Funcții care admit primitive: pe scurt

„$f$ admite primitive pe intervalul $I$” înseamnă că există $F$ derivabilă pe $I$ cu $F^{\prime }=f$ — o întrebare de existență, nu de calcul. Instrumentul care o rezolvă este teorema lui Darboux: derivata oricărei funcții derivabile are proprietatea valorilor intermediare, chiar dacă nu este continuă. Pe scurt: derivata nu sare peste valori. Demonstrația folosește teorema lui Fermat, plus teorema lui Weierstrass pentru funcții continue pe un interval închis și mărginit, care se admite.

De aici cele două teste negative. Consecința 1: o funcție cu o discontinuitate de speța I — ambele limite laterale finite, dar diferite sau diferite de valoarea funcției — nu admite primitive pe niciun interval care conține acel punct; este testul folosit la aproape toate exercițiile de examen. Consecința 2: dacă imaginea funcției nu este interval, funcția nu admite primitive.

Sensul pozitiv vine din teorema de existență: orice funcție continuă pe un interval admite primitive acolo. Reciproca este falsă — există funcții discontinue care admit primitive. La exercițiile cu parametru, cerința „determinați $a$ pentru care $f$ admite primitive” cere ambele ramuri ale discuției: pentru valoarea găsită, continuitate și existență; pentru celelalte, discontinuitate de speța I și neexistență.

Exerciții din această mini-lecție

1. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x+1,& x\le 1\\ x-2,& x>1\end{array}$, admite primitive pe $\mathbb{R}$?

   • a) da, fiindcă imaginea ei este interval
   • b) nu se poate decide fără să calculăm primitiva
   • c) da, fiindcă ambele ramuri sunt funcții elementare
   • d) nu, fiindcă are o discontinuitate de speța I în $x=1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) nu, fiindcă are o discontinuitate de speța I în $x=1$

   Limitele laterale în $1$ sunt $l_s(1)=4$ și $l_d(1)=-1$, amândouă finite și diferite, deci $x=1$ este punct de discontinuitate de speța I. Prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, $f$ nu admite primitive pe niciun interval care îl conține pe $1$; faptul că ramurile sunt elementare nu ajută la nimic.

2. Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}4x-1,& x\le 3\\ ax+2,& x>3\end{array}$, admite primitive pe $\mathbb{R}$.

   • a) $a=-3$
   • b) nicio valoare
   • c) $a=3$
   • d) $a=11$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $a=3$

   Pe fiecare ramură funcția este continuă, deci singurul punct problematic este $3$. Din $l_s(3)=11$ și $l_d(3)=3a+2$ se obține $3a+2=11$, deci $a=3$; atunci $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și admite primitive. Pentru $a\ne 3$ apare o discontinuitate de speța I, deci $f$ nu admite primitive.

3. Teorema lui Darboux afirmă că:

   • a) derivata unei funcții derivabile pe un interval are proprietatea valorilor intermediare
   • b) orice funcție cu proprietatea valorilor intermediare este continuă
   • c) orice funcție continuă pe un interval este derivabilă
   • d) derivata unei funcții derivabile pe un interval este continuă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) derivata unei funcții derivabile pe un interval are proprietatea valorilor intermediare

   Ipoteza este doar derivabilitatea lui $F$, iar concluzia privește $f=F^{\prime }$: ea ia toate valorile intermediare, deși poate fi discontinuă. Dacă s-ar cere și continuitatea derivatei, concluzia ar fi banală și teorema și-ar pierde interesul. Reciproca — „orice funcție cu proprietatea valorilor intermediare este continuă” — este falsă.