Formula Leibniz–Newton: pe scurt

Formula Leibniz–Newton leagă cele două fețe ale capitolului: dacă $f$ este integrabilă pe $[a,b]$ și admite acolo primitiva $F$, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Ambele ipoteze se scriu în rezolvare; propoziția „$f$ este continuă pe $[a,b]$, deci este integrabilă și admite primitive” le acoperă pe amândouă și are punctaj la Bacalaureat M1.

Demonstrația pornește de la o diviziune oarecare și aplică pe fiecare subinterval teorema lui Lagrange a creșterilor finite: $F(b)-F(a)=\sum (F(x_i)-F(x_{i-1}))=\sum f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$, adică exact o sumă Riemann. Cum $f$ este integrabilă, trecerea la limită după $\Vert \Delta \Vert \to 0$ dă concluzia.

Notația de calcul este $F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$ și nu depinde de primitiva aleasă: o constantă adăugată se simplifică în diferență. De aceea la integrala definită nu se scrie $+\mathcal{C}$, iar rezultatul este un număr.

Formula cere ca primitiva să existe pe tot intervalul de integrare. Aplicată peste un punct în care funcția nu este definită sau este nemărginită, produce rezultate false: scrierea ${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x^2}=-2$ dă un număr negativ pentru o funcție pozitivă. Convențiile ${\int }_a^{a}f=0$ și ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$ rămân în vigoare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Formula Leibniz–Newton se aplică funcției $f$ pe $[a,b]$ dacă:

   • a) $f$ este monotonă pe $[a,b]$
   • b) $f$ este derivabilă pe $[a,b]$
   • c) $f$ este mărginită pe $[a,b]$
   • d) $f$ este integrabilă pe $[a,b]$ și admite acolo o primitivă $F$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $f$ este integrabilă pe $[a,b]$ și admite acolo o primitivă $F$

   Acestea sunt exact cele două ipoteze din enunț. Ele sunt îndeplinite automat de orice funcție continuă pe $[a,b]$, dar nu de orice funcție mărginită sau monotonă: funcția semn este integrabilă și nu are primitive, deci formula nu i se aplică.

2. ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx$ este egală cu:

   • a) $0$
   • b) $-1$
   • c) $1$
   • d) $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $1$

   O primitivă a lui $\sin$ este $-\cos$, deci ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx=-\cos x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}=-\cos \frac{\pi }{2}+\cos 0=0+1=1$. Varianta $-1$ apare când se ia $\cos$ drept primitivă a lui $\sin$, iar $0$ când se pierde al doilea termen al diferenței.

3. De ce este greșit calculul ${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}{|}_{-1}^1=-2$?

   • a) pentru că funcția nu este definită și nici mărginită în $0\in [-1,1]$, deci formula nu se aplică
   • b) pentru că primitiva corectă este $\frac{1}{x}$
   • c) pentru că limitele trebuie inversate
   • d) calculul nu este greșit
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) pentru că funcția nu este definită și nici mărginită în $0\in [-1,1]$, deci formula nu se aplică

   Formula cere ca primitiva să existe pe tot intervalul, iar aici funcția nici măcar nu este definită în $0$; fiind nemărginită, nu este nici integrabilă pe $[-1,1]$. Semnalul de alarmă este rezultatul negativ obținut pentru o funcție strict pozitivă.