Funcții integrabile și integrala definită

Un debitmetru montat pe conducta care alimentează un rezervor măsoară, în litri pe secundă, cât lichid trece prin secțiune. Aparatul nu știe să spună direct câți litri au intrat în rezervor între ora $9$ și ora $10$; el citește doar debitul, adică viteza cu care crește cantitatea. Inginerul face atunci singurul lucru rezonabil: taie ora în intervale scurte, citește debitul o dată în fiecare interval, înmulțește citirea cu durata intervalului și adună. Obține o estimare. Dacă taie mai fin, obține alta, mai bună. Întrebarea care deschide toată unitatea de integrale de la clasa a XII-a este dacă acest șir de estimări se apropie de un număr bine determinat — și dacă acel număr nu depinde de momentul ales, în fiecare interval, pentru citire.

Ai construit deja mecanismul: diviziunile unui interval și norma lor dau tăierea, iar sumele Riemann dau estimarea. Ce lipsește este exact răspunsul la întrebarea de mai sus, formulat cu grijă. Lecția aceasta îl dă: definește ce înseamnă ca o funcție să fie integrabilă și botează numărul către care converg sumele — integrala definită. De aici încolo, întreaga materie de analiză a anului de Bacalaureat M1 se sprijină pe această definiție, chiar și atunci când calculele se fac, mai târziu, pe scurtături.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția funcției integrabile cu $\epsilon$ și $\delta$, pe sume Riemann, cu toate cuantificatorii la locul lor.
• Vei ști să explici de ce definiția cere orice diviziune și orice sistem de puncte intermediare, nu doar unele convenabile.
• Vei ști să demonstrezi că numărul $I$ din definiție este unic, și de aceea merită o notație proprie.
• Vei ști să citești corect notația ${\int }_a^{b}f(x)dx$: limitele de integrare, funcția de sub integrală și variabila mută.
• Vei ști să calculezi din definiție integralele funcțiilor $f(x)=c$ și $f(x)=x$, cu majorări valabile pe orice diviziune, și pe cele ale funcțiilor de gradul al doilea, pe diviziuni echidistante, cu formulele $\sum k$ și $\sum k^2$.
• Vei ști să aplici convențiile ${\int }_a^{a}f=0$ și ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că sumele Riemann „se apropie de un număr"?

Funcția integrabilă Riemann este o funcție $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ pentru care există un număr real $I$ cu proprietatea că, oricât de strâmtă ar fi toleranța cerută, toate sumele Riemann construite pe diviziuni suficient de fine cad în interiorul acelei toleranțe față de $I$. Numărul $I$ se numește atunci integrala definită a lui $f$ pe intervalul $[a,b]$.

Formulat riguros, cu $\epsilon$ și $\delta$ — aceasta este definiția pe care o vei scrie la examen:

Definiție. Funcția $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ se numește integrabilă (Riemann) pe $[a,b]$ dacă există un număr real $I$ astfel încât pentru orice $\epsilon >0$ există $\delta >0$ cu proprietatea: pentru orice diviziune $\Delta$ a intervalului $[a,b]$ cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$ și pentru orice sistem $\xi$ de puncte intermediare asociat lui $\Delta$, are loc $$|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-I|<\epsilon .$$

Merită citită de trei ori, pe bucăți. „Există $I$" spune că avem o țintă. „Pentru orice $\epsilon$" spune că ținta trebuie atinsă cu orice precizie cerută dinainte. „Există $\delta$" spune că precizia se obține tăind suficient de fin. Iar „pentru orice $\Delta$ cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$ și orice $\xi$" spune că, o dată tăiat destul de fin, nu mai contează cum ai tăiat și de unde ai citit valorile: toate sumele sunt aproape de $I$.

Ordinea cuantificatorilor nu e negociabilă: $\delta$ se alege după ce $\epsilon$ a fost dat, și poate depinde de $\epsilon$ (de obicei chiar depinde). Este exact tiparul pe care l-ai întâlnit la definiția limitei unui șir — cu deosebirea că aici, în locul rangului $n$, controlul se face prin norma diviziunii, adică prin lungimea celui mai lat subinterval.

În limbaj de limită, definiția se rezumă la o singură formulă, pe care o vei folosi mereu: $$\underset{\Vert \Delta \Vert \to 0}{\lim }{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=I.$$

2. De ce cere definiția orice diviziune și orice alegere de puncte?

Pentru că fără această exigență, definiția ar fi goală. Imaginează-ți că am cere doar existența unei familii de diviziuni pe care sumele converg. Atunci aproape orice funcție ar fi „integrabilă", iar numărul obținut ar depinde de familia aleasă — adică nu ar fi o proprietate a funcției, ci una a metodei de măsurare. O mărime fizică nu are voie să depindă de cine o măsoară.

Există funcții pentru care acest lucru chiar se întâmplă. Funcția lui Dirichlet, $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, definită prin $f(x)=1$ pentru $x$ rațional și $f(x)=0$ pentru $x$ irațional, este primul contraexemplu al analizei. Ia orice diviziune $\Delta$ a lui $[0,1]$, oricât de fină. Fiindcă în orice subinterval nedegenerat există și numere raționale, și numere iraționale, poți alege punctele intermediare toate raționale — și atunci ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=1$ — sau toate iraționale, și atunci ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=0$. Pe aceeași diviziune, două sume Riemann care diferă cu $1$. Niciun număr $I$ nu poate fi la distanță mai mică de $\frac{1}{2}$ de amândouă, deci funcția lui Dirichlet nu este integrabilă. O reluăm la lecția despre integrabilitate și primitive, unde o comparăm și din unghiul primitivelor.

Reține tiparul, pentru că el este singura cale prin care se arată la clasă că o funcție nu e integrabilă folosind chiar definiția: se fixează o diviziune arbitrară, se construiesc două sisteme de puncte intermediare care dau sume mult diferite, și se invocă imposibilitatea ca ambele să fie aproape de același număr.

3. Numărul $I$ este unic

Definiția spune „există $I$". Ca notația ${\int }_a^{b}f(x)dx$ să aibă sens, trebuie să știm că un asemenea număr, dacă există, este singurul. Demonstrația e scurtă și merită scrisă, pentru că folosește exact mecanismul definiției.

Propoziție. Dacă $f$ este integrabilă pe $[a,b]$, numărul $I$ din definiție este unic.

Demonstrație. Presupunem, prin reducere la absurd, că două numere $I_1\ne I_2$ satisfac amândouă condiția din definiție. Luăm $\epsilon =\frac{|I_1-I_2|}{2}>0$. Pentru acest $\epsilon$ obținem un ${\delta }_1>0$ potrivit lui $I_1$ și un ${\delta }_2>0$ potrivit lui $I_2$. Fie $\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$ și fie $\Delta$ o diviziune oarecare cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$, cu un sistem $\xi$ de puncte intermediare (o astfel de diviziune există: e destul să tăiem $[a,b]$ în $n$ părți egale, cu $n$ suficient de mare). Atunci $$|I_1-I_2|\le |I_1-{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )|+|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-I_2|<\epsilon +\epsilon =|I_1-I_2|,$$ adică $|I_1-I_2|<|I_1-I_2|$, absurd. Rămâne $I_1=I_2$. $■$

Pasul-cheie este inegalitatea triunghiului, aplicată prin intermediul aceleiași sume ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )$: ea este simultan aproape de $I_1$ și aproape de $I_2$, deci cele două nu au cum să fie depărtate.

4. Notația: limitele de integrare și variabila mută

Numărul unic $I$ din definiție se notează $$I={\int }_a^{b}f(x)dx$$ și se numește integrala definită a funcției $f$ pe intervalul $[a,b]$. Semnul $\int$ este un $S$ alungit, de la summa; el amintește că totul a pornit de la o sumă. Numerele $a$ și $b$ se numesc limitele de integrare ($a$ este limita inferioară, $b$ cea superioară), funcția $f$ se numește funcția de sub integrală (sau integrandul), iar $x$ se numește variabila de integrare.

⚠️ Variabila de integrare este mută: ea nu supraviețuiește calculului. Toate scrierile $${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_a^{b}f(u)du$$ denumesc același număr. Litera aleasă este doar o etichetă internă, exact ca indicele de sumare din ${\sum }_{k=1}^n{a}_k={\sum }_{i=1}^n{a}_i$. Consecința practică, de ținut minte: rezultatul unei integrale definite nu conține niciodată litera de sub integrală. Dacă la un exercițiu îți iese ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}$, ai greșit — rezultatul trebuie să fie un număr.

De asemenea, atenție la simbolul $\Delta$. În toată această unitate el înseamnă diviziune; determinantul unui sistem și discriminantul unei ecuații de gradul al doilea, care poartă aceeași literă, nu apar aici.

5. Cum se calculează o integrală direct din definiție?

Până la formula rapidă care leagă integrala de primitive — o vei întâlni la formula care exprimă integrala definită cu ajutorul unei primitive — singurul instrument legitim este definiția însăși. Ea funcționează perfect pentru funcțiile simple, și e important să vezi cum, pentru că baremele de la Bacalaureat M1 cer uneori exact acest raționament.

Cazul întâi: funcția constantă. Fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, $f(x)=c$. Pentru orice diviziune $\Delta =(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ și orice sistem $\xi$, $${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=\sum _{i=1}^{n}c(x_i-x_{i-1})=c\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})=c(b-a),$$ pentru că suma lungimilor subintervalelor este chiar lungimea intervalului (sumă telescopică). Toate sumele Riemann sunt egale cu $c(b-a)$, deci condiția din definiție e îndeplinită cu orice $\delta >0$: $${\int }_a^{b}cdx=c(b-a).$$

Cazul al doilea: $f(x)=x$. Aici sumele nu mai sunt constante, dar le putem încadra. Plecăm de la identitatea telescopică $$\sum _{i=1}^n\frac{x_i^2-x_{i-1}^2}{2}=\frac{b^2-a^2}{2},$$ și observăm că $\frac{x_i^2-x_{i-1}^2}{2}=\frac{x_i+x_{i-1}}{2}(x_i-x_{i-1})$: fiecare termen este suma Riemann cu punctul intermediar luat la mijlocul subintervalului. Atunci, pentru un sistem $\xi$ oarecare, $${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-\frac{b^2-a^2}{2}=\sum _{i=1}^n\left({\xi }_i-\frac{x_i+x_{i-1}}{2}\right)(x_i-x_{i-1}).$$ Cum ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$, distanța de la ${\xi }_i$ la mijlocul subintervalului este cel mult jumătate din lungimea lui, deci $$\left|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-\frac{b^2-a^2}{2}\right|\le \sum _{i=1}^n\frac{(x_i-x_{i-1}{)}^2}{2}\le \frac{\Vert \Delta \Vert }{2}\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})=\frac{\Vert \Delta \Vert (b-a)}{2}.$$ Acum definiția se verifică pe loc: dat $\epsilon >0$, luăm $\delta =\frac{2\epsilon }{b-a}$; orice diviziune cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$ dă, indiferent de $\xi$, o abatere mai mică decât $\epsilon$. Prin urmare $${\int }_a^{b}xdx=\frac{b^2-a^2}{2}.$$

Aceasta este o demonstrație completă, nu o verificare pe cazuri particulare: majorarea a fost făcută pentru orice diviziune și orice sistem de puncte intermediare, exact cum cere definiția.

6. De la sumele deja calculate la un număr cu nume

Pentru $f(x)=x^2$ majorarea de mai sus devine greoaie, așa că schimbăm strategia și folosim ce avem deja. La lecția despre sume Riemann am obținut, pe diviziunea echidistantă a lui $[0,1]$ cu $n$ bucăți, cele trei sume standard: $${\sigma }_{\text{st}}=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2},{\sigma }_{\text{mij}}=\frac{4n^2-1}{12n^2},{\sigma }_{\text{dr}}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2},$$ toate obținute cu formula $\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, demonstrată prin metoda inducției matematice în clasa a IX-a, și toate cu limita $\frac{1}{3}$.

Ce aduce nou lecția de față este dreptul de a spune că acel $\frac{1}{3}$ este integrala. Până acum aveam trei șiruri cu aceeași limită; definiția cere ca toate sumele de pe toate diviziunile fine, cu orice alegere de puncte, să se strângă în jurul unui singur număr. Trei familii, oricât de convingătoare, nu sunt „toate".

⚠️ Iată de ce pasul acesta contează la barem. Din calculul echidistant rezultă doar o implicație condiționată: dacă $f$ este integrabilă, atunci integrala este $\frac{1}{3}$ — pentru că, dacă numărul $I$ există, sumele de pe orice familie convenabilă îl au drept limită. Faptul că $f(x)=x^2$ este integrabilă vine din teorema de la lecția următoare, clasele de funcții integrabile: orice funcție continuă pe un interval compact este integrabilă. Abia cu ea în mână scriem, cu conștiința împăcată, $${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}.$$

Deosebirea nu e formală. Există funcții pentru care șirul ${\sigma }_{\text{dr}}$ are limită și totuși integrala nu există — funcția lui Dirichlet de la subsecțiunea 2 este exact așa: cu puncte intermediare raționale, toate sumele sunt egale cu $1$, deci „limita" ar fi $1$. Ordinea corectă este întotdeauna aceeași: întâi justifici că funcția e integrabilă, apoi calculezi limita pe familia cea mai comodă.

7. Convențiile ${\int }_a^a$ și ${\int }_b^a$

Definiția are sens doar pentru $a<b$: un interval trebuie să aibă ce să fie tăiat. Două convenții completează notația și o fac utilizabilă în calcule: $${\int }_a^{a}f(x)dx=0,{\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx.$$ Prima spune că un interval redus la un punct are „lungime zero", deci contribuție nulă. A doua spune că parcurgerea intervalului în sens invers schimbă semnul rezultatului — este exact analogul deplasării pe o axă: distanța de la $a$ la $b$ și cea de la $b$ la $a$ diferă prin semn dacă ținem cont de sens.

Aceste două egalități sunt convenții, nu teoreme: nu se demonstrează, se adoptă, pentru că fac ca formulele de mai târziu să funcționeze fără cazuri particulare. Din ele rezultă, de pildă, ${\int }_1^0{x}^{2}dx=-\frac{1}{3}$ și ${\int }_7^7(x^3-5)dx=0$, ultima fără niciun calcul.

8. Ce arată integrala când $f\ge 0$?

Când funcția este continuă și pozitivă, fiecare sumă Riemann este suma ariilor unor dreptunghiuri lipite unul de altul, de baze $x_i-x_{i-1}$ și înălțimi $f({\xi }_i)$ — construcția din lecția despre problema ariei și subgraficul unei funcții. Cu cât diviziunea e mai fină, cu atât „scara" de dreptunghiuri urmărește mai bine curba. Numărul ${\int }_a^{b}f(x)dx$ este, prin urmare, aria suprafeței cuprinse între graficul lui $f$, axa $Ox$ și dreptele verticale $x=a$ și $x=b$.

Trei precizări care se cer spuse acum, ca să nu se strecoare greșeli mai târziu. Prima: interpretarea cu aria este valabilă numai pentru $f\ge 0$; când funcția coboară sub axă, porțiunile de sub axă intră în sumă cu semn negativ, iar integrala nu mai este o arie. A doua: integrala are sens și pentru funcții care nu sunt pozitive, ba chiar și pentru funcții care nu sunt continue — definiția nu pomenește nimic despre semn sau continuitate. A treia: aria propriu-zisă, ca disciplină de calcul, se studiază sistematic în unitatea de aplicații, la aria subgraficului unei funcții continue; aici ne interesează doar înțelesul numărului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O sumă Riemann pe o diviziune neechidistantă

Fie $f:[0,7]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$, diviziunea $\Delta =(0,1,3,4,7)$ și punctele intermediare $\xi =(1,2,4,5)$. Calculează $\Vert \Delta \Vert$ și ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )$, apoi compară cu valoarea integralei.

Lungimile subintervalelor sunt $1,2,1,3$, deci $\Vert \Delta \Vert =3$. Verificăm întâi că punctele intermediare sunt legale: $1\in [0,1]$, $2\in [1,3]$, $4\in [3,4]$, $5\in [4,7]$ — da. Atunci $${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=1\cdot 1+2\cdot 2+4\cdot 1+5\cdot 3=1+4+4+15=24.$$ Valoarea exactă este ${\int }_0^{7}xdx=\frac{7^2-0^2}{2}=\frac{49}{2}=24,5$. Abaterea este $0,5$, iar majorarea demonstrată la subsecțiunea 5 garantează cel mult $\frac{\Vert \Delta \Vert (b-a)}{2}=\frac{3\cdot 7}{2}=10,5$ — o estimare corectă, dar grosolană, fiindcă diviziunea e grosolană.

Exemplul 2 — O integrală dintr-o funcție constantă

Calculează, din definiție, ${\int }_0^{3}5dx$ și ${\int }_{-2}^4(-3)dx$.

Pentru orice diviziune și orice puncte intermediare, suma Riemann a funcției constante $f(x)=5$ pe $[0,3]$ este $5\cdot (3-0)=15$. Toate sumele fiind egale cu $15$, condiția din definiție este îndeplinită cu orice $\delta$, deci ${\int }_0^{3}5dx=15$.

Analog, ${\int }_{-2}^4(-3)dx=-3\cdot (4-(-2))=-18$. Observă că rezultatul este negativ: funcția este sub axă, deci numărul nu mai are înțeles de arie, ci de „arie cu semn".

Exemplul 3 — ${\int }_1^{4}xdx$, cu $\delta$ scris explicit

Arată, pornind de la definiție, că ${\int }_1^{4}xdx=\frac{15}{2}$, indicând un $\delta$ potrivit pentru $\epsilon =\frac{1}{100}$.

Din majorarea de la subsecțiunea 5, pentru $a=1$, $b=4$: $$\left|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-\frac{4^2-1^2}{2}\right|\le \frac{\Vert \Delta \Vert (4-1)}{2}=\frac{3\Vert \Delta \Vert }{2},$$ iar $\frac{4^2-1^2}{2}=\frac{15}{2}$. Cerem ca majorantul să fie sub $\epsilon$: $\frac{3\Vert \Delta \Vert }{2}<\frac{1}{100}⟺\Vert \Delta \Vert <\frac{1}{150}$. Așadar $\delta =\frac{1}{150}$ funcționează. Cum $\epsilon$ a fost arbitrar (formula generală este $\delta =\frac{2\epsilon }{b-a}$), funcția este integrabilă și ${\int }_1^{4}xdx=\frac{15}{2}$.

Exemplul 4 — ${\int }_1^3{x}^{2}dx$ pe diviziuni echidistante

Calculează suma Riemann a funcției $f(x)=x^2$ pe $[1,3]$, pentru diviziunea echidistantă cu $n$ subintervale și punctele intermediare în capetele din dreapta, apoi găsește valoarea integralei.

Pasul este $h=\frac{2}{n}$, nodurile sunt $x_k=1+\frac{2k}{n}$, iar ${\xi }_k=x_k$. Desfacem pătratul și folosim cele două formule de sumare: $${\sigma }_n=\sum _{k=1}^n{\left(1+\frac{2k}{n}\right)}^2\frac{2}{n}=\frac{2}{n}\left(n+\frac{4}{n}\cdot \frac{n(n+1)}{2}+\frac{4}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)=\frac{26}{3}+\frac{8}{n}+\frac{4}{3n^2}.$$ Limita este $\frac{26}{3}$. Funcția $x^2$ este continuă pe $[1,3]$, deci integrabilă (rezultat pe care îl vom enunța la lecția următoare), și $${\int }_1^3{x}^{2}dx=\frac{26}{3}.$$ Control rapid al plauzibilității: pe $[1,3]$ funcția ia valori între $1$ și $9$, deci integrala este cuprinsă între $1\cdot 2=2$ și $9\cdot 2=18$. Într-adevăr, $\frac{26}{3}\approx 8,67$. Pentru $n=10$ suma este $9,48$, iar pentru $n=100$ este $8,7468$.

Exemplul 5 — Convențiile și variabila mută, la lucru

Calculează, folosind convențiile și rezultatele de mai sus: a) ${\int }_7^7(x^5-3x+2)dx$; b) ${\int }_4^{1}tdt$; c) ${\int }_3^1{u}^{2}du$.

a) Limitele de integrare sunt egale, deci integrala este $0$ prin convenție — indiferent cât de complicată e funcția, și fără niciun calcul: ${\int }_7^7(x^5-3x+2)dx=0$.

b) Convenția de inversare dă ${\int }_4^{1}tdt=-{\int }_1^{4}tdt$. Litera $t$ nu schimbă nimic (variabilă mută), iar ${\int }_1^{4}xdx=\frac{15}{2}$ din Exemplul 3. Rezultatul este $-\frac{15}{2}$.

c) Analog, ${\int }_3^1{u}^{2}du=-{\int }_1^3{x}^{2}dx=-\frac{26}{3}$, folosind Exemplul 4.

Capcana de evitat: un rezultat de forma „${\int }_1^3{u}^{2}du=\frac{u^3}{3}$" este greșit din start. Integrala definită este un număr; litera de sub integrală dispare la calcul, exact ca indicele unei sume.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+2$, și diviziunea echidistantă ${\Delta }_n$ a intervalului $[0,1]$ în $n$ subintervale egale, cu punctele intermediare ${\xi }_k=\frac{k}{n}$. a) Scrie suma Riemann ${\sigma }_{{\Delta }_n}(f,\xi )$ în funcție de $n$. b) Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{\sigma }_{{\Delta }_n}(f,\xi )$. c) Deduce valoarea lui ${\int }_0^{1}f(x)dx$ și apoi a lui ${\int }_1^{0}f(x)dx$.

a) Pasul este $\frac{1}{n}$, iar $${\sigma }_{{\Delta }_n}(f,\xi )=\sum _{k=1}^n\left(3\cdot \frac{k}{n}+2\right)\cdot \frac{1}{n}=\frac{3}{n^2}\sum _{k=1}^{n}k+\frac{2}{n}\sum _{k=1}^{n}1=\frac{3}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}+2=\frac{3(n+1)}{2n}+2.$$ Aducând la aceeași formă, ${\sigma }_{{\Delta }_n}(f,\xi )=\frac{7}{2}+\frac{3}{2n}$.

b) $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{7}{2}+\frac{3}{2n}\right)=\frac{7}{2}$.

c) Funcția $f$ este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă; valoarea integralei se obține atunci ca limită pe orice familie convenabilă de diviziuni, în particular pe cea echidistantă. Prin urmare ${\int }_0^1(3x+2)dx=\frac{7}{2}$. Din convenția de inversare a limitelor, ${\int }_1^0(3x+2)dx=-\frac{7}{2}$.

Notă de barem: la subpunctul c) se punctează separat justificarea integrabilității („funcție continuă pe interval compact"). Fără ea, raționamentul rămâne incomplet, oricât de corect ar fi calculul de la a) și b) — este exact deprinderea pe care programa cere să o formăm.

Să exersăm

1. Scrie definiția funcției integrabile pe $[a,b]$, cu $\epsilon$ și $\delta$, fără să te uiți în lecție. Subliniază apoi cuantificatorii și spune, pentru fiecare, ce ar strica dacă ar fi scos.

2. Pentru $f:[0,6]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$, diviziunea $\Delta =(0,2,5,6)$ și $\xi =(1,3,6)$, calculează $\Vert \Delta \Vert$ și ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )$.

3. Aceeași funcție și aceeași diviziune ca la exercițiul 2, dar cu $\xi =(0,2,5)$ (capetele din stânga). Cu cât diferă cele două sume?

4. Calculează ${\int }_2^{5}4dx$ și ${\int }_{-1}^3(-2)dx$, justificând cu argumentul funcției constante.

5. Calculează ${\int }_2^{5}xdx$ folosind formula demonstrată în lecție.

6. Pentru $f(x)=x$ pe $[0,4]$, ce valoare a lui $\delta$ garantează $|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-I|<\frac{1}{1000}$ pentru orice diviziune cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$?

7. Fie $f(x)=x$ pe $[0,1]$ și o diviziune oarecare cu $\Vert \Delta \Vert =\frac{1}{50}$. Folosind majorarea demonstrată în lecție, arată că orice sumă Riemann de pe această diviziune diferă de $\frac{1}{2}$ cu cel mult $\frac{1}{100}$.

8. Pentru $f(x)=x$ pe $[0,1]$ și $\epsilon =\frac{1}{500}$, ce valoare a lui $\delta$ dă formula din lecție?

9. Calculează ${\int }_2^4{x}^{2}dx$ pe diviziuni echidistante cu punctele intermediare în capetele din dreapta. (Indicație: $x_k=2+\frac{2k}{n}$.)

10. Folosind formula ${\int }_a^{b}xdx=\frac{b^2-a^2}{2}$, calculează ${\int }_{-3}^{2}xdx$ și explică de ce rezultatul este negativ.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă pentru o funcție $f$ există o diviziune $\Delta$ și un sistem $\xi$ cu ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=7$, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx=7$.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) Rezultatul unei integrale definite poate depinde de litera folosită ca variabilă de integrare.

13. Calculează ${\int }_5^5(x^3-2x+9)dx$ și ${\int }_2^{0}xdx$.

14. (Problemă aplicată.) Debitul unei conducte, în litri pe secundă, este $Q(t)=2t$, unde $t$ se măsoară în secunde. Folosind integrala definită, calculează volumul scurs între $t=0$ și $t=10$ secunde, și verifică rezultatul cu formula ariei unui triunghi.

15. Despre o funcție $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ se știe că, pe orice diviziune, există un sistem de puncte intermediare cu suma Riemann egală cu $3$ și un altul cu suma egală cu $7$. Poate fi $f$ integrabilă? Justifică.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+1$, și ${\Delta }_n$ diviziunea echidistantă cu $n$ subintervale, cu ${\xi }_k=\frac{k}{n}$. a) Scrie ${\sigma }_{{\Delta }_n}(f,\xi )$; b) calculează limita ei; c) deduce ${\int }_0^{1}f(x)dx$.

17. Explică, în cel mult cinci rânduri, de ce numărul $I$ din definiție este unic, și unde intervine inegalitatea triunghiului.

18. (Provocare.) Fie $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=1$ pentru $x=\frac{1}{2}$ și $f(x)=0$ în rest. Arată, direct din definiție, că $f$ este integrabilă și că ${\int }_0^{1}f(x)dx=0$, indicând un $\delta$ potrivit fiecărui $\epsilon >0$.

Răspunsuri și explicații

1. Ordinea corectă: există $I$, pentru orice $\epsilon >0$, există $\delta >0$, pentru orice $\Delta$ cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$, pentru orice $\xi$. Dacă scoți „pentru orice $\xi$", funcția lui Dirichlet ar deveni integrabilă cu $I=1$ (alegând mereu puncte raționale). Dacă scoți „pentru orice $\Delta$", numărul obținut ar depinde de familia de diviziuni aleasă. Dacă inversezi $\epsilon$ cu $\delta$, ceri o singură fineţe bună pentru toate preciziile — imposibil.

2. Lungimile sunt $2,3,1$, deci $\Vert \Delta \Vert =3$. Punctele sunt legale ($1\in [0,2]$, $3\in [2,5]$, $6\in [5,6]$). Suma: $1\cdot 2+3\cdot 3+6\cdot 1=2+9+6=17$.

3. $\sigma =0\cdot 2+2\cdot 3+5\cdot 1=11$. Diferența este $17-11=6$, mare tocmai pentru că diviziunea e grosolană; valoarea exactă este ${\int }_0^{6}xdx=18$.

4. ${\int }_2^{5}4dx=4\cdot (5-2)=12$; ${\int }_{-1}^3(-2)dx=-2\cdot 4=-8$. Justificarea: toate sumele Riemann ale unei funcții constante sunt egale cu $c(b-a)$, deci definiția e verificată cu orice $\delta$.

5. ${\int }_2^{5}xdx=\frac{5^2-2^2}{2}=\frac{21}{2}=10,5$.

6. $\delta =\frac{2\epsilon }{b-a}=\frac{2}{1000\cdot 4}=\frac{1}{2000}$.

7. Majorarea din lecție dă $\left|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-\frac{1^2-0^2}{2}\right|\le \frac{\Vert \Delta \Vert (1-0)}{2}=\frac{1}{100}$, pentru orice alegere a punctelor intermediare.

8. $\delta =\frac{2\epsilon }{b-a}=\frac{2}{500}=\frac{1}{250}$.

9. $h=\frac{2}{n}$, $x_k=2+\frac{2k}{n}$, deci ${\sigma }_n=\sum _{k=1}^n{\left(2+\frac{2k}{n}\right)}^2\frac{2}{n}=\frac{2}{n}\left(4n+\frac{8}{n}\cdot \frac{n(n+1)}{2}+\frac{4}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)=\frac{56}{3}+\frac{12}{n}+\frac{4}{3n^2}$. Limita este $\frac{56}{3}$, deci ${\int }_2^4{x}^{2}dx=\frac{56}{3}\approx 18,67$.

10. ${\int }_{-3}^{2}xdx=\frac{2^2-(-3{)}^2}{2}=\frac{4-9}{2}=-\frac{5}{2}$. Rezultatul este negativ pentru că pe $[-3,0)$ funcția este negativă, iar acea porțiune „cântărește" mai mult decât cea pozitivă de pe $(0,2]$.

11. Fals. O singură sumă Riemann nu spune nimic: definiția cere ca toate sumele de pe diviziuni suficient de fine să fie aproape de $I$. Contraexemplu: pentru $f(x)=x$ pe $[0,6]$, exercițiul 2 a dat $17$, exercițiul 3 a dat $11$, iar integrala este $18$.

12. Fals. Variabila de integrare este mută: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt$. Litera dispare la calcul, iar rezultatul este un număr.

13. ${\int }_5^5(x^3-2x+9)dx=0$ (convenția pentru limite egale, fără calcul). ${\int }_2^{0}xdx=-{\int }_0^{2}xdx=-\frac{2^2}{2}=-2$.

14. Volumul este ${\int }_0^{10}2tdt$. Cum ${\int }_a^{b}xdx=\frac{b^2-a^2}{2}$, iar factorul $2$ se poate scoate direct din suma Riemann ($\sum 2{\xi }_k\Delta t_k=2\sum {\xi }_k\Delta t_k$), obținem $2\cdot \frac{100}{2}=100$ litri. Verificare: graficul lui $Q$ este o dreaptă prin origine, iar subgraficul pe $[0,10]$ e triunghiul de catete $10$ și $20$, cu aria $\frac{10\cdot 20}{2}=100$.

15. Nu. Dacă ar exista $I$ care satisface definiția, luăm $\epsilon =1$ și obținem un $\delta$; pe o diviziune cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$ avem simultan $|3-I|<1$ și $|7-I|<1$, de unde $4=|7-3|\le |7-I|+|I-3|<2$ — absurd. Tiparul este cel al funcției lui Dirichlet, în formă abstractă: două sume mult diferite pe aceeași diviziune omoară integrabilitatea.

16. a) ${\sigma }_{{\Delta }_n}=\sum _{k=1}^n\left(\frac{4k}{n}+1\right)\frac{1}{n}=\frac{4}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}+1=\frac{2(n+1)}{n}+1=3+\frac{2}{n}$. b) Limita este $3$. c) $f$ este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă, și ${\int }_0^1(4x+1)dx=3$.

17. Dacă $I_1\ne I_2$ ar satisface amândouă definiția, luăm $\epsilon =\frac{|I_1-I_2|}{2}$ și un $\delta$ bun pentru amândouă. O sumă ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )$ pe o diviziune cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$ este simultan la distanță mai mică de $\epsilon$ de fiecare. Inegalitatea triunghiului dă $|I_1-I_2|<2\epsilon =|I_1-I_2|$, absurd.

18. Fie $\Delta$ o diviziune oarecare și $\xi$ un sistem de puncte intermediare. În suma ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=\sum f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$, un termen este nenul doar dacă ${\xi }_i=\frac{1}{2}$. Punctul $\frac{1}{2}$ aparține la cel mult două subintervale (unul singur, dacă nu e nod al diviziunii), deci cel mult doi termeni sunt nenuli, fiecare egal cu lungimea subintervalului lui. Prin urmare $$0\le {\sigma }_{\Delta }(f,\xi )\le 2\Vert \Delta \Vert .$$ Dat $\epsilon >0$, luăm $\delta =\frac{\epsilon }{2}$: orice diviziune cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$ dă $|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-0|\le 2\Vert \Delta \Vert <\epsilon$. Definiția este verificată cu $I=0$, deci $f$ este integrabilă și ${\int }_0^{1}f(x)dx=0$. O valoare izolată, oricât de mare, nu poate mișca integrala.

De reținut

• O funcție $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este integrabilă dacă există un număr $I$ astfel încât, pentru orice $\epsilon >0$, există $\delta >0$ cu $|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )-I|<\epsilon$ pentru orice diviziune cu $\Vert \Delta \Vert <\delta$ și orice sistem de puncte intermediare.
• Numărul $I$ este unic, se notează ${\int }_a^{b}f(x)dx$ și se numește integrala definită a lui $f$ pe $[a,b]$.
• Variabila de integrare este mută, deci ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt$, iar rezultatul unei integrale definite este întotdeauna un număr, nu o expresie în $x$.
• Din definiție se obțin direct, cu majorări valabile pe orice diviziune, ${\int }_a^{b}cdx=c(b-a)$ și ${\int }_a^{b}xdx=\frac{b^2-a^2}{2}$; pe diviziuni echidistante, cu formulele $\sum k$ și $\sum k^2$, se obțin ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$ și ${\int }_1^3{x}^{2}dx=\frac{26}{3}$.
• Convențiile ${\int }_a^{a}f=0$ și ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$ completează notația și se folosesc fără demonstrație.

Greșeli frecvente

• Greșeala: a crede că o singură sumă Riemann apropiată de un număr dovedește integrabilitatea. Corect: definiția cere toate diviziunile fine și toate sistemele de puncte intermediare; o singură sumă nu dovedește nimic.
• Greșeala: a scrie ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}$. Corect: integrala definită este un număr; litera $x$ este mută și nu are voie să apară în rezultat.
• Greșeala: a inversa ordinea cuantificatorilor („există $\delta$ astfel încât pentru orice $\epsilon$…"). Corect: $\epsilon$ se dă primul, $\delta$ se caută după și depinde de el.
• Greșeala: a spune că integrala este „aria de sub grafic" pentru orice funcție. Corect: interpretarea cu aria este valabilă doar pentru $f\ge 0$; sub axă contribuțiile intră cu semn negativ.
• Greșeala: a confunda $\Delta$ diviziune cu $\Delta$ discriminant sau determinant. Corect: în toată unitatea integralei definite, $\Delta$ înseamnă diviziune, iar norma ei se scrie $\Vert \Delta \Vert$, cu bare duble.

Aplică acasă

1. Ia o foaie de calcul tabelar și construiește coloana sumelor Riemann pentru $f(x)=x^2$ pe $[0,1]$, cu diviziuni echidistante și punctele intermediare în capătul din dreapta, pentru $n=5,10,50,100,500$. Urmărește cum se apropie valorile de $0,3333$ și estimează cu cât scade eroarea când $n$ se înmulțește cu $10$.
2. Repetă construcția cu punctele intermediare la mijlocul subintervalelor și compară cele două coloane. Formulează în scris, în două propoziții, ce ai observat despre viteza de apropiere.
3. Măsoară un fenomen real cu debit variabil (apa care curge de la robinet umplând un vas, în trepte de $10$ secunde) și estimează cantitatea totală prin sumă Riemann. Scrie diviziunea folosită, norma ei și suma obținută, apoi rafinează diviziunea la trepte de $5$ secunde și compară.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce definiția riguroasă a integrabilității Riemann, adică inima unității. Este singura lecție din unitate în care integralele se calculează exclusiv din definiție; toate metodele rapide vin după. Această ordine e deliberată: elevul care sare direct la formule nu înțelege niciodată de ce integrala unei funcții discontinue poate exista, iar la BAC pierde punctele de justificare.

Întrebări de control: Ce spune „pentru orice sistem de puncte intermediare" și ce s-ar strica fără această cerință? De ce numărul $I$ este unic? Ce înseamnă că variabila de integrare este mută? Cât este ${\int }_a^{b}cdx$ și de ce se poate spune imediat?

Semne că a înțeles: scrie definiția cu cuantificatorii în ordinea corectă, fără să-i inverseze; nu confundă suma Riemann (aproximare) cu integrala (număr-limită); calculează ${\int }_0^1{x}^{2}dx$ din definiție și spune de ce are voie să se limiteze la diviziuni echidistante; folosește convenția ${\int }_b^a=-{\int }_a^b$ fără ezitare.

La Bacalaureat M1, definiția apare rar cerută integral, dar raționamentul apare des: la Subiectul al III-lea, în problemele care cer limita unui șir scris ca sumă Riemann, punctajul se acordă separat pentru identificarea funcției, a diviziunii și pentru justificarea integrabilității. De aceea lecția insistă pe acest pas, chiar dacă el pare formal.

Întrebări frecvente

Ce este integrala definită a unei funcții?

Integrala definită a funcției $f$ pe intervalul $[a,b]$ este numărul unic $I$ către care converg toate sumele Riemann ale lui $f$ atunci când norma diviziunii tinde la zero, indiferent de diviziune și de alegerea punctelor intermediare. Se notează ${\int }_a^{b}f(x)dx$. Când $f$ este pozitivă, acest număr este aria suprafeței dintre grafic, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$.

Când este o funcție integrabilă pe un interval?

O funcție $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este integrabilă dacă există un număr real $I$ astfel încât, pentru orice toleranță $\epsilon >0$, se poate găsi o fineţe $\delta >0$ cu proprietatea că toate sumele Riemann de pe diviziuni cu norma mai mică decât $\delta$ diferă de $I$ cu mai puțin de $\epsilon$. Criteriile practice de recunoaștere — continuitate, monotonie, mărginire — sunt subiectul lecției următoare.

Cum se calculează o integrală definită direct din definiție?

Se ia diviziunea echidistantă a intervalului în $n$ părți egale, se aleg punctele intermediare într-un mod convenabil (de obicei capetele din dreapta), se scrie suma Riemann și se calculează cu formulele $\sum k$, $\sum k^2$, $\sum k^3$. Limita șirului obținut, când $n\to \infty$, este integrala — cu condiția să se justifice separat că funcția este integrabilă.

De ce cere definiția „pentru orice sistem de puncte intermediare"?

Pentru că altfel numărul obținut ar depinde de metoda de măsurare, nu de funcție. Funcția lui Dirichlet arată de ce: pe aceeași diviziune, puncte raționale dau suma $1$, iar puncte iraționale dau suma $0$. Cerința „pentru orice $\xi$" o exclude imediat din clasa funcțiilor integrabile, ceea ce este exact rezultatul dorit.

Ce înseamnă că variabila de integrare este mută?

Înseamnă că litera de sub semnul integralei este doar o etichetă internă și nu apare în rezultat: ${\int }_a^{b}f(x)dx$, ${\int }_a^{b}f(t)dt$ și ${\int }_a^{b}f(u)du$ sunt același număr. Este aceeași situație ca la indicele unei sume. Consecința practică: dacă rezultatul tău conține litera de sub integrală, ai oprit calculul prea devreme.

Care este diferența dintre suma Riemann și integrala definită?

Suma Riemann este o aproximare: depinde de diviziunea aleasă și de punctele intermediare, deci pentru aceeași funcție există o infinitate de sume. Integrala definită este limita acestor sume când norma diviziunii tinde la zero, un singur număr atașat funcției și intervalului. Suma se calculează întotdeauna; limita există doar pentru funcțiile integrabile.

De ce se adoptă convențiile pentru limite egale și pentru limite inversate?

Pentru că definiția are sens doar când $a<b$, iar formulele de mai târziu ar avea nevoie de cazuri particulare fără aceste convenții. Se adoptă ${\int }_a^{a}f=0$, fiindcă un interval redus la un punct nu are ce contribui, și ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$, fiindcă parcurgerea în sens invers schimbă semnul. Nu sunt teoreme, ci alegeri de notație.