Derivata funcției $$G : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$G(x) = \displaystyle\int_0^{x^{2}} \sin t\,dt$$, este:

$$\cos\left(x^{2}\right) \cdot 2x$$

Pentru $$f$$ continuă pe un interval $$I$$ și $$a \in I$$, funcția $$F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$$ verifică:

$$F(a) = f(a)$$ și $$F{}' = f$$

Teorema de existență a primitivelor spune că:

orice funcție continuă pe un interval admite primitive pe acel interval

numai funcțiile ale căror primitive se scriu cu funcțiile din tabel admit primitive

orice funcție integrabilă admite primitive

orice funcție admite primitive

Acasă · Învață ușor · clasa a XII-a · Funcția integrală. Existența primitivelor

Funcția integrală. Existența primitivelor: pe scurt

Funcția integrală a lui $f$ cu pornirea în $a$ este $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ . Variabila de sub integrală se notează $t$ , pentru că litera $x$ este deja ocupată de capătul de sus; scrierea $\int_{a}^{x} f (x) d x$ este greșită. Din convenția $\int_{a}^{a} f = 0$ rezultă $F (a) = 0$ .

Teorema de existență a primitivelor unei funcții continue: dacă $f$ este continuă pe intervalul $I$ , atunci $F$ este derivabilă pe $I$ și $F^{'} = f$ . În particular, orice funcție continuă pe un interval admite primitive. Demonstrația are trei pași: aditivitatea în raport cu intervalul, teorema de medie pe intervalul dintre $x$ și $x + h$ , apoi trecerea la limită folosind continuitatea lui $f$ .

Teorema închide un gol: pentru funcții precum $e^{- x^{2}}$ , care nu au primitivă exprimabilă cu funcțiile din tabel, primitiva există și se scrie $\int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t$ — un răspuns complet și acceptat.

Din regula lanțului se obține derivarea integralei cu capăt variabil: $(\int_{a}^{u (x)} f (t) d t)^{'} = f (u (x)) u^{'} (x)$ — înlocuiești $t$ cu capătul de sus și înmulțești cu derivata lui; cu ambele capete mobile se scad cele două contribuții. Primitiva cu o valoare impusă se scrie direct: $G (x) = \int_{x_{0}}^{x} f (t) d t + k$ verifică $G (x_{0}) = k$ .

Exerciții din această mini-lecție

Derivata funcției $G : R \to R$ , $G (x) = \int_{0}^{x^{2}} sin t d t$ , este:
- a) $cos (x^{2}) \cdot 2 x$
- b) $sin (x^{2})$
- c) $2 x sin (x^{2})$
- d) $- cos (x^{2})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2 x sin (x^{2})$

Se înlocuiește $t$ cu capătul de sus și se înmulțește cu derivata acestuia: $G^{'} (x) = sin (x^{2}) \cdot 2 x$ . Varianta $sin (x^{2})$ uită factorul $u^{'} (x) = 2 x$ — formula este o regulă a lanțului, nu o simplă înlocuire —, iar variantele cu cosinus confundă derivarea cu integrarea.
Pentru $f$ continuă pe un interval $I$ și $a \in I$ , funcția $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ verifică:
- a) $F (a) = f (a)$ și $F^{'} = f$
- b) $F (a) = 0$ și $F^{'} = f$
- c) $F^{'} = f^{'}$
- d) $F$ nu este derivabilă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $F (a) = 0$ și $F^{'} = f$

Din convenția $\int_{a}^{a} f = 0$ rezultă $F (a) = 0$ , iar teorema de existență a primitivelor dă $F^{'} = f$ . Confuzia $F^{'} = f^{'}$ este frecventă: derivata funcției integrale este integrandul, nu derivata lui.
Teorema de existență a primitivelor spune că:
- a) numai funcțiile ale căror primitive se scriu cu funcțiile din tabel admit primitive
- b) orice funcție integrabilă admite primitive
- c) orice funcție admite primitive
- d) orice funcție continuă pe un interval admite primitive pe acel interval
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) orice funcție continuă pe un interval admite primitive pe acel interval

Continuitatea este suficientă, nu necesară: există și funcții discontinue care admit primitive. Integrabilitatea nu implică existența primitivelor — funcția semn este contraexemplul —, iar existența primitivei nu are legătură cu posibilitatea de a o scrie cu funcțiile din tabel.

Funcția integrală. Existența primitivelor: pe scurt

Exerciții din această mini-lecție

Continuă cu