Funcții convexe și funcții concave: pe scurt

Monotonia spune încotro merge graficul; convexitatea spune cum se curbează. Definiția o dă poziția coardei: $f:I\to \mathbb{R}$ este convexă pe intervalul $I$ dacă $f(t{x}_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$ pentru orice $x_1,x_2\in I$ și orice $t\in [0,1]$; pentru concavă, inegalitatea are sens invers.

Geometric: la o funcție convexă graficul stă sub coardă și deasupra tangentelor, iar la una concavă, invers. Simbolurile din tabele sunt $\cup$ pentru convexă și $\cap$ pentru concavă, iar imaginea care le ține minte este apa: convexă „ține apa", concavă „varsă apa".

Pentru $t=\frac{1}{2}$ se obține cazul mijlocului: valoarea la mijloc nu depășește media valorilor. El ajunge ca să infirmi convexitatea — un singur contraexemplu doboară un „pentru orice" —, dar nu ca să o demonstrezi.

La funcția de gradul al doilea, calculul se face o dată pentru totdeauna: diferența dintre coardă și grafic este $at(1-t)(x_1-x_2{)}^2$, deci semnul lui $a$ decide totul. Pentru $a=0$ diferența e nulă, așa că funcțiile afine sunt simultan convexe și concave.

Trei reguli de combinare, pe același interval: suma a două funcții convexe e convexă, înmulțirea cu o constantă pozitivă păstrează convexitatea, iar cu una negativă o răstoarnă. Ca și monotonia, convexitatea se declară pe un interval, niciodată pe o reuniune.

Exerciții din această mini-lecție

1. Graficul unei funcții convexe pe un interval se află:

   • a) deasupra oricărei coarde și deasupra tangentelor
   • b) sub orice coardă și sub tangente
   • c) deasupra coardelor și sub tangente
   • d) sub orice coardă și deasupra tangentelor
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) sub orice coardă și deasupra tangentelor

   Inegalitatea din definiție spune că valoarea funcției nu depășește ordonata coardei, deci curba trece pe dedesubtul ei. Față de tangentă poziția se răstoarnă: la $y=x^2$, tangenta în punctul de abscisă $1$ este $y=2x-1$, iar diferența $x^2-(2x-1)=(x-1{)}^2\ge 0$ arată că graficul stă deasupra ei. Coarda și tangenta sunt de o parte și de alta a curbei.

2. Verificarea pe mijloc, cu $x_1=-3$ și $x_2=1$, arată despre funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-4x$, că:

   • a) este convexă pe $\mathbb{R}$
   • b) nu este convexă pe $\mathbb{R}$
   • c) este concavă pe $\mathbb{R}$
   • d) este afină
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) nu este convexă pe $\mathbb{R}$

   Mijlocul este $-1$, cu $f(-1)=3$, iar media valorilor din capete este $\frac{f(-3)+f(1)}{2}=\frac{-15+(-3)}{2}=-9$. Cum $3>-9$, inegalitatea de convexitate cade pentru această pereche, iar un singur contraexemplu ajunge. Atenție la sensul invers al raționamentului: dacă inegalitatea s-ar fi verificat, nu am fi putut conchide nimic — cazul mijlocului infirmă, dar nu demonstrează.

3. Despre funcția $f(x)=\frac{1}{x}$ este corect să spunem că:

   • a) este convexă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$
   • b) este concavă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$
   • c) este concavă pe $(-\infty ,0)$ și convexă pe $(0,+\infty )$
   • d) este convexă pe $(-\infty ,0)$ și concavă pe $(0,+\infty )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) este concavă pe $(-\infty ,0)$ și convexă pe $(0,+\infty )$

   Definiția cere un interval: odată cu două puncte, mulțimea trebuie să conțină tot segmentul dintre ele. Mulțimea ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu are această proprietate, așa că afirmațiile despre ea nu au sens, exact ca la monotonie. Pe fiecare ramură verdictul se citește din forma graficului: ramura din stânga „varsă apa", cea din dreapta „ține apa".