Graficul funcțiilor cu radicali

Distanța de la un punct care se mișcă pe o șosea dreaptă până la un far aflat la un kilometru de șosea este $d(x)=\sqrt{x^2+1}$, iar graficul acestei funcții arată exact cum se apropie și cum se depărtează cele două: aproape de far, curba se rotunjește; departe, se lipește de două drepte oblice. Lecția aceasta, a treia din seria de reprezentări grafice a clasei a 12-a, arată cum se desenează corect funcțiile în care apare un radical. O funcție cu radicali este o funcție în a cărei expresie apare cel puțin un radical, iar domeniul ei se obține impunând ca fiecare radicand de ordin par să fie pozitiv sau nul; graficul ei poate avea semitangente verticale.

Radicalii aduc trei lucruri noi față de lecțiile precedente. Domeniul nu mai vine din numitor, ci din radicand. Derivata poate să nu existe chiar în puncte în care funcția există și este continuă, iar acolo graficul are semitangente verticale sau se întoarce. În sfârșit, asimptotele oblice pot fi diferite spre cele două capete, ceea ce la funcțiile raționale nu se întâmplă niciodată.

Ce vei învăța

• Vei ști să determini domeniul unei funcții cu radicali, distingând ordinul par de cel impar.
• Vei ști să găsești punctele în care funcția este continuă fără să fie derivabilă și să le numești corect.
• Vei ști să deosebești o semitangentă verticală de o tangentă verticală și de un punct de întoarcere.
• Vei ști să calculezi asimptotele oblice ale funcțiilor de tipul $\sqrt{x^2+1}$, separat spre $-\infty$ și spre $+\infty$.
• Vei ști să recunoști cazul în care panta există, dar asimptota oblică nu.
• Vei ști să desenezi corect capetele închise ale domeniului și semitangentele verticale.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o funcție cu radicali și cum i se află domeniul?

O funcție cu radicali este o funcție în a cărei expresie apare cel puțin un radical, iar domeniul ei maxim de definiție se obține impunând ca fiecare radicand de ordin par să fie mai mare sau egal cu zero; radicalii de ordin impar nu aduc nicio restricție, pentru că sunt definiți pe toată mulțimea numerelor reale.

Cele două reguli, scrise pe scurt:

• ordin par: $\sqrt[2k]{E(x)}$ cere $E(x)\ge 0$; dacă radicalul stă la numitor, se cere $E(x)>0$;
• ordin impar: $\sqrt[2k+1]{E(x)}$ este definit pentru orice $x$ pentru care $E(x)$ este definit.

Domeniul obținut se scrie, ca întotdeauna, ca reuniune de intervale — iar el poate fi un interval închis și mărginit, ca $[-2,2]$ pentru $\sqrt{4-x^2}$, sau o reuniune de două semidrepte, ca $(-\infty ,0]\cup [2,+\infty )$ pentru $\sqrt{x^2-2x}$. Spre deosebire de graficul funcțiilor raționale, aici capetele domeniului aparțin de obicei domeniului, deci în ele se calculează valori, nu limite.

2. Unde nu este derivabilă o funcție cu radicali?

Tabelul canonic al derivatelor dă ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pe $(0,+\infty )$, iar formula compusă este ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$. Ambele au numitorul $\sqrt{u}$: acolo unde radicandul se anulează, formula nu mai poate fi folosită, dar funcția există în continuare.

Ce se întâmplă exact în astfel de puncte se decide cu derivatele laterale, ca la clasa a XI-a, în punctele unghiulare și de întoarcere. Trei situații acoperă tot ce apare în practică:

• capăt închis al domeniului, cu derivată laterală infinită — de exemplu $f(x)=\sqrt{x}$ în $0$, unde $f_d^{\prime }(0)=+\infty$. Graficul pornește cu o semitangentă verticală, adică se ridică vertical din punctul de plecare. Nu se scrie $\nexists$: derivata există în $\overline{\mathbb{R}}$, doar că este infinită;
• punct interior cu derivate laterale infinite și egale — graficul are o tangentă verticală și trece dintr-o parte în alta fără să se întoarcă;
• punct interior cu derivate laterale infinite și de semne contrare — graficul are un punct de întoarcere: urcă vertical dintr-o parte și coboară vertical în cealaltă, ca vârful ascuțit al unei litere V rotunjite.

În tabelul de variație, un capăt cu derivată infinită primește $-\infty$ sau $+\infty$ pe rândul lui $f^{\prime }$; simbolul $\nexists$ se rezervă cazului în care derivatele laterale diferă, adică punctelor de întoarcere și celor unghiulare.

3. Cum se calculează asimptotele oblice ale funcțiilor cu radicali?

Aici este capcana cea mai costisitoare a lecției, iar ea are un singur vinovat: $\sqrt{x^2}=|x|$, care este $x$ pentru $x\ge 0$, dar $-x$ pentru $x<0$. Din această cauză, procedura în trei pași fixată în asimptota oblică — panta, apoi termenul liber, apoi ecuația dreptei cu capătul precizat — se reia de la capăt la fiecare dintre cele două capete infinite, ca la două probleme diferite.

Luăm exemplul-etalon $f(x)=\sqrt{x^2+1}$, cu $D=\mathbb{R}$. Spre $+\infty$:

$$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x}=1,$$

pentru că pentru $x>0$ avem $|x|=x$. Apoi, prin amplificare cu conjugata,

$$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=0,$$

deci asimptota spre $+\infty$ este $y=x$. Spre $-\infty$, avem $|x|=-x$, deci $m=-1$, iar $n=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}=0$: asimptota este $y=-x$. Cele două drepte sunt diferite, iar graficul stă deasupra amândurora, pentru că $\sqrt{x^2+1}>|x|$.

Reține procedura ca rețetă: scoate $|x|$ de sub radical, înlocuiește-l cu $x$ sau cu $-x$ după capătul la care lucrezi, apoi amplifică cu conjugata pentru al doilea calcul.

4. Când panta există, dar asimptota nu

Existența lui $m$ finit și nenul nu ajunge. Exemplul care lămurește totul este $f(x)=x-2\sqrt{x}$, definită pe $[0,+\infty )$:

$$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-2\sqrt{x}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)=1,$$

deci panta există. Dar $f(x)-mx=-2\sqrt{x}\to -\infty$, deci $n$ nu este număr real și nu există asimptotă oblică. Graficul urcă spre infinit rămânând tot mai jos față de dreapta $y=x$, fără să se apropie vreodată de ea.

Este exact a patra dintre cele patru situații în care oblica nu există, enumerate în lecția despre asimptota oblică: panta este bună, dar termenul liber nu este finit. Regula de aplicat mereu: se calculează întâi $m$; dacă este finit și nenul, se calculează $n$; dacă și $n$ este finit, abia atunci se scrie dreapta, cu capătul precizat. Un răspuns care sare peste al doilea pas este incomplet la Bacalaureat M1.

5. Radicalii de ordin impar: tangentă verticală sau punct de întoarcere

Comparația dintre $\sqrt[3]{x}$ și $\sqrt[3]{x^2}$ este exemplul pe care merită să-l reții cuvânt cu cuvânt, pentru că cele două funcții se comportă diferit în origine.

Pentru $f(x)=\sqrt[3]{x}$, raportul $\frac{\sqrt[3]{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ tinde la $+\infty$ din ambele părți, deci $f^{\prime }(0)=+\infty$: graficul are tangentă verticală în origine, dar nu punct de întoarcere, pentru că funcția continuă să urce.

Pentru $g(x)=\sqrt[3]{x^2}$, raportul $\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ tinde la $-\infty$ la stânga și la $+\infty$ la dreapta: derivatele laterale sunt infinite și de semne contrare, deci originea este punct de întoarcere.

Rămâne de justificat derivabilitatea în punctele negative, pentru că tabelul canonic dă ${\left(\sqrt[n]{x}\right)}^{\prime }$ numai pe $(0,+\infty )$ și nu se extinde automat. Pentru $g$ argumentul este scurt: $g$ este pară, deci pentru $x<0$ putem scrie $g(x)=\sqrt[3]{(-x{)}^2}$, unde $-x>0$; derivând compunerea cu funcția $x\mapsto -x$, obținem $g^{\prime }(x)=-\frac{2}{3\sqrt[3]{-x}}$, adică exact $g^{\prime }(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$. Formula este deci valabilă pe tot ${\mathbb{R}}^{\ast }$, dar am obținut-o dintr-un argument, nu direct din tabel.

6. Pasul al nouălea: desenul, cu semitangente și capete închise

Ultimul pas al schemei fixate la schema completă a reprezentării grafice capătă, la funcțiile cu radicali, trei precizări de desen:

1. capătul închis al domeniului se desenează cu punct plin — funcția chiar are valoare acolo, spre deosebire de punctele excluse ale funcțiilor raționale, care se marchează cu cerculeț gol;
2. semitangenta verticală se desenează scurt și vertical, ca să se vadă că panta este infinită; fără ea, desenul sugerează greșit o tangentă oblică;
3. asimptotele oblice se trasează punctat, amândouă, chiar dacă sunt simetrice, și se scriu dedesubt cu ecuațiile lor și cu precizarea capătului: „$y=x$ spre $+\infty$, $y=-x$ spre $-\infty$".

O ultimă precizare de metodă, valabilă pentru toată unitatea: radicalul nu schimbă schema, ci numai locurile în care trebuie să fii atent. Domeniul se citește din radicand în loc să se citească din numitor, derivata se oprește acolo unde radicandul se anulează, iar asimptotele se calculează de două ori, câte una pentru fiecare capăt. Restul pașilor — semnul derivatei întâi, semnul derivatei a doua, valorile, tabelul, citirea lui — se execută exact la fel ca la funcțiile polinomiale. Aceeași observație se va repeta și la graficul funcțiilor exponențiale și logaritmice, unde punctul delicat va fi altul: creșterea foarte rapidă a exponențialei și comportarea logaritmului lângă zero.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Capăt închis cu semitangentă verticală

Reprezentați grafic funcția $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2\sqrt{x}$.

Rezolvare. Pașii 1–2: radicandul cere $x\ge 0$, deci $D=[0,+\infty )$. Funcția este continuă pe $D$ și derivabilă pe $(0,+\infty )$. Intersecțiile: $f(x)=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)=0$ dă $x=0$ și $x=4$, deci $(0,0)$ și $(4,0)$.

Pasul 3: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$. Am arătat mai sus că $m=1$, dar $f(x)-x\to -\infty$, deci funcția nu are asimptote.

Pașii 4–6: $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$, cu unicul zero $x=1$; $f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{2x\sqrt{x}}>0$ pe tot $(0,+\infty )$. Valorile: $f(0)=0$, $f(1)=-1$, $f^{\prime \prime }(1)=\frac{1}{2}$. În $0$, derivata la dreapta este $-\infty$, deci graficul pornește cu semitangentă verticală.

Citirea tabelului: $f$ scade pe $[0,1]$ și crește pe $[1,+\infty )$; minimul global este $f(1)=-1$, iar $f(0)=0$ este maxim local, atins în capătul închis; funcția este convexă pe tot domeniul; imaginea este $[-1,+\infty )$. Ambele derivate sunt infinite în $0$, ceea ce se traduce prin plecarea verticală a curbei.

Exemplul 2 — Domeniu închis și mărginit: semicercul

Reprezentați grafic funcția $f:[-2,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{4-x^2}$.

Rezolvare. Pașii 1–2: $4-x^2\ge 0⟺x\in [-2,2]$, deci $D=[-2,2]$, interval închis și mărginit. Funcția este pară și continuă pe $D$, derivabilă pe $(-2,2)$. Intersecțiile: $(\pm 2,0)$ și $(0,2)$.

Pasul 3: domeniul nu are capete infinite și nici capete deschise, deci la capete se calculează valori, nu limite: $f(-2)=f(2)=0$. Funcția nu are asimptote.

Pașii 4–6: $f^{\prime }(x)=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$, cu unicul zero $0$; $f^{\prime \prime }(x)=\frac{-4}{\left(4-x^2\right)\sqrt{4-x^2}}<0$ pe tot $(-2,2)$. Valorile: $f(0)=2$, $f^{\prime \prime }(0)=-\frac{1}{2}$; în capete, $f_d^{\prime }(-2)=+\infty$ și $f_s^{\prime }(2)=-\infty$.

Citirea tabelului: $f$ crește pe $[-2,0]$ și scade pe $[0,2]$, cu maximul global $f(0)=2$ și minimele $f(\pm 2)=0$; este concavă pe tot domeniul, fără inflexiuni; imaginea este $[0,2]$.

Pasul 9: punctele graficului satisfac $\sqrt{x^2+f(x{)}^2}=\sqrt{x^2+4-x^2}=2$, adică se află toate la distanța $2$ de origine. Cum în plus $f(x)\ge 0$, graficul este semicercul superior de rază $2$ cu centrul în origine — iar cele două semitangente din capete sunt verticale, exact cum se cuvine unui cerc.

Exemplul 3 — Domeniu format din două semidrepte

Reprezentați grafic funcția $f(x)=\sqrt{x^2-2x}$.

Rezolvare. Pașii 1–2: $x^2-2x\ge 0⟺x\in (-\infty ,0]\cup [2,+\infty )$. Domeniul are două bucăți, deci graficul are două ramuri. Funcția este continuă pe $D$ și derivabilă în interiorul fiecărei bucăți. Intersecțiile cu axele: $(0,0)$ și $(2,0)$.

Pasul 3: spre $+\infty$, $m=1$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-2x}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2x}{\sqrt{x^2-2x}+x}=-1$, deci asimptota este $y=x-1$. Spre $-\infty$, $|x|=-x$ dă $m=-1$, iar $n=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-2x}+x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2x}{\sqrt{x^2-2x}-x}=1$, deci asimptota este $y=-x+1$.

Pașii 4–6: $f^{\prime }(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}$; pe $(-\infty ,0)$ numărătorul este negativ, deci $f^{\prime }<0$, iar pe $(2,+\infty )$ este pozitiv, deci $f^{\prime }>0$. Apoi $f^{\prime \prime }(x)=\frac{-1}{\left(x^2-2x\right)\sqrt{x^2-2x}}<0$ pe ambele bucăți. În capetele închise, $f_s^{\prime }(0)=-\infty$ și $f_d^{\prime }(2)=+\infty$: două semitangente verticale.

Pentru că între $0$ și $2$ funcția nu este definită pe niciun interval, cele două ramuri nu pot sta în același tabel: alternanța punct–interval s-ar rupe. Scriem, prin urmare, câte un tabel pentru fiecare interval al domeniului.

Citirea tabelelor: pe $(-\infty ,0]$ funcția scade de la $+\infty$ la $0$, iar pe $[2,+\infty )$ crește de la $0$ la $+\infty$; ambele minime sunt globale și valoarea lor este $0$; funcția este concavă pe fiecare ramură; imaginea este $[0,+\infty )$.

Pasul 9: verificarea gratuită a desenului este simetria. Cum $x^2-2x=(x-1{)}^2-1$, avem $f(1+t)=f(1-t)$, deci graficul este simetric față de dreapta verticală $x=1$ — iar cele două asimptote, $y=x-1$ și $y=-x+1$, sunt și ele simetrice față de aceeași dreaptă. Asimptotele: $y=x-1$ spre $+\infty$ și $y=-x+1$ spre $-\infty$.

Exemplul 4 — Punct de întoarcere

Reprezentați grafic funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$.

Rezolvare. Pașii 1–2: radicalul este de ordin impar, deci $D=\mathbb{R}$; funcția este pară și continuă pe $\mathbb{R}$, derivabilă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Singura intersecție cu axele este originea.

Pasul 3: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=+\infty$. Panta ar fi $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x}=0$, deci nu există oblică; orizontală nu există, pentru că limita funcției este infinită. Funcția nu are asimptote.

Pașii 4–6: $f^{\prime }(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, cu semnul lui $x$; $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{2}{9\sqrt[3]{x^4}}<0$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, pentru că $\sqrt[3]{x^4}>0$. Derivata nu se anulează nicăieri. În origine, derivatele laterale sunt $-\infty$ la stânga și $+\infty$ la dreapta, deci $f^{\prime }(0)$ nu există: originea este punct de întoarcere.

Citirea tabelului: $f$ scade pe $(-\infty ,0]$ și crește pe $[0,+\infty )$, cu minimul global $f(0)=0$; este concavă pe fiecare dintre cele două intervale, fără puncte de inflexiune; imaginea este $[0,+\infty )$. În origine nu există nici $f^{\prime }$, nici $f^{\prime \prime }$, pentru că a doua derivată nu poate exista acolo unde prima lipsește.

Pasul 9: comparația cu $\sqrt[3]{x}$ este obligatorie. Acolo derivata este $+\infty$ din ambele părți, deci graficul are tangentă verticală și traversează originea urcând; aici derivatele laterale au semne contrare, deci curba coboară vertical și urcă vertical, formând un vârf.

Exemplul 5 — Două asimptote orizontale diferite

Reprezentați grafic funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Rezolvare. Radicandul este mereu strict pozitiv, deci $D=\mathbb{R}$ și funcția este derivabilă peste tot. Este impară, iar singura intersecție cu axele este originea.

Pasul 3: scoțând $|x|$ de sub radical, $f(x)=\frac{x}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-1$. Graficul are două asimptote orizontale diferite: $y=1$ spre $+\infty$ și $y=-1$ spre $-\infty$.

Pașii 4–6: $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}>0$ pentru orice $x$, deci funcția este strict crescătoare și nu are extreme; $f^{\prime \prime }(x)=\frac{-3x}{{\left(x^2+1\right)}^2\sqrt{x^2+1}}$ își schimbă semnul în $0$. Valorile: $f(0)=0$, $f^{\prime }(0)=1$, $f^{\prime \prime }(0)=0$.

Citirea tabelului: $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, convexă pe $(-\infty ,0]$ și concavă pe $[0,+\infty )$, cu punctul de inflexiune $(0,0)$; imaginea este intervalul deschis $(-1,1)$, pentru că valorile $\pm 1$ sunt limite, nu valori atinse. Curba are forma unei litere S alungite, prinsă între cele două orizontale. Asimptotele: $y=1$ spre $+\infty$ și $y=-1$ spre $-\infty$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2-4x+5}$. a) Determinați asimptotele graficului funcției $f$. b) Alcătuiți tabelul de variație și reprezentați grafic funcția. c) Arătați că $\sqrt{x^2-4x+5}\ge 1$ pentru orice număr real $x$ și precizați când are loc egalitatea.

Rezolvare. a) Scriem radicandul sub formă canonică: $x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1\ge 1>0$, deci $D=\mathbb{R}$ și funcția este derivabilă peste tot. Aplicăm procedura în trei pași spre $+\infty$: scoțând $|x|$ de sub radical și ținând seama că $|x|=x$ acolo, obținem $m=1$; apoi, prin amplificare cu conjugata,

$$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-4x+5}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-4x+5}{\sqrt{x^2-4x+5}+x}=-2,$$

deci dreapta $y=x-2$ este asimptotă oblică spre $+\infty$. Spre $-\infty$ avem $|x|=-x$, deci $m=-1$, iar $n=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-4x+5}+x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-4x+5}{\sqrt{x^2-4x+5}-x}=2$: asimptota este $y=-x+2$.

b) $f^{\prime }(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}$, cu unicul zero $2$; semnul îl dă numărătorul, pentru că radicalul este pozitiv. Apoi

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{\left(x^2-4x+5\right)-(x-2{)}^2}{\left(x^2-4x+5\right)\sqrt{x^2-4x+5}}=\frac{1}{\left(x^2-4x+5\right)\sqrt{x^2-4x+5}}>0,$$

deci funcția este convexă pe tot $\mathbb{R}$. Valorile: $f(2)=1$, $f^{\prime \prime }(2)=1$, iar $f(0)=\sqrt{5}$.

Citirea tabelului: $f$ scade pe $(-\infty ,2]$ și crește pe $[2,+\infty )$, cu minimul global $f(2)=1$; este convexă pe tot $\mathbb{R}$, fără puncte de inflexiune; imaginea este $[1,+\infty )$. Desenul este o curbă în formă de $V$ rotunjit, prinsă deasupra celor două asimptote și simetrică față de verticala $x=2$.

c) Din forma canonică, $x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1\ge 1$ pentru orice $x$, iar funcția radical este crescătoare, deci $\sqrt{x^2-4x+5}\ge \sqrt{1}=1$. Egalitatea are loc exact când $(x-2{)}^2=0$, adică pentru $x=2$ — punctul de minim citit din tabel.

Să exersăm

1. Determinați domeniul maxim de definiție pentru: a) $\sqrt{x^2-9}$; b) $\sqrt{3-x}$; c) $\sqrt[3]{x-1}$; d) $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$.

2. Calculați derivata funcției $f(x)=\sqrt{x^2-9}$ și precizați pe ce mulțime este definită.

3. Arătați că funcția $f(x)=\sqrt{x}$ are în $0$ semitangentă verticală și precizați valoarea lui $f_d^{\prime }(0)$.

4. Determinați asimptotele la graficul funcției $f(x)=\sqrt{x^2+4}$, separat spre $-\infty$ și spre $+\infty$.

5. Precizați punctele în care funcția $f(x)=\sqrt{x^2-4}$ nu este derivabilă și explicați natura lor geometrică.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f(x)=\sqrt[3]{x}$ are punct de întoarcere în origine."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ este finită și nenulă, atunci graficul lui $f$ are asimptotă oblică spre $+\infty$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O funcție continuă al cărei domeniu este un interval închis și mărginit nu are nicio asimptotă."

9. Reprezentați grafic funcția $f(x)=\sqrt{9-x^2}$ și precizați ce curbă cunoscută obțineți.

10. Determinați punctele de extrem ale funcției $f:[-2,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\sqrt{4-x^2}$.

11. Determinați asimptotele graficului funcției $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$, precizând pentru fiecare capătul la care apare.

12. Arătați că funcția $f(x)=\sqrt[3]{x}$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și că are punct de inflexiune în origine.

13. Determinați imaginea funcției $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

14. Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+5x}-x\right)$ și scrieți asimptota oblică spre $+\infty$ pe care o obțineți.

15. (Problemă aplicată.) Un far se află la $1$ km de o șosea dreaptă. Distanța de la far la un automobil aflat la $x$ km de piciorul perpendicularei este $d(x)=\sqrt{x^2+1}$. Determinați distanța minimă și asimptotele graficului, apoi explicați ce înseamnă ele.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}(x-3)$. a) Studiați derivabilitatea în $0$ și determinați intersecțiile cu axele. b) Alcătuiți tabelul de variație. c) Arătați că graficul nu are asimptotă spre $+\infty$.

17. Comparați funcțiile $\sqrt{x}$ și $\sqrt[3]{x}$ din trei puncte de vedere: domeniul, monotonia și comportarea graficului în origine.

18. (Provocare.) Arătați că, pentru orice $a\ne 0$, graficul funcției $f(x)=\sqrt{x^2+a^2}$ are asimptotele $y=x$ spre $+\infty$ și $y=-x$ spre $-\infty$ și că se află strict deasupra amândurora.

Răspunsuri și explicații

1. a) $(-\infty ,-3]\cup [3,+\infty )$; b) $(-\infty ,3]$; c) $\mathbb{R}$, radicalul fiind de ordin impar; d) $(2,+\infty )$, cu inegalitate strictă, pentru că radicalul stă la numitor.

2. $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$, definită pe $(-\infty ,-3)\cup (3,+\infty )$; în $-3$ și $3$ formula nu se poate aplica, deși funcția este definită acolo.

3. $\frac{\sqrt{x}-0}{x-0}=\frac{1}{\sqrt{x}}\to +\infty$ când $x\to 0$, $x>0$, deci $f_d^{\prime }(0)=+\infty$; derivata la stânga nu se pune, pentru că funcția nu este definită acolo. Graficul pornește vertical din origine.

4. $m=1$ și $n=0$ spre $+\infty$, deci $y=x$; $m=-1$ și $n=0$ spre $-\infty$, deci $y=-x$. Graficul stă deasupra ambelor drepte.

5. În $-2$ și $2$, capetele închise ale domeniului. Derivatele laterale sunt $-\infty$, respectiv $+\infty$, deci în ambele puncte graficul are câte o semitangentă verticală.

6. Fals. Derivatele laterale sunt amândouă $+\infty$, deci au același semn; graficul are tangentă verticală și traversează originea urcând. Punct de întoarcere are $\sqrt[3]{x^2}$, la care derivatele laterale sunt $-\infty$ și $+\infty$.

7. Fals. Mai trebuie ca $f(x)-mx$ să aibă limită finită. Pentru $f(x)=x-2\sqrt{x}$ avem $m=1$, dar $f(x)-x\to -\infty$, deci asimptota nu există.

8. Adevărat. Nu există capete infinite, deci nici asimptote orizontale sau oblice; iar funcția fiind continuă pe un interval închis, limitele în capete sunt finite, deci nu apar nici verticale.

9. Semicercul superior de rază $3$ cu centrul în origine: punctele graficului satisfac $x^2+y^2=9$ cu $y\ge 0$. Maximul este $f(0)=3$, iar în $\pm 3$ apar semitangente verticale.

10. $f^{\prime }(x)=\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$, cu zerourile $\pm \sqrt{2}$; maximul este $f(\sqrt{2})=2$, iar minimul $f(-\sqrt{2})=-2$.

11. Domeniul este $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$. Verticale: $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to -1\\ x<-1\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$, deci $x=1$ (la dreapta) și $x=-1$ (la stânga). Orizontale: $y=1$ spre $+\infty$ și $y=-1$ spre $-\infty$, pentru că $\sqrt{x^2-1}=|x|\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}$.

12. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}>0$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, iar în $0$ derivata este $+\infty$: funcția crește pe tot $\mathbb{R}$. Cum $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}$ este pozitivă pentru $x<0$ și negativă pentru $x>0$, curbura se schimbă în origine, deci acolo este punct de inflexiune.

13. Funcția este strict crescătoare și continuă, cu limitele $-1$ și $1$ la capete, deci imaginea este intervalul deschis $(-1,1)$.

14. $\sqrt{x^2+5x}-x=\frac{5x}{\sqrt{x^2+5x}+x}\to \frac{5}{2}$. Cum $m=1$, asimptota oblică spre $+\infty$ este $y=x+\frac{5}{2}$.

15. $d^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ se anulează în $0$, unde $d(0)=1$: distanța minimă este de $1$ km, atinsă la piciorul perpendicularei. Asimptotele $y=x$ și $y=-x$ arată că, la depărtare mare, distanța până la far este practic egală cu distanța parcursă pe șosea — cei $1$ km laterali devin neglijabili.

16. a) Raportul $\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{x-3}{\sqrt{x}}\to -\infty$, deci $f_d^{\prime }(0)=-\infty$: funcția nu este derivabilă în $0$, iar graficul pornește cu semitangentă verticală. Intersecțiile cu axele: $(0,0)$ și $(3,0)$. b) $f^{\prime }(x)=\frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}}$, cu minimul global $f(1)=-2$; $f^{\prime \prime }(x)=\frac{3(x+1)}{4x\sqrt{x}}>0$, deci funcția este convexă pe $(0,+\infty )$; imaginea este $[-2,+\infty )$. c) $\frac{f(x)}{x}=\sqrt{x}-\frac{3}{\sqrt{x}}\to +\infty$, deci panta nu este finită și asimptota oblică nu există; orizontală nu există nici ea, pentru că $f(x)\to +\infty$.

17. $\sqrt{x}$ este definită pe $[0,+\infty )$, iar $\sqrt[3]{x}$ pe $\mathbb{R}$; ambele sunt strict crescătoare pe domeniile lor; în origine, prima are semitangentă verticală, pentru că are numai derivată la dreapta, iar a doua are tangentă verticală, cu derivată $+\infty$ din ambele părți.

18. Spre $+\infty$: $\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x}\to 1$ și $\sqrt{x^2+a^2}-x=\frac{a^2}{\sqrt{x^2+a^2}+x}\to 0$, deci $y=x$. Spre $-\infty$, analog, $y=-x$. În plus, $\sqrt{x^2+a^2}>\sqrt{x^2}=|x|\ge \pm x$ pentru orice $x$, deci graficul este strict deasupra ambelor drepte.

De reținut

• Domeniul unei funcții cu radicali se obține din radicand: ordinul par cere radicandul nenegativ, ordinul impar nu impune nicio restricție.
• La un capăt închis al domeniului în care derivata este infinită se scrie $-\infty$ sau $+\infty$ în tabel, iar graficul pornește cu o semitangentă verticală; simbolul $\nexists$ se folosește numai când derivatele laterale sunt diferite.
• Funcția $\sqrt[3]{x}$ are tangentă verticală în origine, iar funcția $\sqrt[3]{x^2}$ are acolo punct de întoarcere; deosebirea vine din semnul derivatelor laterale, nu din faptul că sunt infinite.
• Asimptotele oblice ale funcțiilor cu radicali se calculează separat la cele două capete, pentru că $\sqrt{x^2}=|x|$ este $x$ la dreapta și $-x$ la stânga, iar pantele ies opuse.
• Panta finită și nenulă nu garantează existența asimptotei oblice: mai trebuie ca $f(x)-mx$ să aibă limită finită, ceea ce la $x-2\sqrt{x}$ nu se întâmplă.

Greșeli frecvente

• Uiți modulul la scoaterea lui $x$ de sub radical. Din $\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ rezultă pante opuse la cele două capete; cine scrie direct $x$ obține $y=x$ spre $-\infty$, ceea ce este fals.
• Scrii $\nexists$ pentru orice derivată infinită. La un capăt închis, derivata laterală există în $\overline{\mathbb{R}}$ și se scrie cu semnul ei; $\nexists$ înseamnă că derivatele laterale sunt diferite.
• Confunzi punctul de întoarcere cu tangenta verticală. Amândouă au derivate laterale infinite, dar la punctul de întoarcere semnele sunt contrare, iar curba se întoarce; la tangenta verticală semnele coincid și curba trece mai departe.
• Derivezi $\sqrt[3]{x^2}$ „după tabel" pentru $x<0$. Tabelul canonic dă ${\left(\sqrt[n]{x}\right)}^{\prime }$ numai pe $(0,+\infty )$; pentru argumente negative formula se obține folosind paritatea funcției și derivarea compunerii.
• Te oprești după calculul pantei. Fără verificarea limitei $f(x)-mx$, răspunsul „asimptota este $y=x$" poate fi complet greșit, ca la funcția $x-2\sqrt{x}$.

Aplică acasă

1. Familia radicalilor pătratici. Desenează pe aceeași foaie graficele funcțiilor $\sqrt{x^2+1}$, $\sqrt{x^2}$ și $\sqrt{x^2-1}$, cu asimptotele $y=x$ și $y=-x$ punctate. Vei vedea cum, pe măsură ce constanta scade, curba coboară spre cele două drepte, apoi se rupe în două ramuri.

2. Vârful sau trecerea. Desenează cu grijă, în jurul originii și la o scară mare, graficele funcțiilor $\sqrt[3]{x}$ și $\sqrt[3]{x^2}$, folosind valori în $\pm 0,001$, $\pm 0,01$ și $\pm 0,1$. Compară-le și scrie într-o propoziție deosebirea dintre tangenta verticală și punctul de întoarcere.

3. Semicercul din realitate. Măsoară un obiect circular din casă, alege un sistem de axe cu originea în centrul lui și scrie funcția al cărei grafic este jumătatea de sus a conturului. Verifică apoi, în trei puncte, că valorile funcției coincid cu măsurătorile tale.

Pentru părinți și profesori

Lecția este cea mai tehnică din unitate: funcțiile cu radicali sunt singurele la care apar simultan domenii cu capete închise, puncte în care funcția este continuă fără să fie derivabilă și asimptote oblice diferite la cele două capete. Ea răspunde cerinței din programă privind determinarea asimptotelor pe baza studiului limitelor și trasarea graficului pe baza tabelului de variație.

Ce verifică lecția: (1) determinarea domeniului din condițiile puse radicandului; (2) identificarea punctelor în care derivata nu se poate calcula după formulă și tratarea lor cu derivate laterale; (3) calculul separat al asimptotelor spre $-\infty$ și spre $+\infty$, cu grija pentru modul; (4) completarea corectă a tabelului la capete închise, cu valori infinite ale derivatei; (5) desenul, cu semitangente verticale și puncte pline la capete.

Întrebări bune de control: „De ce panta este $-1$ la capătul din stânga?", „De ce nu scrii aici $\nexists$?", „Ce deosebește originea graficului lui $\sqrt[3]{x}$ de originea graficului lui $\sqrt[3]{x^2}$?", „Ai verificat și a doua limită înainte să scrii asimptota?". Semn că elevul a înțeles: la orice funcție cu radical pătratic, scrie de la început $\sqrt{x^2}=|x|$ și tratează cele două capete separat.

La BAC, profilul matematică-informatică cere frecvent, în Subiectul al III-lea, asimptotele unei funcții cu radical și monotonia ei; inegalitățile de tipul celei de la punctul c) al ultimului exemplu apar și în Subiectul al II-lea, ca aplicații ale minimului global.

Întrebări frecvente

Cum se află domeniul unei funcții cu radicali? Se impune ca fiecare radicand de ordin par să fie mai mare sau egal cu zero, iar dacă radicalul apare la numitor, condiția devine strictă. Radicalii de ordin impar nu adaugă restricții. Se rezolvă inegalitățile obținute și se intersectează soluțiile, apoi domeniul se scrie ca reuniune de intervale.

Ce este o semitangentă verticală? Este poziția-limită a coardei într-un capăt al domeniului în care derivata laterală este infinită: graficul pleacă din acel punct pe o direcție verticală. Apare tipic la $\sqrt{x}$ în origine sau la $\sqrt{4-x^2}$ în $\pm 2$, adică exact acolo unde radicandul se anulează, iar funcția există.

Care este diferența dintre punct de întoarcere și tangentă verticală? La amândouă derivatele laterale sunt infinite, dar la punctul de întoarcere ele au semne contrare, deci curba urcă vertical dintr-o parte și coboară vertical în cealaltă, formând un vârf. La tangenta verticală semnele coincid, iar curba trece dintr-o parte în alta fără să se întoarcă.

Care este asimptota oblică a funcției radical din $x^2+1$? Sunt două, diferite: $y=x$ spre $+\infty$ și $y=-x$ spre $-\infty$. Explicația este $\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$, iar modulul este $x$ la dreapta și $-x$ la stânga. În ambele cazuri termenul liber este zero, iar graficul stă deasupra celor două drepte.

De ce nu are asimptotă funcția $x-2\sqrt{x}$, deși panta există? Pentru că definiția cere două limite finite, nu una. Panta iese $m=1$, dar $f(x)-x=-2\sqrt{x}$ tinde la $-\infty$, deci termenul liber nu este număr real. Graficul se depărtează tot mai mult de dreapta $y=x$, chiar dacă pantele lor devin egale.

Cum se completează tabelul de variație într-un capăt închis al domeniului? Se scriu valorile efective, nu limite: pe rândul lui $f$ valoarea funcției, urmată de marcajul de maxim sau de minim dacă este cazul, iar pe rândul lui $f^{\prime }$ valoarea derivatei laterale — inclusiv $-\infty$ sau $+\infty$, când aceasta este infinită. Coloana rămâne goală numai la $\pm \infty$.

De ce apar funcțiile cu radicali în subiectele de Bacalaureat M1? Pentru că ele verifică deodată lucruri pe care celelalte familii nu le cer: condițiile de existență, derivatele laterale infinite, modulul ascuns sub radical și calculul separat al asimptotelor la cele două capete. O singură astfel de funcție acoperă, la mate-info, aproape toată materia unității.