Funcții integrabile. Integrala definită: pe scurt

Funcția $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este integrabilă (Riemann) dacă există un număr real $I$ astfel încât, pentru orice $\epsilon >0$, există $\delta >0$ cu proprietatea că $|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-I|<\epsilon$ pentru orice diviziune $\Delta$ cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$ și orice sistem $\xi$ de puncte intermediare. Ordinea cuantificatorilor nu se schimbă: $\epsilon$ se dă întâi, $\delta$ se caută după și depinde de el.

Cele două „orice” nu sunt decor: dacă valoarea ar depinde de alegerea punctelor, numărul $I$ nu ar fi bine definit. Se demonstrează că $I$ este unic, iar de aceea primește notația ${\int }_a^{b}f(x)dx$, numită integrala definită a lui $f$ pe $[a,b]$; $a$ și $b$ sunt limitele de integrare.

Variabila de integrare este mută: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt$, iar rezultatul este un număr, nu o expresie în $x$. Convențiile care completează notația sunt ${\int }_a^{a}f=0$ și ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$.

Direct din definiție, cu majorări valabile pe orice diviziune, se obțin ${\int }_a^{b}cdx=c(b-a)$ și ${\int }_a^{b}xdx=\frac{b^2-a^2}{2}$; pe diviziuni echidistante, cu formulele $\sum k$ și $\sum k^2$, se obține ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$. Pentru $f\ge 0$, integrala este aria subgraficului.

Exerciții din această mini-lecție

1. Funcția $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este integrabilă dacă există $I\in \mathbb{R}$ astfel încât:

   • a) pentru orice $\epsilon >0$ există $\delta >0$ cu $|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-I|<\epsilon$ pentru orice diviziune cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$ și orice sistem $\xi$
   • b) există o diviziune $\Delta$ și un sistem $\xi$ cu ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=I$
   • c) există $\delta >0$ astfel încât pentru orice $\epsilon >0$ are loc $|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-I|<\epsilon$
   • d) sumele Riemann pe diviziunile echidistante tind la $I$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) pentru orice $\epsilon >0$ există $\delta >0$ cu $|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-I|<\epsilon$ pentru orice diviziune cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$ și orice sistem $\xi$

   Definiția cere toate diviziunile fine și toate sistemele de puncte intermediare. Varianta b) se mulțumește cu o singură sumă, care nu dovedește nimic; varianta c) inversează cuantificatorii; varianta d) restrânge la diviziunile echidistante, deci ar declara integrabile funcții care nu sunt.

2. Calculată din definiție, ${\int }_1^{4}xdx$ este egală cu:

   • a) $\frac{3}{2}$
   • b) $15$
   • c) $\frac{17}{2}$
   • d) $\frac{15}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\frac{15}{2}$

   Din definiție se obține ${\int }_a^{b}xdx=\frac{b^2-a^2}{2}$, deci aici $\frac{16-1}{2}=\frac{15}{2}$. Varianta $15$ uită împărțirea la $2$, varianta $\frac{17}{2}$ adună pătratele în loc să le scadă, iar $\frac{3}{2}$ folosește $b-a$ în loc de $b^2-a^2$.

3. Care scriere este corectă?

   • a) ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}$
   • b) ${\int }_0^1{x}^{2}dx$ depinde de litera folosită sub integrală
   • c) ${\int }_0^1{x}^{2}dx={\int }_0^1{t}^{2}dt$
   • d) ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) ${\int }_0^1{x}^{2}dx={\int }_0^1{t}^{2}dt$

   Variabila de integrare este mută, deci litera nu contează, iar rezultatul unei integrale definite este un număr: aici $\frac{1}{3}$. Variantele a) și d) lasă litera $x$ (și chiar constanta $\mathcal{C}$) într-un rezultat care trebuie să fie un număr — confuzia dintre integrala definită și cea nedefinită.