Formula Leibniz–Newton

Până acum, la clasa a 12-a, ai calculat integrale definite exact așa cum le spune definiția: scriind o diviziune, alegând puncte intermediare, formând suma Riemann și trecând la limită. Pentru ${\int }_0^1{x}^{2}dx$ ai avut nevoie de formula sumei pătratelor primelor $n$ numere naturale și de o limită de șir. Pentru ${\int }_0^1{x}^{3}dx$ ai avut nevoie de altă formulă și de altă limită. E limpede că metoda nu poate merge mai departe: pentru ${\int }_1^2\frac{1}{x}dx$ nu există nicio formulă închisă pentru suma Riemann. Scurtătura care rezolvă problema o dată pentru totdeauna se numește formula Leibniz–Newton.

Ea rupe fundătura de mai sus. Ea leagă două lucruri care păreau fără legătură — aria de sub un grafic, definită printr-un proces de limită, și primitiva, definită ca operație inversă derivării — și transformă calculul unei integrale definite într-o scădere de două numere. Este cel mai spectaculos rezultat al analizei matematice de liceu și, practic, singura formulă cu care se rezolvă subiectele de integrale de la Bacalaureat M1.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți formula Leibniz–Newton cu ipotezele ei complete, așa cum se cere la examen.
• Vei ști să o demonstrezi, folosind teorema lui Lagrange și definiția sumei Riemann.
• Vei ști să folosești notația $F(x){|}_a^b$ și să justifici de ce alegerea primitivei nu contează.
• Vei ști să calculezi integrale definite din funcțiile uzuale, cu primitivele din tabelul canonic și cu liniaritatea.
• Vei ști să folosești convențiile ${\int }_a^{a}f=0$ și ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$ fără să te încurci în semne.
• Vei ști să recunoști situațiile în care formula nu se aplică și să nu produci rezultate absurde.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune formula Leibniz–Newton?

Formula Leibniz–Newton este egalitatea care calculează integrala definită a unei funcții cu ajutorul unei primitive a ei: dacă $f$ este integrabilă pe $[a,b]$ și admite pe $[a,b]$ primitiva $F$, atunci integrala lui $f$ de la $a$ la $b$ este diferența valorilor primitivei în cele două capete, adică $F(b)-F(a)$.

Scrisă cu simboluri, ea arată așa: $${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).$$

Enunțul complet, cu ipotezele în ordinea în care se scriu la examen, este:

Teorema (formula Leibniz–Newton). Fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ o funcție integrabilă pe $[a,b]$ care admite primitive pe $[a,b]$, și fie $F$ o primitivă a lui $f$. Atunci $${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).$$

Cele două ipoteze sunt independente una de cealaltă și amândouă sunt necesare. La lecția despre integrabilitate și primitive s-a văzut că există funcții integrabile care nu admit primitive (orice funcție în scară, de pildă) și funcții care admit primitive fără să fie integrabile. Formula are nevoie de amândouă simultan.

În practică, ipotezele se verifică aproape întotdeauna într-o singură propoziție: orice funcție continuă pe $[a,b]$ le îndeplinește pe amândouă — e integrabilă (Teorema 1 de la lecția despre clasele de funcții integrabile, admisă acolo fără demonstrație) și admite primitive (teorema lui Darboux și consecințele ei, de la lecția despre funcțiile care admit primitive). De aceea, în majoritatea covârșitoare a exercițiilor, verificarea sună: „$f$ este continuă pe $[a,b]$, deci este integrabilă și admite primitive; formula Leibniz–Newton se poate aplica."

Numele formulei se scrie cu ambele nume, în această ordine, legate prin linie de pauză: Leibniz–Newton. Gottfried Wilhelm Leibniz și Isaac Newton au ajuns independent, în ultimele decenii ale secolului al XVII-lea, la aceeași descoperire — că derivarea și integrarea sunt operații inverse una alteia — iar disputa asupra priorității a durat decenii. Matematica a păstrat ambele nume și, de la Leibniz, simbolul $\int$, un „s" alungit de la summa.

2. Care teoremă a lui Lagrange se folosește aici?

Înainte de demonstrație, o precizare care evită o confuzie reală. În clasa a 12-a apar două teoreme diferite care poartă numele lui Lagrange:

• teorema lui Lagrange pentru grupuri finite, din unitatea de algebră: ordinul unui subgrup divide ordinul grupului — cea de la lecția despre grupurile finite;
• teorema lui Lagrange a creșterilor finite, din analiză, cea de la lecția de clasa a XI-a despre teorema lui Lagrange.

Aici, și în toată unitatea de integrale, se folosește exclusiv a doua. Iat-o, cu ipotezele complete:

Teorema lui Lagrange (a creșterilor finite). Fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$. Atunci există $c\in (a,b)$ astfel încât $$f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a).$$

Merită observat de ce tocmai ea. Formula Leibniz–Newton vrea să transforme diferența $F(b)-F(a)$ într-o sumă de arii. Teorema lui Lagrange face exact traducerea de care e nevoie: transformă o diferență de valori ale unei funcții într-un produs dintre o derivată și o lungime. Iar produsul „valoare a derivatei $\times$ lungime de interval" este exact forma unui termen dintr-o sumă Riemann.

3. Demonstrația formulei

Fie $\Delta =(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ o diviziune oarecare a intervalului $[a,b]$, adică $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$.

Pasul 1 — aplicăm teorema lui Lagrange pe fiecare subinterval. Funcția $F$ este primitivă a lui $f$ pe $[a,b]$, deci este derivabilă pe tot $[a,b]$, cu $F^{\prime }(x)=f(x)$. Fiind derivabilă, este și continuă. Prin urmare, pe fiecare subinterval $[x_{i-1},x_i]$ ea îndeplinește ipotezele teoremei lui Lagrange: e continuă pe $[x_{i-1},x_i]$ și derivabilă pe $(x_{i-1},x_i)$. Există deci un punct ${\xi }_i\in (x_{i-1},x_i)$ cu $$F(x_i)-F(x_{i-1})=F^{\prime }({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})=f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1}).$$

Pasul 2 — punctele obținute formează un sistem de puncte intermediare. Fiecare ${\xi }_i$ se află în $(x_{i-1},x_i)$, deci cu atât mai mult în $[x_{i-1},x_i]$. Așadar $\xi =({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n)$ este un sistem de puncte intermediare asociat diviziunii $\Delta$, în sensul de la lecția despre diviziuni și norma unei diviziuni.

Pasul 3 — sumăm și telescopăm. Adunăm cele $n$ egalități de la pasul 1: $$\sum _{i=1}^n(F(x_i)-F(x_{i-1}))=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})={\sigma }_{\Delta }(f,\xi ).$$ În membrul stâng, termenii se reduc doi câte doi — $-F(x_0)+F(x_1)-F(x_1)+F(x_2)-\dots$ — și rămân doar primul și ultimul: $$\sum _{i=1}^n(F(x_i)-F(x_{i-1}))=F(x_n)-F(x_0)=F(b)-F(a).$$ Am obținut, așadar, un rezultat surprinzător de puternic: $${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=F(b)-F(a)\text{pentru ORICE diviziune }\Delta ,$$ cu sistemul de puncte intermediare furnizat de teorema lui Lagrange. Nu o valoare aproximativă: exact $F(b)-F(a)$, indiferent cât de grosolană sau cât de fină este diviziunea.

Pasul 4 — trecem la limită. Funcția $f$ este integrabilă, cu integrala $I={\int }_a^{b}f(x)dx$. Conform definiției integrabilității, pentru orice $\epsilon >0$ există $\delta >0$ astfel încât, pentru orice diviziune cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$ și orice sistem de puncte intermediare, avem $|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-I|<\epsilon$. Alegem o astfel de diviziune și îi atașăm punctele intermediare construite la pasul 1. Atunci $$|F(b)-F(a)-I|=|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-I|<\epsilon .$$ Cum $\epsilon >0$ a fost arbitrar, singura posibilitate este $F(b)-F(a)-I=0$, adică $I=F(b)-F(a)$. $■$

Observă unde a lucrat fiecare ipoteză: „$f$ admite primitiva $F$" a permis pasul 1, iar „$f$ integrabilă" a permis pasul 4. Fără prima, nu există $F$; fără a doua, nu există numărul $I$ către care să tindă sumele.

Merită subliniat și ce nu a folosit demonstrația. Ea nu a avut nevoie de continuitatea lui $f$, nu a avut nevoie de pozitivitatea ei și nu a folosit niciun rezultat despre existența primitivelor. A pornit de la o primitivă dată și a arătat că diferența valorilor ei în capete este chiar integrala. Acesta e drumul scurt; există și un drum mai lung, prin funcția care asociază fiecărui capăt superior variabil integrala de până acolo, dar el are nevoie de teorema de medie și va fi parcurs în lecțiile de mai târziu ale acestei unități. Cele două drumuri duc la rezultate diferite și complementare, iar ordinea în care le parcurgem nu e întâmplătoare: cel de aici cere mai puțin și dă imediat instrumentul de calcul.

4. Notația $F(x){|}_a^b$ și independența de primitivă

Ca să nu scriem de fiecare dată „unde $F$ este primitiva…", se folosește o notație prescurtată. Pentru orice funcție $F$ și orice numere $a$, $b$ se notează $$F(x){|}_a^b=F(b)-F(a),$$ citit „$F$ de $x$, luat între $a$ și $b$". Cu ea, formula Leibniz–Newton devine $${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b.$$

Apare imediat o întrebare firească: o funcție are o infinitate de primitive, care diferă între ele printr-o constantă. Contează pe care o alegem? Nu contează, și asta se verifică într-un rând. Dacă $G(x)=F(x)+c$ este o altă primitivă, atunci $$G(b)-G(a)=(F(b)+c)-(F(a)+c)=F(b)-F(a),$$ pentru că aceeași constantă se adaugă și se scade. Iată de ce, în calculul unei integrale definite, constanta $\mathcal{C}$ din integrala nedefinită nu se mai scrie: ea s-ar simplifica oricum. Regula de redactare: la integrala nedefinită scrii $+\mathcal{C}$, la integrala definită nu.

Notația are două proprietăți care se folosesc tot timpul și care se citesc direct din definiția ei:

5. Cum se calculează practic o integrală definită?

Rețeta este mereu aceeași, în trei pași, iar la examen fiecare pas are punctaj.

1. Justifici ipotezele. Cel mai adesea: „$f$ este continuă pe $[a,b]$, deci este integrabilă și admite primitive pe $[a,b]$".
2. Găsești o primitivă $F$, din tabelul primitivelor funcțiilor uzuale și din liniaritate. Nu adaugi constanta.
3. Evaluezi $F(b)-F(a)$, scriind explicit rândul $F(x){|}_a^b$.

Model complet. Calculăm ${\int }_1^2{x}^{2}dx$.

Ipotezele: funcția $f(x)=x^2$ este continuă pe $[1,2]$, deci integrabilă și cu primitive.

Primitiva: din rândul 1 al tabelului, $F(x)=\frac{x^3}{3}$.

Evaluarea: ${\int }_1^2{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_1^2=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$.

Compară cu drumul de la lecția despre sumele Riemann: acolo aceeași valoare cerea diviziunea echidistantă, formula $1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ și o limită de șir. Aici a fost o linie. (Verificat numeric: metoda lui Simpson cu $2000$ de subintervale dă $2,333333333333$, adică $\frac{7}{3}$.)

Încă trei modele, pe funcțiile cele mai des întâlnite: $${\int }_0^{\pi /2}\cos xdx=\sin x{|}_0^{\pi /2}=1-0=1,{\int }_1^e\frac{1}{x}dx=\ln |x|{|}_1^e=1-0=1,{\int }_0^1{e}^{x}dx=e^x{|}_0^1=e-1.$$ (Toate trei verificate numeric, cu toleranță relativă $10^{-8}$.) Observă la a doua că, pe intervalul $[1,e]$, avem $x>0$, deci $\ln |x|=\ln x$; modulul se păstrează în scriere, dar dispare la evaluare.

Modulul din primitiva lui $\frac{1}{x}$ nu e însă decorativ, și se vede pe al patrulea model: $${\int }_{-2}^{-1}\frac{1}{x}dx=\ln |x|{|}_{-2}^{-1}=\ln 1-\ln 2=-\ln 2.$$ Intervalul $[-2,-1]$ este inclus în $(-\infty ,0)$, unde funcția $\frac{1}{x}$ este continuă, deci formula se aplică; fără modul, expresia $\ln x$ nici n-ar avea sens acolo. Rezultatul negativ e firesc, pentru că pe acel interval funcția este negativă. (Verificat numeric: $-0,693147180560$.) Ceea ce nu se poate face este să se treacă cu aceeași primitivă peste $0$ — motivul e în subsecțiunea următoare.

6. Ce se întâmplă cu convențiile pentru capete egale sau inversate?

La lecția despre funcțiile integrabile și integrala definită s-au fixat două convenții: $${\int }_a^{a}f(x)dx=0,{\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx.$$ Ele nu sunt teoreme, ci înțelegeri de notație — dar sunt exact cele care fac formula Leibniz–Newton să funcționeze fără excepții. Într-adevăr, $F(a)-F(a)=0$, ceea ce se potrivește cu prima convenție, iar $F(a)-F(b)=-(F(b)-F(a))$, ceea ce se potrivește cu a doua. Cu alte cuvinte: scrii $F(x)|$ între capetele date, în ordinea dată, și semnul iese singur.

Un exemplu: ${\int }_2^1{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_2^1=\frac{1}{3}-\frac{8}{3}=-\frac{7}{3}$, adică opusul valorii calculate mai sus. Nu e o „arie negativă" — este pur și simplu convenția de orientare, care va fi foarte utilă când vom rupe un interval în bucăți.

7. Când NU se aplică formula Leibniz–Newton?

Aici se află greșeala cea mai costisitoare a capitolului, iar ea produce rezultate vizibil absurde.

Privește calculul următor: „${\int }_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}{|}_{-1}^1=-1-1=-2$". Rezultatul este negativ, deși funcția $\frac{1}{x^2}$ este strict pozitivă peste tot unde e definită. Ceva e grav greșit.

Greșeala nu e de calcul, ci de ipoteze. Funcția $\frac{1}{x^2}$ nu este definită în $0$, deci nu este o funcție pe $[-1,1]$; iar orice prelungire a ei la $[-1,1]$ este nemărginită, deci — prin criteriul negativ al mărginirii — nu este integrabilă pe $[-1,1]$. Simbolul ${\int }_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx$ nu are sens, iar „$-\frac{1}{x}$" este primitivă doar pe $(-\infty ,0)$ și pe $(0,+\infty )$ separat, nu pe un interval care conține $0$.

Regula de conduită, valabilă în tot capitolul: înainte de a scrie $F(x){|}_a^b$, verifică dacă $F$ este primitivă a lui $f$ pe TOT intervalul $[a,b]$. Cele trei situații în care ipotezele cad, în ordinea în care apar la Bacalaureat M1:

• funcția nu e definită într-un punct din $[a,b]$ — cazul de mai sus, cu $\frac{1}{x^2}$, $\frac{1}{x}$ sau $\frac{1}{x-2}$ pe intervale care conțin punctul-problemă;
• funcția e definită, dar nemărginită pe $[a,b]$ — atunci nu e integrabilă și integrala nu există;
• primitiva propusă nu e derivabilă în tot intervalul — de pildă $F(x)=|x|$ nu este primitivă a niciunei funcții pe un interval care conține $0$, pentru că nu e derivabilă acolo.

Un control de bun-simț care prinde majoritatea acestor erori: dacă $f\ge 0$ pe $[a,b]$ și $a<b$, atunci integrala nu poate fi negativă. Un rezultat negativ înseamnă că ipotezele n-au fost verificate.

8. Ce citește formula, dincolo de arie

Merită văzută formula și în cealaltă direcție. Scrisă ca $$F(b)-F(a)={\int }_a^b{F}^{\prime }(x)dx,$$ ea spune: variația totală a unei mărimi pe un interval se obține integrând viteza ei de variație. Dacă $C(q)$ este costul producerii a $q$ unități dintr-un produs, iar $C^{\prime }(q)$ este costul marginal, atunci creșterea costului când producția urcă de la $q_1$ la $q_2$ este ${\int }_{q_1}^{q_2}{C}^{\prime }(q)dq$. Aceeași citire se aplică oriunde o mărime are o rată de variație cunoscută.

Din această pereche de citiri vine și forța rezultatului: același număr descrie o arie și o variație totală. Restul capitolului îl vom folosi în ambele sensuri, iar proprietățile care fac calculul comod — liniaritatea, ruperea intervalului, compararea a două integrale — sunt subiectul lecției următoare, despre proprietățile integralei definite.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O funcție polinomială de gradul întâi

Calculați ${\int }_1^3(2x+1)dx$.

Rezolvare. Ipotezele: funcția $f(x)=2x+1$ este polinomială, deci continuă pe $[1,3]$; prin urmare este integrabilă și admite primitive pe $[1,3]$.

Primitiva: din rândul 1 al tabelului și din liniaritate, $F(x)=x^2+x$.

Evaluarea: $${\int }_1^3(2x+1)dx=(x^2+x){|}_1^3=(9+3)-(1+1)=12-2=10.$$ (Verificat numeric: $10,000000000000$.) ✓

Exemplul 2 — Liniaritatea aplicată termen cu termen

Calculați ${\int }_0^1(3x^2-4x+5)dx$.

Rezolvare. Ipotezele: funcție polinomială, deci continuă pe $[0,1]$.

Primitiva: se ia termen cu termen, $F(x)=x^3-2x^2+5x$. (Verificare rapidă prin derivare: $F^{\prime }(x)=3x^2-4x+5$. ✓)

Evaluarea: $${\int }_0^1(3x^2-4x+5)dx=(x^3-2x^2+5x){|}_0^1=(1-2+5)-0=4.$$ (Verificat numeric: $4,000000000000$.) ✓

Exemplul 3 — Un radical la numitor

Calculați ${\int }_1^4\frac{1}{\sqrt{x}}dx$.

Rezolvare. Ipotezele: funcția $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ este continuă pe $[1,4]$, interval inclus în $(0,+\infty )$ — atenție, continuitatea trebuie cerută pe tot intervalul de integrare, iar aici capătul $1$ este strict pozitiv, deci totul e în regulă.

Primitiva: rândul 10 al tabelului dă $F(x)=2\sqrt{x}$ pe $(0,+\infty )$.

Evaluarea: $${\int }_1^4\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}{|}_1^4=2\cdot 2-2\cdot 1=2.$$ (Verificat numeric: $2,000000000000$.) ✓

Exemplul 4 — Funcții trigonometrice

Calculați ${\int }_0^{\pi /2}(\sin x+2\cos x)dx$.

Rezolvare. Ipotezele: funcție continuă pe $\mathbb{R}$, deci și pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$.

Primitiva: rândurile 6 și 7 din tabel dau $F(x)=-\cos x+2\sin x$.

Evaluarea: $${\int }_0^{\pi /2}(\sin x+2\cos x)dx=(-\cos x+2\sin x){|}_0^{\pi /2}=(0+2)-(-1+0)=3.$$ (Verificat numeric: $3,000000000000$.)

Cea mai frecventă greșeală la acest tip de exercițiu este semnul primitivei sinusului: $\int \sin xdx=-\cos x+\mathcal{C}$, cu minus. ✓

Exemplul 5 — Un rezultat cu logaritm

Calculați ${\int }_1^2\left(\frac{1}{x}+x\right)dx$.

Rezolvare. Ipotezele: pe $[1,2]$ avem $x\ge 1>0$, deci funcția e continuă pe tot intervalul.

Primitiva: rândurile 3 și 1 din tabel dau $F(x)=\ln |x|+\frac{x^2}{2}$.

Evaluarea: $${\int }_1^2\left(\frac{1}{x}+x\right)dx=\left(\ln |x|+\frac{x^2}{2}\right){|}_1^2=\left(\ln 2+2\right)-\left(0+\frac{1}{2}\right)=\ln 2+\frac{3}{2}.$$ Rezultatul se lasă exact, în această formă; dacă se cere o valoare aproximativă, $\ln 2+\frac{3}{2}\approx 2,193$. (Verificat numeric: $2,193147180560$.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-2x$. a) Arătați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=x^3-x^2$, este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$. b) Calculați ${\int }_0^{1}f(x)dx$. c) Determinați numărul real $a>0$ pentru care ${\int }_0^{a}f(x)dx=4$.

Rezolvare.

a) Funcția $F$ este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, și $F^{\prime }(x)=3x^2-2x=f(x)$ pentru orice $x$ real. Prin definiție, $F$ este primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$.

b) Funcția $f$ este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă, iar de la punctul a) avem o primitivă. Aplicăm formula Leibniz–Newton: $${\int }_0^1(3x^2-2x)dx=(x^3-x^2){|}_0^1=(1-1)-0=0.$$ Merită reținut ce înseamnă rezultatul: o integrală nulă nu înseamnă funcție nulă. Pe $\left[0,\frac{2}{3}\right]$ funcția este negativă, pe $\left[\frac{2}{3},1\right]$ este pozitivă, iar cele două contribuții se anulează reciproc.

c) Cu aceeași primitivă, $${\int }_0^a(3x^2-2x)dx=(x^3-x^2){|}_0^a=a^3-a^2.$$ Ecuația devine $a^3-a^2-4=0$. Se observă rădăcina $a=2$ ($8-4-4=0$), iar împărțirea dă $a^3-a^2-4=(a-2)(a^2+a+2)$. Trinomul $a^2+a+2$ are $\Delta =1-8=-7<0$, deci nu are rădăcini reale. Prin urmare $a=2$ este singura soluție reală, și ea îndeplinește condiția $a>0$. (Verificat numeric: integrala pe $[0,2]$ este $4,000000000000$.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie întâi propoziția care justifică ipotezele, apoi primitiva, apoi rândul cu $F(x){|}_a^b$.

1. Calculează ${\int }_0^{2}xdx$.

2. Calculează ${\int }_1^2{x}^{3}dx$.

3. Calculează ${\int }_0^1(x^2+1)dx$.

4. Calculează ${\int }_1^3(2x-3)dx$.

5. Calculează ${\int }_0^{\pi }\sin xdx$.

6. Calculează ${\int }_0^{\pi /4}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$.

7. Calculează ${\int }_1^{e^2}\frac{1}{x}dx$.

8. Calculează ${\int }_0^{\ln 2}{e}^{x}dx$.

9. Calculează ${\int }_0^4\sqrt{x}dx$.

10. Calculează ${\int }_{-1}^1(x^3+x)dx$.

11. Calculează ${\int }_1^2\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)dx$.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Avem ${\int }_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx=-2$, pentru că o primitivă a funcției $\frac{1}{x^2}$ este $-\frac{1}{x}$."

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă ${\int }_a^{b}f(x)dx=0$, atunci $f(x)=0$ pentru orice $x\in [a,b]$."

14. (Problemă aplicată.) Costul marginal al unei fabrici, exprimat în lei pe unitate, este $C^{\prime }(q)=3q^2+2$, unde $q$ este numărul de unități produse. Cu cât crește costul total când producția urcă de la $0$ la $4$ unități?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+3$. a) Arată că $F(x)=\frac{x^3}{3}-2x^2+3x$ este o primitivă a lui $f$. b) Calculează ${\int }_0^{3}f(x)dx$. c) Calculează ${\int }_1^{3}f(x)dx$.

16. Calculează ${\int }_0^1(2e^x-3)dx$.

17. Determină $a\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ pentru care ${\int }_0^a\sin xdx=\frac{1}{2}$.

18. (Provocare.) Determină numărul real $a>0$ pentru care ${\int }_0^a(3x^2-6x)dx=0$ și explică ce înseamnă geometric rezultatul.

Răspunsuri și explicații

1. Funcție continuă; $F(x)=\frac{x^2}{2}$, deci $\frac{x^2}{2}{|}_0^2=2-0=2$.

2. $F(x)=\frac{x^4}{4}$, deci $\frac{x^4}{4}{|}_1^2=4-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}$.

3. $F(x)=\frac{x^3}{3}+x$, deci $\left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_0^1=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$.

4. $F(x)=x^2-3x$, deci $(x^2-3x){|}_1^3=(9-9)-(1-3)=0+2=2$.

5. $F(x)=-\cos x$, deci $-\cos x{|}_0^{\pi }=-(-1)-(-1)=2$. Atenție la dublul minus.

6. Rândul 8 din tabel: $F(x)=\mathrm{tg}x$, iar $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ nu conține $\frac{\pi }{2}$, deci funcția e continuă acolo. Rezultatul: $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}-\mathrm{tg}0=1$.

7. $\ln |x|{|}_1^{e^2}=\ln e^2-\ln 1=2$.

8. $e^x{|}_0^{\ln 2}=e^{\ln 2}-e^0=2-1=1$.

9. $\sqrt{x}=x^{1/2}$, deci $F(x)=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}$ și $\frac{2}{3}x\sqrt{x}{|}_0^4=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}$.

10. $F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}$, iar $F(1)=F(-1)=\frac{3}{4}$, deci integrala este $0$: contribuția negativă de pe $[-1,0]$ o compensează exact pe cea pozitivă de pe $[0,1]$.

11. Pe $[1,2]$ avem $x\ge 1$, deci funcția e continuă. $F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{1}{x}$ (pentru că $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$ are primitiva $-\frac{1}{x}$, iar aici apare cu minus). Rezultat: $\left(\frac{8}{3}+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{3}+1\right)=\frac{19}{6}-\frac{8}{6}=\frac{11}{6}$.

12. Fals. Funcția $\frac{1}{x^2}$ nu este definită în $0\in [-1,1]$ și este nemărginită în vecinătatea lui $0$, deci nu este integrabilă pe $[-1,1]$; integrala nici nu există. În plus, un rezultat negativ pentru o funcție strict pozitivă este imposibil.

13. Fals. Contraexemplu: ${\int }_{-1}^{1}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_{-1}^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$, deși funcția $f(x)=x$ nu este identic nulă. Contribuțiile negative și cele pozitive se compensează.

14. Creșterea costului este $C(4)-C(0)={\int }_0^4(3q^2+2)dq=(q^3+2q){|}_0^4=64+8=72$ lei.

15. a) $F$ e polinomială, deci derivabilă, și $F^{\prime }(x)=x^2-4x+3=f(x)$. b) $F(3)-F(0)=(9-18+9)-0=0$. c) $F(3)-F(1)=0-\left(\frac{1}{3}-2+3\right)=-\frac{4}{3}$. Rezultatul negativ e firesc: pe $[1,3]$ funcția este negativă.

16. $(2e^x-3x){|}_0^1=(2e-3)-2=2e-5\approx 0,437$.

17. ${\int }_0^a\sin xdx=-\cos x{|}_0^a=1-\cos a$. Ecuația $1-\cos a=\frac{1}{2}$ dă $\cos a=\frac{1}{2}$, deci $a=\frac{\pi }{3}$, valoare care se află într-adevăr în $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

18. $(x^3-3x^2){|}_0^a=a^3-3a^2=a^2(a-3)$, care se anulează pentru $a=3$ (soluția $a=0$ nu convine). Geometric: pe $[0,2]$ funcția $3x^2-6x$ este negativă, iar integrala ei este $-4$; pe $[2,3]$ este pozitivă, cu integrala $+4$. Cele două suprafețe au arii egale, iar suma algebrică se anulează. (Ambele valori verificate numeric.)

De reținut

• Formula Leibniz–Newton spune că, dacă $f$ este integrabilă pe $[a,b]$ și admite acolo primitiva $F$, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
• Demonstrația aplică teorema lui Lagrange a creșterilor finite pe fiecare subinterval al unei diviziuni, obține o sumă Riemann egală cu $F(b)-F(a)$ pentru orice diviziune, apoi trece la limită folosind integrabilitatea.
• Notația $F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$ nu depinde de primitiva aleasă, pentru că orice constantă adăugată se simplifică; de aceea la integrala definită nu se scrie $+\mathcal{C}$.
• Orice funcție continuă pe $[a,b]$ îndeplinește ambele ipoteze ale formulei, iar propoziția care spune asta se scrie explicit în rezolvare, pentru că are punctaj la Bacalaureat M1.
• Primitiva trebuie să existe pe tot intervalul de integrare: aplicată peste un punct în care funcția nu e definită sau e nemărginită, formula produce rezultate false, uneori chiar absurde.

Greșeli frecvente

• Aplici formula peste un punct-problemă. La ${\int }_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx$ „rezultatul" $-2$ este negativ pentru o funcție pozitivă. Verifică întotdeauna că $f$ e definită și mărginită pe tot $[a,b]$.
• Uiți semnul primitivei sinusului. $\int \sin xdx=-\cos x+\mathcal{C}$, nu $\cos x+\mathcal{C}$; iar la evaluare apare frecvent dublul minus: $-\cos x{|}_0^{\pi }=1+1=2$.
• Scrii $+\mathcal{C}$ la integrala definită. Constanta se simplifică oricum în diferența $F(b)-F(a)$; prezența ei într-o integrală definită arată că nu s-a înțeles deosebirea dintre cele două noțiuni.
• Inversezi capetele fără să schimbi semnul. ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$; scrii capetele în ordinea din enunț și lași semnul să iasă din calcul.
• Confunzi cele două teoreme ale lui Lagrange. În demonstrația de aici se folosește teorema creșterilor finite, din analiză, nu teorema despre ordinul subgrupurilor unui grup finit, din algebră.

Aplică acasă

1. Două drumuri către același număr. Calculează ${\int }_0^1{x}^{2}dx$ pe două căi: mai întâi din definiție, cu diviziunea echidistantă și formula sumei pătratelor, apoi cu formula Leibniz–Newton. Cronometrează fiecare drum și notează câte rânduri a cerut fiecare.

2. Colecția de primitive. Alcătuiește un tabel cu trei coloane — funcția, o primitivă a ei, intervalul pe care primitiva e valabilă — pentru primele zece rânduri ale tabelului canonic. Adaugă a patra coloană cu o integrală definită concretă pentru fiecare, alegând capete pe care funcția e continuă.

3. Vânătoare de ipoteze căzute. Scrie cinci integrale definite în care intervalul conține un punct-problemă (de exemplu ${\int }_{-2}^2\frac{1}{x}dx$ sau ${\int }_0^{\pi }\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$). Pentru fiecare, explică în două rânduri de ce formula nu se aplică și ce ar da, greșit, aplicarea ei mecanică.

Pentru părinți și profesori

Formula Leibniz–Newton este momentul în care calculul integral devine practicabil. Până la ea, integrala definită este o definiție frumoasă, dar aproape imposibil de folosit; după ea, orice integrală se reduce la găsirea unei primitive și la o scădere. Programa clasei a XII-a o cere explicit, la domeniul „Funcții integrabile", iar la BAC M1 ea apare în aproape fiecare subiect de analiză din partea a treia.

Ce verifică lecția: (1) enunțarea completă a formulei, cu ambele ipoteze — integrabilitate și existența primitivelor; (2) demonstrația, cu rolul precis al teoremei lui Lagrange și al telescopării; (3) folosirea corectă a notației cu bară verticală; (4) justificarea faptului că alegerea primitivei nu schimbă rezultatul; (5) recunoașterea situațiilor în care formula nu se aplică.

Întrebări bune de control: „De ce ai voie să aplici formula aici?", „Ce s-ar întâmpla dacă alegeai altă primitivă?", „Poate fi negativă integrala unei funcții pozitive?". Semn că elevul a înțeles: începe fiecare rezolvare cu propoziția despre continuitate și verifică, înainte de a scrie primitiva, dacă intervalul de integrare conține vreun punct în care funcția nu e definită.

Întrebări frecvente

Ce este formula Leibniz–Newton? Este formula care leagă integrala definită de primitive: dacă funcția $f$ este integrabilă pe intervalul $[a,b]$ și admite acolo primitiva $F$, atunci integrala lui $f$ de la $a$ la $b$ este egală cu $F(b)-F(a)$. Ea transformă un proces de limită într-o simplă scădere de două valori și este principalul instrument de calcul al capitolului.

Cum se calculează o integrală definită cu formula Leibniz–Newton? În trei pași. Întâi justifici ipotezele, cel mai des prin propoziția „funcția este continuă pe intervalul de integrare, deci este integrabilă și admite primitive". Apoi găsești o primitivă din tabelul primitivelor funcțiilor uzuale, folosind și liniaritatea. La final scrii rândul cu bară verticală și calculezi diferența dintre valoarea primitivei în capătul de sus și cea din capătul de jos.

De ce nu se mai scrie constanta la integrala definită? Pentru că se simplifică. Dacă $G(x)=F(x)+c$ este o altă primitivă, atunci $G(b)-G(a)=F(b)-F(a)$, aceeași constantă adunându-se și scăzându-se. Rezultatul unei integrale definite este un număr, nu o familie de funcții, așa că adăugarea lui $\mathcal{C}$ nu doar că e inutilă, ci semnalează o confuzie între integrala nedefinită și cea definită.

Ce ipoteze se cer pentru a aplica formula? Se cer două, independente una de cealaltă: funcția să fie integrabilă pe intervalul închis $[a,b]$ și să admită primitive pe același interval. În exercițiile de clasă, ambele rezultă din continuitate, motiv pentru care rezolvarea începe aproape întotdeauna cu observația că funcția este continuă pe intervalul dat.

De ce se folosește teorema lui Lagrange în demonstrație? Pentru că ea traduce exact ce trebuie: transformă o diferență de valori ale primitivei într-un produs dintre o valoare a derivatei și lungimea unui subinterval, adică într-un termen de sumă Riemann. Aplicată pe fiecare subinterval al unei diviziuni și adunată, ea dă o sumă Riemann egală cu $F(b)-F(a)$ pentru orice diviziune, ceea ce încheie demonstrația prin trecere la limită.

Când nu se aplică formula Leibniz–Newton? Când o ipoteză cade. Cel mai des, atunci când intervalul de integrare conține un punct în care funcția nu este definită sau este nemărginită — de pildă $\frac{1}{x^2}$ pe $[-1,1]$. Aplicată mecanic în astfel de cazuri, formula dă rezultate false, uneori vizibil absurde, cum ar fi o valoare negativă pentru integrala unei funcții strict pozitive.

Poate fi negativă o integrală definită? Da, și e perfect normal. Când funcția ia valori negative pe o parte din interval, contribuțiile de acolo intră în integrală cu semnul minus. Rezultatul poate fi negativ sau chiar nul, ca la ${\int }_{-1}^{1}xdx=0$. Ceea ce nu se poate întâmpla este ca integrala unei funcții pozitive, pe un interval parcurs în ordine crescătoare, să iasă negativă.

Ce se învață după formula Leibniz–Newton? Proprietățile integralei definite — liniaritatea, ruperea intervalului în bucăți, compararea a două integrale, mărginirea — care fac calculul comod și dau instrumentele pentru funcțiile mai complicate. Ele sunt subiectul lecției despre proprietățile integralei definite, iar pe baza lor se calculează apoi integralele funcțiilor definite pe ramuri și ale celor cu modul.