Graficul funcțiilor cu radicali: pe scurt

Domeniul unei funcții cu radicali se citește din radicand: ordinul par cere radicandul nenegativ, ordinul impar nu impune nicio restricție. La un capăt închis al domeniului în care derivata este infinită se scrie $-\infty$ sau $+\infty$ în tabel, iar graficul pornește cu o semitangentă verticală; simbolul $\nexists$ se rezervă situației în care derivatele laterale sunt diferite. Deosebirea dintre tangenta verticală și punctul de întoarcere vine din semnul derivatelor laterale, nu din faptul că sunt infinite: funcția $\sqrt[3]{x}$ are în origine tangentă verticală (curba trece mai departe), iar $\sqrt[3]{x^2}$ are punct de întoarcere (curba se întoarce). Asimptotele oblice se calculează separat la cele două capete, pentru că $\sqrt{x^2}=|x|$ este $x$ la dreapta și $-x$ la stânga, deci pantele ies opuse și dreptele sunt simetrice față de axa $Oy$. Panta finită și nenulă nu garantează însă asimptota: mai trebuie ca $f(x)-mx$ să aibă limită finită. La desen se marchează cu grijă capetele închise ale domeniului și direcția semitangentelor, iar un domeniu format din două semidrepte cere câte un tabel de variație pe fiecare interval.

Exerciții din această mini-lecție

1. Domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\sqrt{x^2-5x+6}$ este:

   • a) $[2,3]$
   • b) $\mathbb{R}$
   • c) $(-\infty ,2)\cup (3,+\infty )$
   • d) $(-\infty ,2]\cup [3,+\infty )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $(-\infty ,2]\cup [3,+\infty )$

   Radicalul fiind de ordin par, se cere $x^2-5x+6\ge 0$, adică $(x-2)(x-3)\ge 0$. Trinomul are semnul coeficientului dominant în afara rădăcinilor, deci soluția este $(-\infty ,2]\cup [3,+\infty )$, cu capete închise, fiindcă egalitatea este permisă. Varianta a ia exact intervalul pe care trinomul este negativ.

2. Care dintre funcțiile de mai jos are punct de întoarcere în origine?

   • a) $f(x)=\sqrt[3]{x}$
   • b) $f(x)=x^3$
   • c) $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$
   • d) $f(x)=\sqrt[3]{x^5}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$

   La $\sqrt[3]{x^2}$ derivatele laterale în $0$ sunt infinite și de semne contrare ($-\infty$ la stânga, $+\infty$ la dreapta), deci curba se întoarce. La $\sqrt[3]{x}$ ambele derivate laterale sunt $+\infty$, deci acolo este o tangentă verticală, iar curba trece mai departe. Funcția $x^3$ este derivabilă în $0$, cu tangentă orizontală, iar $\sqrt[3]{x^5}$ are tot tangentă orizontală, fiindcă derivata ei, $\frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}$, tinde la $0$.

3. Graficul funcției $f(x)=\sqrt{4x^2+1}$ are asimptotele:

   • a) $y=2x$ spre $+\infty$ și $y=-2x$ spre $-\infty$
   • b) $y=2x$ spre ambele capete
   • c) $y=2x+1$ spre $+\infty$
   • d) $y=x$ spre $+\infty$ și $y=-x$ spre $-\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $y=2x$ spre $+\infty$ și $y=-2x$ spre $-\infty$

   Scriem $\sqrt{4x^2+1}=|x|\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}$. Spre $+\infty$ panta este $m=2$, iar $n=\lim \left(\sqrt{4x^2+1}-2x\right)=\lim \frac{1}{\sqrt{4x^2+1}+2x}=0$. Spre $-\infty$ modulul devine $-x$, deci $m=-2$ și, analog, $n=0$. Cele două drepte sunt simetrice față de axa $Oy$.