ cu $m$.

La fiecare pas lungimea intervalului se înjumătățește, deci după $k$ pași ea este $\frac{b-a}{2^k}$: precizia crește geometric. Pentru $f(x)=e^x+x-3$ pe $[0,1]$:

După zece pași intervalul are lungimea $2^{-10}<0,001$, deci ai deja trei zecimale exacte. (Continuând procedeul până la precizia $10^{-12}$, soluția este $0,7920600$.)

Observă că metoda nu depinde de forma expresiei: funcționează identic pentru polinoame, exponențiale sau expresii trigonometrice. Singura ipoteză folosită este continuitatea.

7. Ecuațiile transcendente

Ecuațiile în care necunoscuta apare și în afara, și în interiorul unei exponențiale, al unui logaritm sau al unei funcții trigonometrice nu se rezolvă algebric. Metoda acestei lecții e, de multe ori, singura disponibilă. Trei tipare care se cer frecvent:

(a) $\ln x=2-x$. Se scrie $f(x)=\ln x+x-2$, continuă pe $(0,+\infty )$. Este suma a două funcții strict crescătoare, deci strict crescătoare: cel mult o soluție. Cum $f(1)=-1<0$ și $f(2)=\ln 2\approx 0,6931472>0$, soluția există și e unică, în $(1,2)$. (Numeric: $\approx 1,5571456$.)

(b) $\cos x=x$. Se scrie $f(x)=\cos x-x$ pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$. Pe acest interval $\cos$ e strict descrescătoare, iar $-x$ e strict descrescătoare, deci $f$ e strict descrescătoare. Cum $f(0)=1>0$ și $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{2}<0$, ecuația are exact o soluție acolo. (Numeric: $\approx 0,7390851$.)

(c) $2^x=4-x$. Se scrie $f(x)=2^x+x-4$, sumă de funcții strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci cu cel mult o soluție. Din $f(1)=2+1-4=-1<0$ și $f(2)=4+2-4=2>0$ rezultă existența și unicitatea, în intervalul $(1,2)$. (Numeric: $\approx 1,3861670$.)

Redactarea completă are, de fiecare dată, aceleași patru propoziții: funcția e continuă; valorile la capete au semne contrare; deci există cel puțin o soluție; funcția e strict monotonă, deci soluția e unică. Baremele cer exact aceste patru elemente și le punctează separat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Existență și unicitate

Arătați că ecuația $x^3+x-1=0$ are exact o soluție reală și determinați un interval de lungime $1$ care o conține.

Rezolvare. Reluăm ecuația din Proprietatea valorilor intermediare, unde arătasem doar că are o soluție; acum adăugăm și unicitatea. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+x-1$, funcție polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$.

Existența: $f(0)=-1<0$ și $f(1)=1>0$, deci $f(0)\cdot f(1)<0$; prin consecința de semn, există o soluție în $(0,1)$.

Unicitatea: funcția $x\mapsto x^3$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, funcția $x\mapsto x$ la fel, iar $-1$ e constantă; suma e strict crescătoare, deci injectivă. O funcție injectivă ia valoarea $0$ cel mult o dată.

Concluzia: ecuația are exact o soluție reală, aflată în $(0,1)$. (Numeric: $\approx 0,6823278$.) ✓

Exemplul 2 — Trei soluții separate

Arătați că ecuația $x^3-6x+2=0$ are trei soluții reale și separați-le.

Rezolvare. $f(x)=x^3-6x+2$ e continuă pe $\mathbb{R}$. Calculăm în câteva puncte întregi: $$f(-3)=-7,f(-2)=6,f(0)=2,f(1)=-3,f(2)=-2,f(3)=11.$$ Schimbări de semn: între $-3$ și $-2$, între $0$ și $1$, între $2$ și $3$ — trei la număr, deci cel puțin trei soluții. Fiind o ecuație de gradul al treilea, are cel mult trei soluții reale.

Concluzia: exact trei soluții, câte una în $(-3,-2)$, $(0,1)$ și $(2,3)$. (Numeric: $\approx -2,6016791$, $\approx 0,3398769$ și $\approx 2,2618022$.) ✓

Exemplul 3 — O ecuație cu logaritm

Arătați că ecuația $\ln x+x^2=3$ are exact o soluție și că aceasta se află în intervalul $(1,2)$.

Rezolvare. Fie $f(x)=\ln x+x^2-3$, definită pe $(0,+\infty )$ și continuă acolo, ca sumă de funcții continue.

Monotonia: pe $(0,+\infty )$, funcția $\ln x$ e strict crescătoare, iar $x^2$ e strict crescătoare (pentru $x>0$); suma lor, minus o constantă, e strict crescătoare. Deci ecuația are cel mult o soluție.

Existența: $f(1)=0+1-3=-2<0$ și $f(2)=\ln 2+4-3=\ln 2+1\approx 1,6931472>0$. Prin consecința de semn, există o soluție în $(1,2)$.

Concluzia: exact o soluție, în $(1,2)$. (Numeric: $\approx 1,5921429$.) ✓

Exemplul 4 — Localizarea cu două zecimale

Localizați, cu două zecimale exacte, soluția ecuației $x^3-x-1=0$ din intervalul $(1,2)$.

Rezolvare. $f(x)=x^3-x-1$ e continuă; $f(1)=-1<0$, $f(2)=5>0$.

Aplicăm înjumătățirea: $f(1,5)=3,375-1,5-1=0,875>0$, deci soluția e în $(1;1,5)$. Apoi $f(1,25)=1,953125-1,25-1=-0,296875<0$, deci soluția e în $(1,25;1,5)$. Apoi $f(1,375)\approx 0,2246>0$, deci în $(1,25;1,375)$; apoi $f(1,3125)\approx -0,0515<0$, deci în $(1,3125;1,375)$.

Continuând, se obține $c\approx 1,3247180$; cu două zecimale, $c\approx 1,32$. (Verificat prin înjumătățiri până la precizia $10^{-12}$; în plus, pe $[-5,5]$ funcția își schimbă semnul o singură dată, deci soluția reală e unică.) ✓

Exemplul 5 — O ecuație cu două soluții

Arătați că ecuația $e^x=3x$ are cel puțin două soluții reale.

Rezolvare. Fie $f(x)=e^x-3x$, continuă pe $\mathbb{R}$. Calculăm: $$f(0)=1>0,f(1)=e-3\approx -0,2817182<0,f(2)=e^2-6\approx 1,3890561>0.$$ Avem două schimbări de semn: pe $(0,1)$ și pe $(1,2)$. Prin consecința de semn, ecuația are cel puțin o soluție în fiecare dintre aceste intervale, deci cel puțin două soluții reale. (Numeric: $\approx 0,6190613$ și $\approx 1,5121346$.)

Observă ce nu am afirmat: nu am spus că sunt exact două. Aici funcția nu e monotonă, iar plafonul de la polinoame nu se aplică; pentru a demonstra că nu mai există altele ai nevoie de o unealtă care apare abia în unitatea următoare. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+3x-5$. a) Calculați $f(1)$ și $f(2)$. b) Arătați că ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(1,2)$. c) Arătați că această soluție este singura soluție reală a ecuației.

Rezolvare.

a) $f(1)=1+3-5=-1$ și $f(2)=8+6-5=9$.

b) $f$ e polinomială, deci continuă pe $[1,2]$. Cum $f(1)\cdot f(2)=-9<0$, prin consecința de semn a proprietății valorilor intermediare există $c\in (1,2)$ cu $f(c)=0$.

c) Funcțiile $x\mapsto x^3$ și $x\mapsto 3x$ sunt strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci suma lor, din care se scade constanta $5$, e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. O funcție strict crescătoare este injectivă, deci ia valoarea $0$ cel mult o dată. Împreună cu punctul b), ecuația are exact o soluție reală, iar aceasta se află în $(1,2)$. (Numeric: $c\approx 1,1541715$.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu de existență, scrie cele patru elemente cerute de barem: continuitatea, valorile la capete, concluzia de existență și, dacă se cere, argumentul de unicitate.

1. Arată că ecuația $x^3+x-3=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(1,2)$.

2. Arată că ecuația $x^5+x^3+x-1=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(0,1)$.

3. Arată că ecuația de la exercițiul $2$ are exact o soluție reală.

4. Arată că ecuația $x^4-2x-1=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(1,2)$.

5. Arată că ecuația $2^x+x-4=0$ are exact o soluție reală și precizează un interval de lungime $1$ care o conține.

6. Arată că ecuația $\ln x+x-2=0$ are exact o soluție, situată în $(1,2)$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ e continuă pe $[a,b]$ și $f(a)\cdot f(b)>0$, atunci ecuația $f(x)=0$ nu are soluții în $(a,b)$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice ecuație polinomială de gradul al treilea are cel puțin o soluție reală."

9. Aplică două înjumătățiri intervalului $(0,1)$ pentru ecuația $x^3+x-1=0$ și indică intervalul rămas.

10. Arată că ecuația $\sin x=x-1$ are cel puțin o soluție în intervalul $(1,2)$.

11. Separă soluțiile ecuației $x^3-3x-1=0$, folosind valori de probă întregi.

12. Arată că ecuația $x^3=7$ are exact o soluție reală și localizeaz-o între doi întregi consecutivi.

13. (Problemă aplicată.) O populație de bacterii evoluează după legea $N(t)=100e^{0,5t}-40t$, unde $t$ e timpul în ore. Arată că există un moment în primele două ore în care populația este de $150$ de indivizi.

14. Arată că ecuația $x^4+x-3=0$ are cel puțin două soluții reale.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+2x-1$. Calculați $f(0)$ și $f(1)$, apoi arătați că ecuația $f(x)=0$ are exact o soluție reală.

16. Explică de ce metoda din această lecție nu poate demonstra niciodată că o ecuație nu are soluții.

17. Fie $f$ continuă pe $[0,1]$, cu $f(0)=f(1)$. Poate ecuația $f(x)=0$ să nu aibă nicio soluție? Dă un exemplu.

18. (Provocare.) Arată că ecuația $x\cdot 2^x=1$ are exact o soluție în intervalul $(0,1)$.

Răspunsuri și explicații

1. $f(x)=x^3+x-3$ e continuă; $f(1)=-1<0$, $f(2)=8+2-3=7>0$, deci produsul e negativ și există o soluție în $(1,2)$. (Numeric: $\approx 1,2134117$.)

2. $f(x)=x^5+x^3+x-1$ e continuă; $f(0)=-1<0$, $f(1)=1+1+1-1=2>0$, deci există o soluție în $(0,1)$. (Numeric: $\approx 0,6368829$.)

3. Toate cele trei puteri impare sunt strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci suma lor, minus constanta $1$, e strict crescătoare, deci injectivă: cel mult o soluție. Împreună cu exercițiul $2$, exact una.

4. $f(1)=1-2-1=-2<0$ și $f(2)=16-4-1=11>0$, iar $f$ e polinomială, deci continuă: există o soluție în $(1,2)$. (Numeric: $\approx 1,3953370$.)

5. $f(x)=2^x+x-4$ e sumă de funcții strict crescătoare (baza $2>1$), deci strict crescătoare, deci cu cel mult o soluție. Cum $f(1)=-1<0$ și $f(2)=2>0$, soluția există și e unică, în $(1,2)$. (Numeric: $\approx 1,3861670$.)

6. $f(x)=\ln x+x-2$ e continuă pe $(0,+\infty )$ și strict crescătoare, ca sumă de funcții strict crescătoare. Din $f(1)=-1<0$ și $f(2)=\ln 2>0$ rezultă existența și unicitatea, în $(1,2)$. (Numeric: $\approx 1,5571456$.)

7. Fals. Semnele egale la capete nu exclud soluțiile; ele pot fi doar în număr par. Contraexemplu: $f(x)=x^2-1$ pe $[-2,2]$ are $f(-2)\cdot f(2)=9>0$, dar are două soluții, $-1$ și $1$.

8. Adevărat. Un polinom de grad impar are limite infinite de semne contrare la $-\infty$ și la $+\infty$, deci ia valori negative și valori pozitive; fiind continuu pe $\mathbb{R}$, se anulează undeva între ele.

9. $f(0,5)=0,125+0,5-1=-0,375<0$, deci soluția e în $(0,5;1)$. Apoi $f(0,75)=0,421875+0,75-1=0,171875>0$, deci soluția e în $(0,5;0,75)$.

10. $f(x)=\sin x-x+1$ e continuă; $f(1)=\sin 1\approx 0,8414710>0$ și $f(2)=\sin 2-1\approx -0,0907026<0$, deci există o soluție în $(1,2)$. (Numeric: $\approx 1,9345632$.)

11. $f(-2)=-3$, $f(-1)=1$, $f(0)=-1$, $f(1)=-3$, $f(2)=1$: trei schimbări de semn, deci cel puțin trei soluții, în $(-2,-1)$, $(-1,0)$ și $(1,2)$. Gradul fiind $3$, sunt exact trei.

12. $f(x)=x^3-7$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci ecuația are cel mult o soluție; $f(1)=-6<0$ și $f(2)=1>0$, deci există exact una, în $(1,2)$. Ea este $\sqrt[3]{7}\approx 1,9129312$.

13. Fie $g(t)=N(t)-150$, continuă pe $[0,2]$ ca sumă de funcții continue. Avem $N(0)=100$, deci $g(0)=-50<0$, și $N(2)=100e-80\approx 191,8281828$, deci $g(2)\approx 41,8281828>0$. Prin consecința de semn, există $t_0\in (0,2)$ cu $N(t_0)=150$.

14. $f(x)=x^4+x-3$ e continuă; $f(-2)=16-2-3=11>0$, $f(0)=-3<0$, $f(2)=16+2-3=15>0$. Două schimbări de semn, deci cel puțin două soluții reale: una în $(-2,0)$, alta în $(0,2)$.

15. $f(0)=-1$ și $f(1)=1+2-1=2$. Funcția e continuă, iar $f(0)\cdot f(1)=-2<0$, deci există o soluție în $(0,1)$. Fiind sumă de funcții strict crescătoare, $f$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci injectivă: soluția e unică. (Numeric: $\approx 0,4533977$.)

16. Pentru că metoda este una de existență: din schimbarea de semn deduci că există o soluție, dar din lipsa unei schimbări de semn nu deduci nimic — funcția poate atinge zero fără să traverseze, ca în cazul unei rădăcini duble, sau poate schimba semnul de două ori între punctele tale de probă. Neexistența se demonstrează cu alte argumente, de pildă cu monotonia sau cu semnul expresiei.

17. Da, poate. Cel mai simplu exemplu este funcția constantă $f(x)=5$ pe $[0,1]$: e continuă, are $f(0)=f(1)=5$ și nu se anulează niciodată. Un exemplu neconstant: $f(x)=x^2-x+1$, cu $f(0)=f(1)=1$ și cu valoarea minimă $\frac{3}{4}>0$. Concluzia: egalitatea valorilor la capete nu spune nimic despre existența zerourilor — ea va deveni ipoteză utilă abia la teorema lui Rolle, în unitatea următoare.

18. Fie $f(x)=x\cdot 2^x-1$, continuă pe $(0,1)$ și pe capete. Avem $f(0)=0-1=-1<0$ și $f(1)=2-1=1>0$, deci există o soluție în $(0,1)$. Unicitatea: pe $(0,+\infty )$, funcția $x$ e strict crescătoare și pozitivă, iar $2^x$ e strict crescătoare și pozitivă, deci produsul lor e strict crescător; scăzând $1$, monotonia se păstrează, deci soluția e unică. (Numeric: $\approx 0,6411857$.)

De reținut

• Metoda de bază: aduci ecuația la forma $f(x)=0$, justifici continuitatea și găsești $a<b$ cu $f(a)\cdot f(b)<0$; atunci ecuația are cel puțin o soluție în $(a,b)$.
• Unicitatea nu vine din consecința de semn, ci din stricta monotonie: o funcție strict monotonă e injectivă, deci ia valoarea $0$ cel mult o dată.
• Orice ecuație polinomială de grad impar are cel puțin o soluție reală, pentru că limitele la $-\infty$ și la $+\infty$ au semne contrare.
• Separarea soluțiilor se face numărând schimbările de semn pe valori de probă; combinată cu plafonul „grad $n$ $\Rightarrow$ cel mult $n$ soluții", ea dă numărul exact.
• Înjumătățirea intervalului localizează soluția cu oricâte zecimale: după $k$ pași, lungimea intervalului este $\frac{b-a}{2^k}$.

Greșeli frecvente

• Spui „exact o soluție" doar din schimbarea de semn. Consecința de semn dă existență, nu unicitate. Fără un argument de monotonie, concluzia corectă este „cel puțin o soluție".
• Deduci că nu există soluții când semnele la capete coincid. Fals: $f(x)=x^2-1$ pe $[-2,2]$ are semne egale la capete și două soluții înăuntru. Metoda nu poate demonstra neexistența.
• Uiți să verifici continuitatea pe tot intervalul ales. La $f(x)=\frac{1}{x}-2$ nu poți lucra pe $[-1,1]$: funcția nu e definită în $0$, deci ipoteza cade și concluzia ar fi falsă.
• Alegi capete în afara domeniului. Pentru o ecuație cu $\ln x$ nu ai voie să calculezi $f(0)$ sau $f(-1)$; capetele trebuie luate din $(0,+\infty )$.
• Confunzi „soluția e în $(a,b)$" cu „soluția este $a$ sau $b$". Consecința de semn plasează soluția strict între capete; valorile de la capete sunt nenule prin însăși ipoteza folosită.

Aplică acasă

1. Zece pași de înjumătățire pe hârtie. Ia ecuația $x^3-x-1=0$ pe intervalul $(1,2)$ și aplică metoda de zece ori, notând într-un tabel mijlocul, valoarea și intervalul rămas. Compară rezultatul cu $1,3247180$ și verifică regula: după zece pași eroarea e mai mică decât $0,001$.

2. O ecuație din viața ta. Alege o situație cu două costuri care cresc diferit (de exemplu un abonament fix plus consum, față de un tarif care crește exponențial) și scrie ecuația care exprimă egalitatea lor. Arată, cu metoda din lecție, că există un moment de egalitate, apoi localizează-l cu două zecimale.

3. Vânătoare de grade impare. Scrie cinci ecuații polinomiale de grad impar cu coeficienți aleși la întâmplare și verifică, pentru fiecare, că are cel puțin o soluție reală, găsind două valori întregi cu semne contrare. Încearcă același lucru pentru cinci ecuații de grad par și observă că uneori nu reușești.

Pentru părinți și profesori

Lecția schimbă natura întrebării „rezolvă ecuația". Elevul învață că existența unei soluții se poate demonstra fără a o calcula și că, în practică, o soluție localizată cu șapte zecimale este la fel de utilă ca una scrisă cu radicali. Este primul contact serios cu matematica aplicată — metoda înjumătățirii este, cuvânt cu cuvânt, algoritmul folosit în programe de calcul.

Ce verifică lecția: (1) aducerea ecuației la forma $f(x)=0$ și justificarea continuității; (2) alegerea capetelor și calculul valorilor; (3) formularea corectă „cel puțin o soluție"; (4) argumentul separat de unicitate, prin monotonie; (5) separarea soluțiilor multiple prin numărarea schimbărilor de semn, cu plafonul dat de gradul polinomului.

Întrebări bune de control: „De ce nu poți spune «exact o soluție» din semne?", „Ce garantează gradul impar?", „Cum arăți că funcția e strict crescătoare fără să derivezi?". La BAC M1, cerința apare aproape identic în fiecare sesiune: se dă o funcție, se cer două valori, apoi se cere existența soluției într-un interval, uneori și unicitatea. Semn că elevul a înțeles: nu încearcă să găsească formula soluției și nu confundă existența cu unicitatea.

Întrebări frecvente

Cum arăt că o ecuație are soluție într-un interval? Aduci ecuația la forma $f(x)=0$, justifici că $f$ e continuă pe interval și calculezi valorile la capete. Dacă acestea au semne contrare, adică $f(a)\cdot f(b)<0$, ecuația are cel puțin o soluție strict între $a$ și $b$.

Cum demonstrez că soluția este unică? Arătând că funcția este strict monotonă pe intervalul respectiv. O funcție strict monotonă este injectivă, deci nu poate lua valoarea $0$ de două ori. Monotonia se obține din proprietățile funcțiilor elementare: sume de funcții strict crescătoare, exponențiale cu baza supraunitară, puteri impare.

De ce are orice ecuație de grad impar o soluție reală? Pentru că termenul dominant impune limite infinite de semne contrare la cele două capete ale axei reale: funcția ia și valori negative, și valori pozitive. Fiind continuă, ea trebuie să traverseze axa undeva între ele.

Ce înseamnă separarea soluțiilor? Înseamnă a spune câte soluții are ecuația și în ce intervale se află fiecare, fără a le calcula. Se face numărând schimbările de semn ale funcției pe un șir de valori de probă și comparând rezultatul cu numărul maxim posibil de soluții.

Ce este metoda înjumătățirii intervalului? Este procedeul prin care se strânge intervalul care conține soluția: la fiecare pas calculezi valoarea funcției la mijloc și păstrezi jumătatea în care semnele rămân contrare. După $k$ pași, lungimea intervalului s-a redus de $2^k$ ori.

Metoda funcționează și pentru ecuații cu exponențiale sau logaritmi? Da, și este adesea singura metodă disponibilă, pentru că astfel de ecuații nu se rezolvă algebric. Singura condiție este continuitatea funcției pe intervalul ales, plus grija ca acel interval să fie inclus în domeniul de definiție.

Pot demonstra în acest fel că o ecuație nu are soluții? Nu. Metoda este una de existență: absența unei schimbări de semn între punctele tale de probă nu exclude soluțiile. Neexistența se demonstrează altfel, de exemplu arătând că expresia are semn constant sau că valorile ei nu ating niciodată zero.

Câte valori de probă trebuie să încerc? Cât mai puține, alese inteligent: întregi mici, punctele în care exponențialele sau logaritmii dau valori simple și capetele domeniului. Dacă știi câte soluții sunt posibile, te oprești imediat ce ai găsit tot atâtea schimbări de semn.