Teorema de existență a primitivelor unei funcții continue; funcția integrală

Lecția despre funcțiile care admit primitive s-a încheiat cu o promisiune neonorată. Acolo, la clasa a 12-a, am aflat cum se arată că o funcție nu are primitive — dacă are o discontinuitate de speța I sau dacă imaginea ei nu este un interval — și am enunțat, fără demonstrație, rezultatul pozitiv: orice funcție continuă pe un interval admite primitive. Demonstrația a fost amânată, pentru că îi lipsea unealta.

Unealta există acum: este teorema de medie. Cu ea, construcția primitivei devine surprinzător de directă — o obținem nu dintr-un tabel de formule, ci din integrala definită însăși, lăsând capătul de sus să se plimbe. Funcția astfel construită se numește funcție integrală și este, dincolo de rolul ei teoretic, sursa unei familii întregi de exerciții din subiectele de Bacalaureat M1.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești funcția integrală $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ și să explici de ce variabila de sub integrală se notează $t$.
• Vei ști să enunți teorema de existență a primitivelor unei funcții continue și să spui ce anume rezolvă ea.
• Vei ști să o demonstrezi, folosind aditivitatea la interval, teorema de medie și continuitatea.
• Vei ști să scrii o primitivă explicită pentru o funcție continuă a cărei primitivă nu are formulă în tabel.
• Vei ști să derivezi o integrală cu capăt variabil, cu formula $(F(u(x)){)}^{\prime }=f(u(x))u^{\prime }(x)$.
• Vei ști să determini primitiva cu o proprietate dată, de tipul „primitiva lui $f$ care ia valoarea $k$ în $x_0$".

Hai să descoperim împreună

1. Ce este funcția integrală?

Până acum, ${\int }_a^{b}f(x)dx$ a fost un număr: ambele limite erau fixate. Ideea acestei lecții este să fixăm capătul din stânga și să lăsăm capătul din dreapta liber. Pentru fiecare poziție a lui, integrala are o valoare — deci obținem o funcție.

Funcția integrală asociată lui $f$ și punctului $a$ este funcția $F$ definită prin $$F:I\to \mathbb{R},F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt,$$ unde $I$ este un interval, $f:I\to \mathbb{R}$ este integrabilă pe orice subinterval compact al lui $I$, iar $a\in I$ este fixat.

Definiția are sens datorită eredității, proprietate demonstrată în lecția despre proprietățile integralei definite: dacă $f$ e integrabilă pe un interval, e integrabilă pe orice subinterval al lui. Iar convențiile ${\int }_a^{a}f=0$ și ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$ fac formula valabilă și pentru $x<a$. În particular, $F(a)=0$.

⚠️ Variabila de sub integrală se notează $t$, întotdeauna. Scrierea ${\int }_a^{x}f(x)dx$ este o greșeală de notație, nu doar o inelegantă: litera $x$ ar juca simultan două roluri, de capăt fixat al integrării și de variabilă mută care parcurge intervalul. Cum variabila de integrare este mută — ${\int }_a^{b}f(t)dt$ și ${\int }_a^{b}f(x)dx$ sunt același număr —, alegerea lui $t$ nu costă nimic și evită confuzia.

Exemplu. Pentru $f(t)=t^2$ și $a=0$ obținem $F(x)={\int }_0^x{t}^{2}dt=\frac{t^3}{3}{|}_0^x=\frac{x^3}{3}$. Derivata ei este $F^{\prime }(x)=x^2=f(x)$ — prima apariție a fenomenului care va fi teorema lecției.

Exemplu. Pentru $f(t)=\frac{1}{t}$ și $a=1$, pe intervalul $(0,+\infty )$, obținem $F(x)={\int }_1^x\frac{1}{t}dt=\ln |t|{|}_1^x=\ln x$. Logaritmul natural este o funcție integrală; în multe manuale universitare aceasta e chiar definiția lui.

Exemplu — capătul din stânga lui $a$. Tot pentru $f(t)=t^2$ și $a=0$, formula $F(x)=\frac{x^3}{3}$ rămâne valabilă și pentru $x$ negativ: $F(-2)={\int }_0^{-2}{t}^{2}dt=-{\int }_{-2}^0{t}^{2}dt=-\frac{8}{3}$. Funcția integrală ia deci și valori negative, chiar dacă integrandul e pozitiv — semnul vine din ordinea capetelor, nu din semnul lui $f$.

Un fapt util, valabil chiar și fără continuitate: dacă $|f(t)|\le M$ pe intervalul dintre $x$ și $y$, atunci, din consecința de modul, $|F(x)-F(y)|=\left|{\int }_y^{x}f(t)dt\right|\le M|x-y|$. Cu alte cuvinte, funcția integrală a unei funcții mărginite este continuă, chiar dacă $f$ nu este.

2. Ce garantează teorema de existență a primitivelor?

Teorema. Fie $I$ un interval, $f:I\to \mathbb{R}$ o funcție continuă și $a\in I$. Atunci funcția integrală $$F:I\to \mathbb{R},F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$ *este derivabilă pe $I$ și $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$. În consecință, $f$ admite primitive pe $I$, iar $F$ este acea primitivă a lui $f$ care se anulează în $a$.*

Enunțul are trei straturi, care se rețin separat.

(i) Concluzia tehnică: derivata funcției integrale este chiar integrandul, $F^{\prime }=f$. Este afirmația pe care o folosești în exerciții.

(ii) Consecința teoretică: funcțiile continue admit primitive. Aceasta închide promisiunea lecției despre teorema lui Darboux și completează tabloul: continuitatea este o condiție suficientă pentru existența primitivelor, nu și necesară (există funcții discontinue care admit primitive, ca în lecția despre integrabilitate și primitive).

(iii) Precizarea fină: dintre toate primitivele lui $f$, funcția integrală este exact aceea care se anulează în punctul de pornire $a$. Este observația din care se rezolvă toate exercițiile de tipul „determinați primitiva care trece prin punctul…".

La capetele intervalului $I$, dacă acestea îi aparțin, derivabilitatea se înțelege lateral, dinspre interior — exact ca la continuitate.

Merită observat cât de neașteptată este afirmația. Integrala definită este un obiect global: ea rezumă comportarea funcției pe tot intervalul, prin sume Riemann care ating toate punctele. Derivata este un obiect local: depinde numai de ce se întâmplă în vecinătatea unui punct. Teorema spune că, derivând integrala, informația globală se strânge înapoi la loc și redă exact valoarea locală a integrandului. Integrarea și derivarea sunt, în acest sens precis, operații inverse una alteia.

3. Cum se demonstrează teorema, cu teorema de medie?

Fixăm $x\in I$ și luăm $h\ne 0$ astfel încât $x+h\in I$. Calculăm raportul de creștere al lui $F$, în forma cu increment a derivatei (echivalentă cu cea uzuală, prin substituția $x=x_0+h$).

Pasul 1 — aditivitatea la interval. Din ${\int }_a^{x+h}={\int }_a^x+{\int }_x^{x+h}$ rezultă $$F(x+h)-F(x)={\int }_x^{x+h}f(t)dt.$$ Diferența dintre două valori ale funcției integrale este integrala pe intervalul dintre ele.

Pasul 2 — teorema de medie. Presupunem întâi $h>0$. Funcția $f$ e continuă pe $[x,x+h]$, deci teorema de medie dă un punct $c_h\in [x,x+h]$ cu $${\int }_x^{x+h}f(t)dt=f(c_h)\cdot ((x+h)-x)=f(c_h)h.$$ Prin urmare $$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(c_h).$$ Pentru $h<0$ se lucrează pe $[x+h,x]$ și se folosește convenția de inversare a limitelor: ${\int }_x^{x+h}f=-{\int }_{x+h}^{x}f=-f(c_h)(x-(x+h))=f(c_h)h$, deci raportul are exact aceeași formă.

Pasul 3 — trecerea la limită. Punctul $c_h$ este cuprins între $x$ și $x+h$, deci $|c_h-x|\le |h|$. Când $h\to 0$, rezultă $c_h\to x$ (este criteriul cleștelui din clasa a XI-a). Cum $f$ e continuă în $x$, obținem $f(c_h)\to f(x)$. Așadar $$F^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }f(c_h)=f(x).■$$

Citită pe desen, demonstrația spune ceva foarte simplu. Când capătul de sus înaintează cu $h$, aria de sub grafic crește cu aria unei fâșii înguste. Fâșia are baza $h$ și o înălțime cuprinsă între cea mai mică și cea mai mare valoare a lui $f$ pe ea; teorema de medie spune că aria ei este exact $f(c_h)\cdot h$, adică aria unui dreptunghi cu o înălțime luată de pe grafic. Împărțind la $h$, obții înălțimea medie a fâșiei; strângând fâșia, acea înălțime se apropie de $f(x)$. Viteza cu care crește aria este, așadar, chiar înălțimea graficului.

O consecință gratuită: fiind derivabilă, funcția integrală a unei funcții continue este și continuă — iar acum știm mai mult decât la finalul secțiunii $1$, unde continuitatea lui $F$ o obținusem doar din mărginirea lui $f$.

Se vede acum de ce continuitatea e indispensabilă: fără ea, teorema de medie nu se poate aplica la pasul $2$, iar la pasul $3$ trecerea $f(c_h)\to f(x)$ nu mai are niciun temei.

4. Ce câștigăm din teoremă?

Primul câștig — răspunsul la o întrebare veche. Orice funcție continuă pe un interval admite primitive. Împreună cu teorema lui Darboux, care exclude funcțiile cu salt, avem acum harta completă a existenței primitivelor la nivelul clasei a XII-a.

Al doilea câștig — primitive scrise pentru funcții „fără formulă". Funcția $f(x)=e^{-x^2}$ este continuă pe $\mathbb{R}$, deci admite primitive. Una dintre ele se scrie explicit: $$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},F(x)={\int }_0^x{e}^{-t^2}dt.$$ Este o formulă perfect legitimă, deși $F$ nu se poate exprima cu funcțiile din tabelul primitivelor — nicio combinație de puteri, radicali, exponențiale, logaritmi și funcții trigonometrice nu o dă. Teorema ne spune că funcția există și e derivabilă, cu $F^{\prime }(x)=e^{-x^2}$; asta e tot ce ne trebuie ca să lucrăm cu ea.

Harta completă arată acum așa: continuitatea implică existența primitivelor, dar nu invers. Există funcții discontinue care admit primitive — exemplul canonic, discutat în lecția despre integrabilitate și primitive, este funcția care prelungește $x\mapsto 2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$ cu valoarea $0$ în origine. Ce exclude cu certitudine existența primitivelor rămâne teorema lui Darboux: un salt sau o imagine care nu e interval.

⚠️ Numele lui Darboux acoperă, în manuale, două lucruri diferite, iar în această lecție se întâlnesc amândouă. Proprietatea valorilor intermediare (numită și proprietatea lui Darboux) este a funcțiilor continue și e cea folosită, prin teorema de medie, în demonstrația de mai sus. Teorema lui Darboux este rezultatul din lecția $88$: orice derivată are proprietatea valorilor intermediare, chiar dacă nu e continuă. Prima e ipoteza de plecare, a doua e instrumentul care exclude funcțiile cu salt.

Al treilea câștig — descrierea tuturor primitivelor. Cum două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă pe un interval, mulțimea tuturor primitivelor lui $f$ pe $I$ este $$\int f(x)dx={\int }_a^{x}f(t)dt+\mathcal{C}.$$ Aceasta este integrala nedefinită a lui $f$, scrisă cu o reprezentare concretă a primitivei: în locul unei formule din tabel stă chiar funcția integrală, iar $\mathcal{C}$ păstrează, ca întotdeauna, înțelesul de mulțime a funcțiilor constante pe interval.

5. A doua cale spre formula Leibniz–Newton

Teorema deschide un al doilea drum către formula Leibniz–Newton — nu ca s-o înlocuiască, ci ca s-o lumineze.

Fie $f$ continuă pe $[a,b]$ și fie $G$ o primitivă oarecare a ei. Din teorema de mai sus, și $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ este o primitivă a lui $f$ pe $[a,b]$. Două primitive pe același interval diferă printr-o constantă, deci există $k\in \mathbb{R}$ cu $G(x)=F(x)+k$ pentru orice $x$. Atunci $$G(b)-G(a)=F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(t)dt-0={\int }_a^{b}f(t)dt.$$

⚠️ Atenție la domeniul de valabilitate. Acest argument demonstrează formula Leibniz–Newton numai pentru funcții continue. Demonstrația din lecția $111$, cu sume Riemann și teorema lui Lagrange, acoperă ipoteza mai largă „$f$ integrabilă pe $[a,b]$ și admite primitiva $F$" — care include funcții discontinue. Cele două nu se contrazic: a doua e mai generală, prima e mai scurtă și explică de ce primitiva „știe" aria. Formula rămâne cea demonstrată la $111$; nu o redemonstrăm aici.

6. Cum derivezi o integrală cu capăt variabil?

În exerciții, capătul de sus nu e mereu chiar $x$, ci o expresie în $x$. Formula se obține combinând teorema cu regula de derivare a funcțiilor compuse.

Fie $f$ continuă pe intervalul $I$, $a\in I$, și $u$ o funcție derivabilă cu valori în $I$. Funcția $$H(x)={\int }_a^{u(x)}f(t)dt$$ este compunerea $H=F\circ u$, unde $F$ e funcția integrală. Prin regula lanțului, $$H^{\prime }(x)=F^{\prime }(u(x))\cdot u^{\prime }(x)=f(u(x))\cdot u^{\prime }(x).$$

Regula de memorat: înlocuiești $t$ cu capătul de sus și înmulțești cu derivata capătului.

Exemplu. $H(x)={\int }_1^{x^2}\ln tdt$, pentru $x>0$. Aici $u(x)=x^2$, $u^{\prime }(x)=2x$, iar $f(t)=\ln t$ e continuă pe $(0,+\infty )$. Deci $H^{\prime }(x)=\ln (x^2)\cdot 2x=4x\ln x$.

Exemplu. $H(x)={\int }_0^{\sin x}\sqrt{1+t^2}dt$. Cu $u(x)=\sin x$ și $u^{\prime }(x)=\cos x$, obținem $H^{\prime }(x)=\sqrt{1+{\sin }^{2}x}\cdot \cos x$.

Exemplu. $H(x)={\int }_1^{e^x}\ln tdt$, pentru $x$ real. Cu $u(x)=e^x$, care ia valori în $(0,+\infty )$, și $u^{\prime }(x)=e^x$, obținem $H^{\prime }(x)=\ln \left(e^x\right)\cdot e^x=x{e}^x$.

⚠️ O condiție se verifică de fiecare dată: capătul $u(x)$ trebuie să rămână în intervalul pe care $f$ e continuă. La ${\int }_1^{x^2}\ln tdt$ am cerut $x>0$ tocmai pentru ca $x^2$ să fie strict pozitiv; pentru $x=0$ capătul ar ajunge în $0$, unde logaritmul nu e definit.

Observație — ambele capete variabile. Dacă și capătul de jos se mișcă, spargi integrala cu aditivitatea la interval, într-un punct fix $a$: $${\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt={\int }_a^{v(x)}f(t)dt-{\int }_a^{u(x)}f(t)dt,$$ apoi derivezi fiecare termen cu formula de mai sus: $${\left({\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt\right)}^{\prime }=f(v(x))v^{\prime }(x)-f(u(x))u^{\prime }(x).$$ De pildă, pentru $K(x)={\int }_x^{x^2}\frac{1}{1+t^2}dt$ obținem $K^{\prime }(x)=\frac{2x}{1+x^4}-\frac{1}{1+x^2}$.

7. Cum determini primitiva cu o proprietate dată?

Cerința tipică sună: „determinați primitiva $G$ a funcției $f$ cu proprietatea că $G(x_0)=k$". Răspunsul se scrie într-un singur rând: $$G(x)={\int }_{x_0}^{x}f(t)dt+k.$$ Într-adevăr, $G^{\prime }=f$ prin teoremă, iar $G(x_0)=0+k=k$. Este singura primitivă cu această proprietate, pentru că două primitive cu aceeași valoare într-un punct coincid pe tot intervalul.

Exemplu. Primitiva lui $f(x)=\frac{1}{1+x^4}$ care ia valoarea $3$ în $x_0=2$ este $G(x)={\int }_2^x\frac{1}{1+t^4}dt+3$. Nu există o formă mai simplă cu funcțiile uzuale, dar răspunsul e complet.

A doua familie de exerciții merge invers: se dă o egalitate de tipul ${\int }_0^{x}f(t)dt=\phi (x)$, cu $\phi$ derivabilă, și se cere $f$. Derivezi ambii membri: în stânga obții $f(x)$, în dreapta ${\phi }^{\prime }(x)$, deci $f(x)={\phi }^{\prime }(x)$.

Exemplu. Determină funcția continuă $f$ cu ${\int }_1^{x}f(t)dt=x\ln x-x+1$ pentru orice $x>0$. Derivăm ambii membri: în stânga rămâne $f(x)$, în dreapta $(x\ln x-x+1{)}^{\prime }=\ln x+1-1=\ln x$. Deci $f(x)=\ln x$. Verificarea condiției în capătul de pornire: pentru $x=1$, membrul drept este $0$, cum trebuie.

Aici ne oprim. Funcția integrală are aplicații mult mai bogate — studiul monotoniei și al extremelor ei din semnul lui $f$, precum și limitele de tipul $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt$, rezolvate cu regulile lui L'Hôpital — dar toate acestea fac obiectul lecției următoare, despre aplicațiile funcției integrale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Funcția integrală calculată explicit

Se consideră $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_0^x(2t+1)dt$. Determinați expresia lui $F$ și verificați că $F^{\prime }=f$, unde $f(x)=2x+1$.

Rezolvare. Funcția $f$ e polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$; teorema se aplică. Cu formula Leibniz–Newton, $$F(x)=(t^2+t){|}_0^x=x^2+x.$$ Derivând, $F^{\prime }(x)=2x+1=f(x)$. ✓ Observă și că $F(0)=0$, cum trebuie: funcția integrală cu pornirea în $0$ se anulează în $0$.

Exemplul 2 — Logaritmul ca funcție integrală

Arătați că $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_1^x\frac{1}{t}dt$, este primitiva funcției $x\mapsto \frac{1}{x}$ care se anulează în $1$.

Rezolvare. Funcția $t\mapsto \frac{1}{t}$ e continuă pe intervalul $(0,+\infty )$, deci teorema se aplică: $F$ e derivabilă și $F^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$. În plus $F(1)=0$, prin convenția ${\int }_1^1=0$. Calculând, $F(x)=\ln |t|{|}_1^x=\ln x$ (pe $(0,+\infty )$ modulul e de prisos). ✓

Exemplul 3 — Derivata unei integrale cu capăt variabil

Calculați derivata funcției $H:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $H(x)={\int }_1^{x^2}\ln tdt$.

Rezolvare. Integrandul $f(t)=\ln t$ e continuu pe $(0,+\infty )$, iar $u(x)=x^2$ e derivabilă, cu valori în $(0,+\infty )$ pentru $x>0$. Aplicăm formula: $$H^{\prime }(x)=f(u(x))\cdot u^{\prime }(x)=\ln (x^2)\cdot 2x=2\ln x\cdot 2x=4x\ln x.$$ (Control numeric: pentru $x=2$, formula dă $8\ln 2\approx 5,5451774$, valoare confirmată prin derivare numerică.) ✓

Exemplul 4 — Ambele capete variabile

Calculați derivata funcției $K:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $K(x)={\int }_x^{x^2}\frac{1}{1+t^2}dt$.

Rezolvare. Integrandul e continuu pe $\mathbb{R}$. Spargem în punctul fix $1$: $$K(x)={\int }_1^{x^2}\frac{1}{1+t^2}dt-{\int }_1^x\frac{1}{1+t^2}dt.$$ Derivăm fiecare termen: primul dă $\frac{1}{1+(x^2{)}^2}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^4}$, al doilea dă $\frac{1}{1+x^2}$. Prin urmare $$K^{\prime }(x)=\frac{2x}{1+x^4}-\frac{1}{1+x^2}.$$ (Control numeric: pentru $x=2$, formula dă $\frac{4}{17}-\frac{1}{5}=\frac{3}{85}\approx 0,0352941$.) ✓

Exemplul 5 — Primitiva cu o valoare impusă

Determinați primitiva $G$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{1+x^4}$, cu proprietatea $G(2)=3$.

Rezolvare. Numitorul $1+x^4$ nu se anulează, deci $f$ e continuă pe $\mathbb{R}$ și, prin teoremă, admite primitive. Primitiva care se anulează în $2$ este $x\mapsto {\int }_2^x\frac{1}{1+t^4}dt$, deci cea care ia valoarea $3$ în $2$ este $$G(x)={\int }_2^x\frac{1}{1+t^4}dt+3.$$ Verificare: $G^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^4}=f(x)$ și $G(2)=0+3=3$. Unicitatea vine din faptul că două primitive cu aceeași valoare într-un punct diferă printr-o constantă nulă. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{x^2}$, și $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_0^x{e}^{t^2}dt$. a) Arătați că $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$ și că $F$ este o primitivă a lui $f$. b) Determinați primitiva $G$ a lui $f$ cu proprietatea $G(0)=5$. c) Calculați derivata funcției $H:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $H(x)={\int }_0^{x^3}{e}^{t^2}dt$.

Rezolvare.

a) Funcția $x\mapsto x^2$ e continuă pe $\mathbb{R}$, exponențiala e continuă pe $\mathbb{R}$, deci compusa $f(x)=e^{x^2}$ e continuă pe $\mathbb{R}$. Prin teorema de existență a primitivelor unei funcții continue, $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$, iar funcția integrală $F(x)={\int }_0^x{e}^{t^2}dt$ este derivabilă, cu $F^{\prime }(x)=e^{x^2}=f(x)$: este deci o primitivă a lui $f$. ✓

b) Cum $F(0)=0$, primitiva căutată este $G=F+5$, adică $G(x)={\int }_0^x{e}^{t^2}dt+5$. Într-adevăr $G^{\prime }=F^{\prime }=f$ și $G(0)=5$. ✓

c) Aplicăm formula de derivare cu capăt variabil, cu $u(x)=x^3$ și $u^{\prime }(x)=3x^2$: $$H^{\prime }(x)=f(u(x))u^{\prime }(x)=e^{(x^3{)}^2}\cdot 3x^2=3x^2{e}^{x^6}.$$ (Control numeric: pentru $x=1$, formula dă $3e\approx 8,1548455$, valoare confirmată prin derivare numerică.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. Când folosești teorema, scrie întâi verificarea continuității integrandului — este pasul punctat separat în bareme.

1. Calculează expresia funcției $F(x)={\int }_0^{x}2tdt$ și derivata ei.

2. Calculează expresia funcției $F(x)={\int }_0^{x}3t^{2}dt$ și derivata ei.

3. Calculează expresia funcției $F(x)={\int }_0^x\cos tdt$ și derivata ei.

4. Fie $F(x)={\int }_1^x{t}^{3}dt$. Calculează $F(2)$ și $F^{\prime }(2)$.

5. Fie $F(x)={\int }_0^x{e}^{t^2}dt$. Calculează $F(0)$ și $F^{\prime }(1)$.

6. Calculează derivata funcției $H(x)={\int }_0^{x^2}\sin tdt$.

7. Calculează derivata funcției $H(x)={\int }_1^{3x}\ln tdt$, pentru $x>0$.

8. Calculează derivata funcției $H(x)={\int }_0^{\sin x}(t^2+1)dt$.

9. Calculează derivata funcției $K(x)={\int }_x^{2x}{e}^{t^2}dt$.

10. Determină primitiva $G$ a funcției $f(x)=\frac{1}{1+x^6}$ cu proprietatea $G(0)=0$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ depinde și de variabila $t$."

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție continuă pe un interval admite primitive pe acel interval."

13. Arată că $F(x)={\int }_0^x\frac{1}{1+t^2}dt$ este o primitivă a funcției $x\mapsto \frac{1}{1+x^2}$ și deduce că $F(x)=\mathrm{arctg}x$.

14. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(t)=0$ pentru $t\le 0$ și $f(t)=1$ pentru $t>0$. Arată că $F(x)={\int }_{-1}^{x}f(t)dt$ este continuă pe $\mathbb{R}$, dar nu e derivabilă în $0$. De ce nu contrazice acest lucru teorema lecției?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{1+x^4}$, și $F(x)={\int }_0^x\sqrt{1+t^4}dt$. a) Calculează $F(0)$ și $F^{\prime }(x)$. b) Arată că $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$. c) Calculează derivata funcției $H(x)={\int }_0^{x^2}\sqrt{1+t^4}dt$.

16. (Problemă aplicată.) Un vehicul pornește din repaus, iar accelerația sa la momentul $t$ este $a(t)=6t$ (metri pe secundă la pătrat). Viteza la momentul $x$ este $v(x)={\int }_0^{x}a(t)dt$. Determină expresia lui $v$ și verifică $v^{\prime }=a$.

17. Determină funcția continuă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ știind că ${\int }_0^{x}f(t)dt=x^2+3x$ pentru orice $x$ real.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continuă, cu proprietatea că ${\int }_0^{x}f(t)dt=f(x)-1$ pentru orice $x$ real. Arată că $f$ este derivabilă, că $f^{\prime }=f$ și deduce că $f(x)=e^x$.

Răspunsuri și explicații

1. $F(x)=t^2{|}_0^x=x^2$, deci $F^{\prime }(x)=2x$, adică integrandul evaluat în $x$ — cum garantează teorema.

2. $F(x)=t^3{|}_0^x=x^3$, deci $F^{\prime }(x)=3x^2$.

3. $F(x)=\sin t{|}_0^x=\sin x$, deci $F^{\prime }(x)=\cos x$.

4. $F(2)=\frac{t^4}{4}{|}_1^2=\frac{16-1}{4}=\frac{15}{4}=3,75$. Pentru derivată nu e nevoie de expresia lui $F$: $F^{\prime }(x)=x^3$, deci $F^{\prime }(2)=8$.

5. $F(0)=0$, prin convenția ${\int }_0^0=0$. Pentru derivată, $F^{\prime }(x)=e^{x^2}$, deci $F^{\prime }(1)=e\approx 2,7182818$. Expresia lui $F$ nu se poate scrie cu funcțiile din tabel, dar întrebarea nici nu o cere.

6. Cu $u(x)=x^2$, $u^{\prime }(x)=2x$: $H^{\prime }(x)=\sin (x^2)\cdot 2x=2x\sin (x^2)$.

7. Cu $u(x)=3x$, $u^{\prime }(x)=3$: $H^{\prime }(x)=\ln (3x)\cdot 3=3\ln (3x)$.

8. Cu $u(x)=\sin x$, $u^{\prime }(x)=\cos x$: $H^{\prime }(x)=({\sin }^{2}x+1)\cos x$.

9. Spargem în punctul $0$: $K(x)={\int }_0^{2x}{e}^{t^2}dt-{\int }_0^x{e}^{t^2}dt$, deci $K^{\prime }(x)=e^{(2x{)}^2}\cdot 2-e^{x^2}=2e^{4x^2}-e^{x^2}$.

10. Funcția $f$ e continuă pe $\mathbb{R}$ ($1+x^6>0$), deci admite primitive. Primitiva care se anulează în $0$ este chiar funcția integrală cu pornirea în $0$: $G(x)={\int }_0^x\frac{1}{1+t^6}dt$.

11. Fals. Variabila $t$ este mută: ea parcurge intervalul de integrare și dispare după integrare. Rezultatul depinde doar de $a$ și de $x$. Din același motiv, ${\int }_a^{x}f(t)dt$ și ${\int }_a^{x}f(u)du$ sunt aceeași funcție de $x$.

12. Adevărat. Este chiar consecința teoremei lecției: funcția integrală $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ este o primitivă. Atenție însă la sensul implicației: reciproca e falsă, există funcții discontinue care admit primitive.

13. Integrandul $\frac{1}{1+t^2}$ e continuu pe $\mathbb{R}$, deci $F$ e derivabilă cu $F^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$. Cum și $\mathrm{arctg}$ are aceeași derivată pe $\mathbb{R}$, cele două funcții diferă printr-o constantă. În $x=0$ avem $F(0)=0=\mathrm{arctg}0$, deci constanta e nulă și $F(x)=\mathrm{arctg}x$. (Control numeric: pentru $x=2$, integrala numerică dă $1,1071487=\mathrm{arctg}2$.)

14. Funcția $f$ e mărginită, cu un singur punct de discontinuitate, deci integrabilă pe orice interval compact. Prin aditivitate la interval, $F(x)=0$ pentru $x\le 0$ și $F(x)=x$ pentru $x>0$. $F$ e continuă (cele două ramuri se lipesc în $0$ la valoarea $0$), dar $F_s^{\prime }(0)=0$ și $F_d^{\prime }(0)=1$, deci $F$ nu e derivabilă în $0$. Nu există contradicție: teorema cere $f$ continuă, iar aici $f$ are un salt exact în $0$.

15. a) $F(0)=0$; integrandul $\sqrt{1+t^4}$ e continuu pe $\mathbb{R}$ (radicand strict pozitiv), deci $F^{\prime }(x)=\sqrt{1+x^4}$. b) Fiind continuă pe $\mathbb{R}$, $f$ admite primitive, iar $F$ este una dintre ele. c) Cu $u(x)=x^2$, $u^{\prime }(x)=2x$: $H^{\prime }(x)=\sqrt{1+(x^2{)}^4}\cdot 2x=2x\sqrt{1+x^8}$.

16. $v(x)={\int }_0^{x}6tdt=3t^2{|}_0^x=3x^2$ metri pe secundă. Verificare: $v^{\prime }(x)=6x=a(x)$, ceea ce confirmă teorema — viteza e primitiva accelerației care se anulează la momentul $0$, adică pornirea din repaus.

17. Membrul stâng este o funcție integrală cu integrandul continuu, deci e derivabil, cu derivata $f(x)$. Derivând egalitatea, $f(x)=(x^2+3x{)}^{\prime }=2x+3$. Verificare: ${\int }_0^x(2t+3)dt=(t^2+3t){|}_0^x=x^2+3x$. ✓

18. Membrul stâng e derivabil (funcție integrală cu integrand continuu), deci și membrul drept, $f(x)-1$, este derivabil; prin urmare $f$ e derivabilă. Derivând egalitatea obținem $f(x)=f^{\prime }(x)$ pentru orice $x$. Punând $x=0$ în egalitatea inițială: $0=f(0)-1$, deci $f(0)=1$. Considerăm $g(x)=f(x)e^{-x}$; atunci $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)e^{-x}-f(x)e^{-x}=0$ pe $\mathbb{R}$, deci $g$ e constantă (consecința teoremei lui Lagrange). Cum $g(0)=f(0)=1$, rezultă $f(x)e^{-x}=1$, adică $f(x)=e^x$. Verificare: ${\int }_0^x{e}^{t}dt=e^x-1$. ✓

De reținut

• Funcția integrală a lui $f$ cu pornirea în $a$ este $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$; variabila de sub integrală se notează $t$, iar $F(a)=0$.
• Teorema de existență a primitivelor unei funcții continue: dacă $f$ e continuă pe intervalul $I$, atunci $F$ e derivabilă pe $I$ și $F^{\prime }=f$; în particular, orice funcție continuă pe un interval admite primitive.
• Demonstrația are trei pași: aditivitatea la interval, teorema de medie pe intervalul dintre $x$ și $x+h$, apoi trecerea la limită folosind continuitatea lui $f$.
• Derivarea integralei cu capăt variabil: ${\left({\int }_a^{u(x)}f(t)dt\right)}^{\prime }=f(u(x))u^{\prime }(x)$, iar cu ambele capete mobile se scad cele două contribuții.
• Primitiva cu o valoare impusă se scrie direct: primitiva lui $f$ cu $G(x_0)=k$ este $G(x)={\int }_{x_0}^{x}f(t)dt+k$.

Greșeli frecvente

• Scrii ${\int }_a^{x}f(x)dx$. Litera $x$ ar fi în același timp capătul de integrare și variabila mută. Corect: ${\int }_a^{x}f(t)dt$, cu $t$ sub integrală.
• Uiți factorul $u^{\prime }(x)$. Derivata lui ${\int }_0^{x^2}\sin tdt$ nu este $\sin (x^2)$, ci $\sin (x^2)\cdot 2x$. Formula este o regulă a lanțului, nu o simplă înlocuire.
• Aplici teorema unei funcții discontinue. Pentru funcția în trepte din exercițiul $14$, funcția integrală există și e continuă, dar nu e derivabilă în punctul de salt. Ipoteza de continuitate se verifică întâi.
• Confunzi cele două teoreme despre primitive. Teorema lui Darboux spune ce funcții nu admit primitive; teorema acestei lecții spune că funcțiile continue admit. Continuitatea e suficientă, nu necesară.
• Crezi că o primitivă „nu există" dacă nu are formulă. Pentru $e^{-x^2}$ nu există o exprimare cu funcțiile din tabelul primitivelor, dar primitiva există și se scrie ${\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$ — un răspuns complet și acceptat.

Aplică acasă

1. Aria care crește. Desenează pe hârtie milimetrică graficul funcției $f(t)=t+1$ pe $[0,4]$. Pentru $x=1,2,3,4$ calculează aria de sub grafic de la $0$ la $x$ numărând pătrățelele, apoi compară cu valorile funcției $F(x)=\frac{x^2}{2}+x$. Verifică pe desen că viteza cu care crește aria, atunci când $x$ înaintează cu o unitate, se apropie de înălțimea graficului în acel punct.

2. Tabelul unei primitive fără formulă. Cu o foaie de calcul, aproximează $F(x)={\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$ pentru $x=0,5;1;1,5;2$, folosind sume cu $100$ de dreptunghiuri. Reprezintă punctele obținute și observă că graficul crește tot mai încet — semn că $F^{\prime }(x)=e^{-x^2}$ scade către zero.

3. Trei derivate în trei minute. Scrie pe fișe funcțiile ${\int }_0^{x^2}\sqrt{1+t^2}dt$, ${\int }_1^{e^x}\ln tdt$ și ${\int }_x^{x^3}\frac{1}{1+t^2}dt$ și derivează-le, cerându-i unui coleg să verifice că nu ai uitat niciun factor $u^{\prime }(x)$.

Pentru părinți și profesori

Această lecție închide arcul deschis de lecția despre teorema lui Darboux: acolo s-a enunțat, fără demonstrație, că funcțiile continue admit primitive; aici se demonstrează, cu teorema de medie. Programa cere explicit „stabilirea cu ajutorul continuității a existenței primitivelor unei funcții" (competența XII.CS.1.5) și „utilizarea teoremei de existență a primitivelor unei funcții continue în diferite contexte matematice, inclusiv determinarea unei primitive cu anumite proprietăți" (XII.CS.4.6).

Ce verifică lecția: (1) definiția funcției integrale, cu variabila $t$ sub integrală; (2) enunțul teoremei și cele trei consecințe ale ei; (3) demonstrația în trei pași; (4) derivarea unei integrale cu capăt variabil, cu factorul $u^{\prime }(x)$; (5) scrierea primitivei cu o valoare impusă; (6) recunoașterea situației în care continuitatea cade.

Întrebări bune de control: „De ce nu putem scrie $x$ și sub integrală?", „Unde intervine teorema de medie în demonstrație?", „Ce se schimbă dacă integrandul are un salt?". La BAC M1, funcția integrală apare aproape în fiecare sesiune, în Subiectul al III-lea: fie ca derivare cu capăt variabil, fie ca determinare a unei primitive cu o condiție. Semn că elevul a înțeles: nu încearcă să calculeze primitiva când ea nu are formulă, ci lucrează direct cu $F^{\prime }=f$.

Întrebări frecvente

Ce este funcția integrală? Este funcția obținută lăsând liber capătul de sus al unei integrale definite: $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$, cu $a$ fixat. Fiecărei valori a lui $x$ îi corespunde numărul dat de integrala de la $a$ la $x$. Prin convenție, $F(a)=0$, iar pentru $x<a$ valorile se obțin din regula de inversare a limitelor.

De ce se scrie $t$ sub integrală și $x$ la capătul de sus? Pentru că variabila de integrare este mută: ea dispare după integrare, iar rezultatul depinde doar de capete. Dacă am folosi $x$ în ambele roluri, aceeași literă ar desemna simultan capătul fixat al integrării și punctul care parcurge intervalul, ceea ce face scrierea ambiguă și e sancționat la corectare.

Ce spune teorema de existență a primitivelor unei funcții continue? Spune că, dacă $f$ este continuă pe un interval $I$ și $a\in I$, atunci funcția $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ este derivabilă pe $I$ și $F^{\prime }(x)=f(x)$. De aici rezultă imediat că orice funcție continuă pe un interval admite primitive, iar $F$ este primitiva care se anulează în $a$.

Cum derivezi o integrală cu limita superioară variabilă? Înlocuiești variabila de integrare cu expresia de la capătul de sus și înmulțești cu derivata acesteia: ${\left({\int }_a^{u(x)}f(t)dt\right)}^{\prime }=f(u(x))u^{\prime }(x)$. Dacă și capătul de jos depinde de $x$, scazi contribuția lui: rezultatul devine $f(v(x))v^{\prime }(x)-f(u(x))u^{\prime }(x)$.

Cum determin primitiva care trece printr-un punct dat? Folosești formula $G(x)={\int }_{x_0}^{x}f(t)dt+k$, unde $x_0$ și $k$ sunt datele problemei. Derivata ei este $f$, iar valoarea în $x_0$ este exact $k$. Este singura primitivă cu această proprietate, pentru că două primitive care coincid într-un punct coincid pe tot intervalul.

De ce este esențială continuitatea în această teoremă? Pentru că demonstrația folosește teorema de medie pe intervale foarte scurte, iar aceasta cere continuitate. Fără ea, funcția integrală poate exista și poate fi continuă, dar nu mai e neapărat derivabilă: pentru o funcție cu salt în $0$, funcția integrală are un colț acolo, cu derivate laterale diferite.

Teorema aceasta înlocuiește formula Leibniz–Newton? Nu. Ea oferă un al doilea drum către formulă, valabil doar pentru funcții continue: dacă $G$ e o primitivă, atunci $G$ diferă printr-o constantă de funcția integrală, iar diferența $G(b)-G(a)$ dă integrala. Demonstrația generală, pentru funcții integrabile care admit primitive, rămâne cea cu sume Riemann.