Funcții care admit primitive: teorema lui Darboux și funcțiile continue

Până acum, în lecțiile de clasa a 12-a despre primitive, întrebarea a fost mereu „care este primitiva?", niciodată „există vreuna?". Tabelul a răspuns de fiecare dată, pentru că toate funcțiile de acolo sunt continue și cuminți. Dar dacă cineva îți dă funcția-semn, care valorează $-1$ pentru numerele negative și $1$ pentru celelalte, și îți cere primitivele ei, cât timp o vei căuta? Răspunsul cinstit este: la nesfârșit, pentru că nu există. Nicio funcție derivabilă pe $\mathbb{R}$ nu are drept derivată această funcție.

Lecția de față dă criteriul care separă cele două lumi. El se sprijină pe un rezultat frumos și surprinzător al matematicianului francez Jean Gaston Darboux: derivata unei funcții, chiar dacă nu este continuă, se comportă în privința valorilor intermediare exact ca o funcție continuă. De aici vor curge, în câteva rânduri, cele două teste prin care se arată că o funcție nu admite primitive — teste pe care subiectele de Bacalaureat M1 le cer aproape la fiecare sesiune — și, în cealaltă direcție, garanția că orice funcție continuă pe un interval are primitive.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți exact ce înseamnă că o funcție admite primitive pe un interval și să deosebești întrebarea de existență de întrebarea de calcul.
• Vei ști să enunți și să demonstrezi teorema lui Darboux, folosind teorema lui Fermat din clasa a XI-a.
• Vei ști să arăți că o funcție cu o discontinuitate de speța I nu admite primitive pe niciun interval care conține punctul respectiv.
• Vei ști să folosești al doilea test: dacă imaginea funcției nu este interval, funcția nu admite primitive.
• Vei ști să invoci corect teorema de existență: orice funcție continuă pe un interval admite primitive acolo.
• Vei ști să determini parametrii pentru care o funcție definită pe ramuri admite primitive.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că o funcție admite primitive?

A admite primitive pe intervalul $I$ înseamnă, pentru o funcție $f:I\to \mathbb{R}$, că există măcar o funcție $F:I\to \mathbb{R}$, derivabilă pe $I$, cu $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$; o astfel de funcție $F$ se numește primitivă a lui $f$, iar noțiunea a fost introdusă la lecția despre noțiunea de primitivă.

Reține de la început formularea: „$f$ admite primitive pe $I$". Nu se spune „$f$ este primitivabilă" și nu se spune „$f$ are primitivă", la singular — dacă are una, are o infinitate, pentru că orice funcție de forma $F+c$ este tot primitivă. Mulțimea acestor funcții a primit deja un nume la lecția despre integrala nedefinită și proprietățile ei: $\mathcal{H}(I)$ este mulțimea funcțiilor $f:I\to \mathbb{R}$ care admit primitive pe $I$. Întreaga lecție de față răspunde la o singură întrebare: cine intră în $\mathcal{H}(I)$ și cine nu?

Întrebarea de existență nu e o subtilitate teoretică. Ea decide dacă mai are rost să calculezi. Iar răspunsul nu este „da" pentru orice funcție: există funcții perfect respectabile care nu sunt derivata nimănui. Motivul e că derivatele nu pot fi oricum. O funcție oarecare poate să sară de la o valoare la alta cât de brusc vrea; o derivată, nu — și exact acest lucru îl spune teorema din centrul lecției.

Două lucruri se cer deosebite cu grijă, pentru că se confundă des:

• $f$ admite primitive înseamnă că $f$ este derivata cuiva;
• $f$ este derivabilă înseamnă că $f$ are derivată.

Sunt afirmații diferite, dar nu independente: derivabilitatea o implică pe cealaltă (o funcție derivabilă este continuă, deci admite primitive), pe când reciproca este falsă — funcția $f(x)=|x|$ admite primitive pe $\mathbb{R}$, fără să fie derivabilă în $0$. Iar a admite primitive nu cere nici continuitate: vezi subsecțiunea 8.

2. De ce avem nevoie de un rezultat despre funcțiile continue pe un interval închis?

Demonstrația care urmează are nevoie de un punct de extrem din interiorul unui interval, ca să poată invoca teorema lui Fermat. Ca să știm că un asemenea punct există, folosim următorul rezultat.

Teorema lui Weierstrass (marginile unei funcții continue). Dacă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este continuă pe intervalul închis și mărginit $[a,b]$, atunci $f$ este mărginită și își atinge marginile: există $u,v\in [a,b]$ astfel încât $f(u)\le f(x)\le f(v)$ pentru orice $x\in [a,b]$. Se admite fără demonstrație.

⚠️ Dezambiguizare de nume. Numele lui Weierstrass apare și în clasa a XI-a, la teorema despre șiruri monotone și mărginite, care spune cu totul altceva: orice șir monoton și mărginit este convergent. Cele două enunțuri sunt rezultate diferite, care poartă același nume; ori de câte ori le folosești în aceeași rezolvare, spune despre care este vorba.

Reține și de ce ipotezele sunt esențiale. Pe intervalul deschis $(0,1)$, funcția $f(x)=x$ este continuă și mărginită, dar nu își atinge nici marginea inferioară, nici pe cea superioară. Pe $(0,1]$, funcția $f(x)=\frac{1}{x}$ este continuă și nemărginită. Intervalul închis și mărginit nu poate fi înlocuit cu altceva.

3. Ce spune teorema lui Darboux?

Teorema lui Darboux. Fie $I$ un interval și $f:I\to \mathbb{R}$ o funcție derivabilă pe $I$. Atunci derivata $f^{\prime }$ are proprietatea valorilor intermediare pe $I$: pentru orice $a,b\in I$ cu $a<b$ și pentru orice $\lambda$ cuprins între $f^{\prime }(a)$ și $f^{\prime }(b)$, există $c\in (a,b)$ astfel încât $f^{\prime }(c)=\lambda$.

Enunțul merită citit de două ori, pentru că spune ceva mai tare decât pare.

(a) Nu se cere ca $f^{\prime }$ să fie continuă. Proprietatea valorilor intermediare, studiată la clasa a XI-a în lecția despre proprietatea valorilor intermediare, a fost întâlnită acolo ca o consecință a continuității. Teorema lui Darboux arată că ea poate apărea și fără continuitate: orice derivată o are, continuă sau nu. Există derivate discontinue — vezi subsecțiunea 8 —, dar nici măcar ele nu pot sări peste valori.

(b) Reciproca este falsă. O funcție care are proprietatea valorilor intermediare nu este neapărat derivata cuiva. Teorema ne dă un test necesar, nu unul suficient; el folosește la a spune „nu", nu la a spune „da".

(c) Numele. La clasă spunem „teorema lui Darboux", iar proprietatea din concluzie se numește proprietatea valorilor intermediare (sau proprietatea lui Darboux). Formularea scurtă care se reține este: derivata nu sare peste valori.

4. Cum se demonstrează teorema lui Darboux?

Fie $a<b$ în $I$ și $\lambda$ strict între $f^{\prime }(a)$ și $f^{\prime }(b)$; presupunem, pentru fixarea ideilor, că $f^{\prime }(a)<\lambda <f^{\prime }(b)$ (cazul celălalt se tratează identic, schimbând minimul cu maximul). Dacă $\lambda$ este chiar una dintre valorile $f^{\prime }(a)$ sau $f^{\prime }(b)$, nu avem nimic de demonstrat.

Pasul 1 — funcția ajutătoare. Considerăm $g:I\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)-\lambda x$. Fiind diferență de funcții derivabile, $g$ este derivabilă pe $I$ și $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\lambda$. Din alegerea lui $\lambda$ rezultă $$g^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)-\lambda <0,g^{\prime }(b)=f^{\prime }(b)-\lambda >0.$$ Ținta noastră devine: există $c\in (a,b)$ cu $g^{\prime }(c)=0$.

Pasul 2 — existența unui punct de minim. Funcția $g$ este derivabilă, deci continuă pe $[a,b]$. Prin teorema lui Weierstrass din secțiunea 2, $g$ își atinge minimul pe $[a,b]$: există $c\in [a,b]$ cu $g(c)\le g(x)$ pentru orice $x\in [a,b]$.

Pasul 3 — punctul de minim este interior. Aici lucrează semnele derivatelor din capete.

Din $g^{\prime }(a)<0$ și din definiția derivatei, $\underset{x\to a}{\lim }\frac{g(x)-g(a)}{x-a}<0$, deci raportul este negativ pentru $x$ suficient de aproape de $a$. Luând $x>a$, numitorul este pozitiv, deci $g(x)-g(a)<0$, adică $g(x)<g(a)$. Prin urmare $a$ nu este punct de minim, deci $c\ne a$.

Din $g^{\prime }(b)>0$, raportul $\frac{g(x)-g(b)}{x-b}$ este pozitiv pentru $x$ aproape de $b$. Luând $x<b$, numitorul este negativ, deci $g(x)-g(b)<0$, adică $g(x)<g(b)$. Prin urmare nici $b$ nu este punct de minim, deci $c\ne b$.

Rămâne $c\in (a,b)$: punctul de minim este din interiorul intervalului.

Pasul 4 — teorema lui Fermat. Punctul $c$ este punct de minim (deci punct de extrem local) din interiorul intervalului, iar $g$ este derivabilă în $c$. Teorema lui Fermat, demonstrată la clasa a XI-a în lecția despre teorema lui Fermat și punctele de extrem, dă $g^{\prime }(c)=0$, adică $f^{\prime }(c)=\lambda$. $■$

Control pe un exemplu. Pentru $f(x)=\frac{x^3}{3}-x$ avem $f^{\prime }(x)=x^2-1$. Pe intervalul $[-2,0]$, $f^{\prime }(-2)=3$ și $f^{\prime }(0)=-1$; valoarea $\lambda =1$ este între ele, iar ecuația $c^2-1=1$ are în $(-2,0)$ soluția $c=-\sqrt{2}\approx -1,41$. (Verificat numeric.)

5. Cum arăți că o funcție nu admite primitive?

Prima consecință este cel mai folosit instrument al capitolului.

Consecința 1 a teoremei lui Darboux (discontinuitățile de speța I). Dacă $f:I\to \mathbb{R}$ admite primitive pe intervalul $I$, atunci $f$ nu are pe $I$ niciun punct de discontinuitate de speța I.

⚠️ Dezambiguizare de nume. Numele „Consecința 1" a fost deja folosit în acest capitol, la lecția despre noțiunea de primitivă, pentru Consecința 1 a teoremei lui Lagrange (funcția cu derivata nulă pe un interval este constantă). Cele două nu au nicio legătură între ele. De aceea, în tot restul unității, consecințele de mai jos se citează cu numele teoremei-mamă: Consecința 1 a teoremei lui Darboux și Consecința 2 a teoremei lui Darboux.

Reamintim clasificarea fixată la clasa a XI-a, în lecția despre punctele de discontinuitate: un punct $x_0$ este de speța I dacă ambele limite laterale există și sunt finite (dar cel puțin una diferă de $f(x_0)$, ori diferă între ele).

Demonstrația. Presupunem că $f$ admite primitiva $F$ pe $I$, deci $f=F^{\prime }$, și fie $x_0$ interior lui $I$ în care $\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }f(x)=L$ există și este finită. Arătăm că $L=f(x_0)$.

Să presupunem prin absurd că $L\ne f(x_0)$; tratăm cazul $L>f(x_0)$ (celălalt e la fel). Alegem un număr $\lambda$ cu $f(x_0)<\lambda <L$. Din definiția limitei la dreapta, luând $\epsilon =L-\lambda >0$, există $\delta >0$ astfel încât $$f(x)>\lambda \text{pentru orice }x\in (x_0,x_0+\delta ).$$ Fixăm acum un punct $b=x_0+\frac{\delta }{2}$. Pe intervalul $[x_0,b]$ funcția $f=F^{\prime }$ ia valoarea $f(x_0)<\lambda$ în capătul stâng și valoarea $f(b)>\lambda$ în capătul drept. Teorema lui Darboux dă un punct $c\in (x_0,b)$ cu $f(c)=\lambda$. Dar $c$ se află în $(x_0,x_0+\delta )$, unde toate valorile sunt strict mai mari decât $\lambda$ — contradicție.

Așadar $L=f(x_0)$; la fel se arată că și limita la stânga este $f(x_0)$. Prin urmare $f$ este continuă în $x_0$, deci nu poate avea acolo o discontinuitate de speța I. $■$

Cum se folosește la examen. Contrapoziția este rețeta de lucru: dacă găsești un punct în care cele două limite laterale sunt finite și nu coincid amândouă cu valoarea funcției, atunci funcția nu admite primitive pe niciun interval care conține acel punct. Redactarea completă are trei rânduri: calculezi limita la stânga, calculezi limita la dreapta, constați că sunt finite și diferite (sau diferite de $f(x_0)$), invoci Consecința 1 a teoremei lui Darboux.

6. Consecința 2 a teoremei lui Darboux: imaginea trebuie să fie interval

Consecința 2 a teoremei lui Darboux (imaginea). Dacă $f:I\to \mathbb{R}$ admite primitive pe intervalul $I$, atunci $f(I)$ este un interval.

Demonstrația este teorema lui Darboux citită direct. Fie $y_1,y_2\in f(I)$, $y_1<y_2$, și $\lambda$ între ele. Există $a,b\in I$ cu $f(a)=y_1$ și $f(b)=y_2$. Cum $f=F^{\prime }$ cu $F$ derivabilă, teorema lui Darboux aplicată pe intervalul determinat de $a$ și $b$ dă un punct $c$ între ele cu $f(c)=\lambda$, deci $\lambda \in f(I)$. O mulțime de numere reale care conține, odată cu două numere, toate numerele dintre ele este un interval. $■$

Contrapoziția dă al doilea test: dacă imaginea nu este interval, funcția nu admite primitive. El este util mai ales la funcțiile care iau puține valori, cum sunt funcția-semn (numită și signum) sau partea întreagă. Cele două teste nu se exclud — se completează: la funcțiile pe ramuri, cel mai rapid este de obicei Consecința 1 a teoremei lui Darboux; la funcțiile cu valori „în trepte", Consecința 2.

7. Când admite sigur o funcție primitive?

Până acum am adunat numai motive de „nu". Iată și garanția pozitivă, care acoperă aproape tot ce vei întâlni în practică.

Teorema de existență. Orice funcție continuă pe un interval admite primitive pe acel interval.

Enunțul se folosește de la această lecție înainte; demonstrația lui vine mai târziu, la lecția despre teorema de existență a primitivelor unei funcții continue, pentru că are nevoie de un instrument care încă nu a fost construit. Până atunci îl invoci prin nume, exact așa cum invoci teorema lui Rolle sau regulile lui L'Hôpital.

Teorema explică de ce tabelul primitivelor a funcționat fără nicio grijă: toate funcțiile din tabel sunt continue pe intervalele indicate acolo. Ea explică și de ce, la funcțiile definite pe ramuri, prima verificare este continuitatea în punctul de racord — subiectul lecției despre primitivele funcțiilor definite pe ramuri.

⚠️ Atenție la sensul implicației. Teorema spune „continuă $\Rightarrow$ admite primitive". Ea nu spune „admite primitive $\Rightarrow$ continuă". Reciproca este falsă, iar contraexemplul e în secțiunea următoare.

8. Reciproca este falsă. Cele trei întrebări

Există funcții discontinue care totuși admit primitive. Contraexemplul clasic pornește de la funcția $$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0.\end{array}$$ Se arată că $F$ este derivabilă pe tot $\mathbb{R}$, inclusiv în $0$, unde $F^{\prime }(0)=0$ (rapoartele incrementale sunt cuprinse între $-|x|$ și $|x|$), iar pentru $x\ne 0$ $$F^{\prime }(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}.$$ Derivata $f=F^{\prime }$ nu are limită în $0$, pentru că termenul $\cos \frac{1}{x}$ oscilează la nesfârșit. Deci $f$ este discontinuă în $0$ — dar admite primitive, chiar pe $F$. Observă că discontinuitatea nu este de speța I: limitele laterale nici nu există, deci Consecința 1 a teoremei lui Darboux nu se aplică, iar contraexemplul nu o contrazice. (Verificat numeric: două șiruri care tind la $0$ dau valorile $-1$ și $+1$.)

Menționăm acest exemplu ca să fie limpede unde se opresc criteriile noastre; el nu se cere la Bacalaureat M1 și nu apare în exerciții.

Cele trei întrebări cu care decizi, în practică, dacă o funcție admite primitive pe un interval $I$:

1. Este $f$ continuă pe $I$? Dacă da, admite primitive — teorema de existență. Gata.
2. Are $f$ un punct de discontinuitate de speța I în $I$? Dacă da, nu admite primitive — Consecința 1 a teoremei lui Darboux.
3. Este $f(I)$ interval? Dacă nu, nu admite primitive — Consecința 2 a teoremei lui Darboux.

Dacă niciuna dintre cele trei întrebări nu decide, ești în afara cerințelor de examen.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O funcție pe ramuri, cu salt

Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2,& x\le 0\\ x^2,& x>0\end{array}$ nu admite primitive pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Singurul punct în care continuitatea e în discuție este $0$. Calculăm: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }f(x)=0+2=2,f(0)=2,\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=0.$$ Ambele limite laterale există și sunt finite, dar sunt diferite ($2\ne 0$), deci $0$ este punct de discontinuitate de speța I. Prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, $f$ nu admite primitive pe niciun interval care îl conține pe $0$, în particular nu admite primitive pe $\mathbb{R}$. ✓

Observă că pe $(-\infty ,0]$ și pe $(0,+\infty )$ luate separat funcția este continuă și admite primitive; obstrucția apare doar la lipirea celor două bucăți.

Exemplul 2 — Funcția-semn, cu ambele teste

Arătați, în două moduri, că funcția-semn $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-1$ pentru $x<0$ și $f(x)=1$ pentru $x\ge 0$, nu admite primitive pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Aceasta este funcția anunțată la lecția despre noțiunea de primitivă, unde s-a spus că nu admite primitive fără să se poată încă demonstra; iată demonstrația, pe două căi.

Prima cale, cu Consecința 1 a teoremei lui Darboux. În $0$ avem $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }f(x)=-1,\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=1:$$ ambele finite și diferite, deci $0$ este punct de discontinuitate de speța I. Funcția nu admite primitive.

A doua cale, cu Consecința 2 a teoremei lui Darboux. Imaginea funcției este mulțimea $\{-1,1\}$, care nu este interval: conține pe $-1$ și pe $1$, dar nu conține, de pildă, pe $0$. Prin Consecința 2, funcția nu admite primitive. ✓

Ambele redactări valorează la fel la examen; a doua e mai scurtă când funcția ia doar câteva valori.

Exemplul 3 — Determinarea unui parametru

Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+1,& x\le 1\\ x^2+2,& x>1\end{array}$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Pe $(-\infty ,1)$ și pe $(1,+\infty )$ funcția este polinomială, deci continuă. Singurul punct de verificat este $1$: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=a+1=f(1),\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=1+2=3.$$

Dacă $a+1=3$, adică $a=2$, funcția este continuă pe $\mathbb{R}$ și, prin teorema de existență, admite primitive.

Dacă $a+1\ne 3$, ambele limite laterale sunt finite și diferite, deci $1$ este punct de discontinuitate de speța I și, prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, funcția nu admite primitive.

Răspuns: $a=2$. ✓ (Verificat numeric pentru $a\in \{1,2,5\}$: continuitatea apare exact pentru $a=2$.) Acesta este cel mai frecvent tip de exercițiu de examen din lecție, iar redactarea completă cere ambele ramuri ale discuției, nu doar ecuația $a+1=3$.

Exemplul 4 — Partea întreagă

Arătați că funcția parte întreagă $f(x)=[x]$ nu admite primitive pe intervalul $[0,3]$.

Rezolvare. În punctul $x_0=1$ avem $$\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=0,f(1)=1,\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=1$$ (pentru $x$ puțin mai mic decât $1$, partea întreagă este $0$). Cele două limite laterale sunt finite și diferite, deci $1$ este punct de discontinuitate de speța I, iar prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux funcția nu admite primitive pe $[0,3]$.

Verificare cu al doilea test: imaginea este $\{0,1,2,3\}$, care nu este interval — aceeași concluzie, prin Consecința 2 a teoremei lui Darboux. ✓ Pe fiecare interval de forma $(k,k+1)$ funcția este însă constantă, deci continuă, și admite acolo primitive.

Exemplul 5 — Continuă, dar nederivabilă: totuși admite primitive

Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$, admite primitive pe $\mathbb{R}$ și dați una explicit.

Rezolvare. Funcția modul este continuă pe $\mathbb{R}$, deci, prin teorema de existență, admite primitive — deși ea însăși nu este derivabilă în $0$. Cele două afirmații sunt independente, așa cum s-a spus în prima secțiune.

O primitivă explicită este $F(x)=\frac{x|x|}{2}$, adică $F(x)=-\frac{x^2}{2}$ pentru $x<0$ și $F(x)=\frac{x^2}{2}$ pentru $x\ge 0$. Într-adevăr, pentru $x>0$ avem $F^{\prime }(x)=x=|x|$, pentru $x<0$ avem $F^{\prime }(x)=-x=|x|$, iar în $0$ rapoartele incrementale sunt $\frac{F(h)-F(0)}{h}=\frac{|h|}{2}\to 0=f(0)$, deci $F^{\prime }(0)=0$. ✓ (Verificat numeric în patru puncte și, în $0$, pe trei valori descrescătoare ale pasului.)

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x},& x\ne 0\\ m,& x=0,\end{array}$ unde $m$ este un număr real. a) Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$. b) Determinați $m$ pentru care $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$. c) Arătați că, pentru $m=3$, funcția $f$ nu admite primitive pe niciun interval care îl conține pe $0$.

Rezolvare. a) Este prima limită fundamentală din clasa a XI-a: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$. Cum ea nu depinde de partea din care ne apropiem, ambele limite laterale valorează $1$.

b) Pe $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ funcția este continuă, ca raport de funcții continue cu numitorul nenul. În $0$ este continuă dacă și numai dacă $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=f(0)$, adică $1=m$. Pentru $m=1$ funcția este continuă pe $\mathbb{R}$ și admite primitive, prin teorema de existență. Pentru $m\ne 1$ punctul $0$ este de discontinuitate de speța I (ambele limite laterale sunt finite și egale cu $1$, dar diferite de $f(0)=m$), deci, prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, $f$ nu admite primitive. Răspuns: $m=1$.

c) Pentru $m=3$ avem $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=1\ne 3=f(0):$$ limitele laterale sunt finite, deci $0$ este punct de discontinuitate de speța I. Consecința 1 a teoremei lui Darboux spune că $f$ nu admite primitive pe niciun interval care îl conține pe $0$. ✓

Acesta este tiparul complet al cerinței din Subiectul al III-lea: o limită, o discuție după parametru, o justificare de neexistență.

Să exersăm

1. Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x\le 0\\ x^2,& x>0\end{array}$ nu admite primitive pe $\mathbb{R}$.

2. Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& x<1\\ x+1,& x\ge 1\end{array}$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

3. Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+a,& x\le 2\\ 3x,& x>2\end{array}$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

4. Determinați $b\in \mathbb{R}$ pentru care $f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^x,& x\le 0\\ x+b,& x>0\end{array}$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție care admite primitive este continuă."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție continuă pe un interval admite primitive pe acel interval."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ admite primitive pe intervalul $I$, atunci $f$ este derivabilă pe $I$."

8. Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\notin \mathbb{Q}\end{array}$ nu admite primitive pe niciun interval, folosind imaginea ei.

9. Enunțați teorema lui Darboux și precizați ce ipoteză se cere despre funcția $f$ (nu despre $f^{\prime }$).

10. În demonstrația teoremei lui Darboux, explicați de ce punctul de minim al funcției $g$ nu poate fi capătul $a$.

11. Precizați speța discontinuității funcției $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$ și arătați că ea nu admite primitive pe $\mathbb{R}$. (Indicație: presupuneți că ar exista o primitivă $F$ și studiați limita ei la dreapta lui $0$.)

12. (Problemă aplicată.) Debitul unui robinet este $0$ litri pe secundă înainte de momentul $t=5$ și $2$ litri pe secundă după. Poate fi acest debit derivata unei funcții derivabile pe $[0,10]$? Justificați cu un rezultat din lecție.

13. Determinați relația dintre $a,b\in \mathbb{R}$ pentru care $f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+b,& x\le 1\\ x^2,& 1<x\le 3\\ 6x-9,& x>3\end{array}$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

14. Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x+3|$, admite primitive și scrieți una explicit.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă imaginea unei funcții este un interval, atunci funcția admite primitive."

16. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ o funcție care admite primitive și care ia numai valorile $-3$ și $5$. Arătați că $f$ este constantă.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-4}{x-2},& x\ne 2\\ m,& x=2.\end{array}$ a) Calculați $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$. b) Determinați $m$ pentru care $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$. c) Pentru $m$ găsit, determinați o primitivă a lui $f$.

18. (Provocare.) Fie $f:I\to \mathbb{R}$ o funcție monotonă care admite primitive pe intervalul $I$. Arătați că $f$ este continuă pe $I$.

Răspunsuri și explicații

1. În $0$: $l_s(0)=1$, $f(0)=1$, $l_d(0)=0$. Ambele limite laterale sunt finite și diferite, deci $0$ este punct de discontinuitate de speța I; prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, funcția nu admite primitive pe $\mathbb{R}$.

2. În $1$: $l_s(1)=2$, $f(1)=2$, $l_d(1)=2$. Funcția este continuă în $1$, iar pe restul dreptei este polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$; prin teorema de existență, admite primitive.

3. Continuitatea în $2$ cere $4+a=6$, deci $a=2$. Pentru $a\ne 2$ apare o discontinuitate de speța I și, prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, funcția nu admite primitive.

4. Continuitatea în $0$ cere $e^0=0+b$, adică $b=1$. Pentru $b\ne 1$, discontinuitate de speța I, deci fără primitive.

5. Fals. Contraexemplul din secțiunea 8: derivata funcției $x^2\sin \frac{1}{x}$ (prelungită cu $0$) admite primitive prin construcție, dar nu este continuă în $0$. Ce este adevărat este implicația inversă: continuă $\Rightarrow$ admite primitive.

6. Adevărat. Este exact teorema de existență, enunțată în secțiunea 7; demonstrația ei se face mai târziu, la lecția despre teorema de existență a primitivelor unei funcții continue.

7. Fals. Funcția $f(x)=|x|$ admite primitive pe $\mathbb{R}$ (fiind continuă), dar nu este derivabilă în $0$. „Admite primitive" spune ceva despre $f$ ca derivată a altei funcții, nu despre derivata lui $f$.

8. Imaginea funcției este $\{0,1\}$, care nu este interval (nu conține $\frac{1}{2}$). Prin Consecința 2 a teoremei lui Darboux, funcția nu admite primitive pe niciun interval.

9. Teorema lui Darboux: dacă $f:I\to \mathbb{R}$ este derivabilă pe intervalul $I$, atunci $f^{\prime }$ are proprietatea valorilor intermediare pe $I$. Ipoteza se cere despre $f$ (derivabilă); despre $f^{\prime }$ nu se cere continuitatea — acesta e tocmai conținutul teoremei.

10. Pentru că $g^{\prime }(a)<0$: raportul $\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$ este negativ pentru $x$ apropiat de $a$, iar luând $x>a$ numitorul este pozitiv, deci $g(x)<g(a)$. Există așadar puncte în care $g$ ia valori mai mici decât $g(a)$, deci $a$ nu poate fi punct de minim.

11. În $0$: $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty$. Limitele laterale sunt infinite, deci discontinuitatea este de speța a II-a, iar Consecința 1 a teoremei lui Darboux nu se aplică; imaginea funcției este $\mathbb{R}$, deci nici Consecința 2 nu decide. (Pe un interval ca $[0,1]$ lucrurile s-ar schimba: acolo imaginea este $\{0\}\cup [1,+\infty )$, care nu e interval, iar Consecința 2 decide într-un rând — vezi lecția despre integrabilitate și primitive. Pe $\mathbb{R}$ însă avem nevoie de argumentul direct.) Argumentul direct: dacă ar exista $F$ derivabilă pe $\mathbb{R}$ cu $F^{\prime }=f$, atunci pe $(0,+\infty )$ funcțiile $F$ și $\ln$ ar avea aceeași derivată, deci $F(x)=\ln x+c$ acolo (Consecința 1 a teoremei lui Lagrange). Ar rezulta $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }F(x)=-\infty$, ceea ce contrazice continuitatea lui $F$ în $0$ (o funcție derivabilă este continuă). Deci $f$ nu admite primitive pe $\mathbb{R}$.

12. Nu. Funcția debit are $l_s(5)=0$ și $l_d(5)=2$: ambele finite și diferite, deci punct de discontinuitate de speța I. Prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, ea nu poate fi derivata niciunei funcții derivabile pe $[0,10]$. Fizic, aceasta înseamnă că volumul acumulat nu poate avea o pantă care sare instantaneu — trecerea reală de la $0$ la $2$ durează.

13. Continuitatea în $1$: $a+b=1$. Continuitatea în $3$: $9=18-9$, deci a doua legătură este verificată automat, oricare ar fi $a$ și $b$. Rămâne o singură condiție, $a+b=1$ — de pildă $a=1$, $b=0$. Pentru orice pereche care o verifică, funcția este continuă pe $\mathbb{R}$ și admite primitive; pentru $a+b\ne 1$ apare o discontinuitate de speța I în $1$ și funcția nu admite primitive.

14. Funcția modul este continuă, deci admite primitive. O primitivă explicită: $F(x)=\frac{(x+3)|x+3|}{2}$, adică $F(x)=-\frac{(x+3{)}^2}{2}$ pentru $x<-3$ și $F(x)=\frac{(x+3{)}^2}{2}$ pentru $x\ge -3$. (Verificat prin derivare pe ambele ramuri și prin rapoarte incrementale în $-3$.)

15. Fals. Consecința 2 a teoremei lui Darboux dă o condiție necesară, nu una suficientă. Contraexemplu: $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$ pentru $x\in [0,1)$ și $f(x)=x-1$ pentru $x\in [1,2]$. Imaginea este $[0,1)\cup [0,1]=[0,1]$, deci este interval; totuși $l_s(1)=1$, iar $f(1)=l_d(1)=0$, deci $1$ este punct de discontinuitate de speța I și, prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, funcția nu admite primitive.

16. Imaginea lui $f$ este inclusă în $\{-3,5\}$. Dacă $f$ ar lua ambele valori, imaginea ar fi exact $\{-3,5\}$, care nu este interval, iar Consecința 2 a teoremei lui Darboux ar fi încălcată. Deci $f$ ia o singură valoare, adică este constantă.

17. a) Pentru $x\ne 2$, $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$, deci $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4$. b) Continuitatea în $2$ cere $m=4$; pentru $m\ne 4$, punctul $2$ este de discontinuitate de speța I și funcția nu admite primitive. c) Pentru $m=4$, funcția este $f(x)=x+2$ pe tot $\mathbb{R}$, deci o primitivă este $F(x)=\frac{x^2}{2}+2x$.

18. Fie $x_0$ interior lui $I$. Fiind monotonă, $f$ are în $x_0$ limite laterale, iar acestea sunt finite (sunt cuprinse între valori ale funcției). Dacă $f$ ar fi discontinuă în $x_0$, discontinuitatea ar fi deci de speța I, ceea ce ar contrazice Consecința 1 a teoremei lui Darboux. Prin urmare $f$ este continuă în $x_0$; la fel se tratează capetele lui $I$ care îi aparțin.

De reținut

• O funcție $f$ admite primitive pe intervalul $I$ dacă există o funcție $F$ derivabilă pe $I$ cu $F^{\prime }=f$; a admite primitive și a fi derivabilă sunt proprietăți diferite: derivabilitatea o atrage pe prima, dar nu invers.
• Teorema lui Darboux spune că derivata oricărei funcții derivabile are proprietatea valorilor intermediare, chiar dacă derivata nu este continuă; formularea scurtă este „derivata nu sare peste valori".
• Consecința 1 a teoremei lui Darboux: o funcție cu un punct de discontinuitate de speța I nu admite primitive pe niciun interval care conține acel punct — acesta este testul folosit la aproape toate exercițiile de examen.
• Consecința 2 a teoremei lui Darboux: dacă imaginea unei funcții nu este interval, funcția nu admite primitive; testul se aplică cel mai comod funcțiilor care iau puține valori.
• Teorema de existență garantează sensul pozitiv: orice funcție continuă pe un interval admite primitive acolo, iar reciproca este falsă.

Greșeli frecvente

• Confunzi „admite primitive" cu „este derivabilă". Prima spune că funcția este derivata cuiva, a doua că funcția are derivată. Funcția modul admite primitive și nu e derivabilă în $0$; derivata funcției din secțiunea 8 admite primitive și nu e nici măcar continuă.
• Aplici Consecința 1 a teoremei lui Darboux la o discontinuitate de speța a II-a. Consecința funcționează numai când ambele limite laterale sunt finite. Dacă una este infinită sau nu există, testul nu spune nimic, iar concluzia trebuie obținută altfel — de pildă printr-un argument direct despre primitiva presupusă.
• Rezolvi doar ecuația de continuitate și te oprești. Cerința „determinați $a$ pentru care $f$ admite primitive" cere ambele ramuri: pentru valoarea găsită funcția e continuă, deci admite primitive; pentru celelalte valori apare o discontinuitate de speța I, deci nu admite. Baremele punctează separat a doua ramură.
• Crezi că imaginea interval garantează existența primitivelor. Consecința 2 a teoremei lui Darboux este o condiție necesară, nu suficientă. Din faptul că imaginea este interval nu se poate deduce nimic; testul folosește numai în sens negativ.
• Ceri continuitatea derivatei în teorema lui Darboux. Ipoteza este că $f$ este derivabilă, atât. Dacă ai cere și continuitatea lui $f^{\prime }$, concluzia ar fi banală (ar rezulta din proprietatea valorilor intermediare a funcțiilor continue) și teorema și-ar pierde tot interesul.

Aplică acasă

1. Colecția de contraexemple. Notează pe o singură pagină cele patru funcții-etalon ale lecției: cea cu salt, funcția-semn, partea întreagă și funcția modul. Scrie lângă fiecare ce test se aplică și care este concluzia. Pagina aceasta acoperă majoritatea cerințelor de examen din lecție.

2. Testul de trei rânduri. Ia din culegere cinci funcții definite pe ramuri și scrie, pentru fiecare, exact trei rânduri: limita la stânga, limita la dreapta, concluzia cu numele rezultatului invocat. Cronometrează-te: la examen, o asemenea justificare nu trebuie să dureze mai mult de două minute.

3. Graficul care sare. Desenează pe hârtie graficul unei funcții cu un salt și încearcă să desenezi deasupra lui graficul unei primitive. Vei observa singur unde se blochează desenul: în punctul de salt, curba ar trebui să aibă în același timp două pante diferite și să fie netedă. Este exact conținutul geometric al Consecinței 1.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă integral competența XII.CS.2.5 din programa de matematică-informatică și cele trei activități de învățare asociate ei: stabilirea existenței primitivelor cu ajutorul continuității, legătura dintre teorema lui Darboux și imposibilitatea discontinuităților de speța întâi, respectiv deducerea faptului că o funcție a cărei imagine nu este interval nu are primitive.

Ce verifică lecția: (1) formularea corectă a noțiunii „admite primitive" și deosebirea ei de derivabilitate; (2) enunțul complet al teoremei lui Darboux, cu ipoteza pusă asupra lui $f$; (3) demonstrația, cu cei patru pași și cu locul exact în care intervine teorema lui Fermat; (4) aplicarea celor două consecințe ca teste de neexistență; (5) discuția completă după parametru.

Întrebări bune de control: „Ce ipoteză cere teorema lui Darboux?"; „De ce nu se poate aplica Consecința 1 a teoremei lui Darboux funcției $\frac{1}{x}$ prelungite în origine?"; „Dă un exemplu de funcție care admite primitive fără să fie continuă"; „De ce nu ajunge să scrii doar ecuația de continuitate la un exercițiu cu parametru?".

Semne că a înțeles: spune „speța I" numai după ce a constatat că ambele limite laterale sunt finite; nu confundă cele două teoreme ale lui Weierstrass; scrie discuția pe ambele ramuri, fără să fie îndemnat.

Dificultatea tipică: sensul implicațiilor. Elevul reține „continuitate și primitive" ca pe o singură idee și ajunge să creadă că funcțiile care admit primitive sunt exact cele continue. Exemplul 5 și exercițiile 5–7 sunt așezate anume ca să spargă această confuzie.

Unde apare la BAC: foarte des, în primul subpunct al problemei de analiză din Subiectul al III-lea, sub forma „determinați $m$ astfel încât funcția să admită primitive" sau „arătați că $f$ nu admite primitive". Baremele acordă puncte pentru fiecare limită laterală calculată și pentru invocarea explicită a rezultatului teoretic.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că o funcție admite primitive?

Înseamnă că funcția este derivata unei alte funcții. Mai exact, $f:I\to \mathbb{R}$ admite primitive pe intervalul $I$ dacă există $F$ derivabilă pe $I$ cu $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$. Dacă există o astfel de funcție $F$, atunci există o infinitate, pentru că orice funcție $F+c$, cu $c$ constantă, are aceeași derivată.

Cum arăți că o funcție nu admite primitive?

Cel mai des, arătând că are un punct de discontinuitate de speța I: calculezi cele două limite laterale, constați că sunt finite și că nu coincid amândouă cu valoarea funcției în acel punct, apoi invoci Consecința 1 a teoremei lui Darboux. A doua cale este să arăți că imaginea funcției nu este interval, ceea ce contrazice Consecința 2 a aceleiași teoreme.

Ce spune teorema lui Darboux?

Spune că, dacă $f$ este derivabilă pe un interval $I$, atunci derivata $f^{\prime }$ are proprietatea valorilor intermediare pe $I$: între două valori ale ei, $f^{\prime }$ le ia pe toate cele intermediare. Important este că nu se cere continuitatea lui $f^{\prime }$ — există derivate discontinue, dar nici ele nu pot sări peste valori. Se demonstrează cu teorema lui Fermat.

Orice funcție continuă admite primitive?

Da, pe un interval. Aceasta este teorema de existență a primitivelor unei funcții continue, enunțată în această lecție și demonstrată mai târziu, când va exista instrumentul necesar. Ea explică de ce toate formulele din tabelul primitivelor funcționează fără nicio grijă suplimentară: funcțiile de acolo sunt continue pe intervalele indicate.

O funcție care admite primitive este neapărat continuă?

Nu. Contraexemplul standard este derivata funcției care valorează $x^2\sin \frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $0$ în origine: ea admite primitive prin însăși construcția ei, dar nu are limită în $0$, deci nu este continuă acolo. Discontinuitatea este de speța a II-a, deci nu contrazice Consecința 1 a teoremei lui Darboux.

De ce o funcție cu salt nu poate avea primitive?

Pentru că, dacă ar avea, ea ar fi o derivată, iar derivatele au proprietatea valorilor intermediare. O funcție cu salt sare peste toate valorile dintre cele două limite laterale, ceea ce este exact ce nu poate face o derivată. Argumentul riguros construiește o valoare $\lambda$ pe care Darboux o cere atinsă, dar pe care definiția limitei o exclude.

Cum determin parametrul ca o funcție pe ramuri să admită primitive?

Pui condiția de continuitate în punctul de racord, adică egalezi limita la stânga, valoarea funcției și limita la dreapta; ecuația obținută dă valoarea parametrului. Apoi scrii și cealaltă ramură a discuției: pentru celelalte valori ale parametrului apare o discontinuitate de speța I, deci funcția nu admite primitive.

Cele două teoreme ale lui Weierstrass sunt același lucru?

Nu. Cea din clasa a XI-a spune că orice șir monoton și mărginit este convergent; cea folosită aici spune că o funcție continuă pe un interval închis și mărginit este mărginită și își atinge marginile. Poartă același nume pentru că au același autor, dar au ipoteze și concluzii diferite; când apar împreună, se precizează despre care este vorba.