Funcții convexe și funcții concave

Două orașe raportează, în aceeași lună, aceeași creștere a numărului de abonați la un serviciu: de la $1000$ la $4000$. Graficele arată însă complet diferit. În primul oraș creșterea a fost lentă la început și s-a accelerat spre final; în al doilea, a fost puternică din prima săptămână și s-a domolit treptat. Ambele curbe urcă, ambele pornesc din același punct și ajung în același punct — dar una se scobește în jos, ca o vale, iar cealaltă se bombează în sus, ca o colină.

Monotonia, adică urcarea sau coborârea, nu poate face această distincție: pentru ea, ambele funcții sunt crescătoare. Ne trebuie o a doua proprietate, care să descrie cum se curbează graficul, nu încotro merge. Ea se numește convexitate, iar cuvântul-cheie pentru a o ține minte este apa: o funcție convexă „ține apa", ca o cupă, în timp ce o funcție concavă „varsă apa", ca o cupolă. Lecția de față dă definiția riguroasă a acestei proprietăți, cu coarda; criteriul rapid, cu derivata a doua, vine imediat după.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția funcției convexe și a funcției concave pe un interval, cu inegalitatea coardei.
• Vei ști să traduci definiția în imaginea geometrică: graficul sub coardă la funcțiile convexe, deasupra coardei la cele concave.
• Vei ști să demonstrezi convexitatea unei funcții de gradul al doilea, direct din definiție.
• Vei ști să infirmi convexitatea cu un singur contraexemplu, folosind cazul mijlocului.
• Vei ști să recunoști pe grafic intervalele de convexitate și de concavitate ale funcțiilor uzuale.
• Vei ști de ce convexitatea se declară pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale.

Hai să descoperim împreună

1. Două curbe care urcă la fel de sus, dar nu în același fel

Ia funcțiile $f(x)=x^2$ și $g(x)=\sqrt{x}$, ambele pe intervalul $[0,4]$. Amândouă pleacă din origine, amândouă sunt crescătoare, dar tabelele lor de valori spun povești diferite:

La $f$, creșterile succesive sunt $1$, $3$, $5$, $7$: din ce în ce mai mari. La $g$, ele sunt $1$, $0,41$, $0,32$, $0,27$: din ce în ce mai mici. Prima funcție crește cu ritm care se accelerează, a doua cu ritm care se domolește. Exact această deosebire o citește ochiul pe grafic: curba lui $f$ se scobește în sus, ca o cupă în care ar sta apa; curba lui $g$ se bombează, iar apa ar aluneca de pe ea.

Deosebirea se poate prinde matematic printr-un test simplu. Ia două puncte de pe grafic și unește-le cu un segment — o coardă. La $f$, coarda dintre punctele de abscise $0$ și $4$ trece pe deasupra curbei: la mijloc, în $x=2$, coarda are ordonata $\frac{0+16}{2}=8$, iar curba are ordonata $4$. La $g$, dimpotrivă, coarda trece pe dedesubt: la mijloc, ea are ordonata $\frac{0+2}{2}=1$, iar curba are $\sqrt{2}\approx 1,41$.

Poziția coardei față de grafic este proprietatea pe care o căutăm, și ea funcționează pentru orice pereche de puncte, nu doar pentru capetele intervalului.

2. Coarda: definiția convexității

Ca să scriem riguros ceea ce ochiul a văzut, avem nevoie de o scriere algebrică pentru „un punct oarecare între $x_1$ și $x_2$" și pentru „ordonata coardei deasupra acelui punct".

Fie $x_1,x_2$ două numere din intervalul $I$ și $t\in [0,1]$. Numărul $$x=t{x}_1+(1-t)x_2$$ parcurge tot segmentul dintre $x_2$ (obținut pentru $t=0$) și $x_1$ (obținut pentru $t=1$), iar pentru $t=\frac{1}{2}$ dă exact mijlocul. Pe de altă parte, ordonata coardei care unește punctele $(x_1,f(x_1))$ și $(x_2,f(x_2))$, calculată în acest $x$, este $tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$ — se verifică imediat, pentru că expresia este funcție de gradul întâi în $t$ și ia valorile corecte la capete.

Definiție. Funcția $f:I\to \mathbb{R}$, definită pe un interval $I$, se numește convexă pe $I$ dacă pentru orice $x_1,x_2\in I$ și orice $t\in [0,1]$ are loc $$f(t{x}_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2).$$ Funcția se numește concavă pe $I$ dacă inegalitatea are loc în sens invers, adică $$f(t{x}_1+(1-t)x_2)\ge tf(x_1)+(1-t)f(x_2).$$

Citită geometric, prima inegalitate spune că graficul se află sub coardă (sau pe ea), a doua că graficul se află deasupra coardei. Simbolurile pe care le vom folosi de acum în tabele sunt $\cup$ pentru convexă și $\cap$ pentru concavă; ele desenează chiar forma curbei și, o dată în plus, ne amintesc că prima ține apa, iar a doua varsă apa.

Două observații de format, care evită greșeli:

• convexitatea se declară pe un interval. Definiția are sens doar dacă, odată cu $x_1$ și $x_2$, mulțimea conține și tot segmentul dintre ele — proprietate pe care o au intervalele și nu o au reuniunile de intervale;
• cele două noțiuni nu se exclud complet. Dacă inegalitatea este de fapt egalitate, funcția e simultan convexă și concavă. Vom vedea în §4 că exact acesta e cazul funcțiilor afine.

Noțiunea nu e cu totul nouă: ai întâlnit-o la clasa a IX-a, unde ai învățat să o citești pe grafic, la lecția Mărginire, convexitate și concavitate: lecturi grafice. Ce se schimbă acum este scopul: acolo priveai o curbă desenată, aici pornești de la formula funcției și trebuie să decizi singur cum arată curba.

3. Cazul mijlocului și puterea unui contraexemplu

Pentru $t=\frac{1}{2}$, definiția ia o formă foarte comodă: $$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\text{(convexa˘)},f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\ge \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\text{(concava˘)}.$$ În cuvinte: valoarea la mijloc nu depășește media valorilor. Este forma pe care o vei folosi cel mai des la verificări rapide și, mai ales, la infirmări.

Aici e o asimetrie logică pe care merită să o reții. Ca să demonstrezi convexitatea, ai nevoie de inegalitatea generală, pentru orice $t$; nu ajunge cazul mijlocului. Ca să infirmi convexitatea, îți ajunge însă o singură pereche $x_1,x_2$ pentru care valoarea la mijloc depășește media — pentru că o afirmație de tipul „pentru orice" cade la primul contraexemplu.

Exemplul clasic este $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$. Luăm $x_1=-2$ și $x_2=1$; mijlocul este $-\frac{1}{2}$, iar $$f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{8},\frac{f(-2)+f(1)}{2}=\frac{-8+1}{2}=-\frac{7}{2}.$$ Cum $-\frac{1}{8}>-\frac{7}{2}$, inegalitatea de convexitate nu are loc: funcția nu e convexă pe $\mathbb{R}$. Luăm acum $x_1=1$ și $x_2=3$; mijlocul este $2$, iar $f(2)=8$, în timp ce $\frac{1+27}{2}=14$. Cum $8<14$, nici inegalitatea de concavitate nu are loc. Concluzia: funcția $f(x)=x^3$ nu este nici convexă, nici concavă pe $\mathbb{R}$. Ea este însă concavă pe $(-\infty ,0]$ și convexă pe $[0,+\infty )$ — încă un semn că întrebarea corectă e „pe ce interval?", nu „da sau nu?".

4. Prima demonstrație: funcția de gradul al doilea

Propoziție. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=a{x}^2+bx+c$, este convexă pe $\mathbb{R}$ dacă $a>0$ și concavă pe $\mathbb{R}$ dacă $a<0$.

Demonstrație. Calculăm diferența dintre ordonata coardei și ordonata graficului, pentru $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ și $t\in [0,1]$ oarecare. Notăm $x=t{x}_1+(1-t)x_2$. Termenii de gradul întâi și termenul liber se reduc, pentru că $t{x}_1+(1-t)x_2=x$ și $t+(1-t)=1$, deci rămâne numai partea pătratică: $$tf(x_1)+(1-t)f(x_2)-f(x)=a[t{x}_1^2+(1-t)x_2^2-(t{x}_1+(1-t)x_2{)}^2].$$ Desfacem pătratul și grupăm. Cum $t^2-t=-t(1-t)$ și $(1-t{)}^2-(1-t)=-t(1-t)$, paranteza devine $$t{x}_1^2+(1-t)x_2^2-t^2{x}_1^2-2t(1-t)x_1{x}_2-(1-t{)}^2{x}_2^2=t(1-t)\left(x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2\right)=t(1-t)(x_1-x_2{)}^2.$$ Am obținut identitatea centrală a acestei lecții: $$tf(x_1)+(1-t)f(x_2)-f(t{x}_1+(1-t)x_2)=at(1-t)(x_1-x_2{)}^2.$$ Factorul $t(1-t)(x_1-x_2{)}^2$ este mereu mai mare sau egal cu zero, pentru că $t\ge 0$, $1-t\ge 0$ și pătratul e nenegativ. Prin urmare semnul diferenței este dat exclusiv de semnul lui $a$: pentru $a>0$ diferența e nenegativă, deci coarda stă deasupra graficului și funcția e convexă; pentru $a<0$ diferența e nepozitivă, deci funcția e concavă. $■$

Pentru $a=0$, adică pentru o funcție afină $f(x)=bx+c$, diferența este identic nulă: coarda se suprapune peste grafic. O funcție afină este așadar simultan convexă și concavă, ceea ce se vedea și geometric — coarda dintre două puncte ale unei drepte este chiar dreapta.

(Identitatea a fost verificată numeric pe câte $300$ de triplete $(x_1,x_2,t)$ alese aleator, pentru $a=3$, $a=-2$ și $a=1$; convexitatea funcțiilor $x^2$, $3x^2-x+1$ și concavitatea lui $-2x^2+5$ au fost verificate direct din definiție, pe câte $140$ de perechi de puncte cu cinci valori ale lui $t$ fiecare.)

5. Poziția față de tangentă

Coarda nu e singura dreaptă care descrie curbura. Există și o a doua citire geometrică, la fel de utilă, care folosește tangenta — dreapta introdusă la Tangenta la graficul unei funcții.

Desenează tangenta la parabola $y=x^2$ în punctul de abscisă $1$: ea are panta $2$ și ecuația $y=2x-1$. Oricare ar fi $x$, diferența dintre curbă și tangentă este $$x^2-(2x-1)=(x-1{)}^2\ge 0,$$ deci graficul stă deasupra tangentei, atingând-o numai în punctul de contact. Nu e o coincidență: la o funcție convexă graficul se află deasupra oricăreia dintre tangentele sale, iar la o funcție concavă, dedesubtul lor.

Merită ținute minte împreună, ca o pereche:

La clasa a XI-a, caracterizarea cu tangenta se folosește ca imagine geometrică și ca sursă de intuiție, nu ca instrument de demonstrație; instrumentul de lucru rămâne definiția cu coarda, iar din lecția următoare, semnul derivatei a doua.

6. Catalogul funcțiilor uzuale

Cu definiția în mână și cu graficele deja studiate, poți completa un mic catalog. El nu se învață pe de rost — se reconstruiește din forma graficului —, dar e util să-l ai adunat într-un loc.

Graficele funcției exponențiale și ale celei logaritmice le ai din clasa a X-a, de la Funcția exponențială: definiție și reprezentare grafică și Funcția logaritmică: grafic și proprietăți; citește pe ele curbura și compară cu tabelul.

Ultimul rând al tabelului conține capcana cea mai frecventă. Funcția $f(x)=\frac{1}{x}$ este concavă pe $(-\infty ,0)$ și convexă pe $(0,+\infty )$, dar nu are sens să spunem că e „convexă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$": mulțimea ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu e interval, iar între un $x_1$ negativ și un $x_2$ pozitiv coarda ar trece printr-o zonă în care funcția nici măcar nu e definită. Este exact aceeași restricție ca la monotonie, unde $\frac{1}{x}$ nu e descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, deși e descrescătoare pe fiecare dintre cele două intervale.

(Toate rândurile tabelului au fost verificate prin definiție, pe câte $140$ de perechi de puncte alese aleator în intervalul respectiv, plus prin eșantionare densă a semnului derivatei a doua, pe $400$ de puncte pe interval.)

7. Reguli de combinare și ce urmează

Din definiție ies imediat trei reguli, valabile pe același interval $I$. Ele se obțin adunând sau înmulțind inegalități, fără niciun calcul nou:

• suma a două funcții convexe este convexă (aduni cele două inegalități, membru cu membru);
• înmulțirea cu o constantă $c>0$ păstrează convexitatea, iar înmulțirea cu $c<0$ o transformă în concavitate (inegalitatea își schimbă sensul);
• adunarea unei funcții afine nu schimbă nimic, pentru că acolo inegalitatea e egalitate.

Așadar $f(x)=x^2+e^x$ e convexă pe $\mathbb{R}$ ca sumă de convexe, $f(x)=-\ln x$ e convexă pe $(0,+\infty )$ ca produs dintre $-1$ și o concavă, iar $f(x)=x^2-6x+8$ e convexă pentru că e $x^2$ plus o funcție afină.

Se vede totuși limita metodei. Pentru o funcție ca $f(x)=x^4-6x^2$ sau $f(x)=x{e}^x$, nici definiția, nici regulile de mai sus nu spun nimic direct: nu e sumă de convexe, nu e de gradul al doilea, iar verificarea inegalității pentru orice $t$ ar cere un calcul lung, cu rezultat nesigur. De aceea avem nevoie de un criteriu, adică de un test care să înlocuiască inegalitatea cu un calcul de rutină. El vine în lecția următoare, Convexitatea și derivata a doua, și transformă întreaga problemă într-un studiu de semn al lui $f^{\prime \prime }$ — o unealtă pe care o ai deja, de la Derivata de ordinul al doilea.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Convexitate demonstrată din definiție

Demonstrați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-x+1$, este convexă pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Fie $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ și $t\in [0,1]$. Folosim identitatea demonstrată în §4, cu $a=3$: $$tf(x_1)+(1-t)f(x_2)-f(t{x}_1+(1-t)x_2)=3t(1-t)(x_1-x_2{)}^2.$$ Cum $t\ge 0$, $1-t\ge 0$ și $(x_1-x_2{)}^2\ge 0$, membrul drept este mai mare sau egal cu zero. Rezultă $$f(t{x}_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2),$$ adică exact inegalitatea de convexitate. $■$ (Verificat și direct, pe $140$ de perechi de puncte din $(-5,5)$, cu cinci valori ale lui $t$ pentru fiecare.) ✓

Exemplul 2 — Concavitate

Demonstrați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x^2+5$, este concavă pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Aceeași identitate, cu $a=-2$, dă $$tf(x_1)+(1-t)f(x_2)-f(t{x}_1+(1-t)x_2)=-2t(1-t)(x_1-x_2{)}^2\le 0,$$ pentru că factorul $t(1-t)(x_1-x_2{)}^2$ este nenegativ, iar el este înmulțit cu un număr negativ. Deci coarda stă sub grafic, adică graficul stă deasupra coardei: funcția este concavă. $■$ ✓

Exemplul 3 — O funcție care nu e nici una, nici alta

Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$, nu este nici convexă, nici concavă pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Sunt de dat două contraexemple, câte unul pentru fiecare afirmație, și amândouă se scriu cu cazul mijlocului.

Nu e convexă: pentru $x_1=-2$ și $x_2=1$, mijlocul este $-\frac{1}{2}$ și $$f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{8}>-\frac{7}{2}=\frac{f(-2)+f(1)}{2}.$$

Nu e concavă: pentru $x_1=1$ și $x_2=3$, mijlocul este $2$ și $$f(2)=8<14=\frac{f(1)+f(3)}{2}.$$ Fiecare dintre cele două inegalități contrazice câte o definiție, deci funcția nu e nici convexă, nici concavă pe $\mathbb{R}$. $■$ ✓

Exemplul 4 — O funcție cu modul

Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-1|+2$, este convexă pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Fie $x_1,x_2\in \mathbb{R}$, $t\in [0,1]$ și $x=t{x}_1+(1-t)x_2$. Scriem $x-1=t(x_1-1)+(1-t)(x_2-1)$, folosind $t+(1-t)=1$, și aplicăm inegalitatea modulului sumei: $$|x-1|\le |t(x_1-1)|+|(1-t)(x_2-1)|=t|x_1-1|+(1-t)|x_2-1|,$$ unde am folosit $t\ge 0$ și $1-t\ge 0$ pentru a scoate factorii din modul. Adunând $2=2t+2(1-t)$ în ambii membri, obținem $f(x)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$. $■$ Graficul este un „V" cu vârful în $(1,2)$, iar orice coardă trece pe deasupra lui. ✓

Exemplul 5 — Verificarea pe mijloc, cu demonstrație completă

Arătați că, pentru orice $x_1,x_2\in (0,+\infty )$, funcția $f(x)=\frac{1}{x}$ verifică inegalitatea de convexitate în cazul mijlocului.

Rezolvare. Inegalitatea de demonstrat este $$\frac{2}{x_1+x_2}\le \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right).$$ Membrul drept se aduce la același numitor: $\frac{x_1+x_2}{2x_1{x}_2}$. Cum $x_1,x_2>0$, putem înmulți ambii membri cu numărul pozitiv $2x_1{x}_2(x_1+x_2)$, fără să schimbăm sensul inegalității, și obținem $4x_1{x}_2\le (x_1+x_2{)}^2$, adică $0\le (x_1-x_2{)}^2$ — evident adevărat. $■$

Control numeric: pentru $x_1=1$ și $x_2=4$, mijlocul este $\frac{5}{2}$, cu $f\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{2}{5}$, iar media valorilor este $\frac{1+\frac{1}{4}}{2}=\frac{5}{8}$. Într-adevăr $\frac{2}{5}\le \frac{5}{8}$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$. a) Arătați că $\frac{e^a+e^b}{2}-e^{\frac{a+b}{2}}=\frac{1}{2}{\left(e^{\frac{a}{2}}-e^{\frac{b}{2}}\right)}^2$, pentru orice numere reale $a$ și $b$. b) Deduceți că $e^{\frac{a+b}{2}}\le \frac{e^a+e^b}{2}$, pentru orice numere reale $a$ și $b$. c) Verificați inegalitatea de la punctul b) pentru $a=0$ și $b=2$.

Rezolvare.

a) Desfacem pătratul din membrul drept, folosind proprietatea $e^u\cdot e^v=e^{u+v}$: $$\frac{1}{2}{\left(e^{\frac{a}{2}}-e^{\frac{b}{2}}\right)}^2=\frac{1}{2}\left(e^a-2e^{\frac{a}{2}}{e}^{\frac{b}{2}}+e^b\right)=\frac{e^a+e^b}{2}-e^{\frac{a+b}{2}}.$$ Egalitatea cerută este demonstrată.

b) Membrul drept al identității de la a) este jumătate dintr-un pătrat, deci este mai mare sau egal cu zero. Prin urmare $\frac{e^a+e^b}{2}-e^{\frac{a+b}{2}}\ge 0$, adică exact inegalitatea cerută. Ea este inegalitatea de convexitate în cazul mijlocului, scrisă pentru funcția exponențială.

c) Pentru $a=0$ și $b=2$: membrul stâng este $e^1=e\approx 2,718$, iar membrul drept este $\frac{1+e^2}{2}\approx \frac{1+7,389}{2}\approx 4,195$. Într-adevăr $2,718\le 4,195$. ✓

(Identitatea de la a) a fost verificată pe $300$ de perechi $(a,b)$ alese aleator în $[-4,4]$.)

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare cerință de demonstrație, pornește de la definiție și scrie explicit ce sunt $x_1$, $x_2$ și $t$; la infirmări, e de ajuns un contraexemplu bine ales.

1. Precizează, folosind tabelul din §6, dacă funcția $f(x)=5x^2-3x+2$ este convexă sau concavă pe $\mathbb{R}$.

2. Precizează dacă funcția $f(x)=-x^2+4x$ este convexă sau concavă pe $\mathbb{R}$ și justifică.

3. Demonstrează, folosind identitatea din §4, că $f(x)=2x^2+7x-1$ este convexă pe $\mathbb{R}$.

4. Demonstrează că $f(x)=-3x^2+x$ este concavă pe $\mathbb{R}$.

5. Verifică inegalitatea de convexitate în cazul mijlocului pentru $f(x)=x^2$, cu $x_1=1$ și $x_2=5$.

6. Arată că funcția afină $f(x)=4x-9$ este simultan convexă și concavă pe $\mathbb{R}$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție crescătoare pe un interval este convexă pe acel interval."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f(x)=\frac{1}{x}$ este convexă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$."

9. Arată, cu un contraexemplu pe mijloc, că $f(x)=x^3-x$ nu este convexă pe $\mathbb{R}$.

10. Folosind regulile de combinare din §7, justifică faptul că $f(x)=x^2+e^x$ este convexă pe $\mathbb{R}$.

11. Justifică faptul că $f(x)=-\ln x$ este convexă pe $(0,+\infty )$.

12. Arată că $f(x)=|x+3|$ este convexă pe $\mathbb{R}$.

13. Precizează pe ce intervale este concavă și pe ce intervale este convexă funcția $f(x)=x^3$, folosind catalogul din §6.

14. (Problemă aplicată.) Numărul de abonați ai unui serviciu a fost, în patru luni consecutive, $1000$, $1300$, $1900$ și $2800$. Calculează creșterile de la o lună la alta și spune dacă graficul se curbează ca o funcție convexă sau ca una concavă.

15. Scrie ordonata coardei care unește punctele graficului lui $f(x)=x^2$ de abscise $-1$ și $3$, calculată în $x=1$, și compar-o cu $f(1)$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+7$. a) Arătați că $f(x)=(x-2{)}^2+3$. b) Deduceți că graficul lui $f$ se află deasupra tangentei $y=3$, dusă în punctul de abscisă $2$. c) Arătați că $f$ este convexă pe $\mathbb{R}$.

17. Arată că suma dintre o funcție convexă pe $I$ și o funcție afină este convexă pe $I$.

18. (Provocare.) Fie $f$ convexă pe intervalul $I$ și $x_1<x_2<x_3$ trei puncte din $I$. Arată că $x_2=t{x}_1+(1-t)x_3$, unde $t=\frac{x_3-x_2}{x_3-x_1}\in (0,1)$, și deduce de aici inegalitatea pantelor $$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\le \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}.$$

Răspunsuri și explicații

1. Coeficientul dominant este $a=5>0$, deci funcția este convexă pe $\mathbb{R}$.

2. Aici $a=-1<0$, deci funcția este concavă pe $\mathbb{R}$; graficul e o parabolă cu ramurile în jos.

3. Cu $a=2$, diferența dintre coardă și grafic este $2t(1-t)(x_1-x_2{)}^2\ge 0$, pentru orice $t\in [0,1]$. Deci $f$ e convexă.

4. Cu $a=-3$, aceeași diferență este $-3t(1-t)(x_1-x_2{)}^2\le 0$, deci graficul stă deasupra coardei: funcția e concavă.

5. Mijlocul este $3$, cu $f(3)=9$, iar media valorilor este $\frac{1+25}{2}=13$. Într-adevăr $9\le 13$.

6. Diferența dintre coardă și grafic este $tf(x_1)+(1-t)f(x_2)-f(x)=0$, pentru că partea pătratică lipsește ($a=0$). Zero verifică și „$\le$", și „$\ge$", deci funcția e și convexă, și concavă.

7. Fals. Funcția $f(x)=\sqrt{x}$ este crescătoare pe $(0,+\infty )$, dar concavă; monotonia și convexitatea sunt proprietăți independente.

8. Fals, și nu din cauza semnului, ci a domeniului: ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu este interval, iar definiția convexității cere un interval. Corect se spune: $f$ e concavă pe $(-\infty ,0)$ și convexă pe $(0,+\infty )$.

9. Pentru $x_1=-2$ și $x_2=1$, mijlocul este $-\frac{1}{2}$: $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$, iar $\frac{f(-2)+f(1)}{2}=\frac{-6+0}{2}=-3$. Cum $\frac{3}{8}>-3$, inegalitatea de convexitate cade.

10. $x^2$ e convexă (coeficient dominant pozitiv), $e^x$ e convexă (din catalog), iar suma a două funcții convexe pe același interval e convexă.

11. $\ln x$ e concavă pe $(0,+\infty )$, iar înmulțirea cu $-1<0$ schimbă sensul inegalității, deci transformă concavitatea în convexitate.

12. Se repetă raționamentul din Exemplul 4, cu $x+3$ în loc de $x-1$: $|x+3|\le t|x_1+3|+(1-t)|x_2+3|$, din inegalitatea modulului sumei.

13. Concavă pe $(-\infty ,0]$ și convexă pe $[0,+\infty )$. Pe tot $\mathbb{R}$ nu e niciuna dintre ele.

14. Creșterile sunt $300$, $600$ și $900$ — din ce în ce mai mari, deci ritmul se accelerează: graficul se curbează ca o funcție convexă, care „ține apa".

15. Coarda unește $(-1,1)$ cu $(3,9)$; panta ei este $\frac{9-1}{3-(-1)}=2$, iar ecuația $y=2x+3$. În $x=1$ coarda are ordonata $5$, iar $f(1)=1$. Într-adevăr $1\le 5$: graficul e sub coardă.

16. a) $(x-2{)}^2+3=x^2-4x+4+3=x^2-4x+7$. b) Diferența $f(x)-3=(x-2{)}^2\ge 0$, deci graficul e deasupra dreptei $y=3$, cu egalitate numai în $x=2$. c) Coeficientul dominant este $1>0$, iar din identitatea de la §4 diferența dintre coardă și grafic este $t(1-t)(x_1-x_2{)}^2\ge 0$, deci $f$ e convexă.

17. Dacă $f$ verifică inegalitatea cu „$\le$" și $g(x)=bx+c$ o verifică cu egalitate, atunci, adunând cele două relații membru cu membru, suma $f+g$ verifică inegalitatea cu „$\le$", adică e convexă.

18. Se calculează $t{x}_1+(1-t)x_3$ cu $t=\frac{x_3-x_2}{x_3-x_1}$ și $1-t=\frac{x_2-x_1}{x_3-x_1}$; numărătorul devine $(x_3-x_2)x_1+(x_2-x_1)x_3=x_2(x_3-x_1)$, deci expresia este $x_2$. Din convexitate, $f(x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_3)$. Scădem $f(x_1)$ din ambii membri și folosim $t+(1-t)=1$: obținem $f(x_2)-f(x_1)\le (1-t)(f(x_3)-f(x_1))$. Împărțim la $x_2-x_1>0$ și înlocuim $1-t$; rezultă exact inegalitatea cerută. (Verificată numeric pe câte $400$ de triplete, pentru $x^2$ și pentru $e^x$.)

De reținut

• Definiția: $f$ e convexă pe intervalul $I$ dacă $f(t{x}_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$ pentru orice $x_1,x_2\in I$ și orice $t\in [0,1]$; concavă înseamnă inegalitatea inversă.
• Imaginea geometrică: convexă = graficul sub coardă și deasupra tangentei, simbol $\cup$, „ține apa"; concavă = graficul deasupra coardei și sub tangentă, simbol $\cap$, „varsă apa".
• Cazul mijlocului ($t=\frac{1}{2}$) spune că valoarea la mijloc nu depășește media valorilor; el e suficient pentru a infirma, nu și pentru a demonstra.
• Funcția de gradul al doilea e convexă când $a>0$ și concavă când $a<0$; funcția afină e simultan convexă și concavă.
• Convexitatea se declară pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale — la fel ca monotonia.

Greșeli frecvente

• Confunzi convexitatea cu creșterea. O funcție poate fi crescătoare și concavă ($\sqrt{x}$) sau descrescătoare și convexă ($e^{-x}$). Monotonia spune încotro merge graficul, convexitatea spune cum se curbează.
• Spui „convexă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$" sau „pe $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$". Definiția cere un interval; pentru $\frac{1}{x}$ scrii două afirmații separate, una pe fiecare interval al domeniului.
• Crezi că verificarea pe mijloc demonstrează convexitatea. Ea o poate doar infirma. Demonstrația cere inegalitatea pentru orice $t\in [0,1]$ — sau, din lecția următoare, criteriul cu $f^{\prime \prime }$.
• Inversezi coarda cu tangenta. La funcția convexă graficul e sub coardă, dar deasupra tangentei. Cele două drepte sunt de o parte și de alta a curbei.
• Uiți că „nici convexă, nici concavă" e un răspuns posibil. Pentru $f(x)=x^3$ pe $\mathbb{R}$ acesta este chiar răspunsul corect; sunt necesare două contraexemple, câte unul pentru fiecare afirmație.

Aplică acasă

1. Paharul și cupola. Fotografiază două obiecte curbate din casă — interiorul unui castron și exteriorul unei umbrele deschise — și desenează pe fotografie o coardă între două puncte ale conturului. Notează, pentru fiecare, dacă graficul este sub sau deasupra coardei și scrie cuvântul potrivit: convex sau concav.

2. Trei grafice din presă. Caută trei grafice publicate în ultima lună — prețuri, abonați, temperaturi — și marchează pe fiecare porțiunile convexe și pe cele concave. Formulează în cuvinte ce înseamnă schimbarea: „creștea tot mai repede" sau „creștea tot mai încet".

3. Testul mijlocului pe telefon. Alege trei funcții din catalogul de la §6, ia câte două valori $x_1$ și $x_2$ la întâmplare și compară, cu calculatorul, valoarea la mijloc cu media valorilor. Notează de fiecare dată care dintre cele două numere e mai mare și verifică dacă rezultatul se potrivește cu tabelul.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce riguros o noțiune pe care elevul a mai întâlnit-o, la clasa a IX-a, doar ca lectură de grafic. Miza pedagogică este trecerea de la „se vede pe desen" la o inegalitate care se poate demonstra sau infirma. De aceea lecția nu folosește încă derivata a doua: criteriul rapid, introdus prea devreme, ar face definiția să pară inutilă, iar elevul ar rămâne fără raționamentul care stă sub ea.

Ce verifică lecția: (1) enunțul corect al definiției, cu toate cuantificatoarele; (2) traducerea ei geometrică — graficul sub coardă la convexe, deasupra coardei la concave; (3) demonstrația convexității unei funcții de gradul al doilea, prin identitatea $tf(x_1)+(1-t)f(x_2)-f(x)=at(1-t)(x_1-x_2{)}^2$; (4) infirmarea cu un contraexemplu pe mijloc; (5) precizarea intervalului pe care se face afirmația.

Întrebări bune de control: „Ce înseamnă că o funcție ține apa?", „De ce nu ajunge verificarea pe mijloc ca să demonstrezi convexitatea?", „De ce nu putem spune că $\frac{1}{x}$ e convexă pe tot domeniul ei?". Semn că a înțeles: nu confundă convexitatea cu monotonia și scrie de fiecare dată intervalul pe care face afirmația. La BAC M1, subiectul apare aproape întotdeauna prin derivata a doua (lecția următoare), dar cerințele de tip „arătați că $f(x)\ge g(x)$" se rezolvă exact cu ideea din această lecție: poziția graficului față de o dreaptă.

Întrebări frecvente

Ce este o funcție convexă? Este o funcție definită pe un interval care verifică inegalitatea $f(t{x}_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$ pentru orice două puncte ale intervalului și orice $t\in [0,1]$. Geometric, graficul ei se află sub orice coardă și deasupra oricărei tangente. Se ține minte prin imaginea cupei care „ține apa".

Care e diferența dintre convex și concav? Sensul inegalității. La o funcție convexă graficul stă sub coardă și se curbează în sus, ca o vale; la una concavă graficul stă deasupra coardei și se curbează în jos, ca o colină. Simbolurile folosite în tabele sunt $\cup$ pentru convexă și $\cap$ pentru concavă.

Cum arăt că o funcție este convexă? La clasa a XI-a ai două căi. Prima, cea din această lecție: pornești de la definiție și arăți inegalitatea pentru orice $t$ — la funcțiile de gradul al doilea, calculul se reduce la identitatea cu $at(1-t)(x_1-x_2{)}^2$. A doua, mult mai rapidă, vine în lecția următoare și cere doar ca $f^{\prime \prime }$ să fie mai mare sau egală cu zero pe interval.

Poate o funcție să fie și convexă, și concavă? Da, dar numai funcțiile afine $f(x)=bx+c$, inclusiv cele constante. La ele coarda se suprapune peste grafic, deci inegalitatea devine egalitate și e verificată în ambele sensuri.

O funcție crescătoare este automat convexă? Nu. $f(x)=\sqrt{x}$ crește pe $(0,+\infty )$, dar e concavă, iar $f(x)=e^{-x}$ scade pe $\mathbb{R}$ și e convexă. Monotonia și convexitatea sunt proprietăți diferite: prima spune încotro merge graficul, a doua spune cum se curbează.

De ce nu se spune „convexă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$"? Pentru că definiția are nevoie de un interval: între orice două puncte alese trebuie să existe tot segmentul care le unește. Mulțimea ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu are această proprietate, așa că despre $f(x)=\frac{1}{x}$ se spune separat că e concavă pe $(-\infty ,0)$ și convexă pe $(0,+\infty )$.

Cum arăt că o funcție nu este convexă? Cu un singur contraexemplu. Alegi două valori $x_1$ și $x_2$ și verifici mijlocul: dacă $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$, afirmația „pentru orice" cade și funcția nu e convexă pe acel interval.

Ce legătură are convexitatea cu tangenta? Graficul unei funcții convexe se află deasupra oricăreia dintre tangentele sale, atingând-o doar în punctul de contact; la o funcție concavă, graficul se află sub tangente. Este a doua imagine geometrică a aceleiași proprietăți și explică de ce, la funcțiile convexe, tangenta dă o aproximare „prin lipsă" a valorilor funcției.